高二上学期期中考试理科数学试卷及参考答案
高二上学期理科数学期中试题及答案
第一学期期中考试数学试卷年级： 高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( )A ．B．C．． D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ）A.2n－n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m的取值范围是__________.13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ; ③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x ++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ； (3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n .(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；(3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n > .参考答案年级：高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函;对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;n n n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由nn n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2) 12+=n n S n ………………9分(3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分 2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni ini i Λ……13分 14241+-+=n 3<……14分因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分 画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)()()22121n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. (15)分。
高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ．∀x ∈R ，x <sin xD ．∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0 2.不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3.离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A ．22195x y += B ．22195x y +=或22159x y += C ．2213620x y += D ．2213620x y +=或2212036x y += 4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－45．在等比数列{}n a 中，若34567243a a a a a =，则279a a 的值为（ ）A.9B.6C.3D.26.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y +=B ．2211612x y +=C ．22143x y += D ．22134x y += 7.已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）．A ．-5B ．-2C ．2D ．3． 8．下表给出一个“直角三角形数阵”： 14 12， 14 34， 38，316 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则83a 等于( ) A.18 B.14 C.12D ．19.设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ） A ． 8 B ．14C ． 1D ． 4 {}(),1.1089等于值时，取得最小正有最大值，那么当项和且它的前是等差数列，若数列n S S n a aa n n n -< A ．14B ．15C ．16D ．1711.已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数xm y )49(-=是增函数。
河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1
(1)求 的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点 满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形 中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是
A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]
C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7
高二年级(理科)数学上册期中试卷及答案
高二年级(理科)数学上册期中试卷及答案一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知（）A．B．C．D．2.若，则和是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分有必要条件3.（）A．B.C.D.4.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为()A．4B.7C．22D．235.则大小关系是（）ABCD6.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE等于()ABCD7.关于的不等式的解集为（）A.（-1,1）B.C.D.(0,1)8..直线(t为参数)和圆交于A、B两点，则AB的中点坐标为()A．(3，－3)B．(－3，3)C．(3，－3)D．(3，－3)9.如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是()①∠1＝∠2＝∠3②AM•CN＝CM•BN③CM＝CD＝CN④△ACM∽△ABC∽△CBN．A．4B．3C．2D．110.已知非零向量满足：，若函数在上有极值，设向量的夹角为，则的取值范围为（）A．[B．C．D．11.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa ＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝()A．VS1＋S2＋S3＋S4B．2VS1＋S2＋S3＋S4C．3VS1＋S2＋S3＋S4D．4VS1＋S2＋S3＋S412.若实数满足则的取值范围是（）A.[-1,1]B.[C.[-1，D.二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在题中横线上）13.以的直角边为直径作圆，圆与斜边交于，过作圆的切线与交于，若，，则=_________14.已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为15.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是.16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求的导数，可先在两边取对数，得，再在两边分别对x求导数，得即为,即导数为。
高二上学期期中考试理科数学试卷Word版含答案
上学期期中考试高二理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•* 21.设集合U^ { x | x ::： 5 , N }, M = { x| x —5x 6 = 0}，则?U M=（）.A. {1，4}B. {1，5}C. {2，3}D. {3，4}2•某样开设A类选修课4门，B类选修课2门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为（）.A. 12B. 16 C . 18 D . 203. 已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面〉，：，有下列命题：① m//n, n :一侧m//:;②若I Irml且I _ m则I \:-③若I _ n, m _ n,则I //m④若x . W ：= m, n - , n _ m,贝V n I .工其中正确命题的个数为（）.A. 4 B . 3 C . 2 D . 14. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm）为（）.A . 48B . 64俯视图C. 80D . 1205. 如果函数f （x）=cos（wx •—）（w 0）的相邻两个零点之4间的距离为.，则，的值为（）6A . 3B . 6C . 12 D. 246 .阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（）.A . 0B . 1+ 2C . 1 + 了D. 2—14x - y T0 乞0,7.设实数x,y满足条件x-2y，8_0,，若目标函数ax by （a 0,b 0）的最大值x - 0, y - 0数的正整数的个数是f （x ）在 R 是单调函数；②函数 f （x ）的最小值是-2 ；③方程f （x ） = b 恒有两个不等实根;④对任意x ＜：0,x 2 ：0且为=x 2，恒有f （' 立）f （x 2）成立.其中正确结论 2 2的个数为（ ）.A . 1B . 2C. 3D . 4[来源:]、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
高二上学期数学(理)期中试题及答案
高二年级上学期期中试题数 学（理）（共100分, 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）1．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )A.94 B ．4 C.134 D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠04.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ． 充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线 x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ．5B ．4 C.1155 D.1156．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A3 B ．3或253 C.15 D.15或51538．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C. 75 D. 359. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是 ( )A. 5B.62 C ．233D. 210．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为 ( )A ．5 6 B.2534C ．20D ．1011．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2B ．2C ．(0,1)D ．1(0,)2昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ；15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →= ;16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF |＋1|BF |为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_____________________________________ ___________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF |＋1|BF |＝___________.三、解答题：（本大题共5小题，共52分）17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分10分）（1）求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程.(2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 19．（本小题满分10分）如图，已知点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小. 20．（本小题满分10分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2，BC =且侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD.（1）求证：PD AC ⊥；（2）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E —BD —A 的大小为45︒，若存在，试求AE AP的值，若不存在，请说明理由.1A21．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为224x y +=，过点M （2，4）作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T 的方程；（2）已知直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为0)y kx k =>，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值.昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）答案一、选择题：BADBC ABCCD DA 二、填空题：13. 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0 14.3215. －1316. 过椭圆的焦点F 的动直线交椭圆于A 、B 两点，则1|AF |＋1|BF |为定值 43三、解答题：17.解析：解|4x －3|≤1得12≤x ≤1.解q 得a ≤x ≤a ＋1.由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q p .∴[12，1][a ，a ＋1]． ∴a ≤12且a ＋1≥1，得0≤a ≤12.18.（1）212y x =或212y x =-（2）221214x y -=19. 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>， 可得2m =2⎛ （Ⅰ）因为cos DH CC '<>=，所以45DH CC '<>=，（Ⅱ）平面AA D D ''w w因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，．可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．20．解析： 取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABC D ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H－xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D CP -- （I ）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-,∴(1(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC⊥，即PD⊥AC ． ………．．6分（II ） 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP (01)λ<<，则点E 的坐标为(1)λ-， ………．．8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-= 设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x yz x y z λ⎧-+⋅+=⎪⇒⎨++⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 不妨取x =EBD 的一个法向量2(3,)n λλ-=--．又面ABD 的法向量可以是HP =（0,0, ， 要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(3,HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．21．解析：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x （Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k kx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-==1=≤当且仅当k=时取等号，则OPQ∆面积的最大值为1．。
高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．双曲线的焦距为（）A．3 B．4 C．3 D．43．抛物线y=的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣C．y=﹣1 D．y=﹣4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞05．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A． B．﹣4 C．4 D．6．已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（）A．（2，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）7．与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．B．C．D．8．AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（）A． B． C．D．10．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1 D．211．设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则+的值为（）A．B．1 C．2 D．412．双曲线的虚轴长为4，离心率e=分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交与A、B两点，且|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，则|BF1|等于（）A．B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，则此双曲线的标准方程．14．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．15．点P在椭圆+=1上，点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离为．16．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆．命题q：双曲线的离心率e∈（2，3）．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值．19．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，F1，F2为双曲线的两个焦点．（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点P，满足∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．20．平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．21．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|﹣|FP|cos2α为定值，并求此定值．22．（文科）点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=﹣ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且（其中O为坐标原点），求m的值．2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】探究型．【分析】先化简集合B，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式之间的关系进行判断即可．2．双曲线的焦距为（）A．3 B．4 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】本题比较简明，需要注意的是容易将双曲线中三个量a，b，c的关系与椭圆混淆，而错选B【解答】解析：由双曲线方程得a2=10，b2=2，∴c2=12，于是，故选D．【点评】本题高考考点是双曲线的标准方程及几何性质，在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高．3．抛物线y=的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣C．y=﹣1 D．y=﹣【考点】梅涅劳斯定理；抛物线的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由条件利用抛物线的性质、标准方程，求得抛物线y=的准线方程．【解答】解：抛物线y=的标准方程，即 x2=4y，故它的准线方程为y=﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的性质、标准方程的应用，属于基础题．4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．5．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A． B．﹣4 C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选A．【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m＜0．6．已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（）A．（2，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．7．与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得．【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握．8．AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】先设出A，B的坐标，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p求得x1+x2的值，进而求得AB的中点的横坐标．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4，∴=，故选C【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（）A． B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件结合正方形的性质，得到a，b，c的关系，即可得到结论．【解答】解：设椭圆的方程为，∵A，B是短轴上的两个三等分点，∴|AB|=，|EF|=2c，∵椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，∴正方形的对角线满足|AB|=|EF|，即=2c，则b=3c，则a2=b2+c2=9c2+c2=10c2，即a=c，则离心率e=，故选：A．【点评】本题主要考查椭圆离心率的计算，根据条件求出a，c的关系是解决本题的关键．10．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（法一）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解（法二）M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），联立方程．，利用方程的根与系数的关系可求x1+x2，进而可求y1+y2=2﹣（x1+x2），由中点坐标公式可得，，，由题意可知，从而可求【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），∴①，k MN=②，由AB 的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0由M，N在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0③，把①②代入③可得m（x1﹣x2）•2x0﹣n（x1﹣x2）•2y0=0③，整理可得故选A（法二）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）联立方程可得（m+n）x2﹣2nx++n﹣1=0∴x1+x2=，y1+y2=2﹣（x1+x2）=由中点坐标公式可得， =， =∵M与坐标原点的直线的斜率为∴=故选A【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用11．设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则+的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题．【分析】椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1=m，PF2=n，m ＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m﹣n=2a2，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果．【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1=m，PF2=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1m﹣n=2a2解得m=a1+a2，n=a1﹣a2又PF1⊥PF2，由勾股定理得PF12+PF22=F1F22（a1+a2）2+（a1﹣a2）2=（2c）2化简可得a12+a22=2c2+=2故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题．12．双曲线的虚轴长为4，离心率e=分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交与A、B两点，且|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，则|BF1|等于（）A．B．C．D．8【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意及双曲线的方程知双曲线的虚轴长为4，即2b=4，利用离心率的知求解出a的值，再利用|AF1|，|AF2|的等差中项，得到|AB|，即可求出|BF1|．【解答】解：由题意可知2b=4，e==，于是a=2，∵|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，∴2|AB|=|AF1|+|AF2|，∵2|AF1|+2|BF1|=|AF1|+|AF2|，∴2|BF1|=|AF2|﹣|AF1|=2a=2，∴|BF1|=2．故选：C．【点评】此题重点考查了双曲线方程的虚轴的概念及离心率的概念，还考查了利用双曲线的第一定义求解出|AB|的大小．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，则此双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线方程为=λ，（λ≠0），利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，（λ≠0）把点代入，得：，解得λ=1．∴此双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．14．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为+1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=2p，∴A（p，2p），∵点A在双曲线上，∴﹣=1，∵p=c，b2=c2﹣a2，∴﹣=1，化简得：c4﹣6c2a2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∵e2＞1，∴e2=3+2∴e=+1．【点评】本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．15．点P在椭圆+=1上，点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离为；．【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x﹣4y=24的d的表达式，再根据余弦函数的值域求得它的最值．【解答】解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x﹣4y=24的d==，当时，d取得最大值为，当时，最小值为．故答案为：；．【点评】本题主要考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式的应用，余弦函数的值域，属于中档题．16．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆．命题q：双曲线的离心率e∈（2，3）．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的定义；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜5、．由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．【解答】解：若p为真，则，得到0＜m＜5；若q为真，则，即4a2＜a2+b2＜9a2，得到3a2＜b2＜8a2，于是6＜3m＜16，可得，．由由题p∨q为真，p∧q为假，可知p真q假，或p假q真．p真q假时，，得到0＜m≤2；p假q真时，，得到；综上所述，实数m的取值范围为．【点评】解决错啦问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可．18．已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3．由此能得到点A的坐标．（2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x整理得x2﹣6x+1=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=6．由抛物线的定义可知线段AB的长．【解答】解：由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3．代入y2=4x，解得y1=．∴点A的坐标为（3，2）或（3，﹣2）．（2）斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．再设B（x2，y2），则x1+x2=2+．∴|AB|=x1+x2+2=4+＞4．斜率不存在时，|AB|=4，∴线段AB的长的最小值为4．【点评】本题考查了抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题．19．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，F1，F2为双曲线的两个焦点．（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点P，满足∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】规律型；数形结合；转化思想；解题方法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用双曲线的离心率，以及虚轴长，求解a，b，得到双曲线的方程．（2）利用双曲线的简单性质以及定义，结合余弦定理三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵2b=2∴b=1又=∴，∴a2=4，∴双曲线的方程为．（2）由双曲线方程可知，∴，由双曲线定义有||PF1|﹣|PF2||=4两边平方得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①由余弦定理，有，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①②可得|PF1||PF2|=20﹣16=4，∴．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得+=1，故曲线E的方程为： +=1（x≠±2）．（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y2﹣2my﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），所以y1+y2=，y1y2=﹣．（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（﹣）+m•+1=0，所以AC⊥AD．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|﹣|FP|cos2α为定值，并求此定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的标准方程，可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论．【解答】（1）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4因此焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2；（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴同理记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|﹣|AE|=|FA|﹣==∴|FP|==∴|FP|﹣|FP|cos2α=（1﹣cos2α）=8．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（文科）点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=﹣ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且（其中O为坐标原点），求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题．【分析】（1）由题意点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P 为线段MD的中点，可得点M的坐标与点P的坐标的关系，用中点P的坐标表示出点M的坐标，然后再代入圆的方程求出点P的轨迹方程（2）由点P的轨迹是椭圆x2+4y2=4，知．由直线l：y=﹣x+m与曲线C：x2+4y2=4有两个不同的交点A与B，知有两个解，所以﹣2＜m＜2．设A（x1，y1），B（x 2，y2），，x1x2=m2﹣1，由，知x1x2+y1y2=2，由此能求出m．【解答】解：（1）由题意，令P（x，y），则由中点坐标公式知：D（x，0），M（x，2y），∵点M是圆x2+y2=4上的一个动点，∴点P的轨迹方程为x2+4y2=4．（2）由（1）点P的轨迹是椭圆x2+4y2=4，∴．∵直线l：y=﹣x+m与曲线C：x2+4y2=4有两个不同的交点A与B，∴⇒有两个解，∴△=﹣m2+4＞0，∴﹣2＜m＜2．设A（x 1，y1），B（x2，y2），，x1x2=m2﹣1，∵（其中O为坐标原点），∴x1x2+y1y2=2，∴5m2=7，∴．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，解答本题关键点有二，一是熟练掌握代入法求轨迹方程，二是合理进行等价转化．本题考查了推理判断的能力及代入法求轨迹方程技巧．。
高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
上学期段考 高二年级数学理科试题第I 卷一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） A.(),0x ∃∈-∞，30x x +<B.(),0x ∀∈-∞，30x x +≥C.[)00,∃∈+∞x ，2000+<x xD.[)00,∃∈+∞x ，2000x x +≥2．下面属于相关关系的是（ ）A.气温和冷饮销量之间的关系B.速度一定时，位移和时间的关系C.亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系D.正方体的体积和棱长的关系 3．高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶图如右图，则下列说法错误的是（ ）A ．甲的得分的中位数为101B ．乙的得分的众数为105C ．乙得分的极差为21D ．甲的数学成绩更稳定 4．阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的k 是（ ） A.5 B.6C.7D.85. 命题p ：0x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈x <，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧⌝6．如图，是线段上一点，分别以直径作半圆，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A. B . C . D . 7．设R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的()（第4题）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（ ） A ．16 B ．18 C ．19D ．1109. 方程(22220x y +-=表示的曲线是（ ）A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线C.一个椭圆D.一条直线10．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y ++-= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y -++= 11．已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
高二数学上(理)期中试题及答案
上学期高二年级数学学科（理科）期中考试试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）方程322x xy x +=所表示的曲线是(A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆（2）两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则a 的值是 (A)5- (B)1 (C) 1 或3- (D) 0 或 3- （3）已知点),(y x P 在圆22(2)1x y -+=上运动，则代数式yx的最大值是 (A)33 (B)－33(D)（4）圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C) 外切 (D) 内切（5）已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为(A) 12-(B) 0 (C) 1 (D) 12（6）若直线kx y =与圆1)2(22=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为(A) 21-=k ，4=b (B) 21=k ， 4-=b (C) 21=k ，4=b (D) 21-=k ， 4-=b（7）已知直线l 经过点M (2，3)，当圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长时，直线l的方程为(A) x －2y ＋4＝0 (B) 3x ＋4y －18＝0(C) y ＋3＝0 (D) x －2＝0（8）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为 12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A) x 24＋y 2＝1(B) x 216＋y 212＝1 (C) x 24＋y 23＝1 ((D) x 216＋y 24＝1（9） 已知椭圆:C 2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为 (A)23 (B) 21(C)233 (D)415（10）在三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ,点E 是侧面11CC BB 的中心，若13AA AB =,则直线AE 与平面11CC BB 所成角的大小为 (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D) 90︒（11）椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） (A)3 (B)11(C) 10 (D) 22（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），椭圆C 的离心率(A)12(B)13(C)23二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高二数学(理)上学期期中试题及答案
学业水平测试数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1.抛物线y x 42=的准线方程为（ ）A 1=yB 1=xC 1-=yD 1-=x 2.下列方程中表示相同曲线的是（ ） A x y =；1=xyB x y 2=；22x y =C ||||x y = ；x y = D ||||x y =；22x y =3.已知椭圆的焦点为)0,1(-和)0,1(；点)0,2(P 在椭圆上；则椭圆的标准方程为（ ）A 1422=+y xB 13422=+y xC 1422=+x y D 13422=+x y 4.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25；则C 的渐近线方程为（ ）A x y 4±=B x y 41±= C x y 2±= D x y 21±= 5.与圆122=+y x 及圆012822=+-+x y x 都外切的圆的圆心在（ ）A 一个椭圆上B 双曲线的一支上C 一条抛物线D 一个圆上6.点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上；且C 的焦距为4；则它的离心率为A 2B 4C 2D 37.已知F 是抛物线x y 22=的焦点；B A ,是该抛物线上的两点；且4||||=+BF AF ；则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为（ ）A 1B 2C 3D 4 8．过点)2,0(且与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有（ ）A 1条B 2条C 3条D 无数条9．设21,F F 是双曲线1822=-y x 的两个焦点；点P 在双曲线上；且o PF F 9021=∠；则点P 到x 轴的距离为（ ）1710．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（ ）①曲线191622=+y x 与曲线)9(191622<=-+-k ky k x 有相同的焦点； ②方程22310x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作动直线l 与椭圆交于B A ,两点；1F 是椭圆的左焦点；则B AF 1∆的周长不为定值。
2023-2024学年安徽巢湖四中高二上学期期中考试(理科)(数学)+答案解析(附后)
2023-2024()一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系下，点关于y轴对称的点的坐标为()A.B.C.D.(2,-6,-12.若椭圆的一个焦点为，则p的值为()A.5B.4C.3D.23.将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是()A. B. C. D.4.已知实数x，y满足，则x的最大值是()A.3B.2C.D.-25.已知直线，若圆上存在两点P，Q关于直线l对称，则m 的值为()A. B. C. D.56.已知直线：与直线：平行，则()A.3或B.C.3D.27.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h 为()A.2B.3C.4D.58.过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则()A.1B.C.D.9.已知直线：，若，则的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.10.在正方体中，棱BC，的中点分别为E，F，则直线EF与所成角的正弦值为()A.B.C.D.11.已知圆O：，直线l：与圆O没有公共点，斜率为k 的直线与直线l垂直，则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C形成的弦长为，且椭圆C上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为()A.4B.C.8D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设空间向量，且，则.14.设圆：，圆：，则，有条公切线.15.设，是椭圆C：的面积为的左、右焦点，点P在C上，O是坐标原点，且,则16.在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当取最小值时，活动弹子M到直线BF的距离为.三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
高二上学期期中考试数学(理)试题(含答案)
——上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科）命题学校：北镇高中 命题人 ：才忠勇 校对人：杨柳第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{012}A =，，，2{20}B x x x =+-，则A B =（ ）A.{0}B.{01}， C.{12}， D.{012}，， 2.下列说法正确的是（ ） A.命题“21”是假命题B.命题“x∀R ，210x +>”的否定是“0x ∃R ，2010x +<”C.命题“若22ab>，则a b >”的否命题“若22ab>，则a b ”D.“1x >”是“2x >”的必要不充分条件3.如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是（ ） A. 0a b -> B. ac bc < C. 22a b > D.11a b< 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =（ ） A. 16 B.19 C. 22 D.255.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A.8B.16C.32D.646.已知1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为3π，那么4-a b 等于（ ） 第5题图侧视图俯视图正视图A. 2B.6C.7.如图所示的程序框图运行的结果为（ ） A.1022 B.1024 C.2044 D.20488.已知实数x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ） A.-12 B.25C.4D.69.中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为（ ） A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 10.若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ，(0)b +∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A.(20)-，B.(42)-，C.(2)(0)-∞-+∞，， D.(4)(2)-∞-+∞，， 11.等差数列{}n a 中，11101<-a a ，若其前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的最大自然数n 第6题第7题图的值为（ ）A.19B.20C.9D.1012.若关于x 的不等式220x mx +->在区间[12]，上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A. ，[1+∞) B. ，(1+∞) C. ，[-1+∞) D. ，(-1+∞) 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分.） 13.不等式2111x x +-的解集为 ___________.14.若命题“0x ∃R ，02223x a a --”是假命题，则实数a 的取值范围为___________.15.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则43x y +的最小值为___________.16.设数列{}n a 23n n =+…，则12231n a a a n +++=+…______.三、解答题 （本题共6小题，共70分.） 17．（本小题满分10分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，命题:q 实数x 满足31x -<. （Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知锐角ABC △，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 2sin c A =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC △a b +的值.19．（本小题满分12分） 已知方程2(3)0x m x m +-+=.（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若此方程有两个实根均在(02)，，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分12分） 已知正项等比数列{}n a ，112a =，2a 与4a 的等比中项为18. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S .证明：对任意的*n N ，都有2n S <.21．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2320ax x -+>（aR ）.（Ⅰ）若关于x 的不等式2320ax x -+>（a R ）的解集为{1}x x x b <>或，求a ，b的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式2325ax x ax -+>-（a R ）.22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S 与n a 之间满足2221nn n S a S =-*(2)n nN ，，（Ⅰ）求证：数列1{}nS 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设存在正整数k ，使12(1)(1)(1)21n S S S k n ++++…*n N 都成立，求k 的最大值.2017——2018学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科） 参考答案与评分标准一、选择题二、填空题 13. {21}x x -< 14. [12]，15. 5 16. 226n n + 三、解答题17.（本小题满分10分）解：由题，若q 为真，则24x <<.……………………………………………………………2分（Ⅰ）当1a =时，若p 为真，则13x <<，…………………………………………………4分故x 的取值范围为(23)，.…………………………………………………………………………5分（Ⅱ）当0a >时，若p 为真，则3a x a <<，…………………………………………………6分因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，………………………………………………………………8分 于是，234a a ⎧⎨⎩，即423a ，故实数a 的取值范围4[2]3，.……………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）解：2sin sin A C A =， (2)分 因为(0)A π，，所以sin 0A ≠，于是，sin 2C =，………………………………………4分又因为锐角ABC △，所以(0)2C π，，…………………………………………………………5分 解得3C π= (6)分（Ⅱ）因为1sin 2ABC S ab C =△， (7)分所以42ab =，解得6ab =，………………………………………………………………9分由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，……………………………………………………10分即27()2(1cos )a b ab C =+-+，………………………………………………………………11分解得5a b +=.…………………………………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：设2()(3)f x x m x m =+-+.…………………………………………………………………1分（Ⅰ）由题，2302(3)40(0)0m m mf m -⎧->⎪⎪⎪∆=--⎨⎪⎪=>⎪⎩， (4)分即3190m m m m <⎧⎪⎨⎪>⎩或，解得01m <故m 的取值范围为(01]，.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题，23022(3)40(0)0(2)320m m mf m f m -⎧<-<⎪⎪⎪∆=--⎨⎪=>⎪=->⎪⎩， (10)分即1319023m m m m m -<<⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩或，解得213m <，故m 的取值范围为2(1]3，.………………………………………………………………12分（注：其他解法请酌情给分.） 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为正项等比数列{}n a ，所以0n a >，设公比为q ，则0q >.……………………1分又因为2a 与4a 的等比中项为18，所以318a =，………………………………………………2分 即2118a q =，由112a =，得12q =，……………………………………………………………3分于是，数列{}n a 的通项公式为12n na =.………………………………………………………4分（Ⅱ）由题可知，2n n nb =，…………………………………………………………………5分于是，231232222n n nS =++++…——① 2341112322222n n nS +=++++…——②……………………………………………………6分 由①-②，得23411111112222222n n n nS +=+++++-……………………………………………8分 111(1)221212n n n +-=-- 11122n n n+=-- (10)分解得222n n n S +=-，……………………………………………………………………………11分故2n S <.………………………………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题，方程2320ax x -+=的两根分别为11x =，2x b =，于是，9803121a b a b a ⎧∆=->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩⋅，……………………………………………………………………3分解得1a =，2b =.…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）原不等式等价于2(3)30ax a x +-->，等价于(1)(3)0x ax +->，……………5分 （1）当0a =时，原不等式的解集为{1}x x <-；……………………………………6分 （2）当0a ≠时，11x =-，23x a=，……………………………………………………7分 ①当31a>-，即3a <-或0a >时，……………………………………………………8分（ⅰ）当0a >时，原不等式的解集为3{1}x x x a<->或；…………………………9分 （ⅱ）当3a <-时，原不等式的解集为3{1}x x a-<<；……………………………10分②当31a =-，即3a =-时，原不等式的解集为x ∅.…………………………11分 ③当31a <-，即30a -<<时，原不等式的解集为3{1}x x a<<-.……………12分22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为21221nn n n n S a S S S -==--*(2)nnN ，，………………………………………1分故212()(21)n n n n S S S S -=--，所以1120n n n n S S S S ---+=，……………………………………………………………………2分由题，0n S ≠，两边同时除以1n n S S -⋅，得11120n nS S --+=， 故1112n n S S --=*(2)n nN ，，………………………………………………………………3分 故数列1{}nS 是公差为2的等差数列.…………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，……………………………………………5分 所以121n S n =-*()n N ，11122123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=-=----*(2)nnN ，，……………………………6分又11a =，不满足上式，………………………………………………………………………7分第11页 共11页 故*112(2)(21)(23)n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪--⎩N ，，，.………………………………………………………8分 （Ⅲ）原不等式等价于11(11)(1)(1)21321k n n ++++-…*n N 都成立，即11(11)(1)(1)k +++…，…………………………………………………………9分 令11(11)(1)(1)()f n +++=…， 于是，(1)1()f n f n +=>，即(1)()f n f n +>，……………………………10分所以()f n 在*n N 上单调递增，故min ()(1)3f n f ===，………………………11分因为k 为正整数，所以k 的最大值为1.………………………………………………12分。
河南省高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题 1．不等式的解集是（ ） 2062x x+≥-A ． B ．或 {|23}x x -≤<{|2x x ≤-3}x ≥C ． D ．或{|23}x x -≤≤{|2x x ≤-3}x >【答案】A【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式化简即可.【详解】解：由题意可得，所以，解得.203x x +≥-(2)(3)030x x x +-≥⎧⎨-≠⎩23x -≤<故选：A.2．在中，已知，，则的面积为（ ） ABC A 3a =c =60C =︒ABC AA B C D 【答案】B【分析】先用余弦定理求得b ，然后由三角形面积公式计算．【详解】因为中，已知，， ABC A 3a =c 60C =︒所以，由余弦定理得，2222323cos 60320b b b b =+-⨯︒⇒-+=解得或2， 1b =所以的面积或 ABC A 1sin 2S ab C ==1132⨯⨯=1232S =⨯⨯=故选：B.3．已知数列为等差数列，为数列的前项和，，则等于{}n a n S {}n a n 2345625a a a a a ++++=7S （ ） A ．5 B ．15C ．30D ．35【答案】D【解析】根据等差数列的性质，由已知可求得，再由等差数列性质求得． 4a 7S 【详解】因为为等差数列，，得，所以{}n a 234564525a a a a a a ++++==45a =.()177477352a a S a +===故选：D ．4．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）22124x y m m+=--y mA ．B ．C ．D ．()3,4()2,3()()2,33,4 ()2,4【答案】B【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆，22124x y m m+=--y 所以有，解得，20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<所以实数的取值范围为， m 23m <<故选：B.5．已知、、、为实数，则下列命题中正确的是（ ） a b c d A ．若且，则 a b <0ab ≠11a b>B ．若且，则 22a bc c<0c ≠a b >C ．若，，则 22a b <22c d <2222a c b d -<-D ．若，，则 22a b <22c d <2222a c b d <【答案】D【解析】利用特殊值法可判断AC 选项的正误；利用不等式的基本性质可判断BD 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取，，则满足，但此时，A选项错误； 1a =-1b =a b <11a b<对于B 选项，由于且，所以，所以B 选项错误； 22a b c c<20c >ab <对于C 选项，取，，成立，但是，所以C a c ==b d ==22a b <22c d <2222a c b d -=-选项错误；对于D 选项，当、中至少有一个为零时，则，此时； a c 220b d >22220a c b d =<当且时，，，有，故D 选项正确. 0a ≠0c ≠220b a >>220d c >>2222b d a c >故选：D. 6．函数的最小值为（ ） 19()(1)41f x x x x =+>-A ．B ．C ．D ．13437294【答案】A【解析】凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以，所以1x >10x ->9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=--…， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 1941x x -=-7x =()f x 134故选：A ．7．等比数列的前项和为，则（ ） {}n a n 1053,310,3n S S S S +==42a a +=A ．-10 B ．-16C ．-22D ．-8【答案】A【解析】首先利用等比数列的前项和，求公比和首项，再求.n 42,a a 【详解】根据题意，等比数列中，若，则，由，则{}n a 105310S S +=1q ≠±105310S S +=，得，解得，又由，则有()1011311a q q-+⨯-()51101a q q-=-532q=-2q =-33S =3131(1)331a q S a q-===-，解得，所以，有.11a =41a =32(2)8,1(2)2a ⨯-=-=⨯-=-42(8)(2)10a a +=-+-=-故选：A8．已知抛物线为坐标原点，点为抛物线上的一点，且点在轴的上方，2:2(0),C y px p O =>P P x 若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（ ） OP ()2,0Q p OP A ．1 B ．2C ．D ．1232【答案】A【分析】设出点的坐标，写出的线段所在直线的解析式，进而求出线段垂直平分线所在P OP OP 直线的解析式，通过线段的垂直平分线过点，得到点的横坐标与的关系，即可求OP ()2,0Q p P p 出直线的斜率.OP 【详解】解：由题意设，则，线段的中点为(0P x:OP l y x =OP 02x A ⎛⎝∴线段的垂直平分线为：OP :AQ l y x =+∵线段的垂直平分线过点OP ()2,0Q p ∴20p +=解得：02x p =∴直线OP 1==故选：A.9．已知数列的前n 项和为，，对任意的都有，则（ ） {}n a n S 112a =*n ∈N 1(2)n n na n a +=+2021S =A ．B ．C ．D ．20192020202020212021202210101011【答案】C【解析】由，可得，数列为常数列，令1(2)n n na n a +=+1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++{}(1)n n n a +1n =，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.1(1)21n n n a a +==1(1)n a n n =+【详解】数列满足，对任意的都有， {}n a 112a =*n ∈N 1(2)n n na n a +=+则有，可得数列为常数列， 1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++{}(1)n n n a +有，得，得，1(1)2n n n a a +=(1)1n n n a +=1(1)n a n n =+又由，111(1)1n a n n n n ==-++所以．20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常{}n a n 数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法n （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；n （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如n 类型，可采用两项合并求解.()()1nn a f n =-10．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角ABC A A B C a b c ()sin sin sin c C a Ab a B =+-的角平分线交于点，且，则的值为（ ）C ABD CD =3a b =cA ．B C ． D ．723【答案】B【解析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出C ABC ACD BCD S S S =+△△△，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.ab a b =+3a b =a b c 【详解】，由正弦定理可得，可得()sin sin sin c C a A b a B =+- ()22c a b a b =+-222a b c ab+-=，由余弦定理可得：，，所以，2221cos 22a b c C ab +-==0C π<< 3C π=由，有，得，ABC ACD BCD S S S =+△△△111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅ab a b =+所以，，，， 234b b =0b > 43b ∴=34a b ==由余弦定理可得. c ==故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.11．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，若1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=>>P ，，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为（ ）122PF PF =121cos 0,4F PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A ．3B ．2C D【答案】B【分析】根据双曲线定理得到，，由余弦定理得到，结合22PF a =14PF a =21225cos 44c F PF a∠=-求出，得到双曲线经过一、三象限的渐近线的121cos 0,4PF PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦2245c a ≤≤2b a ≤≤斜率最大值.【详解】设，∴． 2PF m =12PF m =由题知， 22m m a -=∴，2m a =故，，22PF a =14PF a =∴由余弦定理得．222222221112221222241642045cos 22241644F P F P F F a a c a c c F PF F P F P a a a a+-+--∠==-⨯⨯⋅==∵，121cos 0,4PF PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦解得，2245c a≤≤所以，2234b a≤≤2b a ≤≤∵双曲线经过一、三象限的渐近线为， by x a=∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为2． 故选：B.12．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，M N 22143x y +=A B 设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（ ） 1k2k MA NB 12114k k +AB CD 【答案】A【分析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐M N 1k 2k 12114kk +M 标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，22143x y +=A (0,B 设则，则，(,)M m n (,)N m n -1k=2k =22143mn +=114k令它对应直线k =330mkn +-=330kx y +-=由整理得22330143kx y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩22(912)640k x +-+=由判别式解得()22464(912)0k ∆=--⨯+≥k ≥，则的最小值为12114k k +故选 ：A二、填空题13．命题“，”的否定是___________.00x ∃>20002ln x x x -<【答案】，.0x ∀>22ln x x x -…【解析】根据特称命题的否定形式书写即可.【详解】命题“，”为特称命题，则其否定为：，.为全称命00x ∃>20002ln x x x -<0x ∀>22ln x x x -…题.故答案为：，.0x ∀>22ln x x x -…14．若满足约束条件，则的最小值为___________.,x y 2202202320x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………3z x y =-【答案】4-【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得ABC A :30l x y -=2202320x y x y -+=⎧⎨--=⎩，(2,2)B --由得，是直线的纵截距的相反数，向上平移时，减小， 3z x y =-3y x z =-z 3x z =-z ∴向上平移直线，减小，当过时，． l z l (2,2)B --min 3(2)(2)4z =⨯---=-故答案为：．4-三、双空题15．已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线2:4C y x =l P P l 的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________.50x y -+=P【答案】()32-【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线P l P F F 的距离，从而能求出直线，与抛物线联立可求点的坐标.50x y -+=FP 2:4C y x =P 【详解】设过点分别向和作垂线，垂足分别为， P l 50x y -+=12,P P 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 2:4C y x =()1,0F 1PP PF =所以只需要求最小即可.2PF PP +当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即2,,F P P 2PF PP +F 50x y -+=此时直线与垂直，所以，所以直线为： 50x y -+=FP 1FP k =-FP ()1y x =--直线与抛物线联立得，即，且 FP 2:4C y x =()214x x -=2610x x -+=01x <<所以，故点 32x y =-=P ()32-答案为：()32-四、填空题16．数列满足，则的最大值为___________.{}n a ()*310128,29,2n n n a a a a a n ++=+≤=∈N 6a 【答案】17【解析】根据可得，，再由，122n n n a a a ++≤+()106764a a a a -≥-()63653a a a a -≤-7665a a a a ≥--可得，由等差数列的通项公式即可求解. 617a ≤【详解】由， 122n n n a a a ++≤+得121,n n n n a a a a +++--≤有， ()()()()106109887769a a a a a a a a a a -=-+-+-+-()764a a ≥-有；又由， ()7661294a a a ≤--()()()()63655443653a a a a a a a a a a -=-+-+-≤-有；再由，有，得，6a -()56183a a -≥7665a a a a ≥--()()661129843a a -≥-617a ≤当时，数列为等差数列，122n n n a a a ++=+{}n a 由和，可得，此时，， 38a =1029a =3d =63383317a a d =+=+⨯=故的最大值为. 6a 17故答案为：17【点睛】关键点点睛：本题考查了数列递推关系式，解题的关键是根据，得出122n n n a a a ++≤+，，求出，同时考查了等差数列的通项公式的应用.()106764a a a a -≥-()63653a a a a -≤-617a ≤五、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos 2c B a b =+（1）求；C（2）若为线段上一点，且，求的长. 3,c a ==D AB CD AC ⊥CD 【答案】（1）；（2）. 23C π=1【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合2cos 2c B a b =+2sin cos 2sin sin C B A B =+，化简整理可得，从而可求出，进而可求sin sin[()]A B C π=-+2sin cos sin 0B C B +=1cos 2C =-出角的值；C（2）在中利用余弦定理可求出，而ABC A AC =a b ==30A ︒=CD AC ⊥，所以 1CD AC ===【详解】解：（1）根据正弦定理得， 2sin cos 2sin[()]sin C B B C B π=-++整理得2sin cos sin 0B C B +=因为，所以，又，可得 sin 0B ≠1cos 2C =-(0,)C π∈23C π=（2）在中，由余弦定理得：ABC A 2932cos b b C =+-⨯将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即260b -=b =b =-AC =在中，可知，有， ABC A a b =30A ︒=因为， CD AC ⊥所以. tan 301CD AC AC =︒===18．已知：方程有两个不等的负实根，：函数的定义p 210x mx ++=q 23log 44(2)1y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦域为R ．(1)若为真，求的取值范围；p q ∨m (2)若和有且只有一个为真，求的取值范围． p q m 【答案】(1) (1,)m ∈+∞(2) (1,2][3,)m ∈+∞【分析】（1）根据方程有两个不等的负实根，得到不等式组，求出为真时，再根据对数函数p m>2的定义域为R 求出，求出均为假命题时的取值范围，进而得到为真的取值范13m <<,p q m p q ∨围；（2）考虑真假和假真两种情况下的的取值范围，进而得到答案.p q p q m 【详解】（1）若为真，则，解得：，p 24002m m ⎧->⎪⎨-<⎪⎩m>2若为真，则恒成立， q 244(2)10x m x +-+>则，解得：，216(2)160m ∆=--<13m <<先考虑均为假命题时，与取交集得：， ,p q (][),13,-∞⋃+∞(],2-∞(],1-∞则若为真，则和至少有一个为真，则； p q ∨p q (1,)m ∈+∞（2）真假：与或取交集得：，p q m>21m £3m ≥3m ≥假真：，p q 21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩综上：．(1,2][3,)m ∈+∞ 19．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线xOy 2:2(0)C y px p =>F F l C相交于两点，且. ,A B 3OA OB ⋅=-(1)求的值；p (2)若以线段为直径的圆与直线相切，求直线的方程. AB 4x =l 【答案】(1)2(2)或. 22y x =-22y x =-+【分析】（1）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立抛物线方程,A B ()()1122,,,x y x y l 2pmy x =-得，已知，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出的值； 2220y pmy p --=3OA OB ⋅=-p （2）利用韦达定理求出弦长，已知以线段为直径的圆与直线相切，求出半径列得方AB AB 4x =程求解即可算出参数m 的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）设点的坐标分别为， ,A B ()()1122,,,x y x y 由点的坐标为，设直线的方程为，F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p my x =-联立方程，消去后整理得，222y px p my x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩x 2220y pmy p --=所以，，. 122y y pm +=212y y p =-2221212244y y p x x p ==又由，解得.22212123344p p OA OB x x y y p ⋅=+=-=-=- 2p =所以的值为2.p （2）由， ()21212124,242y y m x x m y y m +=+=++=+可得线段中点的坐标为，AB ()221,2m m +.212244AB x x m =++=+若以线段为直径的圆与直线相切， AB 4x =有，解得.()221442142m m +=+-12m =±所以直线的方程为，即或. l 112y x ±=-22y x =-22y x =-+20．设数列满足. {}n a ()*122222n n a a a n n +++=∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 2n n a =2332n nn T +=-【解析】（1）当时，与已知条件两式相减可得，再令，计2n ≥112211222n n a a a n --+++=- 2n n a =1n =算即可求解；1a （2）由（1）得，所以，再利用乘公比错位相见即可求和.2n n a =22211n n n n a --=【详解】（1）数列满足 {}n a 122222n na a a n +++= 当时， 2n ≥112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有，所以 12nn a =2n n a =当时，，上式也成立 1n =12a =所以 2n n a =（2）22211n nn n a --=则，211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2311111111111111131421221221231222222222212nn n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以. 2332n nn T +=-【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常{}n a n 数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法n （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；n （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如n 类型，可采用两项合并求解.()()1nn a f n =-21．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C (1)求双曲线的标准方程；C (2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于()0,1P l C ,A B （点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.,M N M N AM BN 【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.,a b C （2）设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断l出线段和共中点，从而证得线段与线段的长度始终相等. AB MN AM BN 【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为，2222:1x y C a b-=b y x a =-由渐近线方程的斜率为，有，可得.20x y +=12-12b a -=-2a b =将点代入双曲线的方程，有. ()1-C 22811a b -=联立方程，解得，222811a ba b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩故双曲线的标准方程为.C 2214x y -=（2）设点的坐标分别为， ,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y 线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为. AB D ()55,x y MN E ()66,x y 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，， l l 1y kx =+12k ≠±联立方程，得；联立方程，得. 112y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+112y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--所以可得. 6212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭联立方程，消去后整理得， 22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880kx kx -++=由解得， ()22264324132640k k k ∆=--=->k -<<12k ≠±由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以.l 1122k -<<所以，可得，所以， 122841kx x k +=--52441k x k =--56x x =所以线段和共中点，故有.AB MN AM BN =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P 为xOy 1M 2213y x +=2M 22193x y +=椭圆的上顶点，点A ，C 为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA 与椭圆1M 1M 1k 2M 交于另一点B ，斜率为的直线PC 与椭圆交于另一点D2k 2M(1)求的值；12k k (2)求的值.PA PC PBPD+【答案】(1)-3 (2) 109【分析】(1)设点的坐标为，则点的坐标为，且，A (),m n C (),m n --2213n m +=根据两点斜率公式求，由此可得的值；(2)分别联立直线与椭圆方程，求点12k k ，12k k AP 1M 2M A的横坐标和点的横坐标，由此可求，同理可求，再求的值.B PA PB PCPD PA PC PB PD +【详解】（1）设点的坐标为，可得点的坐标为，A (),m n C (),m n --由点在椭圆上有，可得，A 1M 2213n m +=2233n m -=点的坐标为，由 P (1k =2k ==有， 221222333nm k k m m--====-故的值为-3；12k k（2）直线的方程为AP 1y k x =联立方程消去可得，解得或A 的横坐{y =k 1x +3,x 2+y 23=1,y ()221130k x x ++=0x =x =标为.A x =联立方程消去可得，解得或，点的横坐1221,93y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y ()2211310k x x ++=0x =x =B 标为 B x =； ()21213133k k ++同理， ()()()22221211222221113313127273333993333PC k k k k PD k k k k ⎛⎫⨯-+ ⎪+++⎝⎭====⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得， ()()()()()()()()22222211111122222111119327103312710301093393939393k k k PAPCk k k PB PD k k k k k ++++++++=+====+++++故的值为.PA PC PB PD+109。