五年级奥数教程

目录第一讲奇妙的幻方 (3)练习卷 (9)第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10)练习卷 (12)第三讲图形的面积（一） (13)第四讲认识分数 (17)练习卷 (21)第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22)练习卷 (26)第六讲公因数与公倍数 (27)综合演练 (31)第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。

幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。

（n 是几就表示为几阶幻方）。

本讲，我们将来学习这方面的知识。

例题讲学例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。

可以怎样填【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。

【注：戴指头，履指脚。

】试试填一填吧！幻方（第二课时）知识概述：上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。

例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。

先试试看！看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。

你能按顺序继续写下去吗试试看吧！幻方（第三课时）根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。

【思路点拨】再来重温一下口诀吧！一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。

①把1-49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、竖、②把1-81这81个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。

幻方（第四课时）上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。

例题讲学将1-16这16个数填入下面这个4×4的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。

【思路点拨】首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要个数按顺序填好。

如：第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。

第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。

，，最后形成新的方格。

幻方 （第五课时）知识概述对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧：偶阶幻方分两类:双偶数:四阶幻方，八阶幻方、十二阶幻方,....,4K阶幻方，（K表示一个非零自然数）可用<对称交换法>,方法很简单:1)把自然数依次排成方阵2)把幻方划成4×4的小区,每个小区划对角线,3)把这些对角线所划到的数,保持不动,4)把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,【与4×4幻方的方法一样】5）幻方完成!现在试着完成一下八阶幻方吧你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢同步精练：把1-144这144个数填入12×12的方格内，使其成为一个十二阶幻方。

恭喜你顺利完成了考验！练习卷按要求填写幻方：1、三阶幻方2、四阶幻方3、五阶幻方4、七阶幻方5、八阶幻方6、九阶幻方第二讲可能性的大小（游戏与对策）例题讲学例1 有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。

规定谁拿走最后1颗棋子，谁就获胜。

如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略【思路点拨】由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子，即每次保证两人共拿走1+2=3颗，53颗共要取53÷3=17（次）……2（颗），即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那2颗。

这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。

关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的同步精练1、有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每人每次最多取2个，最少取1个，取最后一个球的人为胜利者。

甲要想获胜，他应该如何安排2、有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。

比赛的规则是：甲乙轮流取，每人每次取1个、2个、或3个，取最后一个球的人为失败者。

如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略3、有197粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取1个，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取你认为先取的获胜，还是后取的获胜第二讲可能性的大小（游戏与对策）第二课时例2 有两堆火柴，一对26根，一堆11根。

甲乙两人轮流从中拿走1根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢，问甲如何取胜【思路点拨】这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况。

当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就能保证取到最后一根。

对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取走多的那几根就行了。

同步精练1、有两个箱子分别装有63、108个球。

甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。

规定取到最后一个球的为胜者。

甲先取，他应如何才能获胜2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这堆石子一次拿走完），但每次至少拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获胜，问如何才能取胜3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的△，没人每次画一个△，所画的何才能获胜练习卷1、有一枚骰子，六个面分别写着1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（）。

2、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。

问保证一定获胜的策略是什么3、桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后一根火柴为胜，问获胜的策略是什么4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和西瓜一次安全地过河去。

5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起来，你能做到吗第三讲 图形的面积（一）第一课时例题讲学例1 已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。

【思路点拨】428平方厘米，它的底为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。

根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。

求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；便的方法。

同步精练1.下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。

2．已知平行四边形的面积是483．如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米（单位：厘米）第三讲 第二课时例题讲学例 2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。

所以，无法用公式计算出它的面积。

仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA和FC，它们会相交（设交点为H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面积都能直接求出。

同步精练1、求右图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）2、求右图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）第三讲图形的面积（一）第三课时例题讲学例3 如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE 的长度。

【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四边形ABCF）-（乙+四边形ABCF）=6（平方厘米）即：正方形ABCD - △ABE=6（平方厘米）这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。

用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再除以AB，就得到BE的长度，从而求出CE的长度。

同步精练1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。

求CF的长是多少厘米2、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，求：（1）三角形DEF 的面积。

（2）CF 的长。

第四讲 认识分数第一课时《知识概述》把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

其中的一份又叫分数单位。

分数与除法的关系可以表示a ÷b=ba（b ≠0）。

分数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。

例题精学例1：分母是91的真分数有多少个最简真分数有多少个 【思路点拨】真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。

分母是91的真分数一共有90个，分别是911，912，913 (91)90,其分子是1～90的自然数。

在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。

要求最简真分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。

而91=7×13，在1～90的自然数中，7的倍数有13－1=12（个），13的倍数有7－1=6（个），这样分子可取的数一共有90－（12+6）=72（个）。

同步精练1.分母是51的真分数有多少个最简真分数有多少个2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个3.分数853++⨯a a 中的a 是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a 最小是多少第四讲 认识分数第二课时例2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于98，原分数是多少 （2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少 【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。

由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。

有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在98的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以2所得到的分数是98，说明约分前是1816，这样原分数应是1716。

第（2）题请你自己思考。