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不定积分的求解方法论文

不定积分的求解方法论文标题：不定积分的求解方法综述摘要：不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。

本文对不定积分的求解方法进行综述，旨在系统地介绍现有的主要方法，并分析其优缺点。

具体而言，本文将介绍基本积分法、代换法、分部积分法和特殊函数法等常用的不定积分解法。

此外，还将介绍近代数学中对不定积分的一些研究成果，如级数法和微分方程法。

通过对这些方法的比较与分析，读者能够全面了解不定积分的求解方法，为实际问题的求解提供参考。

1.引言不定积分作为微积分的基本工具，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

通过求解不定积分，我们可以得到函数的原函数，进而求解定积分和解微分方程等问题。

2.基本积分法基本积分法是最基础、最直接的不定积分求解方法。

该方法利用已知的函数导数的求导公式，例如多项式函数、指数函数、三角函数等的积分求解方法。

通过运用这些积分公式，我们可以将一个复杂的函数积分化简为基本函数的积分。

基本积分法虽然简单易用，但只适用于特定的函数类型，对于一些复杂的函数求解效果不佳。

3.代换法代换法又称变量代换法，它通过引入新的变量，将原函数变换为一个新的函数，从而简化积分的求解过程。

其中，常用的代换方法有三角代换法、倒代换法、指数代换法等。

代换法具有广泛的适用性，能够处理多种类型的函数，但正确的选择代换变量对求解结果有重要影响。

4.分部积分法分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法，它是利用求导运算和乘法法则的逆过程。

分部积分法的基本思想是将一个积分转化为另一个积分，通过迭代应用该法则可以逐步简化函数的积分形式。

分部积分法适用于求解两个函数相乘的积分，但对于一些特殊函数而言，需要进行适当的改写。

5.特殊函数法特殊函数法是针对一些特殊函数形式的不定积分求解方法。

常见的特殊函数包括反三角函数、双曲函数、对数函数等。

这些函数具有特殊的性质和积分公式，通过熟练掌握它们的性质和技巧，可以更高效地求解不定积分。

不定积分求解方法

不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。

为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。

求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。

求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。

关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。

前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。

我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。

提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。

所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。

标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。

要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。

下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。

(完整word版)不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总
摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。
一．不定积分的概念与性质
定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x I）
如果不定积分 g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ’(x).
做变量代换u= (x),并注意到 ‘（x）dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ’(x)dx= f(u)du.
如果 f(u)du可以积出，则不定积分 g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式
f[ (x)] ’(x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.
第一类换元法是通过变量代换u= (x),将积分 f[ (x) ’(x)dx化为 f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t)的变量代换，将积分 f(x)dx化为 f[ (t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以x= (t)的反函数t= (X)带回去，这就是第二类换元法。即
2.第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
其中可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

不定积分毕业论文

Jg(“)d"=J g®x))0(x)〃x = Jf(x)dx = Fe'(")) + C [2].
笫二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法，主要应用于讣算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分，该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.
函数"、”的选择原则：
(l)lllv计算”要容易求得(应用分部积分公式的前提)；
m\vdu需比更容易导出(应用分部积分公式的LI的)[4].
1J此(x)aLtdx,JPn(a)sin如v类型积分.巴(x)是关于x的"次多项式,a> 0;其中，产,sind所表示的是指其代表的一类函数*是常数.取" =P”(x).
2.3计算某些无理根式的不定积分14
2.4计算分段函数的不定积分16
参考文献17
英文摘要、关键字18
不定积分的计算方法及拓展
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导教师
作者
摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位•不定积分是计算微分的逆运算,是讣算函数定积分运算的基本前提，是一种处理具体应用如，物理学运动、液体流速等，经济学函数数量统计，以及儿何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分讣算方法.
角军:/ =x\]x2+a-fdx，由于J£dx = I-ai#_,
J\Jx2+aJyjx2+aJyjx2+a
可设——+歼匚f丄;
yfx^+a \jx2+a t
16/Inx + \Jx2+a
整理得/ = _xylx2+a4;、卩的优选判别

不定积分计算的各种方法

本人签名：导师签名：
日期：日期：
巢湖学院 2015 届本科毕业论文（设计）
不定积分计算的各种方法
摘要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用，其求解方法新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单，并且这些方法在运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快捷方便的不定积分的解题方法.
Key words: indefinite integral, immediate integration, integration by substitution, integration by parts, special type function integral
II
目
录

引言.......................................................................................................................................... 1 1.不定积分的概念.................................................................................................................. 1 2.不定积分的计算方法............................................................................ 错误！未定义书签。 2.1 直接积分法........................................................................................ 错误！未定义书签。 2.2 换元积分法...................................................................................................................... 3 2.2.1 第一换元积分法.......................................................................................................... 4 2.2.2 第二换元积分法.......................................................................................................... 6 2.3 分部积分法...................................................................................................................... 8 2.3.1 公式法.......................................................................................................................... 8 2.3.2 列表法.......................................................................................................................... 9 3.一些特殊类型函数的积分................................................................................................ 10 3.1 有利函数的不定积分.................................................................................................... 10 3.2 三角函数有理式的不定积分........................................................................................ 12 3.3 某些无理根式的不定积分............................................................................................ 12 4.求两类不定积分 .............................................................................................................. 14 5.结束语................................................................................................................................ 15 参考文献................................................................................................................................ 16

不定积分的论文

- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班蓝俊杰【摘要】本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。

【关键词】不定积分换元法三角代换倒代换去根号法分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。

本文对不定积分的求解方法进行了总结。

一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。

显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。

定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。

2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）；下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。

浅谈不定积分的计算方法与技巧

( ) 这里 x3 dx = d
1 x4 4
，u = lnx，v =
1 4
x4 ，接下来套用公
式就能完成计算．式子中出现的被积函数，要挑出一个函数做出变形．做出变形的先后顺序为：指数函数（如，ex ）、三角函数（如，sinx，cosx）、幂函数（如，x，x2 ，x3 ，…）、对数函数
+ C．
∫ 根据不定积分基本公式表中第 2 个公式 ——— xμ dx =
∫ x μ +1
μ +1
+
C（ μ ≠ 1）
，容易知道
x8 dx
=
1 9
x9
+
C，对照例题发
现 2x + 1 这个被积函数就是影响我们直接套用公式的“障碍
物”，就需要把它抓出来求微分，运用微分的定义 dy = y'dx
计算后找出
∫ 解原式 = sin（ x2 + 1） ·xdx
∫=
sin（ x2
+ 1） ·
1 2
d（
x2
+ 1）
，
∫ 令 u = x2 + 1
1 2
sinudu =
1 2
（
－
cosu）
+ C 回代
－
1 2
cos（
x2
+1）
+ C．
因为 xdx =
1 2
d（
x2
+ 1）
，将 xdx 项换成另一种形式，即
换成
1 2
【关键词】不定积分；凑微分法；分部积分法
不定积分是微积分学中的一个重要内容，它对学生学好后续的知识起着至关重要的作用．目前，高职数学教学过程中普遍存在课时少、任务重、学生学习习惯不好的情况，学生在不定积分的学习过程中，往往感觉抽象、难懂、枯燥，对积分的各种计算方法更是茫然不知所措，这在很大程度上影响了他们对数学学习的兴趣和积极性．针对这种现象，笔者就凑微分法（第一类换元积分法）和分部积分法的使用，通过举例的方式谈谈自己的教学体会．

不定积分的求解方法论文

不定积分的求解方法论文Title: Methods for Solving Indefinite IntegralsAbstract:Keywords: indefinite integrals, antiderivative, direct integration, substitution, integration by parts, partial fractions.1. Introduction (Approximately 150 words)2. Direct Integration (Approximately 250 words)Direct integration, also known as the power rule, is a basic method for solving indefinite integrals. This technique involves applying the power rule backward by increasing the power of the term inside the function. The paper explains the process step-by-step and provides examples to elucidate the method. Additionally, it showcases situations where direct integrationis particularly efficient or fails to yield a solution. By the end of this section, readers will have a solid understanding of the direct integration method.3. Substitution (Approximately 300 words)4. Integration by Parts (Approximately 300 words)Integration by parts is a useful method employed when solving indefinite integrals involving products of functions. It utilizes the product rule of derivatives to rewrite the integralin terms of another set of functions. This paper walks readers through the integration by parts process and provides clear examples to demonstrate the technique. Additionally, it highlights scenarios where integration by parts is most effective and addresses any limitations it may have. By the end of this section, readers should have a firm grasp of the integration by parts method.5. Partial Fractions (Approximately 300 words)6. Conclusion (Approximately 100 words)。

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不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。

【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。

不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。

下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

高等数学不定积分教法论文

高等数学不定积分教法浅议【摘要】高等数学是高职高专院校各专业必修的一门重要的公共基础课程，通过本课程的学习，可以使学生获得高等数学方面的基本理论、基本概念和基本知识，为后继课程的学习和今后工作打下必要的数学基础，它对培养、提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学知识解决实际问题的能力都有着非常重要的作用.高等数学的主要内容是微积分，而我们在教学过程中，最棘手的也是函数的求导与积分的计算问题，尤其是复合函数的求导和第一类换元积分法（凑微分法）求积分.本文就如何判断并使用凑微分法求积分的问题谈谈个人心得体会.【关键词】积分；凑微分；被积函数；复合函数【中图分类号】g642【文献标识码】b在《高等数学》的教学过程中，学到导数时就会有一部分同学掉队，再学积分时就会在导数的基础上又有一部分同学掉队.这也是《高等数学》学习过程中拉开学生档次的一个重要地方.那么如何抓住这部分内容呢?笔者认为既然不定积分是导数的逆运算，那么微分运算公式在积分中的地位就不言而喻了，只有在掌握了导数运算的基础上，我们才能看积分的运算，而积分运算中最重要的、使用最多的是第一类换元积分法，也就是凑微分法，它的运算基本上就是不同类型的微分公式的逆推.如何判断所给积分能否使用凑微分法求不定积分呢？下面我们就由浅入深观察凑微分法的判定与运算.凡是能够使用凑微分法的不定积分中被积函数均可以看成是若干个函数的乘积，且其中必包含一个主函数（一般复合函数居多），将其中若干函数经过一次或若干次还原必可以得到主函数或主函数的一部分，系数我们就不考虑了，因为系数可以根据实际情况凑.下面我们就先以最简单的，主复合函数为二重复合函数（或基本初等函数）的不定积分（即只需经过一次还原的凑微分法）为例对其进行解释.1.若不定积分中含有f(x)g［φ(x)］d x,且有∫f(x)d x=φ(x)+c或∫f(x)d x=g［φ(x)］+c，则该不定积分一定可以使用凑微分法进行计算，即必有∫f(x)g［φ(x)］d x=∫g［φ(x)］dφ(x)或∫f(x)g ［φ(x)］d x=∫g［φ(x)］d g［φ(x)］，这样我们只要将φ(x)看成一个整体使用积分公式进行计算即可.例1 判定下列哪些不定积分可以使用第一类换元积分法求解.（1）∫x·sin x d x;（2）∫x·sinx2d x;（3）∫x·sin e x d x;（4）∫ln x[]x d x.求解过程如下：（1）因为∫x d x=1[]2x2+c不等于x+c,也不等于sin x+c，所以不满足凑微分法的条件.（2）∫x d x=1[]2x2+c，系数不影响判定，因此原式可使用凑微分法.原式=1[]2∫sin x2d x2=-1[]2cosx2+c.（3）∫x d x=1[]2x2+c不等于e x，也不等于sin e x，所以不满足凑微分法的条件.（4）∫1[]x d x=ln x+c，因此原式可使用凑微分法进行计算，即∫ln x[]x d x=∫ln xd ln x=1[]2(ln x)2+c.这样基本上所有该类型的不定积分我们就都可以进行计算了，只是形式不同而已，原理都是一样的.例如下列各题：例2 求解下列积分：（1）∫arcsin x[]1-x2d x;（2）∫e arcsin x[]1-x2d x;（3）∫1[]arcsin x1-x2d x.求解过程如下：（1）∫1[]1-x2d x=arcsin x+c，所以原式=∫arcsin x darcsin x=1[]2(arcsin x)2+c.（2）原式=∫e arcsin x d arcsin x=e arcsin x+c.（3）原式=∫1[]arcsin x darcsin x=ln|arcsin x|+c.有了简单凑微分法的计算方法，我们就可以在此基础上增加难度了，比如被积函数需经过至少两次凑微分才能求解.下面我们就将凑微分法的基本公式推广至被积函数需经过两次换元的不定积分，其他的可以以此类推.2.需经过两次凑微分运算的不定积分又有什么样的特征呢？我们同样给出例子来进行判定.例3 ∫x·sin x2·coscos x2d x.经过观察我们会发现coscos x2是一个三重复合函数，而且式子之中目前只有x可以参与凑微分，试将其凑成微分会发现原式可变形为1[]2∫sin x2coscos x2d x2,将x2看成一个整体，那么该式又变成了和被积函数经一次凑微分运算的不定积分类型相同的积分了，接下来按照上面的方法将sin x2的原式可变形为-1[]2∫coscos x 2d cos x2，根据积分公式可得出原式等于-1[]2 sincos x2+c,相应的，其他具有该特征的不定积分我们就又都可以求解了.下面我们再举一些例子.例4 求解下列不定积分：(1)∫1[]x ln x lnln x d x;（2）∫lnln x[]x ln x d x;（3）∫coslnln x[]x ln x d x.求解过程如下：（1）原式=∫1[]ln x lnln x d lnx=∫1[]lnln x dlnln x=ln|lnln x|+c.（2）原式=∫lnln x[]ln x dln x=∫lnln x d lnln x=1[]2(lnln x)2+c.（3）原式=∫coslnln x[]ln x dln x=∫coslnln x d lnln x=sinlnln x+c.这样所有的利用凑微分法求解不定积分的题我们就都可以进行求解了，当然我们说会做题还不是我们对这部分内容掌握的最高境界，如果只给出题的一部分让你能够将该题补充完整并使之能够应用凑微分法进行计算，这才说明我们对凑微分法理解得非常透彻了.下面我们也举一些该类型的例子进行一下观察，首先是使用一次凑微分法进行计算的题.例5 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：（1）∫ln x d x; （2）∫cose xd x; （3）∫sintan x d x.考虑求解方法，那就需要运用我们的求导公式了，分别看谁的导数是ln x,e x,tan x，然后将其以乘积的形式补充给被积函数即可.求解过程如下：（1）原式应补充为∫ln x[]x d x且∫ln x[]x d x=∫ln x d ln x=1[]2(ln x)2+ c.（2）原式应补充为∫e x cose x d x 且∫e x cos e x d x=∫cose x d e x sin e x+c.（3）原式应补充为∫sec2x sintan x d x且sec2x sintan x d x=∫sintan x dtan x=-costan x+c.相应的我们还可以将这些题变得更复杂一些.例6 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：（1）∫1[]lnln x d x; （2）∫lnlnx d x; （3）∫coslnln x d x.求解过程如下：（1）原式应补充为∫1[]x ln x lnln x dx且∫1[]x ln x lnln x d x=∫1[]ln x lnln x d ln x=∫1[]lnln x dlnln x=ln|lnln x|+c.（2）原式应补充为∫lnln x[]x ln x d x 且∫lnln x[]x ln x d x=∫lnln x[] ln x dln x=∫lnln x dlnln x=1[]2( lnln x)2+c.（3）原式应补充为∫coslnln x[]x ln x d x且∫coslnln x[]ln x dln x=∫coslnln x dlnln x=sinlnln x+c.这样就算再有变化也就是形式上的改变了，计算方法和原理都是一样的.。

浅谈高等数学中不定积分的求法1

选题的意义
不定积分的计算是积分理论的重要组成部分，有着广泛的应用。由于导数与积分之间有逆运算关系，求不定积分时需要一定的运算能力及变换技巧。在学习过程中，我们知道不定积分的计算有很多种方法，而且灵活多样，但面对一道题目时用哪种方法计算，这是很多人面临的难点。本文结合自己对不定积分的理解和总结，通过实例对不定积分的求法进行了初浅的探讨。
目录
• 选题背景 • 选题意义 • 论文目标 • 论文结构 • 论文主要内容 • 小结 • 致谢
选题背景
该论文是在学习“不定积分”一课时，觉得不定积分的计算有很多种方法，而且灵活多样，对于初学者来说有很大的困难，所以结合自己对不定积分的理解做一些简单的归纳总结，希望对广大初学者有所帮助。
第三章不定积分的积分法
本章是论文的主要部分，主要介绍了不定积分的几种常见积分法：直接积分法，换元积分法和分部积分法，还归纳出了这几种方法的适用范围和解题步骤并用实例进行了说明。
第四章结论
本章是对全文的一个总结，总结归纳出了在学习过程中计算不定积分的一般思路:首先考虑到是否能用不定积分的性质，或者是将被积函数进行化简，再用直接积分法来求解；其次考虑到的是能否用换元法来求解；最后考虑到的是用分部积分法来求解，或者是综合使用上述方法求解。以便初学者在今后的学习中能够有所帮助。
• 谢辞
内容结构
原函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分
积分
部
法
积
分
法
第一换元法
第二换元法
不定积分
基
直
本
接
积
积
分
分
表
法
第一章绪论
本章主要介绍了微积分的发展史及其在高等数学中的应用，以及不定积分在微积分中的地位和意义。

不定积分论文

（2）无理函数的积分
如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。
(3)三角函数的积分
所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。
形如和的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；
形如或的积分
当为正奇数时，即，则将可将被积函数化简成与的乘积，再利用三角恒等式可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如：
Liu Han
( Xianyang Normal University College of mathematics and information science, Shaanxi, Xianyang)
Abstract
Along with the society into the information age, the integral language has penetrated into all fields. It is not only the emergence of mathematics history is also the history of the last great pioneering work. It is caused because of the development of social economy and the progress of production technology
2.2 换元积分的思想方法
2.2.1 第一类换元（凑微分法）的思想方法
（1）被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分，凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。

不定积分求解方法毕业论文设计

不定积分求解方法毕业论文设计
一、引言
随着物理学研究及新技术的发展，对不定积分的研究也变得愈加重要。

不定积分是微积分的一种，其中的积分变量与积分常数可以用不同的方法
求解积分，也叫做非线性积分。

不定积分求解的常用方法有曲线拟合法、
拉普拉斯变换法、对偶变换法、拉格朗日变换法、函数表法、高斯积分以
及展开变换法等。

本次设计中，将介绍不定积分的求解方法，并结合具体
的例子，分析不定积分的各种求解方法，对比不定积分的求解方法的优劣，最后得出求解不定积分的最佳方法。

二、不定积分求解方法
2.1曲线拟合法
曲线拟合法是用拟合曲线来对积分进行近似求解。

拟合的曲线可以是
线性、抛物线、三次曲线等，其中最常用的是二次曲线。

曲线拟合法必须
在精确求解之前，进行较为复杂的拟合工作，得出近似结果，然后再结合
实际情况进行精确求解。

2.2拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法将微分方程变换成拉普拉斯积分变换形式，用拉普拉
斯变换去解决积分。

由于拉普拉斯变换具有明显的特点，能够有效地解决
积分，并且对不定积分的求解具有很大的帮助，广泛应用于物理学、数学
等领域。

2.3对偶变换法。

不定积分的求解方法论文

重庆三峡学院毕业设计〔论文〕题目：归结不定积分的求解方法专业：数学与应用数学年级：2021级学号：202106034208作者：林相群指导老师：吴艳秋〔讲师〕完成时间：2021年5月目录摘要 (I)Abstract........................................................................................................................................................ I I1 引言 (1)2 不定积分的求解方法 (1)2.1 根本公式法 (1)2.2 分项积分法、因式分解法 (2)2.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (3)2.4第二类换元积分法 (4)2.5分部积分法 (4)2.6有理函数的积分 (5)3 各种方法所对应的题型 (5)3.1 根本公式法 (5)3.2 分项积分法、因式分解法 (6)3.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (7)3.4第二类换元积分法 (8)3.5分部积分法 (8)3.6有理函数的积分 (9)4 解决不定积分的一般步骤 (10)致谢 (11)参考文献 (11)归结不定积分的求解方法林相群〔重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2021级重庆万州 404000〕摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：根本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑〞微分法〔第一类换元积分法〕、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。

当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法〞求解。

但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。

“分项积分法+因式分解法〞通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。

当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。

不定积分原理或概念的产生、发展及应用论文

2017第一学期高等数学不定积分原理或概念的产生、发展及应用前言introduction不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.针对于不定积分的基本概念、原理、性质、运算公式进行总结与整理。

本文结尾对本学期的高数学习进行总结与反思。

不定积分原理不定积分可以看做是导数的逆运算，其结果为一族函数。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

基本概念、定理、性质在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数F，即F′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。

其中F是f的不定积分。

（1）函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数及的原函数存在，则（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。

即：设函数的原函数存在，非零常数，则设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)d x或者∫f（高等微积分中常省去d x），即∫f(x)d x=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

不定积分的积分方法论文

不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文【1】摘要：在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.关键词：不定积分换元积分法分部积分法一、第一类换元积分法定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).例如：求sin3xdx分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C二、第二类换元积分法定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：① 对，设t=;② 对，设x=asint;③ 对，设x=atant;④ 对，设x=asect.原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C三、分部积分法分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.例如：求xsinxdx分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.参考文献：[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.不定积分计算方法的思考【2】摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

不定积分的积分方法论文

不定积分的积分方法论文摘要：不定积分是微积分的重要内容，它是求函数的原函数的方法。

本文将介绍不定积分的基本概念，以及常用的不定积分方法，包括换元积分法、部分分式分解法、分部积分法和特殊函数积分法。

通过对这些方法的理解和应用，能够更好地求解不定积分问题。

一、引言不定积分是微积分的重要内容之一，它与定积分密切相关，可以用于计算曲线的长度、曲线下的面积等问题。

与定积分不同的是，不定积分不需要给出积分区间，而是求函数的原函数。

二、不定积分的基本概念三、换元积分法换元积分法是不定积分中最常用的方法之一、首先，我们选取函数内部的一部分作为新的变量，使得原函数变得更加简单，然后对新的变量进行求导。

最后，将原函数用新的变量表示出来，从而完成积分计算。

四、部分分式分解法部分分式分解法适用于分母式为多项式，且次数较高的情况。

通过将分母进行分解，将分数拆成多个简单的部分，再分别求积分，最后将结果合并。

五、分部积分法分部积分法利用求导公式d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)，将积分转化为求导的过程。

通过选取u和dv/dx，使得积分结果更加简单化。

六、特殊函数积分法特殊函数积分法是对特殊函数的不定积分方法总结。

例如，三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等等。

对于这些函数，我们可以通过列举一些常用的积分公式来求解积分问题。

七、实例分析通过实例分析，我们可以更好地应用不定积分的方法。

以具体的函数为例，对不同的方法进行比较和选择，找出最简单、最快速的解决方案。

八、总结本文介绍了不定积分的基本概念和常用的积分方法，包括换元积分法、部分分式分解法、分部积分法和特殊函数积分法。

通过对这些方法的理解和应用，我们可以更好地求解不定积分问题。

不定积分是微积分的重要内容，掌握好不定积分的方法对于提高解决问题的能力具有重要意义。