分层随机抽样

抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
第四章 分层随机抽样
第一节 概述
南非摄影师迈 克首创，拍摄100张 当地人像，合成地 域特色的女性面容。 据英国《太阳报》 10日报道，南非摄 影师迈克在世界各 地拍摄数千张图片， 然后通过软件合成 了几十张全球女性 “大众脸”。
合成的香港大学生大众脸
一、分层抽样和分层随机抽样 的概念


W
h 1
L
h
ph q（ h nh 较大）
三、最优分配

1 最优分配是指在分层随机抽样中，对 于给定的费用，使估计量的方差达到最 小或对给定的估计量方差，使总费用最 小的各层样本 量的分配。
2 费用: 主要考虑线性费用函数.
CT c0 ch nh
h 1
L
CT 为总费用 c0为固定费用 ch为第h层中抽取一个单元的平均费用
第三节 各层样本量的分配

一、样本量分配对精度的影响
例，某总体分三层，其层权及层标准差见下表。 现进行分层抽样，总样本量为 300，考虑四种不同 的样本量分配，并计算出各种分配下，总体均值 估计量的方差，资料及计算见下表：
h 1 2 3 Wh 0.2 0.3 0.5 Sh 20 30 34 常数 分配 100 100 100 3.86 与 Sh2 成 正比 49 110 141 3.11 与 W h成 正比 60 90 150 3.09 与 W hS h成 正比 40 90 170 3.00
其意义为由于抽样是不 放回的， 即有限总体修正系数引 起的方差减少。
(3) 估计量方差的估计
nh 1 2 ˆ 2 s2 S ( y y ) h h hi h . nh 1 i 1 2 2 E ( sh ) Sh
V ( yst )的无偏估计为
2 2 2 Wh2 sh Wh2 sh Wh sh v( yst ) (1 f h ) nh nh N h 1 L
3 估计量方差
2 2 L Wh2 S h Wh S h V nh N h 1 h 1 L

4 最优分配为给定总费用C下极小化V或 给定V下极小化总费用C，等价于MinVC。
Wh S h ch N h S h ch nh n Wh S h ch N h S h ch 即 最优分配的nh与Wh S h或N h S h成正比， 与 ch 成反比。
2 总体成数 P 的无偏估计为
ˆ p W p P st h h
h 1 L
V ( pst ) W V ( ph )
h 1 2 h
L
N h很大，则： Wh2 PhQh V ( pst ) (1 f h ) nh h 1
L
3 估计量方差的估计 估计量方差的一个无偏估计为：
h 1
L
3 对分层随机抽样：
ˆ Yst y st Wh y h ˆ Ny N y Y st st h h
(二) 分层随机抽样估计量 的性质
1 总体均值的简单估计量：
（1）样本均值是总体均值的无偏估计
E( y st ) Y
(2) 估计量的方差
V ( y st ) Wh2V ( y h )
f n N n N
h h

h
f
h
, h 1,2 , , L
N h nh W N n nh W h


2 是一种等概率抽样。 3 简单估计量是自加权的。
4 估计值 （1）总体均值的估计：等于样本均值。
L nh 1 ˆy Y yhi y prop Wh yh n h1 i 1 h 1 L
层别 第一层 第二层 第三层 合计 Nh 200 500 380 1080 nh 50 115 100 265 ah 39 60 17 116 ph 0.78 0.5217 0.17 — Wh 0.1852 0.4630 0.3519 1.00 fh 0.25 0.23 0.2632 —
求该单位该种职业病患病率 P 的估计及其 95%的 置信区间。
（2）总体总量的估计
N 1 ˆ Y Ny prop y y n f
（3） 估计量的方差
1 f V prop ( y st ) ˆ V ( y prop ) n 令S
2 w 2 Wh S h h 1 L 2 W S h h h 1 L
1 f 2 则 : V prop ( y st ) Sw n
N h ( N h nh ) v( p st ) ph qh nh 1 h 1
L
例, 某单位为调查某种职业病的情况，将单位职 工按工龄分三层，工龄在 20 年以上为第一层，工龄 在 10 年以上，20 年以下为第二层，工龄在 10 年以 下为第三层，各层抽样均采取简单随机抽样，抽样 调查资料及计算如下
二、分层抽样的特点和 适用场合
（一）特点：



1 既可用于总体参数的估计，还可 用于对层的参数进行估计 2 实施灵活，便于组织，数据处理 简单 3 样本分布更加均匀 4 能较大的提高调查的精度
（二）适用场合：


1 总体简单随机抽样框无法编制， 或难以编制； 2 总体各部分特点不同； 3 总体分布不均匀或差异大，为降 低方差。
5 如各层抽样费用相等或相差不大， 或者不考虑费用，则最优分配为：
nh n

W
h
S
h
h
W
S
h

h

N
h
S
h
h
N
h
S
h
即， n h 与 W
S h或 N
S h 成正比
.
这种形式的最优分配常被称为 奈曼分配。最小方差为：
Wh2 p h q h v( p st ) (1 f h ) h 1 n h 1
L
1 2 N
N h ( N h nh ) ph qh nh 1 h
L
4 总体具有某种特征单元总数 A 的 估计量及方差为：
ˆ Np A N h ph st st
h 1 2 N h ( N h n h ) Ph Qh ˆ V ( Ast ) Nh 1 nh h 1 L L
2 Wh2 s h 0.1372 39722 0.8632 25462 20297.77 n 300 250 h 2 Wh s h 0.137 39722 0.863 25462 45.10 N 171980 v( y st ) 20297.77 45.10 20252.67
V ( y)




（一）常数分配 （二）样本量nh与层方差Sh2成正比 （三）样本量nh与层权W h成正比 （四）样本量nh与层方差和层标准差的 乘积W h S h成正比 是最优分配，估计量方差最小。
二、比例分配 1 分层抽样中，若每层样本量都与层的大小 呈正比例，即：
nh N
h
这种分配为比例分配，其比例常数为抽样比。
解：由表中数据计算得：
p st Wh p h 0.1852 0.78 0.463 0.5217 0.3519 0.17 44.58% Wh2 p h q h v( p st ) (1 f h ) nh 1 0.1852 2 (1 0.25) 0.78 0.22 0.463 2 (1 0.23) 0.5217 0.4783 49 114 0.3519 2 (1 0.2632) 0.17 0.83 99 0.000581 s ( p st ) v( p st ) 2.41% 1 95%, 1.96 Pst [39.86%,49.3%]
2 总体总量的简单估计量
ˆ ) Y E (Y st
2 S ˆ ) N (N n ) h V (Y st h h h nh 2 sh v(Y ) N h ( N h nh ) nh
例：某市进行家庭收入调查，分城镇和 农村居民两部分进行抽样，