吉林省长春市东北师大附中2018-2019学年高一(下)期末数学试题
2019-2020学年吉林东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试卷(1)
又∵直线 过点
与线段 有交点，
∴直线 的倾斜角 的取值范围为
，
故答案为
．
15 、【答案】 【解析】 ∵所求直线方程与直线
∴设方程为
，
∵直线过点
，
∴
，
∴
，
∴所求直线方程为
，
故答案为：
．
垂直，
16 、【答案】 ;
【解析】 由题意用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，构成如图所示的四面体
中
平面
，
，
，
，
，
，其
，
，
．
对称圆的方程．
21、在四棱锥 ，
中，底面
是边长为 的菱形，
， 、 分别为 、 的中点．
，
平面
(1) 求证： (2) 求二面角
平面
． 的大小．
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22、已知点
，
， ， 分别为线段 ， 上的动点，且满足
．
(1) 若
，求直线 的方程．
(2) 证明：
的外接圆恒过定点（异于原点）．
且与直线
垂直，则直线 的方程为
．
16、如图，正方形
的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，且
．将此
正方形沿 ， ， 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，
则该三棱锥的内切球的体积为
，外接球的表面积为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分）
17、已知命题 ：关于 的不等式 的定义域为 ．如果
，
解得交点坐标
，
又∵直线 过点 ，
显然斜率存在，
∴设直线 为
，
人教A版 师大附中2018—2019学年度下学期 高一数学期末考试(含答案)
人教A 版 师大附中2018—2019学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若0sin 02sin <>αα且，则α是（ *** ）A. 第二象限角B. 第三象限角C. 第一或第三象限角D. 第二或第三象限角 2.︒︒︒︒+75sin 15cos 75cos 15sin 等于（ *** ）A. 0B. 21C. 23D. 13.如图，已知3,AB a AC b BD DC a b ===， ， 用、 表示AD ，则AD 等于（***）A ．34a b +B ． 3144a b +C ．1144a b +D ． 1344a b +4.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ *** ） A ．52B.2C.5D.105.已知角α的终边过与单位圆交于点43(,)55P -，则sin()tan()2sin()cos(3)πααπαππα--⋅+-等于何值（ *** ） A ．45 B ．54 C ．53 D ．53- 6．tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒+的值为（ **** ）A ．1 BCD7．设1e 和2e 为不共线的向量，若21e ﹣32e 与k 1e +62e （k∈R）共线，则k 的值为( *** )A CDBA ．k=4B ．k=-4C ．k=-9D ． k=9 8．在ABC ∆+ABC ∆一定是（**** ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定9.同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（****） A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y10．如右图，ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=， 则αβ+的值为 ( **** ) A ．34π B ．2π C ．3πD ．4π11.已知,OA OB 是两个单位向量，且OA OB ⋅=0．若点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°， 则(,),OC mOA nOB m n R =+∈则mn等于（ **** ） A ．13 BCD ．312.若对任意实数a ，函数215sin()36k y x ππ+=-()k N ∈在区间[],3a a +上的值54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为（ **** ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：（每小题4分，共20分。
东北师范大学附属中学数学高一下期末经典测试题(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12728]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=ABC ．2D ．32．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >3．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．324．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，sin 4B =，4ABC S =△，则b =（ ）A ．B ．C D 5．(0分)[ID ：12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或6．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +7．(0分)[ID ：12675]要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 8．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．269．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生11．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=12．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒13．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．14．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1015．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．17．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 18．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________19．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .20．(0分)[ID ：12758]关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．21．(0分)[ID ：12741]已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______23．(0分)[ID ：12739]设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．24．(0分)[ID ：12785]等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 25．(0分)[ID ：12742]如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．三、解答题26．(0分)[ID ：12895]已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．(0分)[ID ：12884]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．28．(0分)[ID ：12873]如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.29．(0分)[ID ：12864]如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.30．(0分)[ID ：12851]等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．D10．C11．C12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan（kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投25．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．D解析：D【解析】【分析】利用正弦定理化简sin5sin2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin5sin2A cB b=，有正弦定理可得：52a cb b=，即52a c=由于在ABC中，sin B=，ABCS=△1sin2ABCS ac B==联立521sin2sina cac BB⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a=，2c=由于B为锐角，且sin B=，所以3cos4B==所以在ABC中，由余弦定理可得：2222cos14b ac ac B=+-=，故b=（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx++>的解集为{}12x x-<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.6．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．7．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.8．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．13．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.14．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．15．B解析：B 【解析】 【分析】 首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为解析：6π【解析】由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==⋅，即227a b =， 则222222212732243b c a b b b cosA bc b+-+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属解析：426+ 【解析】 【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故222cos 1sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2212242sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：426+ 【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真，则()24420a a ∆=--≥，解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答解析：13【解析】 【分析】 【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B，(C ， 则：()2,0AB =，(BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC = 据此可知AB 在BC 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：423【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以2，在直角三角形SOA 中()2222222SO SA OA =-=-=所以1122233V sh ==⨯⨯=23 故答案为423三、解答题 26．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．27．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 28．（1）1tan 3cos 2t θθ=+-；（2）6π 【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值．【详解】（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02πθ<<， 所以2tan PC θ=，2cos AC θ=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为2122tan 1tan 3242cos 4cos 2AC BC t θθθθ-=+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθθθ-=+-=+， 令2sin 0cos y θθ-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++解得32y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6πθ=时，所花时间t 最小．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．29．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】【分析】【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OM OPM∠, 所以OM=()sin 45sin 45+OP α。
2018-2019学年吉林省高一下学期期末考试数学（文）试题
2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．若直线经过(1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．135︒ B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】C【解析】利用斜率公式求出直线AB ，根据斜率值求出直线AB 的倾斜角. 【详解】直线AB 的斜率为021AB k ==-AB 的倾斜角为60，故选：C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。
2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -== 所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.3．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的公切线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数. 【详解】圆2220x y x +-=的标准方程为()2211x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径长为1r =.圆2240x y y ++=的标准方程为()2224x y ++=，圆心坐标为()0,2-，半径长为2R =.圆心距为d ==13<<，即R r d R r -<<+，所以，两圆相交，公切线的条数为2，故选：B. 【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：①两圆相离4⇔条公切线；②两圆外切3⇔条公切线；③两圆相交2⇔条公切线； ④两圆内切1⇔条公切线；⑤两圆内含⇔没有公切线. 4．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积（ ） A ．缩小为原来的34B ．缩小为原来的23C ．扩大为原来的2倍D ．不变【答案】A【解析】设原来的圆锥底面半径为r ，高为h ，可得出变化后的圆锥的底面半径为12r ，高为3h ，利用圆锥的体积公式可得出结果. 【详解】设原来的圆锥底面半径为r ，高为h ，该圆锥的体积为213V r h π=， 变化后的圆锥底面半径为12r ，高为3h ， 该圆锥的体积为22113133243V r h r h ππ⎛⎫'=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，变化后的圆锥的体积缩小到原来的34， 故选：A. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.5．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm 2）为（ ）A ．48B ．64C ．80D ．120【答案】C【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，根据三视图的数据，求出几何体的侧面积即可． 【详解】解：三视图复原的几何体是正四棱锥，它的底面边长为：8cm ，斜高为：5cm ， 所以正三棱柱的侧面积为：14852⨯⨯⨯=80 cm 2 故选：C ． 【点睛】本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空间想象能力． 6．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3 B ．13+C ．12D ．4【答案】A【解析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()()1112222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅--- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.7．下列命题中， ,m n 表示两条不同的直线， α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m α⊥， //n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥， βγ⊥，则//αβ；③若//m α， //n α，则//m n ； ④若//αβ， //βγ， m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 【答案】C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥， ，正确。
吉林省长春市“BEST合作体”2018-2019学年下学期期末考试高一数学试卷
“BEST 合作体”2018-2019学年度下学期期末考试高一数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共计60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分） 1.下列命题中正确的是（）A.OA OB AB -=u u u r u u u r u u u rB.0AB BA +=u u u r u u u rC.00AB ⋅=u u u rD.AB BC DC AD +-=u u u r u u u r u u u r u u u r2.下面段程序执行后的结果是（）A.6B.4C.8D.10 3.若a b >，则下列正确的是（）A.22a b > B.ac bc >C.22ac bc > D.a c b c ->- 4.已知ABC △中，60a b B ︒===，那么角A 等于（）A.135°B.45°C.135°或45°D.90°5.从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”.事件C 为“三件产品不全是次品”，别下列结论正确的是（） A.事件A 与C 互斥 B.事件B 与C 互斥 C.任何两个事件均互斥 D.任何两个事件均不互斥6.若,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（）A.3-B.0C.32D.37.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积大于220cm 的概率为（） A.16 B.13 C.23 D.458.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 9.数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（） A.29 B.2563 C.2569 D.255710.在ABC △中，,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边.若cos cos a A b B =，则ABC △是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 11.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A.245 B.285C.5D.6 12.在ABC △中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC △的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中01,01x y ≤≤≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（）A.3 B.3 C.103 D.203第Ⅱ卷（非选择题，共计90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (420)则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是_____________.14.如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a b +=_____________.15.执行如图所示的程序框图，则输出结果S =____________.16.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()241n n S a =+，则n a =________________________.（写出两个即可）三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本小题满分10分）从甲、乙、丙、丁四名同学中选两名代表参加数学竞赛.求： （1）甲被选中的概率； （2）丁没被选中的概率. 18.（本小题满分12分）已知,,a b c r r r是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =r .（1）若||c =r ，且c r与a r 共线，求c r的坐标.（2）若||b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r的夹角θ.19.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边，cos 2cos B b cA a a+=. （1）求角A 的大小；（2）若2,a ABC =△，求边,b c . 20.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试. 求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足，3645,4a a a ==+，公比为正数的等比数列{}n b 满足23511,16b b b ==. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)1()f x m x mx m m R =+-+-∈.（1）若不等式()0f x <的解集是空集，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[1,1]D -⊆，求m 的取值范围.。
2018-2019学年吉林省长春高一下学期期末考试数学(理)试卷12
高一下学期期末考试数学（理）试卷考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。
2.考试完毕交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．已知d c b a ,,,为实数，b a >且d c >，则下列不等式一定成立的是（ ）．A. bd ac >B. d b c a ->-C.c b d a ->-D.ba 11< 2．在空间直角坐标系中，已知()1,0,0P ， ()3,2,2Q -，则P Q 、两点间的距离PQ =（ ）A. B. 4 C. D. 3．在等比数列}{n a 中，44=a ，则=⋅62a a （ ）．A. 4B. 16C. 8D. 324．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1=a ，3=b ，︒=30A ，则角B 等于（ ）．A.︒60 或︒120B.︒30 或︒150C. ︒60D. ︒1205．某同学为了计算3001916131+⋯+++的值，设计了如图所示的程序框图，则①处的判断框内应填入（ ）．A. 98≤iB.99≤iC.100≤iD. 101≤i6．已知圆M:)0(0222>=-+a ay y x 错误！未找到引用源。
截直线0=+y x 错误！未找到引用源。
所得线段的长度是22，则圆错误！未找到引用源。
与圆N:1)1()1(22=-+-y x 错误！未找到引用源。
的位置关系是（ ）A. 内切B. 外切C.相离D.相交7．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ，，， 分别为11D A ， 11D C ，BC ，C C 1 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于（ ）．A.45°B.60°C. 90°D.120°8．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）．A. π20B. π24C. π28D.π329．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，前n 项和为n S ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）．A. 0≥n aB.0109<⋅a aC.172S S <D. 019≤S10．直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是（ ）．A. 063=-+y xB.03=-y xC. 0103=-+y xD.083=+-y x11．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. [)2,-+∞C. []2,2-D. [)0,+∞12．已知P 为直线02=-+y x 错误！未找到引用源。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2018-2019学年吉林省东北师范大学附属中学高一下学期3月阶段验收数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年吉林省东北师范大学附属中学高一下学期3月阶段验收数学（文）试题一、单选题 1．数列12-，2，92-，8，252-，…它的一个通项公式可以是（ ）A ．()212nn n a =-B ．()2112n n n a +=- C ．22n n a =D ．1n n a n =-+ 【答案】A【解析】根据数列中的项,依次代入各选项,即可判断通项公式. 【详解】将1n =代入四个选项可得A 为12-,B 为12,C 为12,D 为12-.所以排除B 、C 选项.将2n =代入A 、D,得A 为2,D 为23-,所以排除D综上可知,A 可以是一个通项公式 故选：A 【点睛】本题考查了数列通项公式的判断,属于基础题.2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，45A =︒，60B =︒，10a =，则b =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由正弦定理,代入即可求解. 【详解】 根据正弦定理可知sin sin a b A B= 因为ABC ∆中,45A =︒,60B =︒,10a = 代入正弦定理可得10sin 45sin 60b=oo所以1010sin60sin452b===oo故选:C【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.3．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，::3:2:4a b c=，则cos C=（）A．14-B．C．14D【答案】A【解析】根据三条边的比,设出三条边.代入余弦定理即可求解.【详解】在ABC∆中,::3:2:4a b c=设3,2,4a kb kc k===由余弦定理222cos2a b cCab+-=代入可得()()()2223241cos2324k k kCk k+-==-⨯⨯故选:A【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的应用,属于基础题.4．设数列{}n a为等差数列，若31340a a+=，则83a=（）A．15 B．20 C．30 D．60【答案】D【解析】根据等差数列的等差中项定义,即可代入求解.【详解】数列{}n a为等差数列,31340a a+=由等差中项定义可知31382a a a+=所以8240a=,即820a=则8332060a =⨯= 故选:D 【点睛】本题考查了等差中项的定义及应用,属于基础题.5．在等比数列 {}n a 中，116a =-，48a =，则 7a =( ) A ．4- B ．4± C ．2- D ．2±【答案】A【解析】Q 等比数列{}n a 中，1416,8a a =-=，且21741744,a a a +=+∴⋅=，247164416a a a ∴===--，故选A.6．若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC =（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】根据三角形面积公式及条件可求得sin A ,进而求得A .再由余弦定理即可求得BC 的值.【详解】ABC ∆的面积为5AB =,8AC =由面积公式1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅代入可得158sin 2A 创?,解得sin 2A = ABC ∆为锐角三角形,所以3A π=在ABC ∆中,由余下定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 代入可得22258258cos 3BC π+-⨯⨯⨯=,即249BC =所以7BC = 故选:B 【点睛】本题考查了三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. 7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】C【解析】根据等比数列前n 项和的性质，得到2S ，42S S -，64S S -成等比数列，进而可求出结果. 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， 所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-， 即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选C 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和的计算，熟记前n 项和的性质即可，属于常考题型. 8．一船以20/km h 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60︒方向上，行驶2h 后，船到B 处，此时看到这个灯塔在北偏东15︒方向上，这时船与灯塔的距离为（ ）A ．102kmB ．202kmC ．3kmD ．203km【答案】B【解析】根据题意,在MAB ∆中表示出各个角及边,即可由正弦定理求解. 【详解】由题意可知,M 在A 的北偏东60︒方向上,M 在B 的北偏东15︒方向上 所以30,105MAB ABM ∠=∠=o o ,则1803010545AMB ∠=︒-︒-︒=︒ 船的速度为20/km h ,从A 行驶2h 后到B 处,所以40AB = 在MAB ∆中,由正弦定理可知sin sin AB BMAMB MAB=∠∠代入可得40sin 45sin 30BM=︒︒,所以14040sin 30sin 452BM ⨯︒===︒:B【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的实际应用,属于基础题.9．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则ABC△的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形【答案】C【解析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果 【详解】利用正弦定理得22sin sin cos sin sin cos AB ABBA =，化简得sin cos sin cos A AB B =， 即11sin 2sin 222A B =，则22A B =或22A B π+=，解得A B =或2A B π+= 故ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形 故选：C 【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题 10．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，若()*5,p q p q N -=∈，则p q a a -=（ ）A ．5B ．20C ．-20D ．-5【答案】B【解析】根据1n n n a S S -=-代入即可求得数列{}n a 的通项公式,根据等差数列定义及5p q -=,即可代入求得p q a a -.【详解】数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈则11235S a ==+=()()221213121n S n n n n -=-+-=--由1n n n a S S -=-,代入可得()()22232141n a n n n n n =+---=+当1n =时也满足41n a n =+ 所以41n a n =+所以41,41p q a p a q =+=+ 又因为()*5,p q p q N-=∈则()()4141p q a a p q -=+-+()420p q =-=故选:B 【点睛】本题考查了根据前n 项和公式求通项公式的方法,等差数列通项公式的应用,属于基础题.11．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足()*11n n a a n N +=+∈，则1231111nS S S S ++++=L （ ） A ．()12n n + B ．()21n n +C ．21nn + D ．()21nn +【答案】C【解析】根据累加法求得数列{}n a 的通项公式,结合等差数列求得前n 项和n S .取倒数后,即可根据裂项法求和,即可求解. 【详解】数列{}n a 中,11a =, 满足()*11n n a a n N +=+∈则11n n a a +-=所以数列{}n a 是以11a =为首项,以1d =为公差的等差数列 由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=数列{}n a 前n 项和为n S ,由等差数列的前n 项和公式可得()12n n n S +=所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1231111nS S S S ++++L 111111111212241331n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-+⎝⎭L122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭ 故选:C 【点睛】本题考查了累加法求数列通项公式的方法,裂项求和法的应用,属于中档题. 12．ABC ∆各角分别为A ，B ，C ，满足sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+≥++，则角A 的范围是（ ） A ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】根据正弦定理边角转化,将式子化为边的表达式.变形后,结合余弦定理即可求得角A 的范围. 【详解】根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 则sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R=== 代入不等式化简可得1b ca c a b+≥++ 即()()221ab b ac c a c a b +++≥++，化简可得222ab b ac c a ab ac bc +++≥+++ 所以222b c a bc +-≥由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=代入可得1cos 22bc A bc ?， 即1cos 2A ≥由余弦函数的图像与性质可知,0,]3A π⎛∈ ⎝故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理中边角转化的应用,余弦定理在解三角形中的应用,余弦函数的图像与性质,属于中档题.二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若222a c b +-=，则角B 的值是________． 【答案】6π 【解析】直接利用余弦定理得到答案. 【详解】222a c b +-=，又2222cos b a c ac A =+- 即cos 6A A π== 故答案为：6π 【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60ab =，面积ABC S ∆=ABC ∆外接圆半径为AB =______.【答案】6【解析】根据三角形面积公式可求得sin C ,结合正弦定理即可求得AB . 【详解】在ABC ∆中,60ab =,面积ABC S ∆= 由三角形面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=代入可得160sin 2C =⨯⨯,解得sin 2C =ABC ∆外接圆半径为由正弦定理可知2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径） 所以2sin AB c R C ==262=⨯= 故答案为:6 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用,三角形面积公式及应用,属于基础题.15．已知数列{}n a 的首项13a =，且12n n a a n +-=，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 【答案】23n n -+【解析】根据累加法,结合等差数列的前n 项和公式,即可求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】数列{}n a 的首项13a =,且12n n a a n +-=,*n N ∈ 由递推公式可得()121n n a a n --=- ()1222n n a a n ---=- ()2323n n a a n ---=- ⋅⋅⋅4323a a -=⨯ 3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯等式左右两边分别相加可得()()()1212223232221n a a n n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅-+-+- ()()()12123321n a a n n n ⎡⎤-=+++⋅⋅⋅-+-+-⎣⎦由13a =及等差数列求和公式可得()()()1113212n n n a nn +---=⨯=-所以23n a n n =-+故答案为: 23n n -+ 【点睛】本题考查了等差数列求和公式的应用,累加法求数列通项公式的应用,属于基础题.16．已知等比数列{}n a 满足1132n n n a a -++=⋅，*n N ∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()2n nS f n a +=的最大值是______. 【答案】3【解析】代入1n =和2n =,即可求得数列的公比和首项.再由等比数列的前n 项和公式求得n S ,代入函数()2n nS f n a +=中,即可根据函数的单调性求得最大值. 【详解】等比数列{}n a 满足1132n n n a a -++=⋅当1n =时,213a a += 当2n =时,32326a a +=⨯= 所以3221623a a q a a +===+代入可得1123a a +=,解得11a =所以1112n n n a a q --==由等比数列的前n 项公式可得()111221112nnn n a q S q--===---所以()112121222n n n f n ---+==+ 则()1122n f n -=+为单调递减函数, 所以当1n =时,()()max 1213f n f ==+= 故答案为:3 【点睛】本题考查了等比数列的应用,等比数列前n 项和公式的求法,函数单调性判断与最值的求法,属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，34A π=，6AB =，AC = （1）求BC 的长；（2）求sin sin B C +的值.【答案】（1）（2【解析】（1）根据余弦定理,代入即可求解.（2）根据正弦定理分别求得sin ,sin B C ,即可代入求得sin sin B C +.【详解】（1）在ABC ∆中,34A π=,6AB =,AC =由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅代入可得(22236264BC π=+-⨯⨯ 即290BC =所以BC =（2）由（1）可知BC =34A π=,6AB =,AC =由正弦定理可知2sin sin sin BC AC AB R A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径）6sin sin sin 4B C ==所以3sinsin B π===36sin6sin 5C π===所以sin sin B C +=【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.18．已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且164a =，公比1q ≠． （1）求n a ；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）72n n a -=（2）(13)2n n n T --= 【解析】(1)由题意结合等比数列的通项公式得到关于q 的方程，解方程即可确定公比的值，然后由等比数列通项公式即可确定数列{}n a 的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式首先求得数列{}n b 的通项公式，然后由等差数列求和公式可得其前n 项和.【详解】（1）由题设可知，32111230a q a q a q -+=，又10a ≠，0q ≠，故22310q q -+=，解得1q =或12q =， 又由题设1q ≠， 所以12q =， 从而1716422n n n a --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．（2）722log log 27n n n b a n -===-，()67(13)22n n n n n T +---==-. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，等差数列前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()()()sin sin sin sin 0a b A B c C A +-+-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =a c +的取值范围.【答案】（1）3B π= （2）【解析】（1）根据正弦定理将角化为边,结合余弦定理即可求得角B .（2）根据正弦定理,求得外接圆半径,再用sin ,sin A B 表示出,a b .结合辅助角公式化简三角函数式,结合角A 的取值范围,即可求得a c +的取值范围.【详解】（1）在ABC ∆中,满足()()()sin sin sin sin 0a b A B c C A +-+-=.角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由正弦定理边角转化可得()()()0a b a b c c a +-+-=化简可得222a b c ac -+= 由余弦定理可知2221cos 222a cb ac B ac ac +-=== 因为0B π<< 所以3B π=（2）由正弦定理可知2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 则由（1）可知3B π=,b =所以22sin sin 3b R B π=== 则2sin 2sin ,2sin 2sin a R A Ac R C C ====所以2sin 2sin a c A C +=+2sin 2sin 3A A ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为3B π= 所以203A π<<则5666A πππ<+<1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以6A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即a c +的取值范围为【点睛】 本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角函数式的化简求值,边角转化的应用,属于中档题.20．在数列{}n a 中，11a =，11n n n a a a +=+，设1n n b a =，*n N ∈ （Ⅰ）求证数列{}n b 是等差数列，并求通项公式n b ；（Ⅱ）设12n n n c b -=⋅，且数列{}n c 的前n 项和n S ，若R λ∈，求使1n n S c λ-≤恒成立的λ的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析；n b n =（Ⅱ）2λ≥【解析】（Ⅰ）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；（Ⅱ）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.【详解】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，11111n n n na a a a ++==+， 所以，1111n na a +-=，所以11n nb b +-=， 又1111b a ==，所以，数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列{}n b 的通项公式为：n b n =. 证法二：由条件，得111111n n n n n n n a b b a a a a +++-=-=- 1n na a == 又1111b a ==，所以，数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列{}n b 的通项公式为：n b n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n c n -=⋅，则01112222n n S n -=⋅+⋅++⋅L ，①12212222n n S n =⋅+⋅++⋅L ②由①-②得，0112222n n n S n --=+++-⋅L01222212n n n --⨯=-⋅- ()112n n =-+-⋅∴()112nn S n =+-⋅ ∵0n c >，∴1n n S c λ-≤恒成立，等价于1n nS c λ-≥对任意*n N ∈恒成立. ∵()11212222nn n n n S c n n ---==-<， ∴2λ≥.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值范围，保持思路清晰是正确解题的关键.。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_5
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知点，向量＝( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接运用向量的坐标表示，求出.【详解】，故本题选A.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，准确记忆向量的坐标公式是解题的关键.2.若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）A. a|c|＜b|c|B. ab＜bcC. a﹣c＜b﹣cD.【答案】C【解析】∵a<b<c，当c=0时，a|c|<b|c|不成立，故A错误；当b=0时，ab<bc不成立，故B错误；a−c<b−c一定成立，故C正确；当a,b,c异号时,>>不成立，故D错误；故选：C3.在等差数列{an}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A. 60B. 61C. 62D. 63【答案】B【解析】试题分析：，选B.考点：等差数列通项公式4.已知中，，，则角等于（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接运用正弦定理，可以求出角的大小.【详解】由正弦定理可知：，因为角是的内角，所以，因此角等于，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.5.等比数列中，那么为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质得：，所以=4.考点：本题考查等比数列的性质。
点评：直接考查等比数列的性质，属于基础题型。
6.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7.已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )A. πB.C. 2πD. 3π【答案】C【解析】【分析】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可以求出，进而可以求出该圆锥内切球的表面积.【详解】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可得，解得，圆锥内切球的表面积为，故本题选C.【点睛】本题考查了圆锥内切球的表面积，考查了数学运算能力.8.已知，为单位向量，设与的夹角为，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，，∴，故选B．9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A. 8B.C.D. 4【答案】B【解析】试题分析：该几何体是一正三棱柱，底面边长为2，高为4，所以，底面三角形的高为，其侧视图面积为4×=，故选B。
吉林省长春市高一下学期数学期末考试试卷
吉林省长春市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合且，若集合只有一个子集，则k的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知U={1,2,3,4,5,6,7}，A={5,6,3}，B={1,2,3}，（）A .B . {1,2,3}C . {4,7}D . U3. （2分）下列函数中，值域是的函数为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·山西月考) 设函数在上为减函数，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知偶函数满足当x>0时，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·长葛月考) 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017·河北模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A . 16+8B . 16+4C . 48+8D . 48+48. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·荔湾期中) 函数的反函数记为，则的单调增区间是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数，则f(x)=（）A . 在上单调递增B . 在上单调递增C . 在上单调递减D . 在上单调递减11. （2分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A .B . 3C .D . 1212. （2分）函数，则（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知a=， b=，，则a，b，c的大小关系为________14. （1分）一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________15. （1分） (2016高一上·南京期中) 若f（x）=|x+a|（a为常数）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数，则a 的取值范围是________．16. （1分） (2018高一上·张掖期末) 函数，当时，，则该函数的单调递减区间是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2017高一上·金山期中) 已知集合P={a|不等式x2+ax+ ≤0有解}，集合Q={a|不等式ax2+4ax ﹣4＜0对任意实数x恒成立}，求P∩Q．18. （10分） (2018高一上·华安期末) 如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是．（1）用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？19. （5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．20. （15分） (2017高一上·定州期末) 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（3）=1，（1）求f（1），的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．21. （10分）(2020·南京模拟) 设，记.（1）求；（2）记，求证：恒成立.22. （15分） (2016高一上·沈阳期中) 设f（x）=log 为奇函数，a为常数，（1）求a的值；（2）证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（）x+m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
吉林省长春市2019版高一下学期数学期末考试试卷A卷
吉林省长春市2019版高一下学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列两个函数相等的是（）A . y＝与y＝xB . y＝与y＝|x|C . y＝|x|与y＝D . y＝与y＝2. （2分）设个实数x1 ，x2 ，．．．，xn的算术平均数为，若，设，，则一定有（）A . p>qB . p<qC . p=qD .3. （2分）(2019·临沂模拟) 已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（）A . 众数为7B . 极差为19C . 中位数为64.5D . 平均数为644. （2分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）(2017·山西模拟) 对于两个不重合的平面α与β，给定下列条件，其中可以判定α与β平行的条件是（）A . α内有不共线的三点到β的距离相等；B . a内存在直线平行于平面βC . 存在平面γ，使得α⊥γ，β⊥γD . 存在异面直线l，m使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β6. （2分） (2016高一下·上栗期中) 在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形7. （2分）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）在直线y=2x+1上有一点p，过点p且垂直于直线4x+3y-3=0的直线与圆x2+y2-2x=0有公共点，则点p的横坐标取值范围是（）A .B . (-1,1)C .D .9. （2分） (2016高三上·台州期末) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M在平面PBC内，且AM=7，设异面直线AM与BC所成角为α，则cosα的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）点（a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣9=0的内部，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜3B . 1＜a＜3C . ＜a＜1D . ﹣＜a＜111. （2分）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，高为3，则其外接球的表面积为（）A . 9πB .C . 16πD .12. （2分）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心（三条中线的交点），AB边的中点为D．动点P满足，则点P一定为△ABC的（）A . 线段CD的中点B . 线段CD靠近C的四等分点C . 重心D . 线段CD靠近C的三等分点二、填空题 (共5题；共14分)13. （1分） (2018高一下·淮南期末) 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是________ （结果保留根式）．14. （1分） (2018高二上·北京月考) 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是________15. （1分） (2018高一下·安徽期末) 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为________．16. （1分） (2016高三上·山西期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 + =2a，b= ，则△ABC面积是________17. （10分） (2018高一下·庄河期末) 某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，可见部分如下试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于，，和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于分数段的概率.三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2017·东城模拟) 在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．12345678910甲乙根据统计表的信息：（1）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（2）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（3）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．19. （10分） (2019高三上·汉中月考) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.20. （10分） (2016高二下·松原开学考) 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．21. （10分） (2017高二上·南宁月考) 如图，在四棱锥中，直线平面，.（1）求证：直线平面 .（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.22. （10分） (2018高二上·台州月考) 如图，已知圆，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于．（1）若，求过点的圆的切线方程；（2）若，求△ 面积的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共14分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、17-2、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2018-2019学度吉林长春联考高一下年末数学理科试卷含解析解析.doc.doc
2018-2019学度吉林长春联考高一下年末数学理科试卷含解析解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
一、选择题：〔本大题共计12小题，每题4分，共48分、在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求、〕1、〔4分〕△ABC中，假设a＝1，c＝2，B＝60°，那么△ABC的面积为〔〕A、B、 C、1 D、2、〔4分〕，那么a＝〔〕10A、﹣3B、C、D、3、〔4分〕在锐角△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，那么A等于〔〕A、30°B、60°C、60°或120°D、30°或150°4、〔4分〕不等式组，所表示的平面区域的面积等于〔〕A、B、C、D、5、〔4分〕在R上定义运算，假设成立，那么x的取值范围是〔〕A、〔﹣4，1〕B、〔﹣1，4〕C、〔﹣∞，﹣4〕∪〔1，＋∞〕D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔4，＋∞〕6、〔4分〕在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC＝2：3：4，那么cosC等于〔〕A、B、 C、 D、｝的前n项和为48，前2n项和为60，那么前3n 7、〔4分〕一个等比数列｛an项和为〔〕A、63B、108C、75D、838、〔4分〕x，y是正数，且，那么x＋y的最小值是〔〕A、6B、12C、16D、24①假设a》b，c《0，那么ac》bc；②假设a》b，那么ac2》bc2；③假设ac2《bc2，那么a《b；④；⑤假设a》b》0，c》d》0，那么ac》bD、其中真命题的个数是〔〕A、1B、2C、3D、410、〔4分〕假设正数x，y满足x＋3y＝5xy，那么3x＋4y的最小值是〔〕A、B、C、5 D、611、〔4分〕假设不等式ax2＋2ax﹣4《2x2＋4x对任意实数x均成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A、〔﹣2，2〕B、〔﹣2，2】C、〔﹣∞，﹣2〕∪【2，∞〕D、〔∞，2】12、〔4分〕方程〔x2﹣mx＋2〕〔x2﹣nx＋2〕＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，那么｜m﹣n｜＝〔〕A、1B、C、D、二.填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13、〔4分〕不等式》1的解集是、14、〔4分〕假设等比数列｛an ｝的各项均为正数，且a7a11＋a8a10＝2e4，lna1＋lna2＋lna3＋…＋lna17＝、15、〔4分〕在△ABC中，面积，那么∠C等于、16、〔4分〕设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f〔﹣5〕＋f〔﹣4〕＋…＋f〔0〕＋…＋f〔5〕＋f〔6〕的值是、【三】解答题〔共56分，需要写出必要的解答和计算步骤〕17、〔10分〕假设不等式ax2＋5x﹣2》0的解集是，那么不等式ax2﹣5x＋〔a2﹣1〕》0的解集是、18、〔10分〕｛an ｝是等差数列，Sn是其前n项和、a1＋a3＝16，S4＝28、〔1〕求数列｛an｝的通项公式〔2〕当n取何值时Sn最大，并求出这个最大值、19、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设向量＝〔﹣cosB，sinC〕，＝〔﹣cosC，﹣sinB〕，且、〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设b＋c＝4，△ABC的面积，求a的值、20、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA＋acosB ＝0、〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b＝2，求△ABC面积的最大值、21、〔12分〕数列｛an ｝的前n项和为Sn，且Sn＝n〔n＋1〕〔n∈N×〕〔1〕求数列｛an｝的通项公式；〔2〕假设数列｛bn ｝满足：an＝＋＋＋…＋，求数列｛bn｝的通项公式；〔3〕令cn ＝〔n∈N×〕，求数列｛cn｝的前n项和Tn、2016－2017学年吉林省长春联考高一〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题共计12小题，每题4分，共48分、在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求、〕1、〔4分〕△ABC中，假设a＝1，c＝2，B＝60°，那么△ABC的面积为〔〕A、B、 C、1 D、【解答】解：S＝＝＝、△ABC应选B、2、〔4分〕，那么a＝〔〕10A、﹣3B、C、D、【解答】解：∵，，…写出几项发现数列是一个具有周期性的数列，且周期是3，∴，应选B、3、〔4分〕在锐角△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，那么A等于〔〕A、30°B、60°C、60°或120°D、30°或150°【解答】解：锐角△ABC中，由正弦定理可得＝，∴sinA＝、∵B＝45°，a》b，再由大边对大角可得A》B，故B＝60°，应选：B、4、〔4分〕不等式组，所表示的平面区域的面积等于〔〕A、B、C、D、【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∴S四边形OBAC ＝S△OBA＋S△OCA＝、应选：C、5、〔4分〕在R上定义运算，假设成立，那么x的取值范围是〔〕A、〔﹣4，1〕B、〔﹣1，4〕C、〔﹣∞，﹣4〕∪〔1，＋∞〕D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔4，＋∞〕【解答】解：因为，所以，化简得；x2＋3x《4即x2＋3x﹣4《0即〔x﹣1〕〔x＋4〕《0，解得：﹣4《x《1，应选A、6、〔4分〕在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC＝2：3：4，那么cosC等于〔〕A、B、 C、 D、【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝2：3：4可设a＝2k，b＝3k，c＝4k〔k》0〕由余弦定理可得，＝应选：D7、〔4分〕一个等比数列｛an｝的前n项和为48，前2n项和为60，那么前3n 项和为〔〕A、63B、108C、75D、83【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列、那么等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48＝12，∴第三个n项的和为：＝3，∴前3n项的和为60＋3＝63、应选：A、8、〔4分〕x，y是正数，且，那么x＋y的最小值是〔〕A、6B、12C、16D、24【解答】解：x＋y＝〔x＋y〕〔＋〕＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋6＝16，当且仅当x＝4，y＝12时取等号，故x＋y的最小值是16，应选：C9、〔4分〕对于任意实数a、b、c、d，命题：①假设a》b，c《0，那么ac》bc；②假设a》b，那么ac2》bc2；③假设ac2《bc2，那么a《b；④；⑤假设a》b》0，c》d》0，那么ac》bD、其中真命题的个数是〔〕A、1B、2C、3D、4【解答】解：①根据不等式的性质可知假设a》b，c《0，那么ac》bc或ac《bc，∴①错误、②当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴②错误、③假设ac2》bc2，那么c≠0，∴a《b成立，∴③正确、④当a＝1，b＝﹣1时，满足a》b，但不成立，∴④错误、⑤假设a》b》0，c》d》0，那么ac》bd》0成立，∴⑤正确、故正确的选项是③⑤、应选：B、10、〔4分〕假设正数x，y满足x＋3y＝5xy，那么3x＋4y的最小值是〔〕A、B、C、5 D、6【解答】解：∵正数x，y满足x＋3y＝5xy，∴＝1∴3x＋4y＝〔〕〔3x＋4y〕＝＋＋＋≥＋2＝5当且仅当＝时取等号∴3x＋4y≥5即3x＋4y的最小值是5应选：C11、〔4分〕假设不等式ax2＋2ax﹣4《2x2＋4x对任意实数x均成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A、〔﹣2，2〕B、〔﹣2，2】C、〔﹣∞，﹣2〕∪【2，∞〕D、〔∞，2】【解答】解：不等式ax2＋2ax﹣4《2x2＋4x，可化为〔a﹣2〕x2＋2〔a﹣2〕x﹣4《0，当a﹣2＝0，即a＝2时，恒成立，合题意、当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2《a《2、所以a的取值范围为〔﹣2，2】、应选B、12、〔4分〕方程〔x2﹣mx＋2〕〔x2﹣nx＋2〕＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，那么｜m﹣n｜＝〔〕A、1B、C、D、【解答】解：设这四个根为x1，x2，x3，x4，公比为p其所有可能的值为，，，，由得x1x2x3x4＝4，即，那么p6＝64⇒p＝±2、当p＝2时，四个根为，1，2，4，且，4为一组，1，2为一组，那么＋4＝m，1＋2＝n，那么；当p＝﹣2时，不存在任两根使得x1x2＝2，或x3x4＝2，∴p＝﹣2舍去、应选B、二.填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13、〔4分〕不等式》1的解集是｛x｜﹣2《x《﹣｝、【解答】解：不等式，移项得：》0，即《0，可化为：或，解得：﹣2《x《﹣或无解，那么原不等式的解集是｛x｜﹣2《x《﹣｝、故答案为：｛x｜﹣2《x《﹣｝14、〔4分〕假设等比数列｛an ｝的各项均为正数，且a7a11＋a8a10＝2e4，lna1＋lna2＋lna3＋…＋lna17＝34、【解答】解：∵数列｛an ｝为等比数列，且a7a11＋a8a10＝2e4，∴a7a11＋a8a10＝2a8a10＝2e4，那么a8a10＝e4，∴lna1＋lna2＋…lna17＝ln〔a1a2…a17〕＝34，故答案为：34、15、〔4分〕在△ABC中，面积，那么∠C等于45°、【解答】解：由三角形的面积公式得：S＝absinC，而，所以absinC＝，即sinC＝＝cosC，那么sinC＝cosC，即tanC＝1，又∠C∈〔0，180°〕，那么∠C＝45°、故答案为：45°16、〔4分〕设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f〔﹣5〕＋f〔﹣4〕＋…＋f〔0〕＋…＋f〔5〕＋f〔6〕的值是3、【解答】解：∵，∴f〔1﹣x〕＝＝∴f〔x〕＋f〔1﹣x〕＝∴f〔﹣5〕＋f〔﹣4〕＋…＋f〔0〕＋…＋f〔5〕＋f〔6〕＝6×＝3故答案为：3【三】解答题〔共56分，需要写出必要的解答和计算步骤〕17、〔10分〕假设不等式ax2＋5x﹣2》0的解集是，那么不等式ax2﹣5x＋〔a2﹣1〕》0的解集是、【解答】解：∵ax2＋5x﹣2》0的解集是，∴a《0，且，2是方程ax2＋5x﹣2＝0的两根韦达定理×2＝，解得a＝﹣2；那么不等式ax2﹣5x＋a2﹣1》0即为﹣2x2﹣5x＋3》0，解得故不等式ax2﹣5x＋a2﹣1》0的解集、故答案为：18、〔10分〕｛an ｝是等差数列，Sn是其前n项和、a1＋a3＝16，S4＝28、〔1〕求数列｛an｝的通项公式〔2〕当n取何值时Sn最大，并求出这个最大值、【解答】解：〔1〕设等差数列｛an｝的公差为d，∵a1＋a3＝16，S4＝28、∴2a1＋2d＝16，4a1＋d＝28，联立解得：a1＝10，d＝﹣2、∴an＝10﹣2〔n﹣1〕＝12﹣2n、〔2〕令an＝12﹣2n≥0，解得n≤6、∴n＝5，或6时，Sn 取得最大值，为S6＝＝30、19、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设向量＝〔﹣cosB，sinC〕，＝〔﹣cosC，﹣sinB〕，且、〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设b＋c＝4，△ABC的面积，求a的值、【解答】解：〔Ⅰ〕∵＝〔﹣cosB，sinC〕，＝〔﹣cosC，﹣sinB〕，∴，即，∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π﹣A，可得cos〔B＋C〕＝，…〔4分〕即，结合A∈〔0，π〕，可得、…〔6分〕〔Ⅱ〕∵△ABC的面积＝＝，∴，可得bc＝4、…〔8分〕又由余弦定理得：＝b2＋c2＋bc，∴a2＝〔b＋c〕2﹣bc＝16﹣4＝12，解之得〔舍负〕、…〔12分〕20、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA＋acosB ＝0、〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b＝2，求△ABC面积的最大值、【解答】解：〔1〕由bsinA＋acosB＝0及其正弦定理可得：sinBsinA＋sinAcosB ＝0，sinA≠0，∴sinB＋cosB＝0，即tanB＝﹣1，又0《B《π，∴B＝、〔2〕由余弦定理，可得＝≥2ac＋ac，∴ac≤＝2〔2﹣〕，当且仅当a＝c时取等号、∴S△ABC＝sinB≤＝﹣1，故△ABC面积的最大值为：﹣1、21、〔12分〕数列｛an ｝的前n项和为Sn，且Sn＝n〔n＋1〕〔n∈N×〕〔1〕求数列｛an｝的通项公式；〔2〕假设数列｛bn ｝满足：an＝＋＋＋…＋，求数列｛bn｝的通项公式；〔3〕令c n ＝〔n ∈N ×〕，求数列｛c n ｝的前n 项和T n 、 【解答】解：〔1〕∵数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n ＝n 〔n ＋1〕〔n ∈N ×〕， ∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 〔n ＋1〕﹣n 〔n ﹣1〕＝2n 、 n ＝1时，a 1＝S 1＝2，对于上式也成立、∴a n ＝2n 、〔2〕数列｛b n ｝满足：a n ＝＋＋＋…＋，∴n ≥2时，a n ﹣a n ﹣1＝＝2、 ∴b n ＝2〔3n ＋1〕、n ＝1时，＝a 1＝2，可得b 1＝8，对于上式也成立、 ∴b n ＝2〔3n ＋1〕、〔3〕c n ＝＝＝n •3n ＋n ，令数列｛n •3n ｝的前n 项和为A n ，那么A n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n •3n ， ∴3A n ＝32＋2×33＋…＋〔n ﹣1〕•3n ＋n •3n ＋1，∴﹣2A n ＝3＋32＋…＋3n ﹣n •3n ＋1＝﹣n •3n ＋1， 可得A n ＝、∴数列｛c n ｝的前n 项和T n ＝＋、。
吉林省长春市“BEST合作体”2018-2019年下学期期末考试高一数学试卷(无答案)
“BEST 合作体”2018-2019学年度下学期期末考试高一数学试题命题人：周绪鑫 2019-6-24本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共计60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分） 1.下列命题中正确的是（ ）A.OA OB AB -=u u u r u u u r u u u rB.0AB BA +=u u u r u u u rC.00AB ⋅=u u u rD.AB BC DC AD +-=u u u r u u u r u u u r u u u r2.下面段程序执行后的结果是（ ）A.6B.4C.8D.10 3.若a b >，则下列正确的是（ ）A.22a b > B.ac bc >C.22ac bc > D.a c b c ->- 4.已知ABC △中，60a b B ︒===，那么角A 等于（ ）A.135°B.45°C.135°或45°D.90°5.从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”.事件C 为“三件产品不全是次品”，别下列结论正确的是（ ） A.事件A 与C 互斥 B.事件B 与C 互斥 C.任何两个事件均互斥 D.任何两个事件均不互斥6.若,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A.3-B.0C.32D.37.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积大于220cm 的概率为（ ） A.16 B.13 C.23 D.458.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为（ ）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 9.数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ） A.29 B.2563 C.2569 D.255710.在ABC △中，,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边.若cos cos a A b B =，则ABC △是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 11.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A.245 B.285C.5D.6 12.在ABC △中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC △的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中01,01x y ≤≤≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（ ）C.103D.203第Ⅱ卷（非选择题，共计90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420. 则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是_____________.14.如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a b +=_____________.15.执行如图所示的程序框图，则输出结果S =____________.16.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()241n n S a =+，则n a =________________________.（写出两个即可）三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本小题满分10分）从甲、乙、丙、丁四名同学中选两名代表参加数学竞赛.求： （1）甲被选中的概率； （2）丁没被选中的概率. 18.（本小题满分12分）已知,,a b c r r r是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =r .（1）若||c =r ，且c r 与a r共线，求c r 的坐标.（2）若||b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r的夹角θ.19.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边，cos 2cos B b cA a a+=.（1）求角A 的大小；（2）若2,a ABC △,b c . 20.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试. 求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率 21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足，3645,4a a a ==+，公比为正数的等比数列{}n b 满足23511,16b b b ==. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)1()f x m x mx m m R =+-+-∈.（1）若不等式()0f x <的解集是空集，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[1,1]D -⊆，求m 的取值范围.。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
【全国百强校】吉林省2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018—2019学年下学期高一期末考试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上）1.过点且与直线平行的直线方程是（）．A. B. C. D.2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且，则∠A等于（）A. 60°B. 30°C. 120°D. 150°3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.4.直线的倾斜角的取值范围是A. B.C. D.5.空间四边形SABC中，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC、AB的中点，那么EF=A. 1B.C.D.6.下列结论正确的是（）A. 当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B. 当x＞1时，≥2C. 当x≥2时，x+有最小值2D. 当0＜x≤2时，x﹣有最大值7.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是A. 若α∥β，mα，nβ，则m∥nB. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC. 若aα，bβ，a∥b，则α∥βD. m、n是两异面直线，若m∥α，m∥β，且n∥α，n∥β，则α∥β8.设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为，且有则此三角形的面积为A. B. C. 或 D. 或9.在圆x2+y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差，那么n的取值集合为A. {4，5，6，7}B. {4，5，6}C. {3，4，5，6}D. {3，4，5}10.已知{an}的前n项和S n= n 2-4 n +1,则|a1|+| a 2|+…+| a10|=A. 68B. 67C. 61D. 6011.已知数列{a n}满足a1＝0, a n＋1＝（n＝1, 2, 3, …）, 则a2008等于A. 0B.C.D.12.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A. [，]B. [，3]C. [-1，]D. [，3];二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.13.已知中，，，，则面积为_________.14.若点是不等式组表示平面区域内一动点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是___.15.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为_________.16.已知是与圆的公共点，则当_______时，最小三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）17.已知直线l1：，l2：.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.18.在△ABC中，，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且（1）求∠B的大小；（2）若，，求及19.已知数列为等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）证明20.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_6
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修1，必修2占30%，必修3，必修4占70%.第I卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据交集的定义直接计算即可得解.【详解】集合，，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.下列各角中，与126°角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°．故选B．【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．3.已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A. 2，3B. 3，3C. 2.5，3D. 2.5，2【解析】【分析】将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.4.下列函数，是偶函数的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.5.已知，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】等式分子分母同时除以即可得解.【详解】由可得.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.6.在集合且中任取一个元素，所取元素x恰好满足方程的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合中的元素，分别判断是否满足即可得解.【详解】集合且的元素，,，，，，.基本事件总数为，满足方程的基本事件数为.故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.7.已知向量，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，即可得，再结合即可得解.【详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.8.一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别解和时条件对应的不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为即，解得.综上，的x的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因，所以，所以函数的表达式为．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.11.在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则三角形PBD的面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解.【详解】如图，设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则，，满足条件的点在和中，所求概率.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.12.关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则实数________.【答案】2或【解析】【分析】根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14.按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.【答案】5【解析】【分析】根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15.圆与圆的公共弦长为________.【答案】【解析】【分析】先求出公共弦方程为，再求出弦心距后即可求解.【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离为，公共弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.16.把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数.求：（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；（2）函数的单调递增区间.【答案】（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.【详解】（1），函数的最大值为，最小值为；函数的最小正周期为.（2）令，得：，故函数的增区间为.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题19.某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？相关公式：，【答案】（1）；（2）12万元毛利率更大【解析】【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意，.，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，对应的毛利率为，当时，，对应的毛利率为，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20.已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.（1）求函数的表达式：（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.【详解】（1）由题意，函数图象关于直线对称，.即.又，，得，由得，故.则函数的表达式为（2），.，，则函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.21.有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）分数在的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用之间的人数和频率即可求出，进而可求出、；（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.【详解】（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意知，分数在的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为，和，，，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.22.已知函数.（1）证明函数在定义域上单调递增；（2）求函数的值域；（3）令，讨论函数零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点【解析】【分析】（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得，对两边同时平方得，求出的取值范围即可得解；（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】（1）证明：令，解得，故函数的定义域为令，由，可得，所以，，故即，所以函数在定义域上单调递增.（2）由，，故，，当时，，有，可得：，故，由，可得，故函数的值域为，（3）由（2）知，则，令，则，令，①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；③当时，，二次函数开口向下，对称轴，又，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修1，必修2占30%，必修3，必修4占70%.第I卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义直接计算即可得解.【详解】集合，，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.下列各角中，与126°角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°．故选B．【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．3.已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A. 2，3B. 3，3C. 2.5，3D. 2.5，2【答案】C【解析】【分析】将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.4.下列函数，是偶函数的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.5.已知，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】等式分子分母同时除以即可得解.【详解】由可得.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.6.在集合且中任取一个元素，所取元素x恰好满足方程的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合中的元素，分别判断是否满足即可得解.【详解】集合且的元素，,，，，，.基本事件总数为，满足方程的基本事件数为.故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.7.已知向量，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，即可得，再结合即可得解.【详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.8.一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别解和时条件对应的不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为即，解得.综上，的x的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因，所以，所以函数的表达式为．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.11.在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则三角形PBD的面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解.【详解】如图，设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则，，满足条件的点在和中，所求概率.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.12.关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则实数________.【答案】2或【解析】【分析】根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14.按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.【答案】5【解析】【分析】根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15.圆与圆的公共弦长为________.【答案】【解析】【分析】先求出公共弦方程为，再求出弦心距后即可求解.【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离为，公共弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.16.把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数.求：（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；（2）函数的单调递增区间.【答案】（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.【详解】（1），函数的最大值为，最小值为；函数的最小正周期为.（2）令，得：，故函数的增区间为.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题19.某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？相关公式：，【答案】（1）；（2）12万元毛利率更大【解析】【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意，.，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，对应的毛利率为，当时，，对应的毛利率为，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20.已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.（1）求函数的表达式：（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.【详解】（1）由题意，函数图象关于直线对称，.即.又，，得，由得，故.则函数的表达式为（2），.，，则函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.21.有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）分数在的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用之间的人数和频率即可求出，进而可求出、；（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.【详解】（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意知，分数在的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为，和，，，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.22.已知函数.（1）证明函数在定义域上单调递增；（2）求函数的值域；（3）令，讨论函数零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点【解析】【分析】（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得，对两边同时平方得，求出的取值范围即可得解；（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】（1）证明：令，解得，故函数的定义域为令，由，可得，所以，，故即，所以函数在定义域上单调递增.（2）由，，故，，当时，，有，可得：，故，由，可得，故函数的值域为，（3）由（2）知，则，令，则，令，①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；③当时，，二次函数开口向下，对称轴，又，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.。
2023-2024学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试题+答案解析
2023-2024学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数，则()A. B. C. D.2.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的为()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为()A. B.C.50D.4.在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是()A. B. C. D.5.数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是()A. B.C.6D.86.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为()A. B.C. D.7.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是()A. B.166C. D.1688.棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为()A.1B.C.D.2二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长单位：小时，得到如图所示的频率分布直方图．则()A.a的值为B.估计员工平均服务时长为45小时C.估计员工服务时长的中位数为小时D.估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人10.正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为()A. B. C.12 D.1611.如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则()A. B.C.MC的长度为D.点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
【高一数学试题精选】东北师大附中2018年高一数学下学期期末试题(含答案)
当圆与直线相切时有，解得
故所求直线方程为┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
∴综上，所求直线方程为或┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19．⑴证明如图一，连结与交于点，连结
在△中，、为中点，∴∥
又平面，平面，∴∥平面
图一图二
（II）证明∵为的中点，∴
又，，∴平面
又∵平面∴平面平面
（III）取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，
(2)【】如图，过点E作EF⊥Bc于点F，连接SF
由(1)知SE⊥平面ABcD，而Bc平面ABcD，∴Bc⊥SE，
又SE∩EF＝E，∴Bc⊥平面SEF，
∵Bc平面SBc，∴平面SEF⊥平面SBc
过点E作EG⊥SF于点G，
则EG⊥平面SBc，即线段EG的长即为三棱锥E－SBc的高．
由(1)易知，BE＝2，cE＝23，
解(1)证明∵平面SAD⊥平面ABcD且平面SAD∩平面ABcD＝AD，SE平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABcD∵BE平面ABcD，∴SE⊥BE
∵AB⊥AD，AB∥cD，cD＝3AB＝3，AE＝ED＝3，
∴∠AEB＝30°，∠cED＝60°∴∠BEc＝90°，即BE⊥cE
又SE∩cE＝E，∴BE⊥平面SEc，∵平面SEc，∴
东北师大附中2018年高一数学下学期期末试题（含答案）
5 c
--2018学年（高一）年级下学期
期末考试数学学科答案
一．选择题
123456789101112
AccDBAAcDBAc
二．填空题
13 4 14 15 16
三．解答题
17解（1）
又┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
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【解析】
【分析】
（1）可利用线线平行来证明线面平行
（2）可采用等体积法进行求解
【详解】
证明：（1）如图，连结BD；
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD交AC于F且F为BD中点；
又因为E为 中点，所以 ；
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）三棱锥 的体积 .
【点睛】
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥曲线的定义，关键是掌握圆柱与圆锥的几何特征.
5．C
【解析】
【分析】
通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成
【详解】
圆柱的侧面积为 ，圆锥的表面积为 ，其中 ， ， 。选C
【点睛】
几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在
【详解】
如图所示，设弦 中点为D，圆心C(3,2),
弦心距 ，又 ，
由勾股定理可得 ，
答案选A
【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式
11．A
【解析】
【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1= ，
绝密★启用前
吉林省长春市东北师大附中2018-2019学年高一（下)期末数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
12．D
【解析】
【分析】
对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解
【详解】
因为
所以点 到 中每条直线的距离 即 为圆 的全体切线组成的集合，所以存在圆心在 ， 半径大于1的圆与 中所有直线相交, A正确
也存在圆心在 ，半径小于1的圆与 中所有直线均不相交，B正确
也存在圆心在 半径等于1的圆与 中所有直线相切，C正确
①三棱锥 体积的最大值为 ；
②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为 ；
③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为 ；
④直线BQ与AP所成角的最大值为 ；
其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ，AC的中点．
（1）证明： 平面 ；
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
5．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位： ）是（）
A． B． C． D．
6．已知圆C与直线 和直线 都相切，且圆心C在直线 上，则圆C的方程是（）
A． B．
C． D．
7．已知直线 与直线 平行，则实数m的值为（）
20．如图，在四棱柱 中，底面ABCD为菱形， 平面ABCD，AC与BD交于点O， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
21．平面直角坐标系 中，圆M与y轴相切，并且经过点 ， ．
（1）求圆M的方程;
（2）过点 作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．
故 正确
因为 中的直线与以 为圆心，半径为1的圆相切,所以 中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等,
故 错误，答案选D.
【点睛】
本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.
13．3
【解析】
【分析】
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值
19．(1) 证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）先证 ，再证 ，即可得证；要证 平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明
A． B． C． D．
10．直线 与圆 相交于M，N两点，若 ．则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．设直线系 ．下列四个命题中不正确的是（）
A．存在一个圆与所有直线相交
6．B
【解析】
【分析】
设出圆的方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可
即可求解
【详解】
∵圆心在直线 上，∴可设圆心为 ，设所求圆的方程为 ，
则由题意， 解得
∴所求圆的方程为 。选B
【点睛】
直线与圆的问题绝大多数都是转化为圆心到直线的距离公式进行求解
7．B
【解析】
【分析】
两直线平行应该满足 ，利用系数关系及可解得m.
【点睛】
当直线斜率存在时，直线垂直的斜率关系为
3．D
【解析】
【分析】
A选项可由线面平行的性质作出判断，B选项可由面面平行的判定定理作出判断，C选项可由面面垂直的性质作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断
【详解】
当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，
B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，
【详解】
可行域如图所示;
则 可化为 ,由图象可知,当 过点 时，有最大值，则其最大值为:
故答案为:3.
【点睛】
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）
14．
【解析】
【分析】
由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程
【详解】
∵直线过（0，5），
∴ ，
∴高SD=2OO1= ，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC= ，
∴ ．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
根据题意，当截面过旋转轴时，
圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（4）符合条件；
故截面图形可能是（1）（4）；
， ， ，由几何关系可求得 ， 选B.
【点睛】
解决异面直线问题常用两种基本方法：异面直线转化成共面直线、空间向量建系法
9．C
【解析】
【详解】
如图，取 中点 ，则 平面 ，
故 ，因此 与平面 所成角即为 ，
设 ，则 ， ，
即 ，
故 ，故选C.
10．A
【解析】
【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，
D选项中，如下图所示
设 ， ，又 ，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得 ，又 ，
选D
【点睛】
考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题
4．D
【解析】
【分析】
22．已知点 ， ，动点 满足 ，记M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限， 轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．
（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;
（ii）求 面积的最大值及此时直线l的方程．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
（2）求三棱锥 的体积．
18．在平面直角坐标系中，点 ，点P在x轴上
（1）若 ，求点P的坐标：
（2）若 的面积为10，求点P的坐标．
19．如图．在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD，且 ． ， ，M、N分别为棱PC，PB的中点.
（1）证明：A，D，M，N四点共面，且 平面ADMN；
（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．
【详解】
两直线平行
，可得 （舍去）.选B.
【点睛】
两直线平行的一般式对应关系为： ，若是已知斜率，则有 ，截距不相等.
8．B
【解析】
【分析】
可采用建立空间直角坐标系的方法来求两条异面直线所成的夹角，
【详解】
如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系
∴直线在y轴上的截距为5，
又直线在两坐标轴上的截距之和为2，
∴直线在x轴上的截距为2-5=-3
∴直线方程为 ,即5x-3y+15=0
【点睛】
直线方程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式
15．
【解析】
【详解】
如图
分别作 于A, 于C, 于B, 于D,