第2讲函数与方程思想、数形结合思想1

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最新人教版高考数学复习第三篇考场技巧第2讲思想方法

第2讲思想方法(一) 函数与方程一、函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋2－4a(a ≠0)，且对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立． (1)若g(x)＝f （x ）x，x>0，求函数g(x)的最小值； (2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)因为对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立，所以ax 2－x ＋2－4a ≥0对x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a>0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，即⎩⎨⎧a>0，（4a －1）2≤0，解得a ＝14 ，所以f(x)＝14 x 2＋x ＋1；因为g(x)＝f （x ）x ＝14 x ＋1x＋1，x>0，又14 x ＋1x≥2x 4·1x ＝1(当且仅当x 4 ＝1x，即x ＝2时取等号)，所以g(x)min ＝1＋1＝2.(2)由f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 得14 (x ＋t)2＋(x ＋t)＋1<14 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 2 ＋x 2 ＋1，即3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0，所以对任意的x ∈[－1，1]，不等式3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0恒成立．令m(x)＝3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t ，则⎩⎨⎧m （－1）＝4t 2＋8t －5<0，m （1）＝4t 2＋24t ＋11<0，解得－52 <t<－12 ，所以实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－12 .函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立、比较大小问题等，一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质解决问题．已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R )在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝g （x ）x. (1)求a ，b 的值．(2)若不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围．【解析】(1)函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R ) 则对称轴x ＝－－2a2a＝1，故函数g(x)在[2，4]上为单调增函数，所以当 x ＝2时，g(x)min ＝1，当 x ＝4时，g(x)max ＝9，所以⎩⎨⎧b ＋1＝1，8a ＋1＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，故a 的值为1，b 的值为0.(2)由(1)得g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝g （x ）x ＝x ＋1x－2，因为不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，所以3x＋13x －2－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，设t ＝13x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，所以t 2－2t ＋1≥k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 上有解，即(t 2－2t ＋1)max ≥k ，设h(t)＝t 2－2t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，对称轴t ＝1，则当t ＝3时，h(t)max ＝h(3)＝9－6＋1＝4，所以实数k 的取值范围是(－∞，4]. 二、函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)(2021·银川二模)已知函数f(x)，对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，已知f(1)＝31，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)(n ∈N *)的最大值等于( ) A ．133 B ．135 C ．136 D ．138【解析】选C.因为对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，所以f(n ＋1)＝f(n)＋f(1)－35＝f(n)－4，所以f(n ＋1)－f(n)＝－4，故{f (n)}是以31为首项，以－4为公差的等差数列，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝31n ＋n （n －1）2 ×(－4)＝－2n 2＋33n ，对称轴为n ＝334，因为n ∈N *，所以n ＝8时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)取得最大值为136.(2)(2021·岳阳一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上．①求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是等比数列，并求{a n }的通项公式：②若b n ＝a n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >3n ＋23 .【解析】①由点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上，可得a n ＋1＝2n ＋3a n ，所以a n ＋12n ＝3a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1 ＝32 ·a n 2n ＋12 ，也即a n ＋12n ＋1 ＋1＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1 ，由a 1＝1，所以a 121 ＋1＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是首项和公比均为32 的等比数列，则a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 n，所以a n ＝3n －2n .②b n ＝a n ＋1a n ＝3n ＋1－2n ＋13n －2n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ＝3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 >3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ，所以，S n >3n ＋23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ＝3n ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n 3n 1－23＝3n ＋2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n≥3n ＋2－43 ＝3n ＋23 .数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式都具有函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地寻找其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究，解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 3<0，且S 5S 6＋16＝0，则S 11的最小值为________．【解析】由题意，a 3<0⇒a 1＋2d<0.S 5S 6＋16＝0⇒(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0. 设a 1＋5d ＝x.则(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0 ⇔15(x －3d)(2x －5d)＋16＝0 ⇔225d 2－165xd ＋30x 2＋16＝0. 因为关于d 的方程有实数解，故Δ≥0. 即(－165x)2－4×225×(30x 2＋16)≥0，解得x ≥8或x ≤－8(舍去). 故S 11＝11(a 1＋5d)＝11x ≥88.此时a 1＝－203 ，d ＝4415 ，满足a 1＋2d<0.即S 11的最小值为88. 答案：882．已知f(x)＝x 2－3x ，数列{a n }前n 项和为S n ，且S n ＝f(n).(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n4×3n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝x 2－3x ，S n ＝f(n)，所以S n ＝n 2－3n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2－3(n －1)，a n ＝S n －S n －1＝2n －4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2，也满足a n ＝2n －4，故a n ＝2n －4. (2)因为a n ＝2n －4，b n ＝a n4×3n，所以b n ＝2n －44×3n ＝n －22×3n ，b 1＝－16 <0，b 2＝0，当n ≥3时，b n >0，故T 1＝T 2，为T n 的最小值，T n 的最小值为－16 ，因为对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，所以－16>[mf(x)]min ，因为x ∈[4，6]，f(x)＝x 2－3x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32 2 －94 ，所以f(x)∈[4，18]，当m ≥0时，显然－16 >[mf(x)]min 不成立；当m<0时，－16 >[mf(x)]min ，即－16 >18m ，解得m<－1108，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1108 .三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，BC ＝12，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN → ·CN → 的最小值为( ) A ．－365 B ．－725 C ．－185 D ．－545【解析】选C.由∠ABC ＝∠ACB ＝45°，可知∠BAC ＝90°.以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，M(4 2 ，2 2 )，C(0，6 2 )，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，其中0≤x ≤4 2 ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，CN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x －62 ，故AN → ·CN → ＝x 2＋12 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －62 ＝54 x 2－3 2 x.令f(x)＝54 x 2－3 2 x ，0≤x ≤4 2 ，则当x ＝625 时，函数f(x)有最小值，且f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫625 ＝－185 ，即AN → ·CN → 的最小值为－185.(2)(2021·合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 b. ①求A ；②求cos 2B ＋cos 2C 的最小值．【解析】①因为a( 3 cosC ＋sin C)＝ 3 b ，所以sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin B. 即sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin (A ＋C)，所以 3 sin A cos C ＋sin A sin C ＝ 3 sin A cos C ＋ 3 cos A sin C ，得sin A sin C ＝ 3 cos A sin C ，因为0<C<π，所以sin C>0，得sin A ＝ 3 cos A.又因为0<A<π，所以tan A ＝ 3 ，所以A ＝π3. ②因为A ＝π3 ，所以B ＋C ＝2π3，因为cos 2B ＋cos 2C ＝1＋cos2B 2 ＋1＋cos 2C2＝1＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－2B ＝1＋12 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 . 因为0<B<2π3 ，所以π3 <2B ＋π3 <5π3，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 <12 .所以12 ≤1＋12 cos (2B ＋π3 )<54 .所以当A ＝B ＝C ＝π3 时，cos 2B ＋cos 2C 最小，最小值为12.1．含参数的三角函数方程问题的两种处理思路(1)分离参数构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；(2)换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． 2．解决平面向量问题的常用方法对平面向量的模进行平方处理，把模的问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理．1．(2021·南通二模)如图，点C 在半径为2的AB ︵上运动，∠AOB ＝π3 .若OC → ＝mOA→ ＋nOB → ，则m ＋n 的最大值为( )A ．1B ． 2C ．233D ． 3【解析】选C.以O 为原点，OA → 的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有OA → ＝(2，0)，OB → ＝(1， 3 ). 设∠AOC ＝α，则OC → ＝(2cos α，2sin α). 由题意可知⎩⎨⎧2m ＋n ＝2cos α，3n ＝2sin α所以m ＋n ＝cos α＋33 sin α＝233 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 .因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 ，所以α＋π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 ，所以当α＋π3 ＝π2 ，即α＝π6 时，m ＋n 最大，最大值为233. 2．(2021·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝ 2 b ；②周长为4＋2 3 ； ③面积为S △ABC ＝334.【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，sin C ＝2sin B cos B ＝sin 2B ，所以C ＝2B(舍去)或C ＋2B ＝π，所以B ＝π6； (Ⅱ)由(Ⅰ)及已知，c ＝ 3 b ，所以不能选①. 选②，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故周长为(4＋2 3 )x ＝4＋2 3 ，解得x ＝1，即BC ＝AC ＝2，AB ＝2 3 ，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝12＋1－AD 243 ＝32 ，解得AD ＝7 .选③，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故S △ABC ＝12 ×(2x)×(2x)×sin 120°＝ 3 x 2＝334，解得x ＝32 ，即BC ＝AC ＝3 ，AB ＝3，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－AD 233 ＝32 ，解得AD ＝212.四、函数与方程思想在解析几何中的应用【典例4】(2021·郑州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 是椭圆C 上一点，离心率为12 . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N.①求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； ②求△AMN 面积的最小值．【解析】(1)由题意，椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 ，且离心率为12 ，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为 x 24 ＋y23 ＝1.(2)①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立方程组⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝－6m 3 m 2＋4 ，y 1y 2＝－93m 2＋4，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝4，可得y M ＝6y 1x 1＋2 ，同理可得y N ＝6y 2x 2＋2，所以y M y N ＝36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝36y 1y 2（my 1＋3）（my 2＋3）＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋9 ＝36·－93m 2＋4 m 2·－93m 2＋4＋3m ·－6 m3m 2＋4＋9＝－9. ②由S △AMN ＝12 ·6·|y M －y N |＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪y M ＋9y M ≥3·2y M ·9y M＝18，当且仅当y M ＝3，y N ＝－3或y M ＝－3，y N ＝3时等号成立，所以△AMN 面积的最小值为18.解决解析几何中的范围与最值问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助函数的性质解决问题，这是解决面积、线段长、最值与范围问题的基本方法．1．P 为椭圆x 216 ＋y215 ＝1上任意点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE → ·PF →最大值为________．【解析】圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为N(1，0)，半径长为2，设点P(x ，y)，则y 2＝15－1516x 2且－4≤x ≤4， PE →＝PN → ＋NE → ，PF → ＝PN → ＋NF → ＝PN → －NE → ，所以，PE → ·PF → ＝(PN → ＋NE → )·(PN → －NE → ) ＝PN → 2－NE → 2＝(x －1)2＋y 2－4 ＝x 2－2x ＋1＋15－1516x 2－4 ＝116 x 2－2x ＋12＝116(x －16)2－4，所以，当x ＝－4时，PE → ·PF → 取得最大值，即(PE → ·PF → )max ＝116 ×(－4)2＋8＋12＝21.答案：212．(2021·德阳三模)已知平面上的动点E(x ，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线EA ，EB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－34 ，设动点E 的轨迹为曲线R.(1)求曲线R 的方程；(2)过点P(－1，0)的直线l 与曲线R 交于C ，D 两点．记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)由题意知x ≠±2，且k 1＝y x ＋2 ，k 2＝y x －2 则y x ＋2 ·y x －2 ＝－34整理得，曲线R 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1(y ≠0).(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x ＋1)(k ≠0)C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2) 联立方程，得⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）消去y ，得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k(x 2＋1)＋k(x 1＋1)| ＝2|k(x 2＋x 1)＋2k|＝12|k|3＋4k 2因为k ≠0，上式＝123|k|＋4|k| ≤1223|k|·4|k|＝12212 ＝ 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝±32时等号成立所以|S 1－S 2|的最大值为 3 .(二) 分类与整合一、由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】(2021·沧州三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和S n 满足a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *). (1)求S n ； (2)记 b n ＝S n ＋1－S nS n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －1＋1，所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，在a n ＋1＝S n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝a 1＋1. 因为a 1＝1，所以a 2＝2a 1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1，所以S n ＝a n ＋1－1＝2n －1. (2)因为b n ＝S n ＋1－S n S n S n ＋1 ＝1S n －1S n ＋1 ＝12n －1 －12n ＋1－1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＋…＋(12n －1 －12n ＋1－1 )，＝1－12n ＋1－1 .解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标和对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准，运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．(2021·辽宁葫芦岛二模)已知椭圆G ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过A(0，4)，B( 5 ，－2 3 )两点，直线l 交椭圆G 于M ，N 两点． (1)求椭圆G 的标准方程；(2)若直线l 过椭圆G 的右焦点F ，是否存在常数t ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，若存在，求t 的值及定值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得b ＝4且5a 2 ＋12b 2 ＝1，解得a 2＝20，所以椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝k(x －2)代入G 得(4＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－80＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，Δ>0，x 1＋x 2＝20k 24＋5k 2 ，x 1x 2＝20k 2－804＋5k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－64k 24＋5k 2tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝t(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＋(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2) ＝t(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝t 20k 2－804＋5k 2 ＋t －64k 24＋5k 2 ＋20k 2－804＋5k 2 －220k 24＋5k 2 ＋4＋－64k 24＋5k 2＝－（44t ＋64）k 2－（80t ＋64）5k 2＋4若tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，故44t ＋645 ＝80t ＋644 ，解得t ＝－27 ，定值为－727.②当直线l 斜率不存在时，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，所以OM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，FM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，855 ，FN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－855 ，OM → ·ON → ＝4－645 ＝－445 ，FM → ·FN →＝－645，当t ＝－27 时，tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝－727综上所述，存在常数t ＝－27 ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值－727 .二、由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】(2021·广东三模)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x ，g(x)＝ln x －e x＋x 32＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝1x ＋2ax －1＝2ax 2－x ＋1x .①当a ＝0时，f ′(x)＝1－xx，若0<x<1，则f ′(x)>0；若x>1，则f ′(x)<0. 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； ②当a<0时，Δ＝1－8a>0，令f ′(x)＝0，可得x ＝1＋1－8a 4a (舍)或x ＝1－1－8a4a .若0<x<1－1－8a4a，则f ′(x)>0；若x>1－1－8a4a，则f ′(x)<0.此时，函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；③当a>0时，Δ＝1－8a.(ⅰ)若Δ＝1－8a ≤0，即当a ≥18 时，对任意的x>0，f ′(x)≥0，此时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数； (ⅱ)若Δ＝1－8a>0，即当0<a<18 时，由f ′(x)＝0可得x ＝1＋1－8a 4a 或x ＝1－1－8a4a，且1＋1－8a 4a >1－1－8a4a. 由f ′(x)>0，可得0<x<1－1－8a 4a 或x>1＋1－8a4a；由f ′(x)<0，可得1－1－8a 4a <x<1＋1－8a 4a. 此时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a)，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a ，＋∞).综上所述，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1－1－8a4a)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；当a ＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当0<a<18 时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a )，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a，＋∞)；当a ≥18时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；(2)由f(x)≥g(x)，可得ln x ＋ax 2－x ≥ln x －e x ＋x32＋1，即a ≥x 2 －e x －x －1x 2对任意的x>0恒成立，令h(x)＝x 2 －e x －x －1x 2 ，其中x>0，h ′(x)＝12 －（x －2）e x ＋x ＋2x 3＝（x －2）（x 2＋2x ＋2－2e x ）2x 3，令φ(x)＝x 2＋2x ＋2－2e x ，其中x>0，则φ′(x)＝2x ＋2－2e x ，φ″(x)＝2－2e x <0. 所以，函数φ′(x)在(0，＋∞)上单调递减，则φ′(x)<φ′(0)＝0，所以，函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，故φ(x)<φ(0)＝0，所以，当0<x<2时，h ′(x)>0，此时函数h(x)在(0，2)上单调递增，当x>2时，h ′(x)<0，此时函数h(x)在(2，＋∞)上单调递减．所以，h(x)max ＝h(2)＝1－e 2－34 ＝7－e 24 ，所以a ≥7－e 24 .因此，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞ .若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确、不重不漏．(2021·成都三模)已知函数f(x)＝ln x. (1)讨论函数g(x)＝f(x)－ax(a ∈R )的单调性； (2)证明：函数f(x)<e x －2(e 为自然对数的底数)恒成立．【解析】(1)g(x)的定义域为(0，＋∞)，g ′(x)＝1x －a ＝1－axx (x>0)当a ≤0时，g ′(x)>0恒成立，所以，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令g ′(x)＝0，得到x ＝1a所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．综上所述：当a ≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 上单调递减．(2)记函数φ(x)＝e x －2－ln x ＝e xe 2 －ln x ，则φ′(x)＝1e 2 ×e x －1x ＝e x －2－1x易知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x)在(0，＋∞)上有唯一的实数根x 0，且1<x 0<2，则φ′(x 0)＝ex 0－2－1x 0 ＝0，即0x 2e －＝1x 0(*)当x ∈(0，x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(x 0)＝0x 2e －－ln x 0，结合(*)式0x 2e－＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x)≥φ(x 0)＝1x 0 ＋x 0－2＝x 20 －2x 0＋1x 0 ＝（x 0－1）2x 0 >0则φ(x)＝e x －2－ln x>0，即e x －2>ln x ，所以有f(x)<e x －2恒成立．三、由图形位置或形状引起的分类讨论【典例3】(1)设F 1，F 2为椭圆x 29 ＋y24 ＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝_______．【解析】若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5 ，解得|PF 1|＝143 ，|PF 2|＝43 ，所以|PF 1||PF 2| ＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2| ＝2.综上知，|PF 1||PF 2| ＝72 或2.答案：72或2(2)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1＝AC＝BC＝2，设平面α过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：①当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332；②当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2 2 ；③异面直线AC1与CP所成角的余弦值为1010；④三棱锥C1ACP的体积是该“堑堵”体积的13.所有正确结论的序号是________．【解析】对于①，如图，取E，F，G分别为对应边中点，易知四边形PEFG是等腰梯形，且高为62，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，S PEFG ＝12×( 2 ＋2 2 )×62＝332.所以①正确；对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积S＝12×(1＋2)× 2 ＝322 .所以②错误；对于③，将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，易知∠CPJ为异面直线AC1与CP所成角或补角，CP＝CJ ＝ 5 ，PJ＝ 2 ，所以cos ∠CPJ＝225＝1010，所以③正确；对于④，VC1ACP＝VPC1CA＝13S△C1CA×2＝43，VABCA1B1C1＝12×2×2×2＝4，所以④正确．答案：①③④六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2021·珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一点，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝5∶4∶2，则曲线C的离心率为________．【解析】依题意：令焦距2c＝|F1F2|＝2m(m>0)，则|PF1|＝5m，|PF2|＝4m，当曲线C是椭圆时，长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝9m，其离心率e＝2c2a＝29，当曲线C是双曲线时，实轴长2a＝|PF1|－|PF2|＝m，其离心率e＝2c2a＝2，所以曲线C的离心率为29或2.答案：29或22．设f(x)＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．【解析】f(x)＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，函数图象的对称轴为直线x ＝2，所以当2∈[t ，t ＋1]时，即1≤t ≤2时，所以g(t)＝f(2)＝－8. 当t ＋1<2，即t<1时，f(x)在[t ，t ＋1]上是减函数，所以g(t)＝f(t ＋1)＝t 2－2t －7.当t>2时，f(x)在[t ，t ＋1]上是增函数，所以g(t)＝f(t)＝t 2－4t －4.综上：g(t)＝⎩⎨⎧t 2－2t －7，t ∈（－∞，1），－8，t ∈[1，2]，t 2－4t －4，t ∈（2，＋∞）.四、由运算性质引起的分类讨论【典例4】(2021·珠海二模)已知等差数列{a n }满足a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝ a 2n cosn π2，求数列{b n }的前40项和S 40. 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 4＝a 1＋3d ，2a 2＋a 3＝3a 1＋4d ，由a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3，则a 1＋3d ＝3a 1＋4d ，得d ＝2，所以a n ＝2n －3；(2)因b n ＝a 2n cos n π2，则有：①n 为奇数时，b n ＝0，②n 为偶数时，n ＝4k ＋2，k ∈N 时，b n ＝－a 2n ，n ＝4k ＋4，k ∈N 时，b n ＝a 2n ，所以S 40＝(a 24 －a 22 )＋(a 28 －a 26 )＋(a 212 －a 210 )＋…＋(a 236 －a 234 )＋(a 240 －a 238 ) ＝2d(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫20a 2＋20×192×2d ＝3 120.计算时，常遇到需要分类讨论的问题，这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数函数性质、对数函数性质等进行分类讨论，在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则．离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，数列{b n }为等差数列，b 1＝3a 1，b 4＝a 5－2. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n －b n ，求数列{|c n |}的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，得a 1＝2；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝2a n －1. 故{a n }为等比数列，其公比为2，所以a n ＝2n . 由a 1＝2，b 1＝3a 1，得b 1＝6，b 4＝a 5－2＝30，因为{b n }为等差数列，所以其公差d ＝8，所以b n ＝8n －2.(2)因为c n ＝a n －b n ＝2n －8n ＋2，所以当n ≤5时，c n <0，当n ≥5时，c n >0. 所以当n ≤5时，T n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝4n 2＋2n ＋2－2n ＋1. 当n>5时，T n ＝(b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b 5－a 5)＋(a 5－b 5＋…＋a n －b n ) ＝2n ＋1－4n 2－2n ＋94.故数列{|c n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧4n 2＋2n ＋2－2n ＋1，n ≤5，2n ＋1－4n 2－2n ＋94，n>5.(三) 数形结合一、数形结合思想在函数与方程中的应用【典例1】(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝|x 2＋mx|(m>0)，当a ∈(1，4)时，关于x 的方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0，2] B ．(1，3] C ．(0，3] D ．(1，4]【解析】选C.当x ＝1时，f(x)＝|m ＋1|>1，所以x ＝1不是方程f(x)－a|x －1|＝0的实根；当x ≠1时，由f(x)－a|x －1|＝0，得a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 . 方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的图象有两个不同的交点．因为m>0，所以m ＋2＝(m ＋1 )2＋1>2m ＋1 ，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的大致图象如图所示．因为a ∈(1，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＋m ＋2≥4，－2m ＋1＋m ＋2≤1，⇒0<m ≤3，m>0.利用数形结合思想研究方程解的问题(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为两曲线交点问题． (2)准确做出两个函数的图象是解决问题的关键．数形结合应以快和准为原则，不能刻意去用数形结合．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，x<02－x －1，x ≥0，若关于x 的方程4f 2(x)－4a ·f(x)＋2a ＋3＝0有5个不同的实根，求实数a 的取值范围．【解析】当x<0时，f(x)＝3x －x 3，则f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x)(1＋x)，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(－1，0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝t ，则4t 2－4at ＋2a ＋3＝0，令g(t)＝4t 2－4at ＋2a ＋3，由题意得方程g(t)＝0有两个不同的实根：①有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1∈(－2，－1)，t 2∈(－1，0)，则有⎩⎨⎧g （－2）>0，g （－1）<0，g （0）>0，解得－32 <a<－76.②有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝－1，t 2∈(－1，0)，则有g(t 1)＝g(－1)＝6a ＋7＝0，则a ＝－76，方程为6t 2＋7t ＋1＝0，得t 1＝－1，t 2＝－16 ∈(－1，0)，满足条件．③有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝0，t 2∈(－1，0)，因为g(t 1)＝g(0)＝2a ＋3＝0，则a ＝－32，方程为t 2＋32 t ＝0，得t 1＝0，t 2＝－32∉(－1，0)，不符合题意，舍去．综上所述，实数a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－76 .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】(2021·厦门三模)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0 ，若f(x)≥2|x －a|，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0，当x<0时，f ′(x)＝4x ＋1，当x<－14 时，f ′(x)<0，函数单调递减，当－14 <x<0时，f ′(x)>0，函数单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝158 ，当x ≥0时，f ′(x)＝(x ＋1)ex －1，当x ≥0时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增．图象如图所示：令g(x)＝2|x|，将其向右平移至与f(x)(x<0)相切，此刻a 取最大值，即f ′(x)＝4x ＋1＝－2，得到x ＝－34 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝198 ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，198 代入f(x)＝2|x －a|，得198 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－a ，所以a ＝716 ，a ＝－3116 (舍去)；将g(x)＝2|x|向左平移至与f(x)(x>0)相切，此刻a 取最小值，即f ′(x)＝(x ＋1)e x －1＝2，得到x ＝1，f(1)＝3，将(1，3)代入f(x)＝2|x －a|，得3＝2|1－a|，所以a ＝－12 ，a ＝52 (舍去)；所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716利用数形结合处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往通过构造熟悉的函数，做出函数图象，利用图象的交点和图象的相对位置求解不等式．1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【解析】选D.由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示．由函数f(x)为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x<0.若x>0，则需有f(x)<0，结合图象可知0<x<2；若x<0，则需有f(x)>0，结合图象可知－2<x<0. 综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．【解析】画出函数|f(x)|的图象，数形结合求解．作出函数y ＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.所以a的取值范围是[－2，0].答案：[－2，0]三、数形结合思想在解析几何中的应用【典例3】(1)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )A． 2 B．2 2 C． 3 D．2 3【解析】选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，圆心C(1，1)到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2>r＝1，所以圆C与直线l相离．根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC ＝2×12×|PA|×r＝|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1 ，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小．又|PC|最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－1 ＝4－1 ＝ 3 .(2)已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线x29－y27＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A．9 B．2 C．10 D．12【解析】选C.在双曲线x29－y27＝1中，a＝3，b＝7 ，c＝4，如下图所示：易知点F(4，0)为双曲线x 29 －y 27 ＝1的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|－|PF|＝2a ＝6，所以|PA|＝6＋|PF|，圆(x －1)2＋(y －4)2＝1的圆心为E(1，4)，半径为r ＝1，且|EF|＝（1－4）2＋42 ＝5，所以|PA|＋|PB|＝6＋|PF|＋|PB|≥6＋|PF|＋|PE|－1≥|EF|＋5＝10，当且仅当E ，B ，P ，F 四点共线，且B ，P 分别为线段EF 与圆(x －1)2＋(y －4)2＝1和双曲线x 29－y 27 ＝1的交点时，两个等号同时成立．因此，|PA|＋|PB|的最小值为10.应用数形结合解决平面解析几何中的最值，涉及到平面几何中的相关最值的判断问题．如线段长度之和问题往往转化为三点共线问题等．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为 ________．【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ.则△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 .答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，12(四) 转化与化归一、一般与特殊的相互转化【典例1】(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4【解析】选B.因为椭圆C ：x 2a ＋1 ＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，所以1a ＋1 ＝12 ，解得a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1，所以椭圆的上顶点A(0， 3 )，右顶点B(2，0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝ 3 ，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2， 3 )，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋（3）2 ＝7 ，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．45B．15C．35D．25【解析】选A.令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝12，代入所求式子，得cos A＋cos C1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45.(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；(2)特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝3|AF|·|BF|，则p＝( )A．2 B．3 C．32D．23【解析】选D.因为AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，取其通径，所以2p＝1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF|·|BF|＝3，所以p＝23.二、正与反的相互转化【典例2】若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【解析】选D“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，所以∃x∈R，使得|x|－1＋m≤0成立是真命题，即|x|－1＋m≤0对于x∈R有解，所以m≤1－|x|，所以m≤(1－|x|)max，因为|x|≥0，所以－|x|≤0，1－|x|≤1，所以(1－|x|)max＝1，所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1].正与反的转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，这充分体现了对立与统一的思想方法．一般地，题目中若出现多种成立的情况，则不成立的情形比较少，从反面思考比较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中．1．命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，x 2－ax ＋36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[37，＋∞) B ．[13，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．(－∞，13]【解析】选C.因为命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0为真命题，即∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0成立，即a ≥x ＋36x能成立，设f(x)＝x ＋36x ，则f(x)＝x ＋36x≥2x ·36x＝12，当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，取等号，即f(x)min ＝12，所以a ≥12，故a 的取值范围是[12，＋∞).2．已知函数f(x)＝ln x －ax －2在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23【解析】选B.由f ′(x)＝1x －a ＝1－ax x ，①当a ≤0时函数f(x)单调递增，不合题意；②当a>0时，函数f(x)的极值点为x ＝1a ，若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有1<1a <2，解得12 <a<1.三、常量与变量的相互转化【典例3】已知a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)【解析】选C.由题意，因为a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，可转化为关于a 的函数f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)>0对应任意a ∈[－1，1]恒成立，则满足⎩⎨⎧f （－1）＝x 2－5x ＋6>0，f （1）＝x 2－3x ＋2>0，解得：x<1或x>3，即x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).(1)本题若利用常规方法求解，需把x 看作主元，就需要分类讨论，但是比较麻烦．而以a 为变量，则问题就变为一次函数，可以轻易解决该问题．(2)在处理多元问题时，可以选取其中的常数(或参数)，将其看作“主元”，实现主与次的转化，从而达到减元的目的．设f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5，若函数f(x)在区间[1，4]上的图象位于直线y ＝x ＋1上方，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]【解析】选A.由题意得，f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5>x ＋1在区间[1，4]上恒成立， a －2>－x －4x 在区间[1，4]上恒成立，令y ＝x ＋4x，其图象如图所示：由图象知y ≥4，所以－x －4x ＝－y ≤－4，所以a －2>－4，解得a>－2.四、形、体位置关系的相互转化【典例4】如图，在棱长都为1的直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，三棱锥C 1A 1BD 的体积为( )A ．33 B ．34 C ．36 D ．13【解析】选C.由棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD ，由题意在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，所以S △ABD ＝12 ×AD ×AB ×sin 60°＝34 ，所以VA 1ABD ＝13 ×S △ABD ×AA 1＝312 ，所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝32，则直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为VABCD A 1B 1C 1D 1＝S ▱ABCD ×AA 1＝32，由题意可知三棱锥C 1A 1BD 是直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1切去角上的4个小三棱锥而得到的．即切去4个小三棱锥为A 1ABD ，D BCC 1，D A 1D 1C 1，B A 1B 1C 1 由题意可得这4个小三棱锥的高均为AA 1，且有S △ABD ＝S △BCC 1＝S △A 1D 1C 1＝S △A 1B 1C 1 所以VA 1ABD ＝VD BCC 1＝VD A 1D 1C 1＝VB A 1B 1C 1 所以VC 1A 1BD ＝32 －4×312 ＝36.形体位置关系相互转化的技巧(1)分析特征，一般要分析形体的特征，根据特征确定需要转化的对象；(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体，进而求解相关问题．(3)由于新的几何体是由旧几何体转化而来，一定要注意准确理解新的几何体的特征分析；(4)得出结论，在新几何体结构中解决目标函数即可．(2021·江门一模)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点，当A 1M ＋MC 取最小值时，B 1M 的长为( )A ．2 3B ． 5C ． 6D ． 3【解析】选D.如图所示，将侧面AA 1D 1D ，侧面CDD 1C 1延展至同一平面，当A 1，M ，C 三点共线时，A 1M ＋MC 取最小值，易知四边形AA 1C 1C 为正方形，则∠CA 1C 1＝45°，且△A 1D 1M 为等腰直角三角形，所以，D 1M ＝A 1D 1＝1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1M ＝ 2 ，因为A 1B 1⊥平面AA 1D 1D ，A 1M ⊂平面AA 1D 1D ，所以A 1B 1⊥A 1M ，因此，B 1M ＝ A 1B 21 ＋ A 1M2 ＝3 .。

数学思想方法的综合应用

► 探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。

数学中考复习：数形结合思想PPT课件

距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。（1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5．已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反应量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0

数学教学中的几种数学思想

数学教学中的几种数学思想作者：李秋燕来源：《成才之路》2009年第17期所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。

数学思想是对数学知识、方法、规律的本质认识,是数学思维的结晶和概括,是解决数学问题的灵魂和根本策略。

常用的数学思想主要有以下几种:1. 函数与方程思想函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程或不等式来使问题获解。

有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。

2. 数形结合数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

3. 分类讨论思想有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明。

分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,它将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:(1) 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

(2) 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。

(3) 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

高中数学四大数学思想

高中数学四大数学思想1.数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.3.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.4.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。

高中数学七大基本思想方法讲解

高中数学七大基本思想方法讲解第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

【高考第一轮复习数学】函数思想渗透

思想渗透1、数形结合思想典型例题：求函数y=│x+1│+│x-2│的值域.思路分析：要求函数y 的值域，关键是去掉绝对值符号，将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，画出它的图像，根据图象求出值域..解析：将函数的解析式中的绝对值符号去掉，化成分段函数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=)2(12)21(3)1(12)(x x x x x x f该函数的图象如图所示，由图象可知，函数y 的值域是[)+∞,3点拨：结合函数图象，将抽象的问题形象化是求解复杂函数性质的一种重要方法，是数形结合思想在解题中应用的典范..2. 分类讨论思想典型例题：函数y=-（x-3）·|x| 的递增区间是________. 思路分析：本题|x|中x 的值不能确定，需要讨论. 解析：分类讨论，当X>0时，那么，等效于y= -(x-3)x ，这是一个开口向下的抛物线，对称轴=3/2，根据图像性质，[0，3/2]单调递增，当X<0时，那么等效于y= (x-3)x ，这是一个开口向上的抛物线，对称轴=3/2，根据图像性质，（负无穷，0）单调递减，那么，递增区间是[0，3/2]点拨：含有绝对值的函数或方程问题，往往需要根据自变量的取值，对自变量进行分类讨论.3、函数与方程思想典型例题：（2004•广东）设函数f （x ）=x-In （x+m ），其中常数m 为整数．（1）当m 为何值时，f （x ）≥0；（2）定理：若函数g （x ）在[a ，b]上连续，且g （a ）与g （b ）异号，则至少存在一点x 0∈（a ，b ），使g （x 0）=0．试用上述定理证明：当整数m ＞1时，方程f （x ）=0，在[e -m -m ，e 2m-m]内有两个实根．典型例题：若函数f(x)的定义域为（-1，1）且在定义域内单调递减，又当a 、b ∈（-1，1），且a+b=0时，f(a)+f(b)=0,解不等式0)1()1(2>-+-m f m f .思路分析：利用单调性的定义，实现单调性与自变量和函数值之间的大小转化. 解：由题意知f(x)在（-1，1）上是减函数且为奇函数， ∴0)1()1(2>-+-mf m f ,即为)1()1(2->-m f m f。

第2讲解题有道——四大数学思想

第2讲解题有道——四大数学思想思想概述高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的. 应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a <a e B.a e <a <e a －1 C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2019·浙江新高考联盟考试)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ，从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( )A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ，令y 1＝x 2－π4，y 2＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上单调递增.若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k )f (x 2＋x )<f (k －x )x 2＋x <k －x ，故问题转化为存在x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)C (2)A应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)求nS n 的最小值.解 (1)∵S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3， ∴a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，又{a n }是等差数列，则公差d ＝a 6－a 5＝1，由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)由(1)知nS n ＝n 3－5n 22，设f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >103；令f ′(x )<0，得0<x <103.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，又f (3)＝－9，f (4)＝－8.∴当n ＝3时，nS n 取到最小值－9.探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n 项和公式求出nS n ，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n 的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，ka n ，S n ，－1成等差数列，求实数k 的值.解 (1)∵a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1(n ∈N *)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，∵ka n ，S n ，－1成等差数列，∴2S n ＝ka n －1. 则2×3n －12＝k ·3n －1－1，解得k ＝3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k2＝21＋41k ＋4k≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于点B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值.解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0，0)，由已知得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. 因为AB→＝2NB →，所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又A 点在圆上，所以x 20＋y 20＝4，即动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13×(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0，解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m13，x 1·x 2＝4（m 2－1）13，又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2， |PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213，所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2（13－m 2）13≤113(m 2＋13－m 2)＝1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立. 所以△OPQ 面积的最大值为1. 类型二数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案 (1)C (2)C探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5 B.6 C.7D.8解析在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点. 答案 B应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43D.－1(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是()A.25B.5C.4D.1解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB→＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ).所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值－32.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0表示的平面区域(如图阴影部分).x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O (0，0)的距离的最小值的平方.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2). ∴(x 2＋y 2)min ＝|OA |2＝12＋22＝5. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.(2)(2019·长沙调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2D.22解析 (1)在同一坐标系中，作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图.依题意可知2a ≤2－2a ，解得a ≤12.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，所以AC →⊥BC →.又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.解析因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2019·昆明诊断)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析设AB 的中点为D ，则P A →＋PB→＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线且OP ⊥l 时，|P A →＋PB →|取得最小值. ∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A →＋PB→|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.答案 D类型三分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例7】若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14探究提高指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.【训练7】 (1)(2019·济南调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ，有S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由参数变化引起的分类讨论【例8】 (2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值.若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞).探究提高 1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x .若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x(x >0)，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解. 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故m <18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18应用3 由图形位置或形状引起的分类讨论【例9】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12 B.12 C.0D.－12或0(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)当0<m <3时，焦点在x 轴上，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab ≥tan 60°＝3，即3m≥3，得0<m ≤1；当m >3时，焦点在y 轴上，依题设，则ab ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案 (1)D (2)A探究提高 1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.【训练9】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________.解析 (1)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. ∴曲线C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案 (1)12或32 (2)22或23 类型四转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 应用1 特殊与一般的转化【例10】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.1 2aC.4aD.4 a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝1a y(a>0)，焦点F⎝⎛⎭⎪⎫0，14a.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练10】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)(2019·许昌模拟)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C 2的值为( )A.15B.14C.12D.23解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边).则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2tan C 2＝12×1＝12.答案 (1)B (2)C应用2 正与反、常量与变量的转化【例11】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[－2，2]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】 (1)(2019·日照调研)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析 (1)命题的否定：“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，∴m <e |x －1|恒成立，∴m 取值范围为(－∞，1).因此(－∞，1)与(－∞，a )相等，故a ＝1.(2)由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 应用3 函数、方程、不等式之间的转化【例12】已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值.解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，∴f (x ＋t )≤3e x e x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3. 探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练12】已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，e ＋1e 解析设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1， ∴f ′(x )＝1x －1＝1－x x ≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，因此a －1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤f (x )≤f (1)＝a ，设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，⎩⎨⎧a －1e >1e ，a ≤e ，解得2e<a≤e. 答案 B。

数形结合思想

数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大简化代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式22(2)(1)4xy ．常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径．（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将|a |与距离互化，将a 2与面积互化，将a ≥b ≥c ＞0且b +c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：1°方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．2°利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质．3°构造几何模型．通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc 与勾股定理沟通等等．4°利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离002dA B，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．2．数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单．而不是去刻意追求一种固定的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．一、引入1．函数()|log |(0a f x x a ，1)a 的单调递增区间是 A ．(0]a , B ．(0),C ．(01],D ．[1),2．方程2243xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对3．已知不等式2log 0m xx在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是（）A ．01mB ．1116mC ．1mD ．1016m4．如果实数x y 、满足22(2)3x y ，则y x的最大值为A ．12B ．3C ．2D ．5．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(722), B ．(722), C ．(462), D ．(462),6．若2()f x x bx c 对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t ，则(1)f 、(3)f 、f ()4由小到大依次为___________．7．对a b R ,，记max{}.a ab a b b ab ,,,, 函数()max{|1||2|}f x x x ,的最小值是_________．8．若方程22320xax a 的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______．9．已知奇函数()f x 在(0),上是增函数，且(3)0f ，不等式()0xf x 的解集为_________．10．已知定义在[11],上的函数()f x 为增函数，则不等式11()()21f x f x 的解集为． 11．若关于x 的方程223320x xa 在[02],上只有一个根，则实数a 的取值范围是______． 12．讨论关于x 的方程|31|xk （k R ）根的个数．二、例题：1．方程2221xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2．已知不等式2log 0xm x在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是．3．点A (2，1)在圆225x y 上，将点A 绕原点O 顺时针旋转到点B ，求B 的坐标．4．当[1)x ,时，不等式222x ax a 恒成立，求a 的取值范围．5．设关于θsin 0θθa 在区间(02)π,内有相异的两个实根α，β，求实数a 的取值范围，并求α+β的值．三、练习：1．方程sin lg x x 的根的个数有．2．设方程 22xx的实根为a ，2log 2xx的实根为b ，则ab．3．方程2||10xx a 有四个根，则a 的取值范围是．4．设a b c ,,均为正数，且122log aa ，121()log 2b b ，21()log 2c c ，则A ．ab c B ．c b a C ．c a b D ．b a c5．设函数2log (1)2()1()1 2.2xx xf x x ,,,若0()1f x ，则0x 的取值范围是 A ．(0)(2),, B ．(02), C ．(1)(3),, D ．(13), 6．若log a 2<log b 2<0，则a ，b 的取值范围是A ． 0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 7．已知0x 是函数1()21xf x x的一个零点，若10(1)x x ,，20()x x ,，则A ．12()0()0f x f x ,B ．12()0()0f x f x ,C ．12()0()0f x f x , D ．12()0()0f x f x ,8．已知01a ，则方程|||log |x a a x 的根的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个 9．方程1sin()44πxx 的实数解的个数是( ) A ． 2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对 10．函数||y a x 与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A ．(1)，B ．(11)，C ．(1][1)，，D ．(1)(1)，，11．若(12)x ，时，不等式2(1)log a x x 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ． [1，2]12．定义在R 上的函数()y f x 在(2)，上为增函数，且(2)y f x 是偶函数，则（）A ．(1)(3)f fB ．(0)(3)f f C ．(1)(3)f f D ．(2)(3)f f13．已知51260xy 的最小值是A ． 6013B ．135C ．1312D ．1 14．已知()22ππx ,，则sin x ，tan x 与x 的关系是 A ．tan sin xx x B ．tan sin x x x C ．|tan ||||sin |x x x D ．不确定15．已知函数2()11([01])f x x x ,，对于满足121x x 的任意12x x ,，给出下列结论：①1212()[()()]0x x f x f x -；②2121()()()f x f x x x -；③2121()()()22f x f x x x f ．其中正确的结论的序号是A ．①B ．②C ．③D ．①③ 16．若关于x 的方程24||5x x m 有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是． 17．函数2222613y x x x x 的最小值为___________．18．若直线yx m 与曲线21yx 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是．19．若不等式|1||1|m x x 的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 20．对a bR ,，记min{}.b a b a b a ab ,,,, 函数1()min{|1|2}2f x x x ,的最大值是_________． 21．求函数sin 2cos 2x y x 的值域．22．关于x 的方程2230x kx k 的两根都在1和3之间，求k 的取值范围．23．已知向量(34)OA ,，(63)OB ,，(53)OC m m ,．（1）若点A B C ,,能够成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值．。

函数与方程的思想详解

专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13，又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案：点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０Ｂ. －２Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：2-1 函数与方程思想、数形结合思想

如图所示，由图象可知，0＜a＜1， 1＜b＜10,10＜c＜12. ∵f(a)＝f(b)， ∴|lg a|＝|lg b|. 1 1 即lg a＝lg ，a＝ . b b 则ab＝1. 所以abc＝c∈(10,12)．答案 (1)2 (2)(10,12)
y [规律方法] (1)挖掘代数式的几何意义，完成图形语言，符号语 x 言转化是解第(1)题的关键． (2)画出函数图象是一项基本技能，要求从画准确图开始(列表、描点、连线)，达到根据函数性质及关键点、线快速画草图的水平，最后能够看着函数想出图象．
2 4k 2 k －1 ， 2 即M 2 . 2k ＋1 2k ＋1
y＝2kx－1 由 2 2 x ＋ 2 y ＝2
，得(1＋4k2)x2－4kx＝0，
解得xN＝
4k 4k2＋1
4k ，yM＝2k· 4k2＋1
－1＝
4k2－1 4k2＋1
，即
2 4k 4 k －1 ， 2 N 2 . 4k ＋1 4k ＋1
• [规律方法] 关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)．
• 二、数形结合思想 • [思想概述] • 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．
∴c＝1. a3 1 又∵公比q＝a ＝3， 2
1 21n－1 所以an＝－ 3 ＝－23n，n∈N*. 3
因此，数列{an}是递增数列， 2 ∴n＝1时，an有最小值a1＝－ . 3 答案 (1)15 2 (2)－3

中学数学6大重要思想强烈推荐

3.运用整体的思想方法解题，常与换元法结合越来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性.
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度，高考中常见的构造对象有构造数学模型（即实际问题数学化）、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六，整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

数学思想有哪些

数学思想有哪些数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。

例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。

2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。

3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。

例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。

6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

例如：三角函数，几何变换。

7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。

例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。

初中数学思想方法有哪些

初中数学思想方法有那些初中数学中蕴含的数学思想很多,其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．1 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题,通过演绎、归纳等转化手段,归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,用换元法解方程,在几何中添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题,将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中,转化思想运用的最为广泛．2 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而,在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式,初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数” 与直观的图象“ 形“ 结合起来,数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系,以“形”直观地表达“数”,以“数”精确地研究“形”,实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化．“数无形时不直观,形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想,在初中数学中有着广泛应用．譬如,在初中数学中,通过数轴将数与点对应,通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如,用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念,学习有理数大小比较的法则,研究函数的性质等,从形象思维过渡到抽象思维,从而显着降低了学习难度．3 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的,它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律,有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如,初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块,并分别采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现．具体而言,实数的分类,方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等,都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用,从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．4 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应,即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来,然后用函数的性质进行研究,从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示,那么就可以将函数解析式看作方程,并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决,这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致,因而往往将其并称为函数与方程思想,并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外,初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法： 1 几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；2 几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；3 几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．。

高中数学6种数学思想

高中数学6种数学思想1.函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2.数形结合思想数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

解题类型：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

3.分类讨论思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。