最新定积分及应用61887

定积分及应用61887

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第六章 定积分及其应用

习题6-1

1、利用定积分的定义计算下列定积分：

(1) ⎰-2

1 xdx ； 解：①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f ,

②取∆为]2,1[-的n 等分,此时有

]31,)1(31[],[1n

i n i x x i i i +--+-==∆-,n x i 3=∆=∆,.,,2,1n i =

③取i i i n

i x ∆∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[11

1∑∑∑===+-=+-=∆=∆n

i n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2

)1(932++-=n n n , ④2

3293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=∆=∞→→∆-⎰n n n S xdx n ξ.

(2) ⎰1

0 dx e x . 解：①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈,

②取∆为]1,0[的n 等分,此时有

],1[],[1n

i n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =

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③取i i i n

i x ∆∈==ξ,于是 ∑∑∑

=====∆=∆n i n i n i n i n

i i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n n

i n i n x e e e n e n S dx e 11

10||||1 0 1

11lim )1(lim ],[lim --==∆=∞→=∞→→∆∑⎰ξ 11lim )1(1

1

lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n .

2、利用定积分的几何意义,说明下列等式：

(1)121

0 =⎰xdx ； 解：因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1,

因此由定积分的几何意义知121

0 =⎰xdx . (2)411

0 2π=-⎰dx x ；

解：因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围

成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4

π,因此由定积分的几何意义知

4

11 0 2π=-⎰dx x .

(3)0sin =⎰-π

πxdx ；

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解：因x sin 为奇函数,那么由0=y ,x sin ,π≤≤x 0围成的面积为⎰π

0 sin xdx ,而由0=y ,x sin ,0≤≤-x π围成的面积为⎰-0 sin πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相反,因此0sin =⎰-π

πxdx . (4)⎰⎰=-2 0 2 2 cos 2cos π

ππxdx xdx . 解：因x cos 为偶函数,那么由0=y ,x cos ,20π

≤≤x 围成的面积为

⎰2 0 cos πxdx ,而由0=y ,x cos ,02≤≤-

x π围成的面积为⎰-0 2

cos πxdx ,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相同,因此⎰⎰=-2 0 2

2 cos 2cos πππxdx xdx .

3、讨论狄利克雷函数⎩

⎨⎧=. ,0, ,1)(为无理数为有理数x x x D 在区间]1,0[上的可积性. 解：取∆为]1,0[的n 等分,此时有

],1[],[1n

i n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i = 取i ξ为i ∆中的某个有理数,i η为i ∆中的某个无理数,于是 11)1()(],[111∑∑∑=====∆⋅=∆=∆n i n i i n i i i n

x x D S ξξ, 0)0()(],[11=∆⋅=∆=∆∑∑==n

i i n i i i x x D S ηη,

由于1],[lim =∆∞→ξS n ,0],[lim =∆∞

→ηS n ,于是)(x D 在]1,0[上的不可积.

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4、用定积分表示下列极限： (1) ∑=∞→+n i n i

n n 122lim ； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 211212211)(lim 1)(11lim lim dx x x f n n

i i n n n i i i n n i n n i n ξ. 其中：①]1,0[11)(2

C x x f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈, ②取∆为]1,0[的n 等分,此时有

],1[],[1n

i n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i = ③取i i i n

i x ∆∈==ξ,于是 n n

i x f S n i n n i i i 1)(11lim )(],[121∑∑=∞→=+=∆=∆ξξ, ④∑∑⎰=∞→=∞→+=+=+n i n n i n i n n n

n

i dx x 122121 0 2lim 1)(11lim 11. (2) ∑=∞→+n i n i n 1

1lim ； 解：⎰∑∑∑+=∆=+=+=∞→=∞→=∞→1 0 11111)(lim 111lim 1lim dx x x f n

n

i i n n i i i n n i n n i n ξ. 其中：①]1,0[11)(C x

x f ∈+=,]1,0[)(R x f ∈, ②取∆为]1,0[的n 等分,此时有

],1[],[1n

i n i x x i i i -==∆-, n x i 1=∆=∆,.,,2,1n i =