2.1.1指数与指数幂的运算 课件

1 P 2
t 5730
(*)
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数 填空: 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 25 5 负数的n次方根是一个负数. (1)25的平方根等于_________________ 3 (2)27的立方根等于_________________ 当n是偶数时，正数的n 27 3 次方根有两个，它们 5 (3)-32的五次方根等于_______________ 32 2 互为相反数. (4)16的四次方根等于______________ 4 16 2 3 (5)a6的三次方根等于_______________ a6 a 2 7 (6)0的七次方根等于___________ 0 0
81 3 _______
12
3 32 ________
探究
n
a a
n
一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n a n a
a (a 0) 2、当 n 是偶数时， a | a | a (a 0)
n n
例1、求下列各式的值：
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
(4) (a - b) (a b).
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3

②若
a 2 2a 1 a 1, 求a的取值范围

③已知
( x a) 2 ( b x ) 2 b a

则b __ a (填大于、小于或等于)
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
(2)(m n )
1 4
3 8 8
例5、计算下列各式
(1)( 25- 125) 25
3 4
(2)
a
2 2
a a
3
(a 0)
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a (
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发
表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 2
1 2
1 2

a b a b
2
1 2
1 2
1 2
2
1 2
(2)(a 2 a ) (a a )
2
3、已知 x x
1 2
1
3，求下列各式的值
1 2
(1) x x
1 2
( 2) x x
4、化简

1 2
9 4 6 3 9 4 的结果是（
2
(
3 6
a ) (
④已知 x a 3 b 2，求 4 x2 2a3 x a6 的值

二、分数指数幂

1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
n 0 0
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
a
n
1 n a
n
(a 0)
m n
a a a
m
; (a ) a
8
a )
C）
A.a
16
B. a
C. a
4
D. a
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) 6、 (| D.2
x | 1)

1 2 有意义，则 x
(
的取值范围是 （-，1）（1，+）
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
m n
mn
(a ) a , (ab) a b
n m mn n
n n

2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
a (a ) a a
10 5 2 5 2 10 5
5
a (a ) a a
8 4 2 4
8 2
4
a (a ) a a
12 4 3 4 3
12 4
5
a (a ) a a
5
m n
5 4
n 即：a m a (a 0, n N * , n 1)

为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a a (a 0, m, n N )
n m *
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a

m n

1 a
m n
(a 0, m, n N * )
2 6 3 。
8、a , b ，下列各式总能成立的是（ B R
A .( a
6 6 6
）
a b B. 8 ( a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 b)
C.
4
a
4


4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
2 _______
4
32 2
10
81 _______ 3
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)


1 8

1 4

1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32

1 32
)
1
B.(1 2
1 32
)

1
1 D.1 (1 2 2
1 32
)
作业：课本P59，习题2.1 A组1、2、3、4； B组2。
10
5
2 5
2
10 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）

思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
3
a a (a 0)
2
4
2 3
b b (b 0)
1 2
c c (c 0)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数
指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因
此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
a a a
r s
r S rs
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x
3
2ax 3 x 6 的值。 1 a ，求 a
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
r r r
例2、求值
8
2 3
;
25

1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
;
1 2
5
16 ; 8 1

3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )