投资组合的选择与基金分离定理

投资组合的选择与基金分 离定理
本章内容提要
1. 在第一章我们指出，金融决策主要表现在资产 估值和资产管理两大方面。投资组合的选择是 资产管理的基本任务之一，也是投资学的重要 内容。本章和下一章将讲述建立投资组合选择 的经济学理论基础。 2. 本章先引入随机占优的概念，给出金融市场上 比较不同金融资产“优劣”的标准。对于投资 组合优化选择理论，是按一定顺序展开的。首 先分析最简单的情况，1项无风险资产和1项风 险资产；在分析多项风险资产的情况时，导出 了投资组合分离理论，即把存在多项风险资产 的情况，转化为类似于只有1项风险资产的情况。
~ ~ wA* =(w-a)(1+rf)+a(1+ rA
)=w(1+rf)+a(Байду номын сангаасA －rf)
~
和 ~ ~ ~ wB* =(w-a)(1+rf)+a(1+ rB )=w(1+rf)+a(rB -rf)
• 第一种投资方式是投资于金融资产A和无风险证券 的组合，该组合记为A*，第二种投资方式是按同 样比例投资于金融资产B和无风险证券的组合，该 组合记为B*。 • 如果投资者不但有非厌足性，而且是风险厌恶者， 效用函数严格凹，则我们有以下定理。 • 定理2：如果，并且效用函数u’(·)>0， u’’(·) <0， 则有 ~ r )]} maxE{u[ w(1 r f ) a( r A f a ~ r )]} maxE{u[ w(1 r ) a( r
• 命题1： A≧FSDB⇔ ∀x， FA(x)≤ FB(x)
• 这个命题告诉我们，对任意资产x，资产A的收益 率小于x的概率低于资产B的收益率小于x的概率。 反过来说，就是资产A的收益率可能会更高。所以， 金融资产A一阶随机占优于金融资产B，即A比B 来的“好”。
图示：
• 为简单起见，本章假定 收益率不大于1，即假定 x∈[0,1] 。累积分布函数 是右连续的，所以有 FA(1)= FB(1) =1；当x≤ 1 时，一般来说FA(x) ≠ FB(x)。可以用下图描绘 一阶随机占优的概念。
一阶随机占优的另一个特征：
• 假如金融资产A的收益率按分布相等于金融资产B 的收益率再加上一个正的随机变量，比方说记为 ~ α ，那么所有具有非厌足性特征的投资者将偏好A 甚于B。因为对于所有递增的u(· )来说，有 ~ ~ ~ ~ E[u(rA )] = E[u(rB )+ α ] ≥ E[u(rB )]； ~ • 上面不等式成立的原因是α 为正，并且u(· )是单调 的。
~ d ~ ~ r B +α ~ ~ rB 加
命题3：
• 由定理1的第（3）条，可以直接得到命题3：如果 ~ ~ A≧FSDB ；则E(rA ) ≥ E(rB )； • 也就是说，如果金融资产A一阶随机占优于金融 资产B，那么金融资产A的预期收益率就高于金融 资产B的预期收益率。
• 现在假定市场上有两种有风险的金融资产A和B， ~ ~ 收益率分别为rA 和 rB 。在0时期，投资者的初始 禀赋为w。我们需要比较两种投资方案的优劣： 将货币资金a投资于金融资产A，剩下的w-a投资 于无风险证券；或将货币资金a投资于金融资产B， 剩下的w-a投资于无风险证券。无风险证券的利率 为rf。注意，这里的A和B不许卖空，即有。于是， 到1时期，投资者的（随机）财富为
定理1：
•
~ rA 和 rB 分别是金融资产A和B的收益率，FA(x)和 ~ ~ FB(x)分别是rA 和 rB 的累积分布函数。则以下三 ~
个命题是等价的。 • （1）A≧FSDB ； • （2）FA(x)≤ FB(x) ； • （3 ） r A = ，即 rA 按概率分布等于 ~ 上一个正的随机变量α 。
a f B f
• 定理2说明，如果金融资产A一阶随机占优于金融 资产B（ A≧FSDB），那么投资者选择A投资，总 有办法比选择B投资的效果好。 • 把一部分资金投资于有风险金融资产，把剩余部 分投资于无风险证券的投资方法，具有重要的理 论和实践意义。后面通过讨论投资组合分离理论 将可以清楚的认识这一点。
5.1.1 一阶随机占优( first order stochastic dominance,FSD )
•
~ ~ 定义2：令rA 和 rB 分别是金融资产A和B的收益率
（它们都是随机变量）。如果对于任何非递减的 ~ ~ 效用函数u(· )，都有：E[u(rA )] ≥ E[u(rB )]；则称 金融资产A一阶随机占优于金融资产B，记为 A≧FSDB。
5.1.2 二阶随机占优( second order stochastic
dominance, SSD )
• 注意，上式必须对任何非递减的效用函数都成立， 才能说A一阶随机占优于B，即金融资产A要比金 融资产B来的好。我们需要解释下“好”的概念。
一阶随机占优的经济含义
•
~ rA 和 rB 分别是金融资产A和B的收益率，FA(x)和 ~ ~ FB(x)分别是rA 和 rB 的累积分布函数。由概率论 ~ 的知识知道， FA(x)是rA 小于x的概率， FB(x)则是 ~ rB 小于x的概率。 ~
§5.1 随机占优
• 首先要讨论如何比较两项金融资产的“优劣”， 因此先要引进随机占优的概念。我们在第一章提 出过理性经济人的非厌足性假设，这里给出数学 化的定义。 • 定义1：如果投资者的效用函数u(· )是严格递增的， 则该投资者被称为具有非厌足性。 • 经济涵义：u(c)= u(c0，c1)，可供消费的量越多， 效用越大。把消费量货币化，就表示成了现金流， 意味着投资收益越高越好。 • 这里，我们进一步将效用函数的自变量改变一下， 变成金融资产的收益率。
• 上述特征倒过来也是成立的。也就是说，如果
A≧FSDB ，那么存在一个正的随机变量α ，使得
rA =
~ d
~
~ ~ r B +α
。于是我们得出命题2。
命题2：
• A≧FSDB ⇔ rA = rB +α 。α 是一个正的随 机变量。 • 把命题1和命题2结合起来，可以得到一个 重要定理。
~ d ~ ~ ~