第4章多元方差分析
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
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计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
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4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
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4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
第四章--方差分量线性回归模型
第四章 方差分量线性回归模型本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。
我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。
最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics 》上发表的。
第一节 随机效应与方差分量模型一、随机效应回归模型前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。
我们从资料对npi i i X X Y 11},,{ 出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X 1，…，X p 看作非随机的。
但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。
我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。
究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。
比如一般情况下消费函数可写为)(0T X b C C（4.1.1）这里X 是居民收入，T 是税收，C 0是生存基本消费，b 是待估系数。
加上随机扰动项，就是一元线性回归模型)(0T X b C C（4.1.2）那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。
如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。
如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。
对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。
我们希望通过X 预测Y ，也就是要寻找一个函数),,()(1p X X M X M Y ，当X 的观察值为x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即22)]([min )]([X L Y E X M Y E L（4.1.3）这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。
由于当)|()(X Y E X M（4.1.4）时，容易证明0)]()()][([ X L X M X M Y E（4.1.5）故当)|()(X Y E X M 时，222)]()([)]([)]([X L X M E X M Y E X L Y E（4.1.6）要使上式左边极小，只有取)|()()(X Y E X M X L 。
研究生 试验设计与数据处理 第四章
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举 例
1. 判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也
就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是 否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 § 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
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1. 随机误差
2.
在因素的 同一 水平 ( 同一 个总体 ) 下 ，样本的 各观 察值之间的差异 § 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量 是不同的 § 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影 响 ，或者 说是 由 于 抽样的随 机 性 所 造 成 的， 称 为 随机误差 系统误差 § 在因素的不 同 水平 ( 不 同 总体 ) 下 ， 各观 察值之 间 的差异 § 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是 不同的 § 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也 可能 是由 于颜色本 身所造成 的，后者 所形成的 误 差是由系统性因素造成的，称为系统误差
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
① 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 ② 设µ1为无色饮料的平均销售量，µ2粉色饮料的 平均销售量，µ3为橘黄色饮料的平均销售 量， µ 4 为绿色饮料的平均销售量， 也就是检 验下面的假设 ① H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 ② H1: µ1 , µ2 , µ3 , µ4 不全相等 ③ 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况 无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
多元统计实验四多元方差分析
多元统计实验四多元方差分析多元方差分析（MANOVA，Multivariate Analysis of Variance）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间在多个连续性因变量上的平均差异。
它是单因素方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）在多个因变量上的扩展。
多元方差分析可以通过比较组间和组内的变异来评估组间差异的显著性。
与单因素方差分析相比，多元方差分析更加全面和准确，因为它考虑了多个因变量之间的关系。
多元方差分析有两种基本形式：一元多元方差分析和多元多元方差分析。
一元多元方差分析适用于只有一个自变量（组别）和多个连续性因变量的情况。
它的目的是确定组别（自变量）对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量对组别之间的差异起到重要作用。
多元多元方差分析适用于有多个自变量和多个连续性因变量的情况。
它的目的是通过考虑多个自变量之间的交互作用，确定自变量对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量和自变量之间的交互作用对差异起到重要作用。
在进行多元方差分析之前，需要验证几个假设：1.因变量在组内是正态分布的。
2.因变量在不同组别的方差相等。
3.因变量之间不存在相关关系。
4.因变量和自变量之间存在线性关系。
如果上述假设不成立，可以考虑进行数据转换，或者使用非参数方法。
在进行多元方差分析时，可以使用Wilks' Lambda检验、Roy's Largest Root检验、Pillai's Trace检验或Hotelling-Lawley Trace检验来判断组别之间的差异是否显著。
多元方差分析的优点是可以同时考虑多个因变量之间的关系，并且可以检验不同组别在多个因变量上的平均差异。
然而，它也有一些限制，比如对样本量要求较高，对实验设计的要求较高，以及对数据的假设有一定的要求。
总而言之，多元方差分析是一种强大的统计方法，能够有效比较多个组别在多个因变量上的差异，为研究者提供了更全面和准确的数据分析工具。
(完整版)多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
第章方差分析(页)PPT课件
1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验
结果的作用和影响；
3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的 交互作用；
4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条
件比较严格，即要求各样本为随机样本，各 样本来自正态总体，各样本所代表的总体方 差齐性或相等。
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《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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2. 计算各部分变异 ：
（1）单因素方差分析中，可以分出组间变异 （SS组间）和组内变异（SS组内）两大部分；
（2）双因素方差分析中，可以分出处理组变 异（SS处理），区组变异（SS区组）或称为 配伍组变异（SS配伍）及误差变异（SS误差） 三大部分。
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单因素方差分析模式表
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6. 各种变异除以相应的自由度，称为均方，用MS 表示，也就是方差。当H0为真时，组间均方与组 内均方相差不大，两者比值F值约接近于1。 即 F＝组间均方／组内均方≈1。
7. 间当均H方0不增成大立，时此，时处，理F因＞素＞产1，生当了大作于用等，于使F得临组界 值数时 不， 全则 相等P≤。0.05。可认为H0不成立，各样本均
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
多元正态总体的假设检验和方差分析
第 3 章多元正态总体的假设检验与方差分析从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。
统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。
按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。
由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。
所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。
统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。
统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。
参数估计问题回答诸如“未知参数的值有多大?”之类的问题, 而假设检验回答诸如“未知参数的值是吗?”之类的问题。
本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。
3.1 一元正态总体情形的回顾一、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）, 一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为和。
1、显著性检验2为便于表述，假定考虑假设检验问题：设X1, X2，…,X n来自总体N（,）的样本,我们要检验假设3.1)原假设H。
与备择假设H i应相互排斥，两者有且只有一个正确。
备择假设的意思是，一旦否定原假设H0 ，我们就选择已准备的假设H1。
2当 已知时，用统计量 z在原假设H 。
成立下，统计量z 服从正态分布z 〜N （0 ,1），通过查表，查得N(0 ,1)的上对于检验问题（3.1.1，我们制定这样一个检验规则（简称检验）(3.2)分位点z 2。
当z z 2时，拒绝H 0 ； 当z z 2时，接受H o 。
第四章 多个样本均数比较的方差分析(第4章)(1)
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
80.94 58.99
225.54 132.13
合计
120 2.70 324.30 958.52
9
多因素实验
研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对 小鼠体重的影响 研究对象：小白鼠
总 N 1 组间 g 1 组内 N g
14
mean square ，MS
MS组间 SS组间 / 组间 MS组内 SS组内 / 组内
F
组间变异 组内变异
MS组间 MS组内
≥１
15
如果处理因素无作用： 组间变异＝组内变异 F =１ 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异 F ＞１
1.5
1.1
0.9
1.6
1.3
0.9
1.3
1.1
0.8
1.4
1.0
1.0
Xi 1.6
1.2
0.9 X总 1.23
Xij=μ+Ti+eij i=1, 2, ···, g j=1, 2, ···, n12
sum of squares of deviations from mean ，SS
总离均差平方和
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
完全随机设计分组结果
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120 随机数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
多元统计分析课后习题解答_第四章
第四章 判别分析4、1 简述欧几里得距离与马氏距离得区别与联系。
答: 设p 维欧几里得空间中得两点X =与Y =。
则欧几里得距离为。
欧几里得距离得局限有①在多元数据分析中,其度量不合理。
②会受到实际问题中量纲得影响。
设X,Y 就是来自均值向量为,协方差为得总体G 中得p 维样本。
则马氏距离为D(X,Y)=。
当即单位阵时,D(X,Y)==即欧几里得距离。
因此,在一定程度上,欧几里得距离就是马氏距离得特殊情况,马氏距离就是欧几里得距离得推广。
4、2 试述判别分析得实质。
答:判别分析就就是希望利用已经测得得变量数据,找出一种判别函数,使得这一函数具有某种最优性质,能把属于不同类别得样本点尽可能地区别开来。
设R1,R2,…,Rk 就是p 维空间R p 得k 个子集,如果它们互不相交,且它们得与集为,则称为得一个划分。
判别分析问题实质上就就是在某种意义上,以最优得性质对p 维空间构造一个“划分”,这个“划分”就构成了一个判别规则。
4、3 简述距离判别法得基本思想与方法。
答:距离判别问题分为①两个总体得距离判别问题与②多个总体得判别问题。
其基本思想都就是分别计算样本与各个总体得距离(马氏距离),将距离近得判别为一类。
①两个总体得距离判别问题设有协方差矩阵∑相等得两个总体G 1与G 2,其均值分别就是μ1与μ 2,对于一个新得样品X ,要判断它来自哪个总体。
计算新样品X 到两个总体得马氏距离D 2(X,G 1)与D 2(X,G 2),则X ,D 2(X ,G 1)D 2(X ,G 2)X ,D 2(X ,G 1)> D 2(X ,G 2, 具体分析,111122111111111222111211122()()()()2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ记 则判别规则为X ,W(X) X ,W(X)<0②多个总体得判别问题。
第4章-多样本的非参数检验
SSA：处理间离差平方和 MST：总均方离差平方和
2
❖ 严格地讲， H M SS SA TS 12jk 1R jnj(n N j1)/2S 12jk 1[nj(R jR )]2
❖ 其中
S2
MST
1 N 1
k i1
ni
( Rij R )2
j 1
1 N 1
k i1
解：（1）提出假设
H0：收听体育广播兴趣不同不影响参加体育活动 H1：收听体育广播兴趣不同参加体育活动情况也不同 （2）计算检验统计量：
1102
1102
1102
e 1 12* 2 51 1 6 .7 2 2 e 4 2 11* 4 20 1 7 6 .3 1 2 e 5 3 110 * 281 6 5 6.5 25 3
ni
Rij2 N R 2
j 1
如果没有打结，则有
S2
MST
1 N (N
N
1
1)(2 N 6
1)
N ( N 1)2
4
＝ N(N+1) 12
❖ 严格地讲，
2
HS12
k Rj nj(N1)/2
j1
nj
❖ 其中
S 2
1 N 1
k i1
ni
( R ij R ) 2
j1
1 N 1
❖ 如果k（>2）个样本是按某种或者某些条件 匹配的，那么k个样本称为相关的，否则为独 立的。K个相关和独立样本的差别与两个相 关和独立样本之间的差别类似。
❖ 多样本的问题是统计中最常见的一类问题。 主要涉及如何检验n种不同方法、决策或试 验条件（称为处理）所产生的结果是否一样 等问题，可以使用Kruskal-Wallis秩和检验、 卡方检验、正态记分检验、JonkheereTerpstra检验、Cochran Q检验、Friedman 检验等非参数检验方法。本章仅介绍其中的 最常用、重要的检验方法。
第4章 方差分析
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
12/46
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
《应用多元统计分析》第五版PPT(第四章)-简化版(SPSS24)-作为选读
82.0
x
60.2 14.5
,
8.0
x
μ0
2.2 1.5
31.600 8.040 0.500
S
8.040 0.500
3.172 1.310
1.310 1.900
4.3107 14.6210 8.9464
S
1
23.13848 1
14.6210 8.9464
59.7900 37.3760
❖ 首先得出丁商品对原假设H0的拒绝起到了很大的作 用。
❖ 剔除丁商品后再对其他三种商品进行三元方差分析 检验。
32
❖ 说明对甲、乙、丙这三种商品，销售方式Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ 的总体均值向量之间无显著差异。
❖ 可认为甲商品对三种销售方式的差异无明显影响。
33
§4.6 协方差矩阵相等性的检验
❖ 该齐性检验的主要用途： ➢ (1)希望对多个总体均值向量进行比较检验； ➢ (2)考虑是否采用联合协方差矩阵。 ❖ 设k个总体π1,π2,⋯,πk的分布分别是Np (μ1, Σ1), Np (μ2, Σ2) ,⋯,
❖ 设有k个总体π1,π2,⋯,πk，它们的分布分别是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ),
⋯,Np(μk,Σ)，今从这k个总体中各自独立地抽取一个样本，取 自总体πi的样本为xi1, xi2 , , xini ，i=1,2,⋯,k。现欲检验
H0：μ1=μ2=⋯=μk，H1：μi≠μj,至少存在一对i≠j
H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0
表4.2.1
某地区农村男婴的体格测量数据
编号 1 2 3 4 5 6
身高（x1） 78 76 92 81 81 84
胸围（x2） 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5
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j＝0， j 1,2,...,p;
H 02 : 区组的总体平均数相等 。1。 ＝ 2。 ＝ n. 或
i＝0， i 1,2,...,n
（4）平方和分解、自由度
SS总=SS处理间+SS处理内 ＝SSA+ （SS区组 + SS残差） np-1 p-1 n-1 (n-1)(p-1)
(3) 平方和分解 SS总 Npq-1 ＝SS处理间+SS处理内 ＝（SSA+SSB+ SSAB）+ SS处理内 p-1 q-1 (p-1)(q-1) pq(n-1)
例4.5 因变量：阅读理解分数y,
自变量：A－文章主题熟悉性，a1(熟悉)，a2(不熟悉)；
B－文章生字密度，b1(5:1),b2(10:1),b3(20:1), 双因素有6个水平的结合（单元），选择24名五年级学 生，随机分为6组，每组4人，n=4, p=2,q=3.
268.875 np2-1=31
F0.01(3,16)=5.29, F0.05(3,16)=3.24
4、单因素重复测量设计
（1）适用条件
一个自变量有p个水平。被试接受所有的处理水平 时，前面的对后面的没有影响。即没有学习、记忆效应。 该设计的目的是利用被试自己做控制，使被试的各方面 特点在所有的处理中保持恒定，以最大限度地控制由被 试的个体差异带来的变异。 （2）被试分配
自变量－生字密度，4个水平，被试内变量；
因变量－阅读理解分数。n=8
AS表（原始分数）
A1 ±Ê » Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 4 3 5 7 5 2 35 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80 24 29 24 19 26 31 27 22 202
1、被试间设计(Between-Subject Design)
指实验中每个被试只接受一种自变量水平或自变量水平 的结合。被试间设计也叫非重复测量实验设计，实验中的 自变量叫被试间变量（Between-Subject Variable）。
2、被试内实验设计（With-Subject Design）
它是重复测量实验设计的一种形式，随机区组设计发 展，即由一个被试接受所有的自变量水平或自变量水平的 结合。这种设计把被试带来的无关变异减少到最小的限度。 但是，使用被试内设计的前提是，不能有学习、记忆效应 等。
ABCS表
C1 B1 B2 B3 B4 A1 3 4 A2 8 7 A3 8 9 A4 5 4 C2 A2 2 3 A3 3 2 A4 12 13 A1 8 7 C3 A3 6 5 A4 4 3 A1 5 6 A2 12 11 C4 A4 9 8 A1 7 6 A2 6 4 A3 7 5
单因素拉丁方实验的方差分析表
两因素完全随机实验设计的计算表
a1 b1 3 6 4 3 a1 b2 4 6 4 2 a1 b3 5 7 5 2 a2 b1 4 5 3 3 a2 b2 8 9 8 7 a2 b3 12 13 12 11
Tes ts of Betw een-S ubjec ts Ef fects Dependent Variable: 阅读理解分数 Type III Sum Source of Squares df Mean Square a Corrected Model 218.333 5 43.667 Intercept 888.167 1 888.167 A 80.667 1 80.667 B 81.083 2 40.542 A * B 56.583 2 28.292 Error 33.500 18 1.861 Total 1140.000 24 Corrected Total 251.833 23 a. R Squared = .867 (Adjusted R Squared = .830)
A1 S1 S5 S9 S13
A2 S2 S6 S10 S14
A3 S3 S7 S11 S15
A4 S4 S8 S12 S16
（3）检验的假设和实验设计模型
H 0 : 1 2 p 或 H 0 : j 0, j 1,2,, p 即无处理效应 模型： y ij j ij , i 1,2,, n, j 1,2,, p
a1
被试1 被试2 被试3 被试4 S1 S2 S3 S4
a2
S1 S2 S3 S4
a3
S1 S2 S3 S4
a4
S1 S2 S3 S4
(3) 平方和分解
SS总变异＝SS被试间+SS被试内 ＝SS被试间+（SSA+SS残差） np-1 n-1 p-1 n(p-1)
例4.4 研究4种文章的生字密度对阅读理解的影 响。研究者仅用8名被试，每名被试阅读4篇生 字密度不同的文章，并测量阅读理解分数。
(3)随机区组设计模型和检验的假设
y ij j i ij , i 1,2,...,n; j 1,2,...,p
: 总平均数； j：水平j的处理效应； i：区组效应； ij：误差变异；
零假设： H 01 : 处理水平的总体平均数 相等。 .1 .2 .p 或
（3）平方和分解 SS总变异=SS处理间+SS处理内 =SSA+(SSB+SSC+SS单元内 + SS残差) 自由度 p-1 p-1 p-1 (p-1)(p-2) p2(n-1)
例4.3 研究者在做4种文章的生字密度对学生阅读理解 影响的研究中，从4个班随机选取32名学生，每班8人， 实验在星期三、四、五、六下午分四次进行。 自变量：A－生字密度A1,A2,A3,A4四个水平； 第一无关变量：B－不同班级B1，B2，B3,B4四个水平； 第二无关变量：C－实验时间C1,C2,C3,C4四个水平。 因变量：Y－阅读理解分数。
(5) F检验
F处理 MS 处理 ~ Fp - 1, (n - 1)(p- 1), MS 误差 MS区组 MS 误差 ～Fn - 1, (n - 1)(p- 1)
F区组＝
随机区组设计的优点是:它从总体中分离出了一个无 关变量的效应,从而减少了实验误差,可获得对处理效应 更精细的估价。缺点：处理水平较多时可能给寻找同质 组、寻找同质被试带来困难。
2、单因素随机区组设计 （1）适用条件
一个自变量（p 2 ）,一个无关变量（ n2 ）,自 变量与无关变量没有交互作用。
（2）被试分配
A1 区组 1 区组 2 区组 3 区组 4 S11 S21 S31 S41 A2 S12 S22 S32 S42 A3 S13 S23 S33 S43 A4 S14 S24 S34 S44
a3(15:1)、a4(20:1)
因变量－－阅读理解测验分数。
A1 6 4 3 5 7 5 2 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80
n=8 (每组8个被试)，p=4 (4组)， 3 原 始 数 据
35
2、随机区组设计(Randomized Block Design) 它是通过区组技术来控制无关变异的。首先无关变 量将被试分成若干个同质的区组，然后将每个区组的被 试随机分配给各个处理组。这种试验设计的方差分析可 以将无关变异从总变异中分离出去，减少了误差变异， 从而提高了处理效应的F检验的精度。
（1）适用条件
研究中有两个自变量（被试间变量），一个有p 个水平，另一个有q个水平。随机分配被试，每个被 试接受一个实验处理的结合。 （2）被试分配
a1 b1 S1 S7 S13 S18 a1 b2 S2 S8 S14 S20 a1 b3 S3 S9 S15 S21 a2 b1 S4 S10 S16 S22 a2 b2 S5 S11 S17 S23 a2 b3 S6 S12 S18 S24
变异来源 A(生字密度) B(班级) C(实验时间) 残差 单元内误差 合计 平方和 自由度 190.125 56.125 1.375 10.250 11.000 P-1=3 P-1=3 P-1=3 (p-1)(p-2)=6 p2(n-1)=16 均方 63.375 18.708 0.458 1.708 0.688 F值 92.11** 27.19** 0.67 2.48
例4.2 生字密度对阅读理解的影响。 自变量：生字密度(A),4个水平； 无关变量：智力(BL),8个区组；
因变量：阅读理解分数(Y)
A1 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80 24 29 24 19 26 31 27 22 202
ij j -
（4）平方和分解与自由度
SS总＝ np-1,N-1 SS组间 p-1
MS组间 MS组内
+
SS组内， p(n-1),N-p
SS 组间（p - 1 ）
（5）F检验
F
＝
n - 1） SS 组内 （ p
~ Fp - 1,n - 1p
例4.1 一个研究要探讨文章的生字密度对学生阅读理解的 影响。研究假设是：阅读理解成绩随着文章中生字密度的 增加而下降。 自变量－－生字密度（四个水平）：a1(5：1)、a2(10:1)、
单因素重复测量实验的方差分析表
变异来源
被试间 A(生字密度) 残差 .518
F
25.17**
25.875 n-1=7 190.125 (p-1)=3 52.875 (n-1)(p-1)=21 268.876 np-1=31