人教版八年级数学上册第一章三角形
数学人教版八年级上册三角形的三边关系
课题：三角形的三边关系一．教学目标1．懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.2. 帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.二．教学重点理解三角形的三边关系，并会利用这个不等关系解决问题.三．教学难点用三角形三边关系判定三条线段可否组成三角形.三．教学方法观察、操作、归纳、自主探究四．媒体资源实物投影幻灯片投影五．教学过程（一）复习引入（师）同学们，我们已经学习了三角形的基本概念，认识了三角形的边和角，研究了三角形的分类，请你回忆一下三角形是如何分类的？（生）回答三角形的分类，按角分，按边分.（师）今天我们继续研究三角形，从三角形的基本元素——边入手，研究三角形的三边的数量关系. 板书课题三角形的三边关系（二）活动一（师）我们看这样一个问题：（学生从球场到教室踩踏草坪）（师）为什么这样走不对，（生答）破坏绿化.（师）为什么他们还要这样走，（生答）近（师）你们能用学过的数学知识来解释吗？（生）两点之间，线段最短.（师）请同学用符号来表示线段之间的大小关系.（生）AC+BC >AB（师）很好，在这个图形中，三条线段AC，BC，AB首位顺次相接，构成了△ABC，其中AC，BC，AB是三角形ABC的三边，根据“两点之间，线段最短”，可以得到AC+BC>AB，（师）在三角形ABC中，其他两边之和与第三边是否也有这样的关系呢？（将三角形打到活动单上，让学生自己先写写不等式，再互相说一说理由，再归纳成定理）(师)能用一句话概括三角形两边之和与第三边的关系吗？（生）三角形的两边之和大于第三边.(师) 很好，打出ppt 三边关系 .板书：三角形的两边之和大于第三边（师）接下来我们看下面一个问题：播放ppt 出示题目下列长度的三条线段，能组成三角形吗？并在小组内交流你的判别方法.（生）自主完成，小组交流（师）小组来展示实物投影方法总结得很好.（师）总结:如果能够明确大小关系的数据，那么只需比较较小两边之和是否大于最大边；如果不能明确大小关系的数据，那么需要比较三角形的任意两边之和大于第三边.（师）请你给出三条线段的长，并指定一位同学来判别能否组成三角形.（生）踊跃参与回答.(师) 不错，反应很迅速.我们再看下面这个问题用长度分别为4cm、5cm、6cm、10cm的四根木棒，取其中三根搭成三角形。
人教版数学八上教材
人教版数学八上教材
人教版八年级上册数学教材包括了以下内容：
1. 第一章：三角形的初步知识。
这一章主要介绍了三角形的性质、分类和全等三角形。
2. 第二章：全等三角形。
这一章主要介绍了全等三角形的性质和判定方法，包括SAS、ASA、SSS等。
3. 第三章：轴对称。
这一章主要介绍了轴对称图形的性质和特点，以及如何判定一个图形是否是轴对称图形。
4. 第四章：整式的乘除与因式分解。
这一章主要介绍了整式的乘法、除法、因式分解和分式的运算。
5. 第五章：分式。
这一章主要介绍了分式的性质和运算，以及分式方程的解法。
6. 第六章：二次根式。
这一章主要介绍了二次根式的性质和运算，以及最简二次根式的判定。
7. 第七章：勾股定理。
这一章主要介绍了勾股定理的证明和应用，以及勾股定理的逆定理。
8. 第八章：四边形。
这一章主要介绍了四边形的性质和分类，以及平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法。
9. 第九章：数据的收集与整理。
这一章主要介绍了数据收集、整理、表示和分析的方法，以及如何绘制统计图表。
以上是人教版八年级上册数学教材的主要内容，通过学习这些内容，可以帮助学生掌握数学的基础知识和技能，培养数学思维和解决问题的能力。
人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题
一、选择题1．若过六边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列命题是真命题的个数为（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A．2 B．3 C．4 D．5 4．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（）A．18 B．19 C．20 D．21 5．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（）A．1B．4C．7D．10 6．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（）A．3 B．4 C．11 D．12 7．如图，△ABC中AC边上的高是哪条垂线段．（）A．AE B．CD C．BF D．AF 8．内角和与外角和相等的多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形9．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cmC．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm10．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，5，8 D．6，3，3 的边AC上的高是（）11．如图所示，ABCA ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA12．如图，在七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ．若1,2,3,4∠∠∠∠的外角和于210°，则BOD ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°二、填空题13．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．14．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．15．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12124+∠=∠︒，A ∠=___________．16．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________．17．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．18．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°； ②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°； ③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则∠BAE=105°．19．若线段AM ，AN 分别是ABC ∆的高线和中线，则线段AM ，AN 的大小关系是AM _______AN （用“≤”，“≥”或“=”填空）．20．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．三、解答题21．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数； （2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数． 22．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．23．如果一个n 边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2：5，求这个多边形的边数n ．24．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．25．如图，在BCD △中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，60BAC ∠=︒，求DAC ∠，ADC ∠的度数．26．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．【详解】解：6-3=3（条）．答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．2．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．3．B解析：B【分析】首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．【详解】解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，∴①错误；∵三角形的内角和是180°，∴②正确；∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；∴真命题为②③⑤，故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．4．A【分析】设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列方程求解即可．【详解】设多边形的边数为n，由题意得，（n−2）•180＝160•n，解得：n＝18，故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x，则第三边的取值范围是：7-3＜x＜7+3，解得，4＜x＜10，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．6．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可．【详解】设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4，3＜x＜11，∴A、C、D选项不符合题意．故选：B．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．7．C解析：C【分析】根据三角形的高的定义，△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段，即为BF．【详解】解：∵BF⊥AC于F，∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．8．C解析：C【分析】设这个多边形为n边形，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得（n-2）180°=360°，解得n=4，所以这个多边形是四边形．故选：C【点睛】本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键．9．C解析：C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．10．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，A错误；B、2+3=5>4可以构成三角形，B正确；C、2+5=7＜8，不能构成三角形，C错误；D、3+3=6，不能构成三角形，D错误．故答案选：B．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．11．C解析：C【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．【详解】A.线段AE是△ABC的边BC上的高，故不符合题意；B.线段BA不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD是△ABC的边AC边上的高，故符合题意；D.线段DA是△ABD的边BD上的高，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．12．A解析：A【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，即可求得∠BOD．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-510°=30°．故选：A.【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．二、填空题13．19【分析】根据从n边形的一个顶点出发连接这个点与其余各顶点可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规律作答【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发连接其余各顶点可以把多边形分成(n-2)个三角形∴解析：19【分析】根据从n 边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n 边形分割成（n-2）个三角形的规律作答． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形， ∴n -2=17， ∴19n =． 故答案为：19． 【点睛】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．14．【分析】先由题意得CAB=30°∠ABD=60°再由三角形的外角性质即可得出答案【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°∴∠CAB=30°∠ABD=60°∵∠ABD=∠CAB+∠C ∴∠C=6 解析：30︒【分析】先由题意得CAB=30°，∠ABD=60°，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°， ∴∠CAB=30°，∠ABD=60°， ∵∠ABD=∠CAB+∠C ， ∴∠C=60°-30°=30°， 故答案为：30°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，比较简单．15．【分析】根据折叠得到由此得到利用计算得出再根据三角形的内角和定理求出结果【详解】解：∵∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查折叠的性质三角形内角和定理正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键解析：62︒． 【分析】根据折叠得到ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，由此得到122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒，利用12124+∠=∠︒，计算得出118ADE AED ∠+∠=︒，再根据三角形的内角和定理求出结果． 【详解】解：∵ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠， ∴1222180180ADE AED ∠+∠+∠+∠+︒=︒，∴122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒， ∵12124+∠=∠︒， ∴118ADE AED ∠+∠=︒，∴180()62A ADE AED ∠=︒-∠+∠=︒． 故答案为：62︒． 【点睛】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键．16．2b 【分析】先根据三角形三边关系确定>0<0再去绝对值化简即可【详解】∵是△ABC 的三边长∴>0<0=+=2b 故答案填：2b 【点睛】本题主要考查三角形三边关系绝对值的性质和化简问题根据三角形三边关系解析：2b 【分析】先根据三角形三边关系，确定a b c +->0，()a b c -+<0，再去绝对值化简即可． 【详解】∵,,a b c 是△ABC 的三边长 ∴a b c +->0，()a b c -+<0，a b c a c b +-+--=a b c +-+b c a +- =2b ， 故答案填：2b ． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系、绝对值的性质和化简问题，根据三角形三边关系定理正确去绝对值是解决本题的关键．17．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小然后列出关于mn 的二元一次方程然后确定mn 的值最后求m+n 即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°解析：4或5 【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m 、n 的二元一次方程，然后确定m 、n 的值，最后求m+n 即可． 【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；∴m+n=5或m+n=4．故答案为：4或5．【点睛】本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．18．①②③④【分析】由可得：再结合：从而可求解于是可得可判断①；由可得：再利用：求解可判断②；由再利用角的和差可得：可判断③；由图4可得：可判断④【详解】解：如图1故①正确；如图2故②正确；如图3故③正解析：①②③④．【分析】由,AB AE ⊥可得：90BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，再结合：2105BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可求解CAD ∠，于是可得BFC ∠，可判断①；由90ADB ，∠=︒可得：90DAC ACD ∠+∠=︒，再利用：180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，求解DAE DCE ∠+∠，可判断②；由,DFC D DAF ∠=∠+∠再利用角的和差可得：135DFC DAE D CAE ∠+∠=∠+∠=︒，可判断③；由图4可得：105BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，可判断④． 【详解】解：如图1，,AB AE ⊥90BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，60BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，45CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒，2105BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，15CAD ∴∠=︒，90ADB ∠=︒，901575BFC AFD ∴∠=∠=︒-︒=︒，故①正确； 如图2，90ADB ∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，90ACE ∠=︒， 180CAD DAE ACD DCE E ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，()()180180904545DAE DCE CAD ACD E ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒， 故②正确；如图3，,DFC D DAF ∠=∠+∠9045135DFC DAE D DAF DAE D CAE ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故③正确；如图4，6045BAD CAE ∠=︒∠=︒，，6045105BAE ∴∠=︒+︒=︒，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．19．；【分析】根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC 根据垂线段最短判断【详解】解：如图∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高∴AM ⊥BC 由垂线段最短可知AN≥AM 故答案为：【点睛】本题考查的是中线和高的概念掌握垂解析：≤；【分析】根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC ，根据垂线段最短判断．【详解】解：如图，∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高，∴AM ⊥BC ，由垂线段最短可知，AN≥AM ，故答案为：≤．【点睛】本题考查的是中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．20．360°【分析】连接BE 先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB 继而在四边形ABEF 中利用内角和定理进行求解即可【详解】连接BE ∵∠C+∠D+∠DPC=180°∠PBE+∠PEB+∠解析：360°【分析】连接BE ，先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB ，继而在四边形ABEF 中利用内角和定理进行求解即可．【详解】连接BE ，∵∠C+∠D+∠DPC=180°，∠PBE+∠PEB+∠BPE=180°，∠DPC=∠BPE ，∴∠C+∠D=∠PBE+∠PEB ，在四边形ABEF 中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=（4-2）×180°=360°，∴∠A+∠ABP+∠PBE+∠PEB+∠PEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABP+∠C+∠D+∠PEF+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及四边形内角和的应用，正确添加辅助线，准确识图，熟练应用相关知识是解题的关键．三、解答题21．（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=1（38°+42°）=40°．2【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．22．（1）∠ABE=30°；（2）∠ABE=30°【分析】（1）假设CE与AB相交于点G，由题意易得∠DCE=50°，则有∠CGA=∠BGE=130°，然后根据三角形内角和可求解；（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，设∠ABF=x，∠DCF=∠FCE=y，则有∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠DCE=2y，根据题意可得∠AMC=180°-2y，∠E=2y-3x，2∠CFB-∠CEB=10°，进而根据三角形内角和及角的和差关系可求解．【详解】解：（1）假设CE与AB相交于点G，如图所示：∵CF平分∠DCE，∠DCF=25°，∴∠DCE=50°，∵AB∥DC，∴∠DCE+∠AGC=180°，∴∠AGC=130°，∴∠EGB=∠AGC=130°，∵∠E=20°，∴∠ABE=30°；（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，如图所示：设∠ABF=x，∠DCF=y，∵∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，∴∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠FCE=y，∠DCE=2y，∵AB∥DC，∴∠DCE+∠AMC=180°，∴∠EMB=∠AMC=180°-2y ，∵∠E+∠EMB+∠ABE=180°，∴∠E=2y-3x ，∵∠E+∠ENB+∠FBE=180°，∴∠ENB=180°+x-2y ，∵∠CFB+∠CNF+∠FCE=180°，∴∠CFB=y-x ，∵∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，∴2∠CFB-∠CEB=10°，∴()()22310y x y x ---=︒，解得：10x =︒，∴∠ABE=30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．23．7【分析】先根据外角与内角的比为2：5，求出每个外角度数，再依据外角和360°求边数n ．【详解】解：因为多边形的每一个外角与内角之和为180°，所以每个外角度数为180°27⨯=（3607）°． 又n 边形每个内角度数相等，则每个外角度数也相等， 根据多边形外角和360°，可得n ＝3603607÷=7． 答：这个多边形的边数n 是7．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角关系以及多边形外角和，运用外角计算边数是这一类题的通用方法．24．（1）见解析；（2）图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DAF ＝∠CAE ，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF ＝∠CFE ；（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可．【详解】（1）证明：∵∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，∴∠DAF +∠AFD ＝90°，∠CAE +∠CEF ＝90°，又∵AE 是∠CAB 的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE，∴∠AFD＝∠CEF，又∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE；（2）∵EG⊥AB于点G，∴∠DAF+∠GEA＝90°，由（1）可知∠DAF＝∠CAE，∠CAE+∠CEF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝∠DFA，∴图中与∠CAE互余的角有∠CEA，∠GEA，∠CFE，∠DFA．【点评】本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义．25．∠DAC=20°，∠ADC=80°【分析】设∠1＝∠2＝x，再用x表示出∠3的度数，由三角形内角和定理得出∠2＋∠4的度数，进而可得出x的值，由此得出结论．【详解】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，∵∠BAC=60°，∴∠2+∠4=180°-60°=120°，即x+2x=120°，∴x=40°，即∠ADC=80°，∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°．【点睛】本题考查的是三角形内角和外角的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．26．证明见解析【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得出结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．。
人教版八年级上册数学几何八字三角形
人教版八年级上册数学几何八字三角形一、概述数学几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形、空间等几何对象的性质和相互关系。
在八年级上册数学中，八字三角形是其中一个重要的几何概念，通过学习八字三角形，不仅可以加深对三角形的理解，还能够锻炼学生的逻辑思维和推理能力。
本文将从八字三角形的定义、性质和应用等方面来深入探讨这一概念。
二、八字三角形的定义1. 什么是八字三角形八字三角形是指一个三角形在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为（a，0）、（-a，0）和（0，b）的三角形。
即它的边和坐标轴满足一定的条件，形状如“八”字，因此得名八字三角形。
2. 八字三角形的条件要构成一个八字三角形，需要满足以下条件：（1）三条边的长度关系：三边的长度必须满足a > b，且a² = b² + (2x)²。
（2）角度关系：其中，直角所在的两边的夹角为90°。
以上条件既是八字三角形的定义，也是构成八字三角形的基本要求。
三、八字三角形的性质1. 与直角三角形的关系八字三角形是一种特殊的直角三角形。
在八字三角形中，其中一个角为90°，而且满足勾股定理的条件。
我们可以将八字三角形看作是勾股定理的一种特殊情况。
2. 对称性八字三角形在平面直角坐标系中具有一定的对称性。
以坐标轴为对称轴，可以将八字三角形对称成一个完整的八字形。
这种对称性不仅体现在形状上，还体现在性质上，例如其边长、面积等都具有一定的对称性。
3. 边长和面积的计算对于八字三角形，其边长和面积的计算是非常重要的。
通过勾股定理和坐标系中的直线方程，我们可以求得八字三角形的各边长和面积等相关参数。
这不仅有助于加深对几何概念的理解，还有助于锻炼学生的运算能力。
四、八字三角形的应用1. 实际生活中的应用八字三角形这一概念并不是停留在书本知识中，它在现实生活中也有着广泛的应用。
比如在地理测量中，我们经常会遇到需要计算直角三角形的情况，而八字三角形作为一种特殊的直角三角形，同样适用于这类计算。
八年级数学上册 第一章 三角形知识点总结
八年级数学上册第一章三角形知识点总结第一次课1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；1、3、会证明三角形内角和等于180°，了解三角形外角的性质。
2、4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解3、决问题。
4、5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计5、[重点难点]6、一．三角形根本知识7、1.三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关係是重点；用三角形三边不等关係判定三条线段可否组成三角形是难点8、三角形的任意两边之和大于第三边.2.三角形的分类：三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
3.三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
2．三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点。
3、三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
四、三角形的稳定性5、三角形的内外角和1、内角和为180°2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
3、三角形外角的和等于360°。
6、多边形的内外角和从五边形一个顶点出发可以引______对角线，它们将五边形分成____ 三角形，五边形的内角和等于______;从六边形一个顶点出发可以引_____对角线，它们将六边形分成____ 个三角形，六边形的内角和等于_____;从n边形一个顶点出发，可以引____对角线，它们将n边形分成____ 个三角形，n边形的内角和等于_____。
新人教版八年级上册数学-第一章
新人教版八年级上册数学- 第一章：三角形人教版八年级数学（上册），第一章：三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠ A、∠ B、∠ C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ ABC三边长a、b、c 的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ ABC三边长a、b、c 的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过 A 点作MN∥BC（如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠ B、∠ C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，是△ ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，∠ ACD=∠A+∠B , ∠ ACD>∠ A , ∠ACD>∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线n（n 3）条对角线2②n 边形的内角和为（n－2）×180③多边形的外角和为360°考点11. 对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高. ACB(2) 5BC也B C(1)考点 21、下列说法错误的是 ( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点3．如图 3，在△ ABC 中，点 D 在 BC 上，且 AD=BD=C ，DAE 是 BC 边上的高，若沿 AE 所在直线折叠，点 C 恰好落在点 D 处，则∠B 等于( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°D ．三角形的三条高可能相交于外部一点 2、下列四个图形中，线段BE 是△ ABC 的高的图形是( ) B CAEAB AEC BBE2题图ACEACD4. 如图4，已知AB=AC=B，D那么∠1 和∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2 ∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D.3∠1- ∠2=180°5. 如图5，在△ ABC中，已知点D，E，F 分别为边BC，AD，CE的中点，且S ABC= 4 cm2，则S阴影等于( )A．2cm2B. 1 cm2C. 12cm2 D.B D E FC BD C B D C5题图6题图7题图7. 如图6，BD=21BC ，则BC边上的中线为__S ABD = _________ 。
数学人教版八年级上册全等三角形的判定边边边公理
A
解：要证明△ABC ≌△ FDE， 还应该有AB=DF这个条件
D
∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB
即 AB=FD
E
C B
F
思考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以 外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
A
E
B D FC
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD 的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C
解： ①∵E、F分别是AB，CD的中点（ 已知 ）
∴AE= 12AB CF= 12CD（ 线段中点的定义）
又∵AB=CD ∴AE=CF
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH,
∴△ABH≌△ACH（SSS）；
A
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD, ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△DBH和△DCH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH, B
∴△DBH≌△DCH（SSS）.
D
H
C
练习2
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ， 还需要条件 BF=DC 或 BD.=FC
证明：Q AD FB，
AD DB FB DB，
即AB FD.
在ABC和 FDB 中，
AB＝FD（已证），
BC＝DB（已知），
AC＝FB （已知），
ABC≌ FDB（SSS）.
A D
E
人教版数学八年级上册《直角三角形判定》教学设计
人教版数学八年级上册《直角三角形判定》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《直角三角形判定》是初中数学的重要内容，主要让学生了解直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的性质。
本节课的教学内容主要包括两个方面：一是利用锐角三角函数的定义判断直角三角形；二是利用直角三角形的性质判断直角三角形。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数的概念、三角形的性质等基础知识，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但部分学生对直角三角形的判定方法理解不透彻，容易混淆。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对性地进行指导。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形的判定方法，能运用所学知识解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的判定方法。
2.教学难点：如何运用直角三角形的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形的判定方法。
2.利用多媒体辅助教学，展示直角三角形的判定过程，提高学生的空间想象能力。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流能力。
4.运用实例分析法，让学生学会将所学知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，展示直角三角形的判定过程。
2.准备实例题目，用于巩固所学知识。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示生活中的直角三角形实例，如建筑工人测量高度、体育运动员投掷项目等，引导学生关注直角三角形在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
同时，提出问题：“如何判断一个三角形是不是直角三角形？”从而引入新课。
2. 呈现（10分钟）教师简要回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何利用锐角三角函数判断直角三角形。
通过讲解和示范，呈现直角三角形的判定方法，让学生初步掌握。
3. 操练（10分钟）学生分组进行练习，每组选取一道实例题目，运用所学知识判断题目中的三角形是否为直角三角形。
人教版八年级上册数学三角形
人教版八年级上册数学三角形一、三角形的基本概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。
例如，在△ABC中，A、B、C是顶点，AB、BC、AC是边，∠A、∠B、∠C是角。
2. 三角形的表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，记作△ABC，读作“三角形ABC”。
3. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是60°。
二、三角形的三边关系。
1. 定理。
- 三角形两边的和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
2. 推论。
- 三角形两边的差小于第三边。
即AC - AB < BC，AC - BC < AB，BC - AB < AC。
- 作用：判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段的长分别为3cm、4cm、5cm，因为3 + 4>5，3+5>4，4 + 5>3，同时5 - 3<4，5 - 4<3，4 - 3<5，所以这三条线段能组成三角形。
三、三角形的高、中线与角平分线。
1. 三角形的高。
- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
- 性质：- 三角形有三条高。
- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的高，一条在三角形内部，另外两条在三角形外部。
数学人教版八年级上册全等三角形-截长补短法
◎初中数学课堂教学实录与评点“截长补短”的思想在几何证明中的运用八年级数学组执教：江志雄点评：王胜峰【教学目标】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【教学重点】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【教学难点】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【教学用具】●电脑、课件三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件。
【教学设计思路】本节课是根据八年级第一学期学习全等三角形后的一次专题讲解，主要要求学生掌握截长补短法来证明线段的和与差问题，体会数学上的转化思想。
线段的和差问题,常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条(或几条)线段转化到同一直线上.可以通过翻折构造全等三角形.在无法进行直接证明的情形下,利用"截长补短"作辅助线的方法,常可使思路豁然开朗,问题迎刃而解.【教学过程】一、导入新课明确环节师：上课！同学们好！生：老师好！师：同学们，在本周我们学习了三角形全等的性质与判定，今天我和大家一起来学习如何证明线段的和、差问题。
（课件显示学习目标）（师生看大屏幕）师：我们一起来齐读学习目标；生：用“截长补短法”解决线段的和、差问题；（声音洪亮）师：好！同学们的声音很洪亮，相信你们一定能完成学习目标。
请同学们画一画——画一画：线段AB=CD+EF 线段CD=AB-EF线段AB=10cm 线段CD=6cm 线段EF=4cm师：通过我们画两段线段的和与差是否等于另一段线段，生：是！师：请哪位同学总结一下我们所有的方法呢？生：截长补短法：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
【点评】通过教师的调动，让学生感受成功的机会，展示的机会，激发学生求知的欲望。
让学生通过画线段的和与差来体会截长补短法，鼓励学生，师生互动，营造良好的学习氛围。
板书课题、学习目标，使学生立即明确学习的目标，全身心投入我课堂的学习中来，积极探索新的方法，发散自己的思维。
新人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ） A ．直角三角形的两个锐角互余 B ．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行C ．同旁内角互补，两直线平行D ．三角形的一个外角大于任何一个内角 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm 4．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 6．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12B ．3，2，1C ．5，12，7D ．5，13，57．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 8．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 9．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．1010．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 11．正十边形每个外角等于（ ）A ．36°B ．72°C ．108°D ．150°12．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA二、填空题13．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．14．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．15．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．16．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．17．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的度数为___________．18．一个正多边形的每个内角为108°，则这个正多边形所有对角线的条数为_____． 19．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．20．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．三、解答题21．已知：如图90MON ∠=︒，与点O 不重合的两点A 、B 分别在OM 、ON 上，BE 平分ABN ∠，BE 所在的直线与OAB ∠的平分线所在的直线相交于点C ． （1）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，且45BAO ∠=︒时，求ACB ∠的度数； （2）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动时，ACB ∠的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出ACB ∠的范围．22．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 23．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．24．如图，在ABC 中，点E 在AC 边上，连结BE ，过点E 作//DF BC ，交AB 与点D ．若BE 平分ABC ∠，EC 平分BEF ∠．设AED β∠=． （1）当80β=︒时，求DEB ∠的度数． （2）试用含α的代数式表示β．（3）若=k βα（k 为常数），求α的度数（用含k 的代数式表示）．25．如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=20°，∠C=80°， 求∠EAD 的度数．26．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D【分析】利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据多边形的外角和等于360°判定即可．【详解】∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数不能确定．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【详解】解：A、1+2=3，故以这三根木棒不能构成三角形，符合题意；B、2+3＞4，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意；C、3+4＞5，故以这三根木棒可以构成三角形，不符合题意；D、5+6＞7，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，判断能否组成三角形的方法是看两个较小的和是否大于第三边．4．B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．5．B解析：B【分析】逐一探究在三角形，四边形，五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成的三角形的数量，再总结规律，运用规律列方程即可得到答案．【详解】解：如图，探究规律：在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，总结规律：在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成()1n-个三角形，应用规律：n-=由题意得：18,∴=n9.故选：.B本题考查的是规律探究及规律运用，探究“在n 边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n 边形的各顶点连接起来，把n 边形分割成的三角形的数量”是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，A 、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；B 、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；C 、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；D 、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意； 故选A ． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．7．C解析：C 【分析】根据三角形内角和180︒求出∠BAC ，再由AD 是ABC ∆的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决． 【详解】解：∵40,60B C ︒︒∠=∠=，∴BAC=180B-C=80∠︒-∠∠︒， ∵AD 是ABC ∆的角平分线， ∴1DAC=BAC=402∠∠︒， ∵DE AC ⊥，∴90DAC=50ADE ∠=︒-∠︒， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．8．B解析：B 【分析】根据角的度数之比，求得最大角的度数，根据最大角的性质判断即可.∵三个内角的度数之比为11:13:24，∴最大角的度数为°24180111324⨯++=90°，∴三角形是直角三角形， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形按角的分类，根据度数之比求得最大角的度数是解题的关键.9．C解析：C 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可． 【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x ， 则第三边的取值范围是：7-3＜x ＜7+3， 解得，4＜x ＜10， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．10．B解析：B 【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒， ∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒， ∴∠BDC =∠ADE =75︒， 故选：B 【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．11．A解析：A 【分析】根据正十边形的外角和等于360︒，每一个外角等于多边形的外角和除以边数，即可得解． 【详解】3601036︒÷=︒，∴正五边形的每个外角等于36︒，【点睛】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形以上三者之间的关系是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．【详解】A.线段AE是△ABC的边BC上的高，故不符合题意；B.线段BA不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD是△ABC的边AC边上的高，故符合题意；D.线段DA是△ABD的边BD上的高，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．二、填空题13．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A则∠C=1解析：30°，90°或40°，80°【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．【详解】在△ABC中，不妨设∠A=60︒，①若∠A=2∠C，则∠C=30︒，︒-︒-︒=︒；∴∠B=180603090②若∠C=2∠A，则∠C=120︒，︒-︒-︒=︒(不合题意，舍去)；∴∠B=180601200=︒-︒=120︒，③若∠B=2∠C，则3∠C18060︒-︒-︒=︒；∴∠C4=0︒，∠B=180604080综上所述，其它两个内角的度数分别是：30︒，90︒或40︒，80︒．【点睛】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．14．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．15．25°【分析】先求出∠A 的度数再根据折叠的性质可得∠E 的度数根据平行线的性质求出∠ADE 的度数进而即可求解【详解】∵∴∠A=40°∵沿折叠后点B 落在点E 处∴∠E=∠B=50°∵∴∠ADE=∠E=50解析：25°【分析】先求出∠A 的度数，再根据折叠的性质可得∠E 的度数，根据平行线的性质求出∠ADE 的度数，进而即可求解．【详解】∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=，∴∠A=40°，∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，故答案是：25°．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键． 16．35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°解析：35°【分析】先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．【详解】∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是(52)1801085-⨯︒=︒， ∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，故答案是：35°【点睛】本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．17．360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及多边形的内角和即可求解【详解】解：∵∠1=∠A+∠B ∠2=∠C+∠D ∠3=∠E+∠F ∠4=∠G+∠H ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+解析：360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ，∠3=∠E+∠F ，∠4=∠G+∠H ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D ．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．18．【分析】先根据多边形的内角度数得出每个外角的度数再根据外角和为360°求出多边形的边数最后根据n 边形多角线条数为求解即可【详解】∵一个正多边形的每个内角为108°∴每个外角度数为180°﹣108°=解析：【分析】先根据多边形的内角度数得出每个外角的度数，再根据外角和为360°求出多边形的边数，最后根据n 边形多角线条数为(3)2n n -求解即可． 【详解】∵一个正多边形的每个内角为108°，∴每个外角度数为180°﹣108°=72°，∴这个正多边形的边数为360°÷72°=5， 则这个正多边形所有对角线的条数为(3)2n n -=5(53)2⨯-=5， 故答案为：5．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形外角和度数为360°，n 边形多角线条数为()32n n -．19．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE解析：110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：∵=125CGB ∠︒∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC ＋∠ACB=2∠GBC ＋2∠GCB=2（∠GBC ＋∠GCB ）=110°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°故答案为：110°．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 20．343【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积再根据两三角形的倍数关系求解即可【详解】△ABC 与△A1BB1底相等（AB ＝A1B ）高为1：2（BB1＝2BC ）故面积比为1：2∵解析：343【分析】先根据已知条件求出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【详解】△ABC 与△A 1BB 1底相等（AB ＝A 1B ），高为1：2（BB 1＝2BC ），故面积比为1：2， ∵△ABC 面积为1，∴112A BB S =△，同理可得11112C B C A C A S S ==△△, ∴1112317A B C S =⨯+=△；同理可证222111749A B C A B C S S ==△△，所以333749343A B C S =⨯=△，故答案为：343．【点睛】本题考查了图形面积的规律探究，准确找到每变化一次之后图形面积的变化规律是解决问题的关键．三、解答题21．（1）45°；（2）不变，45°【分析】（1）由题意，先求出135ABN ∠=︒，由角平分线的定义，求出67.5ABE ∠=︒，22.5∠︒=BAC ，由三角形外角的性质，即可求出答案；（2）由三角形的外角性质，得ACB ABE BAC ∠=∠-∠，再根据角平分线的定义即可求出答案．【详解】解：（1）∵90MON ∠=︒，即90AOB ∠=︒，45BAO ∠=︒，∴135ABN AOB BAO ∠=∠+∠=︒，∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴167.52ABE ABN ∠=∠=︒，122.52BAC BAO ∠=∠=︒， ∴67.522.545ACB ABE BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下： ∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠，∴12ABE ABN ∠=∠，12BAC BAO ∠=∠， ∴ACB ABE BAC ∠=∠-∠1122ABN BAO =∠-∠ ()12ABN BAO =∠-∠12AOB =∠190452=⨯︒=︒． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．22．周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．23．（1）证明见解析；（2）,,B ADE DEF ∠∠∠．【分析】（1）先根据角的和差、等量代换可得EFG ADG ∠=∠，再根据平行线的判定可得//EF AB ，然后根据平行线的性质可得ADE DEF ∠=∠，从而可得B ADE ∠=∠，最后根据平行线的判定即可得证；（2）根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．【详解】（1）180,180BDG EFG BDG ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，EFG ADG ∴∠=∠，//EF AB ∴，ADE DEF ∴∠=∠，B DEF ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，//DE BC ∴；（2）90A ∠=︒，90B C ∴∠+∠=︒，B DEF ∠=∠，90DEF C ∴∠+∠=︒，由（1）可知，B ADE ∠=∠，90ADE C ∴∠+∠=︒，综上，与C ∠互余的角有,,B ADE DEF ∠∠∠．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．24．（1）20︒；（2）1=904βα︒-；（3）360=41k α︒+． 【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠CEF ＝∠AED ＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵β＝80°，∴∠CEF ＝∠AED ＝80°，∵EC 平分∠BEF ，∴∠BEC ＝∠CEF ＝80°，∴∠DEB ＝180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）∵DF ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ＝α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠DEB ＝∠EBC ＝12α，∵EC 平分∠BEF ，∴β＝∠CEF ＝12（180°﹣12α） ＝90°﹣14α； （3）∵β＝k α，∴90°﹣14α＝k α， 解得：α＝36041k ︒+． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．25．30°【分析】由三角形的内角和可求得∠BAC ，则由角平分线定义可求得∠EAC ，三角形的内角和可求得∠DAC 即可．【详解】解：在△ABC 中∵∠B=20°，∠C=80°∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－20°－80°=80°；∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12×80°=40°； ∵AD 是△ABC 的高∴∠ADC=90°；又∵在△ADC 中，∠C=80°∴∠DAC=180°－∠C －∠ADC=180°－80°－90°=10°；∴∠EAD=∠EAC －∠DAC=40°－10°=30°；【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，题目比较好，难度适中． 26．10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°． 【详解】解：∠B AC =60°，∠C =70°∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12×60°=30°，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠EAC−∠CAD=30°−20°=10°；∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB=12∠BAC,∠OBA=12∠ABC，∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=12(180°−∠C)=12×(180°−70°) =55°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。
人教版八年级数学上册第一章三角形
人教版八年级数学（上册）第一章:三角形（一）、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段;②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意:①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．(3）三角形的高线:从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线,简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有:a+b>c，b+c〉a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边,故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a—c，c〉b-a．注意:判定这三条线段能否构成一个三角形,只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三)三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1)构造平角①可过A点作MN∥BC（如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2)构造邻补角，可延长任一边得邻补角(如图）构造同旁内角,过任一顶点作射线平行于对边（如图)结论2：在直角三角形中,两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）2题图D C B A E E A C B A C B A B C A BC E E 注意：①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角如:在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角．如:△ABC 中,已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．（五）三角形的外角1．意义:三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 为△ABC 的一个外角，∠BCE 也是△ABC 的一个外角， 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
数学人教版八年级上册《三角形判定定理“边角边”》教学设计
（已知），
E
D
∠A=∠A（公共角），
B
AD = AE
.
C
∴△AEC≌△ADB (
SAS ).
注意：“SAS”中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间.
3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
求证:∠A=∠D. 证明:∵ ∠1＝∠2(已知) ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性 质)， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中, AB＝DB(已知)， A D
例4
已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD≌△ACE
证明:∵∠BAC=∠DAE（已知） ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC（已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） B AD=AE（已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS) C A
E D
A
B
C
变式3：已知如图△ABD与 △ACE均为等边三角形，求 证：DC=BE
想一想： 你还能写 出哪些结 论
D A E
B
C
①“边角边”或者“SAS” ②“边边角”或者“SSA”
探究二：“边角边”能否判定两个三角形全等？ 如果两个三角形，它们有两条边分别为2.5cm， 3.5cm，它们所夹的角为40°，这样的两个三角形能完 全重合吗？
C
是可以完全 重合的！
A
B
讲授新课
一 三角形全等的判定（“边角边”定理）
作图探究
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，
∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的 △A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
数学人教版八年级上册三角形的内角和教学设计
11.2.1 三角形的内角学习目标：（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理； （2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程； （3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。
学习过程 一、自主学习如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ； 1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于 度。
2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2），则：（1）∠2等于 度，根据： （2）∠3等于 度，根据： （3）∠1+∠2+∠3等于 度。
1.任剪一个三角形，按下列要求进行实验（1）先剪下∠B 和∠C （如图2），然后把它们与∠A 拼合在一起，就得到一个平角．有多少种不同的拼合 方法？请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验 说明什么？你会证明吗？实验说明：（2）思考：在（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和等于180度思路？它们有什么共同的特点？证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180º；已知：如图3，三角形ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180 证明：图22.知识运用如图3，C 岛在A 岛的北偏东50度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西40度方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？三、巩固练习 1．求出下列图中x 的值:x= x=x= x=2.△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：2，则∠B 的度数为______．3．（2016·黑龙江大庆）如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= ．4. （2016·湖北）如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A. 50°B. 40°C. 45°D. 25°（第3题图） （第4题图）E。
人教版八年级上册数学第一章《三角形》暑假预习试卷(含答案)
人教版八年级上册数学第一章《三角形》暑假预习试卷学校: 姓名：班级：得分：一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A. 4B. 5C. 6D. 92.如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（）A. 6＜L＜15B. 6＜L＜16C. 11＜L＜13D. 10＜L＜163.下列说法错误的是（）A. 一般锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高在三角形外部C. 直角三角形只有一条高D. 任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于（）A. 35°B. 95°C. 85°D. 75°5.在△ABC中，，则此三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6.如图，下列各角为△ABC的外角的是（）A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠47.在锐角三角形中，最大角的取值范围是（）A. 0°＜α＜90°B. 60°＜α＜180°C. 60°＜α＜90°D. 60°≤α＜90°8.若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为（）第6题图A. 90°B. 105°C. 130°D. 120°9.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（）A. 2017边形B. 2016边形C. 2015边形D. 2014边形10.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.设△ABC的三边为a，b，c，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝_________。
八年级数学上册第一章数学题
八年级数学上册第一章数学题由于没有具体的题目内容，以下为人教版八年级数学上册第一章（三角形的初步知识）的20道典型题目及解析：一、选择题（1 - 5题）1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）- A. 1cm，2cm，4cm.- B. 8cm，6cm，4cm.- C. 12cm，5cm，6cm.- D. 2cm，3cm，6cm.- 解析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。
- 选项A：1 + 2＜4，不能组成三角形。
- 选项B：4+6＞8，8 - 4＜6，8 - 6＜4，6+8＞4，可以组成三角形。
- 选项C：5+6＜12，不能组成三角形。
- 选项D：2+3＜6，不能组成三角形。
- 答案：B。
2. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）- A. 直角三角形。
- B. 钝角三角形。
- C. 锐角三角形。
- D. 不确定。
- 解析：因为三角形的一个外角与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，这个内角是钝角。
有一个钝角的三角形是钝角三角形。
- 答案：B。
3. 如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠C = 70°，则外角∠ABD的度数是（）- A. 110°.- B. 120°.- C. 130°.- D. 140°.- 解析：因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在△ABC中，∠A = 50°，∠C = 70°，所以∠ABD=∠A + ∠C=50°+70° = 120°。
- 答案：B。
4. 能把一个三角形分成面积相等的两部分的是（）- A. 中线。
- B. 高。
- C. 角平分线。
- D. 以上都不是。
- 解析：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，根据三角形面积公式S=(1)/(2)ah（a为底，h为高），等底同高的三角形面积相等。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第一章：三角形的初步知识
1. 三角形的基本性质：稳定性、内角和定理（三角形内角和为180度）。
2. 三角形的分类：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的边与角的关系：边长与角度的关系，如a:b:c=sinA:sinB:sinC。
第二章：全等三角形
1. 全等三角形的定义及性质。
2. 全等三角形的判定方法：SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）、HL（直角边斜边公理）。
3. 全等三角形的证明方法。
第三章：轴对称与中心对称
1. 轴对称与中心对称的基本性质。
2. 轴对称与中心对称图形的识别与证明。
3. 图形变换的基本方法。
第四章：四边形
1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等的基本性质。
2. 四边形的判定方法。
3. 四边形的面积计算。
第五章：一次函数
1. 函数的基本概念：自变量、因变量、常数。
2. 一次函数的定义及性质。
3. 一次函数的图象表示方法。
4. 一次函数的解析式及求法。
5. 一次函数的应用：求最值、求交点等。
第六章：一元一次不等式
1. 不等式的基本性质。
2. 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项合并同类项等。
3. 一元一次不等式的应用：比较大小、求解最值等。
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人教版八年级数学（上册）第一章：三角形（一）、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）2题图D C B A E E A C B A C B A B C A BC E E 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 为△ABC 的一个外角，∠BCE 也是△ABC 的一个外角， 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． （六）多边形 ①多边形的对角线2)3( n n 条对角线 ②n 边形的内角和为（n －2）×180° ③多边形的外角和为360°考点11.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.考点21、下列说法错误的是( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )3．如图3，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD=BD=CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于（ ）A ．25° B．30° C．45° D．60°(1)C B AC B A (2)C BA (3)6题图7题图5题图DD F DE B C C B BC4. 如图4，已知AB=AC=BD ，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ∆= 42cm ，则S 阴影等于( )A ．22cm B. 12cm C.122cm D. 142cm 6.如图7，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是 _____ 的中线。
7.如图6，BD=12BC ，则BC 边上的中线为 ______，ABD S ∆=__________。
8.如图1，在△ABC 中，∠BAC=600，∠B=450，AD 是△ABC 的一条角平分线，则∠DAC= 0，∠ADB= 09.如图2，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空： ⑴BE= =21 ；⑵∠BAD= =21 ⑶∠AFB= =900；10.如图在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。
那么图中与∠A 相等的角是（ ）A 、 ∠B B 、 ∠ACDC 、 ∠BCD D 、 ∠BDC11.在△ABC 中，∠A=21∠C=21∠ABC ， BD 是角平分线，求∠A 及∠BDC 的度数（12.已知，如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，求∠E 的度数13.如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42cm ，求ABE S ∆.DCBAEBA1题 D CAF 2题 C BDCB A考点31.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ）A 、三边互不相等B 、至少有两边相等C 、任意两边之和一定大于第三边D 、最多有两边相等2.已知△ABC 中，∠A=200，∠B=∠C ，那么三角形△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 3.下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在 ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、5个4.一个多边形中，它的内角最多可以有 个锐角5.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB ＝_________°.考点41.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A. 3cm, 4cm, 8cmB. 8cm, 7cm, 15cmC. 13cm, 12cm, 20cmD. 5cm, 5cm, 11cm2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，10 3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A 、13B 、17C 、13或17D 、不能确定4.△ABC 中，如果AB=8cm ，BC=5cm ，那么AC 的取值范围是________________.5.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是6.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为7.已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.B CADE4题图B DC 考点51.不是利用三角形稳定性的是( )A 、自行车的三角形车架B 、三角形房架C 、照相机的三角架D 、矩形门框的斜拉条 2.下列图形中具有稳定性的有（）A 、正方形B 、长方形C 、梯形D 、 直角三角形3.装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ ）A. ○1○2○3 B. ○1○2○4 C. ○2○3○4 D. ○1○3○4 4.下列图形中具有稳定性有（ ） A 、 2个 B 、 3个 C 、 4个 D 、 5个5、如图，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A 、三角形的稳定性B 、两点确定一条直线C 、两点之间线段最短D 、垂线段最短6.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性；考点61.已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B= 0，∠C= 02.如图，已知点P 在△ABC 内任一点，试说明∠A 与∠P 的大小关系3如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；考点71、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°3、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).A. 90°B. 110°C. 100°D. 120° 4、如图，下列说法错误的是( ) A 、∠B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°－∠A C 、∠B+∠ACB <180°D 、∠HEC >∠B （1）（2）（3）（4）（5）（6）P C B A 图48题图150︒50︒3217题图140︒80︒16题图B10题图C BD 5、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ). A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 6、如图，若∠A=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 7、如图，∠1=______.8、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,9、已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.10、如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度数.考点81．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）A 、三角形B 、 四边形C 、 五边形D 、 六边形2．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ ）A 、 6B 、 7C 、 8D 、 9 3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ ） A 、 四边形 B 、 五边形 C 、 六边形 D 、 八边形 4、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n ·1805、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( ) A 、八边形 B 、十边形 C 、十二边形 D 、十四边形6、正方形每个内角都是 ______，每个外角都是 _______。