2.1.1指数与指数幂的运算 课件
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2.1.1 指数与指数幂的运算
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意 字母参数的取值范围,即确定 ������ ������������ 中a的正负,再结合n的奇偶性给 出正确结果.
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
人教A版高中数学必修一课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
课件 2.1.1 指数与指数幂的运算
（3）4 (3 )4 ； （4） (a b)2 (a b).
解：（1）3 (8)3 8;
（2） (10)2 10 10; （3）4 (3 )4 3 3;
注意符号
（4） (a b)2 a b a b (a b).
【提升总结】 根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇 次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化 简或求值.
解:
11
41
2
(a a 3 )2 (a 3 )2 a 3 .
利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
3
8 3
a
4b
4
(4)
9
a 2 4 b3
a b . 9 4
3 8
例2.化简下列各式(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
9
9 3 1
9 3
5
5
512 54
12 55 54 5.
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6
a2 a3
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
当n为奇数时，x n a ( a R ) 当n为偶数时，x n a ( a 0 ) 0的任何次方根都是0，记作 =0.
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
指数与指数幂的运算第1课时课件
课堂小结
回顾本节课都学习了哪些根式知识， 回顾本节课都学习了哪些根式知识，用 到了哪些方法，你有哪些收获? 到了哪些方法，你有哪些收获
课外作业 作业1 课本59页习题2.1 A组 作业1：课本59页习题2.1 A组：第1题 59页习题 作业2 同步导学练30-31页习题 作业2：同步导学练30-31页习题 30
=a分别有解吗 有几个解？ 分别有解吗？ x5=a分别有解吗？有几个解？ 3:一般地 一般地， 为奇数时，实数a 问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次 方根存在吗？有几个？ 方根存在吗？有几个？
4:设 为实常数，则关于x =a， 问题4:设a为实常数，则关于x的方程 x4=a， =a分别有解吗 有几个解？ 分别有解吗？ x6=a分别有解吗？有几个解？ 5:一般地 一般地， 为偶数时，实数a 问题5:一般地，当n为偶数时，实数a的n次 方根存在吗？有几个？ 方根存在吗？有几个？
4:如果 如果x 问题4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面 的说法，这里的x分别叫什么名称？ 的说法，这里的x分别叫什么名称？ 5:推广到一般情形 推广到一般情形， 问题5:推广到一般情形，a的n次方根是一个 什么概念？试给出其定义. 什么概念？试给出其定义. 一般地，如果x 那么x 一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 其中n 根，其中n＞1且n∈N.
6:我们把式子 叫做根式， 问题6:我们把式子 a(n∈ N, n >1) 叫做根式，
n
其中n叫做根指数， 叫做被开方数.那么， 其中n叫做根指数，a叫做被开方数.那么， 次方根用根式怎么分类表示？ a的n次方根用根式怎么分类表示？ 当n是奇数时，a的n次;0，则a的n次方根为 是偶数时, 0
知识探究（ 知识探究（二）：方根性质和根式概念 的立方根，16的 次方根，32的 问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次 方根， 32的 次方根， 方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 次方根， 方根分别是什么数？怎样表示？ 方根分别是什么数？怎样表示？
指数及指数幂的运算经典课件
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
01
解：
02
=100
=16
例3 化简(a>0,x>0,rQ):
01
思考1:我们知道 ＝1．414 21356…,
02
那么 的大小如何确定？
探究:无理数指数幂的意义
的过剩近似值
的过剩近似值
1.5
11.180 339 89
1.42
9.829 635 328
1.415
9.750 851 808
1.414 3
9.739 872 62
1.414 22
9.738 618 643
1.414 214
9.738 524 602
1.414 213 6
9.738 518 332
1.414 213 57
9.738 517 862
1.414 213 563
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的 次方根
5.若xn=a， 则 x 叫做 a 的n次方根
四
五
定义1:
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 表示
②当n为偶数时,
若a=0,则0的n次方根有1个,是0
若a<0,则a的n次方根不存在
若a>0,则a的n次方根有2个,
.
,
1
,
,
*
N
(2) (3) (4)
练习: 求下列各式的值:
知识点小结：
1、两个定义
2、两个公式：
①
当n为奇数时,
当n为偶数时,
②
定义1:
.
,
1
,
,
*
N
n
n
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
n n n n
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.1指数与指数幂的运算》课件
的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这 两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢
记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
n
m
an＝|a|＝ a (a≥0) . －a (a<0) 要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
n
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形
式，然后再利用根式运算的性质．
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－ 22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
二、地位作用
幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，
是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
三、学法指导
1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2) ＋ (2－a) ＋ (2－a)3的值．
2
2
3
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值． 5 4 4 5 2 (1) (－3) ； (2) (－3) ； (3) (π－4)2； (4) (a－b)2.
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢
记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
n
m
an＝|a|＝ a (a≥0) . －a (a<0) 要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
n
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形
式，然后再利用根式运算的性质．
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－ 22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
二、地位作用
幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，
是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
三、学法指导
1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2) ＋ (2－a) ＋ (2－a)3的值．
2
2
3
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值． 5 4 4 5 2 (1) (－3) ； (2) (－3) ； (3) (π－4)2； (4) (a－b)2.
高一数学必修一课件2.1.1-指数与指数幂的运算
无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
(4) (a b)2 |a-b| =a-b(a>b)
第十九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
课堂练习：判断题
5
1 5 2 2 (对); 2 4 (-2)4 2 (错);
4
3 4 2 2
(对); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第十页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4
3 2 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
பைடு நூலகம்
第十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
第二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为
第1年，那么：
1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 （1+7.3℅）倍；
2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的
（1+7.3℅）2倍；
3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
观察归纳 形成概念
?4 16 ?5 32
2 称为-32的五次方根
第九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
n 次方根定义： 如果一个数的 n 次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n方根．
数学符号表示：
若xn a(n 1, n N *)，则 x 叫做a的 n次方根．
x 5 11
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
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m n
mn
(a ) a , (ab) a b
n m mn n
n n
2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
a (a ) a a
10 5 2 5 2 10 5
5
a (a ) a a
8 4 2 4
8 2
4
a (a ) a a
12 4 3 4 3
12 4
5
a (a ) a a
8
a )
C）
A.a
16
B. a
C. a
4
D. a
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) 6、 (| D.2
x | 1)
1 2 有意义，则 x
(
的取值范围是 （-，1）（1，+）
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
④已知 x a 3 b 2，求 4 x2 2a3 x a6 的值
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
n 0 0
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
a
n
1 n a
n
(a 0)
m n
a a a
m
; (a ) a
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
(2)(m n )
1 4
3 8 8
例5、计算下列各式
(1)( 25- 125) 25
3 4
(2)
a
2 2
a a
3
(a 0)
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a (
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
r r r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 8 1
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
10
5
2 5
2
10 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
3
a a (a 0)
2
4
2 3
b b (b 0)
1 2
c c (c 0)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
2 _______
4
32 2
10
81 _______ 3
5
m n
5 4
n 即：a m a (a 0, n N * , n 1)
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a a (a 0, m, n N )
n m *
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
1 2
1 2
1 2
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
2
1 2
(2)(a 2 a ) (a a )
2
3、已知 x x
1 2
1
3，求下列各式的值
1 2
(1) x x
1 2
( 2) x x
4、化简
1 2
9 4 6 3 9 4 的结果是（
2
(
3 6
a ) (
(3) (3 )
(4) (a - b) (a b).
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3
②若
a 2 2a 1 a 1, 求a的取值范围
③已知
( x a) 2 ( b x ) 2 b a
则b __ a (填大于、小于或等于)
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
1
B.(1 2Leabharlann 1 32)1
1 D.1 (1 2 2
1 32
)
作业：课本P59，习题2.1 A组1、2、3、4； B组2。
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数
指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因
此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
a a a
r s
r S rs
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
2 6 3 。
8、a , b ，下列各式总能成立的是（ B R
A .( a
6 6 6
）
a b B. 8 ( a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 b)
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
1 P 2
t 5730
(*)
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数 填空: 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 25 5 负数的n次方根是一个负数. (1)25的平方根等于_________________ 3 (2)27的立方根等于_________________ 当n是偶数时，正数的n 27 3 次方根有两个，它们 5 (3)-32的五次方根等于_______________ 32 2 互为相反数. (4)16的四次方根等于______________ 4 16 2 3 (5)a6的三次方根等于_______________ a6 a 2 7 (6)0的七次方根等于___________ 0 0
81 3 _______
12
3 32 ________
探究
n
a a
n
一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n a n a
a (a 0) 2、当 n 是偶数时， a | a | a (a 0)
n n
例1、求下列各式的值：
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发
表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x
3
2ax 3 x 6 的值。 1 a ，求 a
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
mn
(a ) a , (ab) a b
n m mn n
n n
2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
a (a ) a a
10 5 2 5 2 10 5
5
a (a ) a a
8 4 2 4
8 2
4
a (a ) a a
12 4 3 4 3
12 4
5
a (a ) a a
8
a )
C）
A.a
16
B. a
C. a
4
D. a
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) 6、 (| D.2
x | 1)
1 2 有意义，则 x
(
的取值范围是 （-，1）（1，+）
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
④已知 x a 3 b 2，求 4 x2 2a3 x a6 的值
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
n 0 0
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
a
n
1 n a
n
(a 0)
m n
a a a
m
; (a ) a
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
(2)(m n )
1 4
3 8 8
例5、计算下列各式
(1)( 25- 125) 25
3 4
(2)
a
2 2
a a
3
(a 0)
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a (
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
r r r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 8 1
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
10
5
2 5
2
10 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
3
a a (a 0)
2
4
2 3
b b (b 0)
1 2
c c (c 0)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
2 _______
4
32 2
10
81 _______ 3
5
m n
5 4
n 即：a m a (a 0, n N * , n 1)
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a a (a 0, m, n N )
n m *
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
1 2
1 2
1 2
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
2
1 2
(2)(a 2 a ) (a a )
2
3、已知 x x
1 2
1
3，求下列各式的值
1 2
(1) x x
1 2
( 2) x x
4、化简
1 2
9 4 6 3 9 4 的结果是（
2
(
3 6
a ) (
(3) (3 )
(4) (a - b) (a b).
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3
②若
a 2 2a 1 a 1, 求a的取值范围
③已知
( x a) 2 ( b x ) 2 b a
则b __ a (填大于、小于或等于)
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
1
B.(1 2Leabharlann 1 32)1
1 D.1 (1 2 2
1 32
)
作业：课本P59，习题2.1 A组1、2、3、4； B组2。
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数
指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因
此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
a a a
r s
r S rs
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
2 6 3 。
8、a , b ，下列各式总能成立的是（ B R
A .( a
6 6 6
）
a b B. 8 ( a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 b)
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
1 P 2
t 5730
(*)
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数 填空: 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 25 5 负数的n次方根是一个负数. (1)25的平方根等于_________________ 3 (2)27的立方根等于_________________ 当n是偶数时，正数的n 27 3 次方根有两个，它们 5 (3)-32的五次方根等于_______________ 32 2 互为相反数. (4)16的四次方根等于______________ 4 16 2 3 (5)a6的三次方根等于_______________ a6 a 2 7 (6)0的七次方根等于___________ 0 0
81 3 _______
12
3 32 ________
探究
n
a a
n
一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n a n a
a (a 0) 2、当 n 是偶数时， a | a | a (a 0)
n n
例1、求下列各式的值：
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发
表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x
3
2ax 3 x 6 的值。 1 a ，求 a
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2