分子的对称性

矩阵 一个矩形数列 与行列式不同，既不能表成一个数值，也不一定是方形。
a11 a12 a1m
A a21
a22

a2m



aij
an1
an2

anm

n 行 m 列的矩阵
aij 称第 i 行第j 列的矩阵元 aii 对角矩阵元
若两阵相等， A B
那么两阵每个阵元必对应相等
C2 C2 C2 E
1 0 0 1 0 0 1 0 0

0
1
0

0
1
0 0
1
0


E
0 0 1 0 0 1 0 0 1
k=n 时，必复原
1
Cˆ21


0
0 1
0 0




C
1 2
0 0 1
H2

H2
H1

ˆ n

Eˆ
(n为偶数）
ˆ （n为奇数）
C2
O
H
H
C2
分子平
面为 yz
d
h——垂直主轴的 面 v——通过主轴的 面 d — 包含主轴且等分两个副轴夹角的面
x x
ˆ (xz) y y
z z
分子存在轴Cn，则必有对应的n个旋转操作。k用于区分n个不同的旋转操作。
旋转操作的矩阵表示：
x x
cˆ12 z
y




y

z z
1 0 0 x x


0
1
0

y




y

0 0 1 z z
l 1
如，
c23 a21b13 a22b23 a23b33
仅当A的列数与B的行数相同，才可作乘法。 对矩阵乘法， AB≠BA。
如，
1 0 1
A



和
2 B 0
1 1
0 1 0
1 0
3 1 AB 0 1
2 1 2 BA 0 1 0
旋转角 = 2/n =360/n
如旋转角为120度时，n为3，此时必有有C3 轴 又称三重轴，即实施该旋转对称操作3次复原
1.1 旋转操作和对称轴 Cn
必过分子中心的直线 可实可虚，特定角度
C2
C1轴任何分子都存在，其
对应不动操作，表成：E
C2
C3
O
H
H
1个主轴C6, 6个付轴C2
N H HH
1 0 0 x x
0
1
0

y


y
0 0 1 z z
1 0 0
ˆ (xz) 0 1 0
0 0 1
z
(x, -y, z) x
(x, y, z) y
ˆ 2 ˆ ˆ Eˆ
1 0 0 1 0 0 1 0 0
再如，
1
C4


x y z





y x z



0 1 0
1 0 0
0 0 1
n=2, k=1, k= -1
互为逆操作
k
Cn

cos sin
2k
n
2k
n
sin 2k
n
cos 2k
n
0
0

0





0
1
0 0
1
0 0
1
0


E
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x x 1 0 0
1 0 1
单位矩阵：
1 0 0
I


0

1

0
ij

0
0 1
IA AI A
A为任意与I同阶的矩阵
逆矩阵： 若 AB=BA=I,
单位阵与同阶阵对易 那么B为A的逆矩阵（inverse, 常表成A-1），
同时A为B的逆矩阵（常表成B-1）.
aij bij
若两阵相加或减， A B C
AB C
那么两阵对应阵元必相加或减， aij bij cij
若矩阵乘某常数
A C
aij bij cij
那么每个阵元均乘该常数
aij cij
矩阵乘法定义
C AB
a11 a21

a12 a22

a1m
a2
m

b11 b21

b12 b22
b1k c11

b2k

c21

c12 c22
c1k

c2
k


an1
an2

anm

bm1
bm2

bmk

cn1
cn2

cnk

m
c a b ij
பைடு நூலகம்
il lj i 1,2, n j 1,2, k
0
1


1
C4
1
C4

1
C2

0 1
1 0
0 0 0 1
1 0
0 1
0


0
0 1
0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1.2 反映操作和对称面
含分子中心的平面，面外原子成对分布在面两侧，互成镜 像
O
O
ˆ
H1
1. 对称操作和对称元素
主要对称操作有， 旋转、反映、反演、象转、反转
对称操作符号 Cˆn ,ˆv ,ˆh , Sˆn ,iˆ, Eˆ , Iˆn
对称操作所依赖的点、线、面 称对称元素
主要对称元素有， 旋转轴， 镜面，对称中心， 映轴，反轴
C2
O
H
H
O
Cl
Cl
O
C3
N H HH
对称元素符号
Cn , v , h , Sn , i, In
1
分子通常具有特定的平衡几何构型，这种构型又具有一定的对称性， 此即 分子对称性。
依据分子对称性，可对分子进行分类, 可对分子的合成、改性等提供辅助。
对分子施加一个操作（如转动），
C2
O
H
H
Cl
C3
N H HH
O Cl
O
绕轴转动180°，分子无改变 绕轴转动120°，分子无改变
若，分子无改变，同施加操作前一样， 那么，该分子就具有对应这个操作的对称性。这个操作也就是对称操作。
方阵对角元之和
n
aii
i 1
称, 特征标（也称迹，trace)
R 矩阵R的特征标
m
依据
c ij
ail blj
l 1
容易验证
1 0 0 x x

0
0
1 0
0 1

y z



y z

又如，
2 1 1