人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程(一)同步练习题
人教A版高中数学选修1-1 十二 2.2.1 双曲线及其标准方程 精讲优练课型
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课时提升作业十二双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选 C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cos θ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )A.22或2B.7C.22D.2【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A. B. C. D.5【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2,①|PF1|+|PF2|=2,②由①②解得:|PF1|=+,|PF2|=-,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2,所以=|PF1|·|PF2|=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则= .【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC 长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.答案:7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=18.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是.【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将x M=5代入双曲线方程可得|y M|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),由点A在双曲线上知,-=1.解方程组得所以所求双曲线的方程为-=1.10.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=,|MF2|-|MF1|=2.解得|MF2|=.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,求得F1到直线F2M的距离d为.2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )A.6B.8C.10D.12【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题10分,共20分)5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程
技能演练1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线解析当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．答案 D2．若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.答案 A3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．26解析 如图所示，由题意可知 |AF 1|＋2a ＝|AF 2|，|BF 1|＋2a ＝|BF 2|，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＋4a ＝2|AB |＋4a ＝26.故选D.答案 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56解析 由双曲线的方程知，a ＝6，b ＝3， ∴c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 将x ＝－3代入双曲线的方程得y 2＝32.不妨设点M 在x 轴上方，则M (－3，62)．∴|MF 1|＝62，|MF 2|＝562.设点F 1到直线F 2M 的距离为d ， 则有12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，∴d ＝65.答案 C5．已知P 为双曲线x 225－y 29＝1上任意一点，A (5,0)，B (－5,0)，则k PA ·k PB 为( )A.35 B.53 C ．－925D.925解析 设P (x 0，y 0)，则x 2025－y 209＝1，∴y 20＝9(x 2025－1)．又k PA ·k PB ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 2x 20－25＝925(x 2－25)x 20－25＝925.故选D.答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．答案 y 216－x 29＝17．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是________．解析由题可知⎩⎨⎧m 2－4<0，m ＋1<0，∴－2<m <－1.答案 (－2，－1)8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 由双曲线方程x 23－y 26＝1知，渐近线方程为y ＝±2x ，右焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d ＝323＝ 6.答案69．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是两个焦点，点M 在双曲线上，若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解 由题意知a 2＝4，b 2＝9，∴c 2＝13. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则由双曲线定义知|r 1－r 2|＝2a ＝4，∴(r 1－r 2)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ①又∵∠F 1MF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝4c 2＝52. ②∴由①②得r 1r 2＝18. ∴S △F 1MF 2＝12r 1r 2＝9.10．设A ，B ，C 三点是红方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km 处，C 在B 北偏西30°，相距4 km 处，P 为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 地距P 地远，因此4 s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3，0)，A (3,0)，C (－5，23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． ∵k BC ＝－3，BC 中点为D (－4，3)， ∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|PA |＝4，故P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②式，得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)． 因此k PA ＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.感悟高考1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析 由双曲线方程可知a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32.∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．答案 C2．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是________．解析 由题可知M 的坐标为(3，±15)，右焦点F (4,0)，∴|MF |＝(3－4)2＋15＝4. 答案 4。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
2.2 双曲线（1）A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(13)双曲线及其标准方程 Word版含解析
2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（13）双曲线及其标准方程1.椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A.1±B.1C.-1D.不存在2.双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2B.7C.22D.23.已知双曲线2217x y m -=,直线l 过其左焦点1F ,交双曲线左支于,A B 两点,且24,AB F =为双曲线的右焦点,2ABF △的周长为20,则m 的值为( ) A.8B.9C.16D.204.如图,已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 与双曲线C 的焦点不重合,点M 关于12,F F 的对称点分别为点,A B ,线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上,若12AN BN -=,则a =( )A.3B.4C.5D.65.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,当12F PF △的面积为1时,12PF PF ⋅的值为( ) A.0B.1C.12D.26.已知O 为坐标原点,设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足为H ,则||OH =( )A.1B.2C.4D.127.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上一点，且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于( )A. B. C.24D.488.设3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,则关于,x y 的方程221sin cos x y θθ+=所表示的曲线是( ) A.焦点在y 轴上的双曲线 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在x 轴上的椭圆9.一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆10.已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当3a =和5a =时，点P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线11.设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ,若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_________.12.已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当14t <<时，曲线C 表示椭圆； ②当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. 其中判断正确的是________.(只填判断正确的序号)13.已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>且a b ≠)的左、右焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.给出下面四个命题: ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上;②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上; ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上; ④12PF F △的内切圆必经过点(,0)a . 其中真命题的序号是________.14.已知双曲线22121,,49x y F F -=是其左、右焦点,点P 在双曲线右支上.若1260F PF ∠=︒,则12F PF △的面积是_________.15.已知OFQ △的面积为26,且OF FQ m ⋅=,其中O 为坐标原点.(1)646m <<,求OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,26,(1)OF c m c ==-,当OQ 取得最小值时,求此双曲线的标准方程.答案以及解析1.答案：A解析：验证法：当1m =±时，21m =，对椭圆来说，2224,1,3a b c ===.对双曲线来说，2221,2,3a b c ===，故当1m =±时，它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线的焦点在x 轴上，故2242m m -=+，则21m =，即1m =±. 2.答案：A解析：∵225a =，∴5a =.设点为P ，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可得1210PF PF -=.由题意设112PF =，则1210PF PF -=±,解得222PF =或2. 3.答案：B解析：由已知,2220AB AF BF ++=.又4AB =,则2216AF BF +=.根据双曲线的定义,21212a AF AF BF BF =-=-,所以22114()16412a AF BF AF BF =+-+=-=,即3a =,所以29m a ==. 4.答案：A解析：连接12,QF QF .因为线段MN 的中点为Q ,点2F 为MB 的中点,所以212QF BN =,同理可得112QF AN =.因为点Q 在双曲线C 的右支上,所以122QF QF a -=,所以1()22AN BN a -=,所以11222a ⨯=,解得3a =,故选A.5.答案：A解析：易知12(F F .不妨设(,)(,0)P P P P P x y x y >,由1212P c y ⨯⨯=,得P y ,∴P ,∴1(PF =-,2(5PF =,∴120PF PF ⋅=. 6.答案：A解析：不妨设P 在双曲线的左支,如图,延长1F H 交2PF 于点M,由于PH 即是12F PF ∠的平分线又垂直于1F M ,故12MF F △为等腰三角形, 1||||PF PM =且H 为1F M 的中点,所以OH 为12MF F △的中位线,所以2211||||(||||)22OH MF PF PM ==-211=(||||1)2PF PF -=.故选A.7.答案：C解析：由1234PF PF =知12PF PF >，由双曲线的定义知122PF PF -=,∴128,6PF PF ==.又∵22212425c a b =+=+=,∴5c =，∴1210F F =.∴12PF F △为直角三角形，∴12121242PF F S PF PF ==△. 8.答案：B解析：由题意知221sin cos x y θθ-=-，因为3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0θθ>->，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线.故选B 9.答案：C解析：由题意两定圆的圆心坐标为12(0,0),(4,0)O O ，半径分别为1,2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则121,2CD r CO r =+=+，∴211214CO CO OO -=<=,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 10.答案：D解析：2212(82)(33)10F F =--+-=,当3a =时，12610PF PF -=<,∴点P 的轨迹为靠近点2F 的双曲线一支；当5a =时，121210PF PF F F -==，∴点P 的轨迹为靠近点2F 的一条射线. 11.答案：(27,8) 解析： 12.答案：②③④解析：①错误，当52t =时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4)(1)0t t --<，∴1t <或4t >；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，∴512t <<；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩∴4t >.13.答案：①④解析：设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ,与12F F 切于点M ,则1122,,PA PB F A F M F B F M ===.又点P 在双曲线的右支上,所以122PF PF a -=,故122F M F M a -=,而122F M F M c +=,设点M 的坐标为(,0)x ,则由122F M F M a -=,可得()()2x c c x a +--=,解得x a =,显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴,故①④是真命题.14.答案：解析：设112212,()PF r PF r r r ==>,在12F PF △中,由余弦定理,得222212121212122cos60()F F r r r r r r r r =+-︒=-+,而12124,r r F F -==∴1236r r =,∴121211sin 603622F PF S r r =︒=⨯=△.15.答案：(1)因为1||||sin(π)2||||cos OF FQ OF FQ m θθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩所以tan θ=.m <,所以1tan 4θ<<. 即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>,11(,)Q x y ,则11(,)FQ x c y =-所以11||||2OFQ S OF y =⋅=△,则1y =. 又OF FQ m ⋅=,即211(,0)(,)1c x c y c ⎫⋅-=⎪⎪⎝⎭,解得1x =,所21||OQ x ==当且仅当4c =时取等号,||OQ 最小, 这时点Q的坐标为或. 因为222266116a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,所以22412a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 于是双曲线的标准方程为221412x y -=.解析：。
人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：2.2.1双曲线及其标准方程 Word版含答案
2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第31页[基础认识]知识点一双曲线的定义预习教材P45，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，则|(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2|＝2a，整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，令b2＝c2－a2(b>0)，则b2x2－a2y2＝a2b2，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．知识梳理双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)答案：C授课提示：对应学生用书第31页 探究一 双曲线定义的应用[教材P 54习题2.2A 组1题]双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：双曲线4x 2－y 2＋64＝0可化为y 264－x 216＝1，∴a ＝8.由定义知|PF 1|－|PF 2|＝16，|PF 2|＝±16＋|PF 1|，|PF 2|＝17或|PF 2|＝－15(舍去)． 答案：17[例1] (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] (1)由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) 故选B.(2)⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10∴△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.故选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧 1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．跟踪探究 1.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解析：由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 探究二 求双曲线的标准方程[阅读教材P 47例1]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1、F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．题型：待定系数法求双曲线的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②根据双曲线的定义得2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴a ＝3.又∵c ＝5，从而求出b . ③写出所求的标准方程．[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. [解析] (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.方法技巧 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪探究 2.(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 解析：(1)由题意， 知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.探究三 与双曲线有关的轨迹问题[阅读教材P 47例2]已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．题型：求动点的轨迹方程．方法步骤：①建立直角坐标系，使A ，B 在x 轴上，坐标原点为AB 的中点，设爆炸点P (x ，y )．②建立P 的几何性质，|P A |－|PB |＝680. (AB ＝800>600)故P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线一支． 从而写出所求轨迹方程．[例3] 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．方法技巧 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．[素养培优]1．忽视双曲线上的点到焦点距离的范围致误双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21易错分析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点．若|PF 2|＝11，∴|PF 1|＝1或21，故选A ，忽视了|PF 1|的取值范围． 考查直观想象、逻辑推理的学科素养．自我纠正 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10(F 1、F 2为左、右焦点)． 又∵|PF 1|＝1或21，当P 在左支上时，|PF 1|>c －a ＝2，故|PF 1|＝1舍去；当P 在右支上时，|PF 1|>c ＋a ＝12， 故|PF 1|＝21，故选D. 答案：D2．混淆a ，b ，c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k 的值． 易错分析 由8kx 2－ky 2＝8， 得x 21k －y 28k＝1. ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝8－k ，b 2＝－1k ，又∵c 2＝a 2－b 2，故3＝－7k ，∴k ＝－73.混淆了椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正 将双曲线的方程化成kx 2－k8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线x 2m －2－y 2m －7＝1的焦距等于6，求实数m 的值．易错分析 解答本题时，容易将m －2看作a 2，将m －7看作b 2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 因为双曲线的焦距等于6，即2c ＝6，所以c ＝3，即a 2＋b 2＝c 2＝9.(1)当双曲线焦点在x 轴上时，方程为x 2m －2－y 2m －7＝1，a 2＝m －2，b 2＝m －7，所以m －2＋m －7＝9，解得m ＝9，即实数m 的值为9.(2)当双曲线焦点在y 轴上时，方程为y 27－m －x 22－m ＝1，a 2＝7－m ，b 2＝2－m ，所以7－m＋2－m ＝9，解得m ＝0，即实数m 的值为0.综上可知，实数m 的值为0或9.。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-1-1双曲线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程双基达标 （限时20分钟）1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．10解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D2．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )．A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D. 答案 D3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )．A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6.⇔a>3或－6<a<－2.故选D.答案 D4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析由已知2a＝8，2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆标准方程为y216＋x2＝1.答案y216＋x2＝15．已知椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k的值为________．解析由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.答案11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169＋y2144＝1或y2169＋x2144＝1综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常数)．又∵|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案 A8．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()．A．5 B．4 C．3 D．1解析由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4，故选B.答案 B9．若α∈(0，π2)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为x21sin α＋y21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sinα>cos α>0，∴π4<α<π2.答案 (π4，π2)10．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P 点的坐标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1，得y 1＝±32，即P 点的坐标为(3，±32)，∴|PF 2|＝|y 1|＝32.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|. 答案 711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210， ∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 12．(创新拓展)如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25 内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直 平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程． 解 由题意知，点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.∵A (1，0)，C (－1，0)， ∴点M 的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆， 且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.即4x 225＋4y 221＝1.。
高中数学选修1-1全册章节测试题集含答案
人教A版高中数学选修1-1全册章节测试题目录1.1命题及其关系（同步练习）1.2 充分条件与必要条件同步测试.1.3_1.4试题（新人教选修1-1）.1.3简单的逻辑联结词（同步练习）1.4全称量词与存在量词同步测试（新人教选修1-1）.2.1《椭圆的几何性质》测试题2.1椭圆同步测试2.2双曲线几何性质测试2.2双曲线及其标准方程练习2.3抛物线及其标准方程习题精选2.3抛物线及其标准方程同步试题3.1变化率与导数（同步练习）3.2.1导数习题3.2.2 导数的运算法则习题3.3.3 函数的最大值与最小值练习题3.3《导数在研究函数中的应用》习题3.4生活中的优化问题举例（同步练习）1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.答案：312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.答案：逆命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假；否命题：200ac ax bx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为.答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案：假设三角形的内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ，<则55a b --<(B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. ）(A) (B)是有理数(C) (D)答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”的逆命题；⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则，”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是（） A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假； B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真； C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假； D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题的有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）． Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的（ ） Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22ac bc >则a b >”的逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”的逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p N Z Ü，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成的复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：N Z Ü或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z Ü且{0}∈N ，为假；非:p N Z Ú或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1）23≤；（2）()A A B Ú；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A A B ⊆ ，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 的形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”的否定；（6）“p 且q ”的否定；（7）“非p 或非答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则0m >”； 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”． 由方程的判别式14m =+ 得0> ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一．选择题：1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2．在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3．对下列命题的否定说法错误的是（）A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A. p真，q真B. p假，q假C. p真，q假D. p假，q真二．填空题：7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.2.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析
2.2.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若双曲线E :x 29‒y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( ) B.9C.5D.3a=3,b=4,c=5.由双曲线定义,可知||PF 1|-|PF 2||=|3-|PF 2||=2a=6,故|PF 2|=9.2.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,则当a=3和a=5时,点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线|F 1F 2|=10,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴当a=3时,2a=6<|F 1F 2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F 1F 2|,此时轨迹为一条射线.3.若双曲线方程为x 2-2y 2=2,则它的左焦点坐标为( )A .(-22,0)B.(-52,0)C.(-62,0)D.(‒3,0)双曲线标准方程为x 22‒y 2=1,∴c 2=2+1=3.∴左焦点坐标为(‒3,0).4.若椭圆x 24+y 2m 2=1与双曲线x 2m2‒y 22=1有相同的焦点,则m 的值是( )A.±1B.1C.-1D.不存在5.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( )A .14B.35C.34D.45为x 22‒y 22=1,所以a=b =2,c =2.因为|PF 1|=2|PF 2|,所以点P 在双曲线的右支上.所以|PF 1|-|PF 2|=2a=22,解得|PF 2|=22,|PF 1|=42.所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2=(22)2+(42)2-162×22×42=34.6.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线C :x 216‒y 29=1的左、右焦点,顶点P 在双曲线C 上,则|sin A -sin B |sin P的值等于( )A .7B.74C.54D.45|PB|=m ,|PA|=n ,由正弦定理得|sin A -sin B |sin P =|m -n |2c=810=45.7.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两个端点为焦点,且经过点(3,10)的双曲线的标准方程为____________.,得双曲线的焦点在x 轴上,且c=22.设双曲线的标准方程为x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0), 则{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得{a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23‒y 25=1.‒y 25=18.设P 为双曲线x 2‒y 212=1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶△PF 1F 2的面积为 .2,则|PF 1|-|PF 2|=2a=2,且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,∴|PF 1|=6,|PF 2|=4.又|F 1F 2|=2c=213,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,·|PF 2|∴S △PF 1F 2=12|PF 1|=12×6×4=12.9.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)经过点P (3,154),Q (-163,5);(2)c =6,经过点(‒5,2),焦点在x 轴上.设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn<0),∵,点P (3,154),Q (-163,5)在双曲线上∴{9m +22516n =1,2569m +25n =1,解得{m =-116,n =19.∴双曲线方程为y 29‒x 216=1.(2)∵c x 轴上,=6,焦点在∴设双曲线方程为x 2a 2‒y 26-a 2=1.∵点(-5,2)在双曲线上,∴25a 2‒46-a 2=1,∴a 2=5.∴双曲线方程为x 25‒y 2=1.10.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=9,C 2:(x-3)2+y 2=1都外切,求动圆圆心C 的轨迹方程.,由题意,得定圆圆心分别为C 1(-3,0),C 2(3,0),半径r 1=3,r 2=1.设动圆圆心为C (x ,y ),半径为r ,则|CC 1|=r+3,|CC 2|=r+1.两式相减,得|CC 1|-|CC 2|=2,∴点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b 2=c 2-a 2=8.∴方程为x 2≥1).‒y 28=1(x 二、能力提升1.若方程x 2m -1+y 2m 2-4=3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+∞)2)D.(-2,2)2.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(⊥‒5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上的一点,且PF 1PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程是( )A .x 22‒y 23=1B.x 23‒y 22=1C.x 2‒y 24=1D.x 24‒y 2=1|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,其中m>0,n>0,在Rt △PF 1F 2中,m 2+n 2=(2c )2=20,m ·n=2,由双曲线定义,知|m-n|2=m 2+n 2-2mn=16=4a 2.∴a 2=4,∴b 2=c 2-a 2=1.∴双曲线的标准方程为x 24‒y 2=1.3.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则点P 到x 轴的距离为( )A .3B.62C.3D.6|PF 1|=m ,|PF 2|=n.由方程知c =2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得4c 2=m 2+n 2-mn.∵|m-n|=2,∴8=(m-n )2+mn=4+mn ,∴mn=4.设点P 到x 轴的距离为h ,·h 60°,∴h 则12×2c =12mn sin =62.4.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2‒y 29=1(a >0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|△PF 1F 2的周长是 .PF 1|=2|PF 2|=16,则|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a.∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25.∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.5.已知动圆M 过定点B (-4,0),且和定圆(x-4)2+y 2=16相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 .M 的半径为r ,依题意有|MB|=r ,另设A (4,0),则有|MA|=r ±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M 到两定点A ,B 的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M 的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a 2=4,b 2=c 2-a 2=12,故轨迹方程是x 24‒y 212‒y 212=1★6.已知F 是双曲线x 24‒y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |值为__________.,已知F (-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A (1,4)在双曲线的两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9,当且仅当A ,P ,F'三点共线时,取等号.7.已知双曲线x 216‒y 24=1的两个焦点分别为F 1,F 2.若点M 在双曲线上,且MF 1·MF 2=0,求点M 到x 轴的距离.M 在双曲线的右支上,点M 到x 轴的距离为h MF 1⊥MF 2.,MF 1·MF 2=0,则设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,由双曲线定义知,m-n=2a=8.①又m 2+n 2=(2c )2=80,②由①②得m ·n=8,·h ,得h 由12mn =4=12|F 1F 2|=255.★8. 已知双曲线的方程为x 2‒y 24=1,如图,点A 的坐标为(‒5,0),点B 是圆x 2+(y ‒5) 2=1上的点,点M 在双曲线的右支上,求|MA |+|MB |的最小值.D 的坐标A ,D 是双曲线的焦点.为(5,0),则点由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又点B 是圆x 2+(y ,圆的圆心为C (01,‒5)2=1上的点,5),半径为所以|BD|≥|CD|-1=10‒1.从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1.当点M ,B 在线段CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为10+1.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线的定义平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线，其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是A. 3|PF ||PF |21±=-B. 4|PF |PF |21±=-C. 5|PF ||PF |21±=-D. 4|PF ||PF |2221±=-2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是A.116y 25x 22=+ B.116y 25x 22=- C.19y 16x 22=+ D.19y 16x 22=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、()2,2F 2，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。
4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 21C sin B sin =-，求A 点轨迹。
题型二：双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 2222=-，焦点为F （c ±，0）；（2）焦点在y 轴上，方程为1bx a y 2222=-，焦点为F （0，c ±）；（3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。
请根据以上知识解决5~7题。
5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 圆D. 椭圆6. 已知双曲线的焦距为26，1325c a 2=，则双曲线的标准方程是 A.1169y 25x 22=- B.1169x 25y 22=- C.25x 21144y 2=- D.1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=- 7. 已知双曲线过M （1，1）、N （-2，5）两点，求双曲线的标准方程。
人教A版选修1-1教案：2.2.1双曲线的及其标准方程(含答案)
【教学目标】：
知识与技能
1、 掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程； 2、 使学生掌握双曲线的定义、标准方程
3、 过程与方法
1、 认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系； 2、 理解双曲线标准方程的推导过程；
情感态度与价值观
通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生 活中的数学问题。
4． 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为
(3,0) , 且焦距与虚轴长之比为 5: 4 ，则双曲线的标准方程
是 ____________________.
解： 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0) ,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长之比为 5: 4 ，
即 c : b 5: 4，解得 c 5, b 4 ，则双曲线的标准方程是
人教 A 版选修 1-1 教案： 2.2.1 双曲线的及其标准方程（含答案）
（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .
（ C）充要条件 .
（ D）既不充分也不必要条件 .
解析：应用直接推理和特值否定法．当
k>3 时，有 k-3>0,k+3>0 ，所以方程
表示双曲线；当
方程
表示双曲线时， k=-4 是可以的，这不在 k>3 里．故应该选 A ．
解：设双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
=1
由题意易求 c=2 5
人教 A 版选修 1-1 教案： 2.2.1 双曲线的及其标准方程（含答案）
人教 A 版选修 1-1 教案： 2.2.1 双曲线的及其标准方程（含答案）
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.3双曲线的简单几何性质(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.3 双曲线的简单几何性质（一）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 双曲线3y x 322=-的渐近线方程是A. x 3y ±=B. x 31y ±=C. x 3y ±=D. x 33y ±= 2. 双曲线3y x 22=-的A. 顶点坐标是（3±，0），虚轴端点坐标是（0，3±）B. 顶点坐标是（0，3±），虚轴端点坐标是（3±，0）C. 顶点坐标是（3±，0），渐近线方程是x y ±=D. 虚轴端点坐标是（0，3±），渐近线方程是y x ±=3. 若a k 0<<，则双曲线1k b y k a x 2222=+--与1by a x 2222=-有A. 相同的实轴B. 相同的虚轴C. 相同的焦点D. 相同的渐近线4. 已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=，焦距为10，求双曲线方程。
题型二：由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线C 的方程为A. 14y 4x 22=-B. 14x 4y 22=-C. 18x 4y 22=-D. 14y 8x 22=-6. 过点（2，-2）且与1y 2x 22=-有公共渐近线的双曲线方程是A. 12y 4x 22=+-B. 12y 4x 22=-C. 14y 2x 22=+-D. 14y 2x 22=- 7. 求与双曲线19y 16x 22=-共渐近线且过点A （32，-3）的双曲线方程。
(新课标)高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》课件-新人教A版选修1-1
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝ 36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|1P0F01－|·1|P00F2|＝0，∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
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题型二 双曲线定义的应用 【例 2】 如图，若 F1，F2 是双曲线 x92－1y62 ＝1 的两个焦点． (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点 的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离； (2)若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2 的面积．
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2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点 F1、F2 在坐标轴上，并且线段 F1F2 的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方 程． (2)标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，与椭圆中 b2＝a2－c2 相区别，且椭圆中 a>b>0，而双曲线中 a、b 大小则不确定．
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[规范解答] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，
AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，
B(2 2，0)．
(2 分)
由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC
的外接圆半径)．
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。
1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程 求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。
5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。
人教新课标版数学高二选修1-1导学2.2.1双曲线及其标准方程
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课堂10分钟达标1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲乙,只有当2a<|F1F2|且a≠0时,其轨迹才是双曲线.2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-=1【解析】选A.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题知c=2,所以a2+b2=4.①又点(2,3)在双曲线上,所以-=1.②由①②解得a2=1,b2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.3.若方程-=1表示双曲线,则实数m满足( )A.m≠1且m≠-3B.m>1C.m<-或m>D.-3<m<1【解析】选C.因为方程-=1表示双曲线,而m2+1>0恒成立,所以m 2-3>0,解得m<-或m>.4.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是________.【解析】设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),把P,Q两点的坐标代入,得解得所以双曲线的标准方程是-=1.答案:-=15.P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|的值为________.【解析】在双曲线-=1中,a=8,b=6,故c=10,由P是双曲线上一点得,||PF1|-|PF2||=16,所以|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.答案:336.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.【解析】设点A,B分别为圆A,圆B的圆心,则|PA|-|PB|=7-1=6<10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.设P点的坐标为(x,y).因为2a=6,c=5,所以b=4.故点P的轨迹方程是-=1(x>0).7.【能力挑战题】设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.【解析】方法一:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,于是有解得所以双曲线的标准方程为-=1.方法二:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).所以2a=|-| =4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为-=1.关闭Word文档返回原板块。
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人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线的定义平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线，其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是A. 3|PF ||PF |21±=-B. 4|PF |PF |21±=-C. 5|PF ||PF |21±=-D. 4|PF ||PF |2221±=-2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是A.116y 25x 22=+ B.116y 25x 22=- C.19y 16x 22=+ D.19y 16x 22=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、()2,2F 2，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。
4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 21C sin B sin =-，求A 点轨迹。
题型二：双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 2222=-，焦点为F （c ±，0）；（2）焦点在y 轴上，方程为1bx a y 2222=-，焦点为F （0，c ±）；（3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。
请根据以上知识解决5~7题。
5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 圆D. 椭圆6. 已知双曲线的焦距为26，1325c a 2=，则双曲线的标准方程是 A.1169y 25x 22=- B.1169x 25y 22=- C.25x 21144y 2=- D.1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=- 7. 已知双曲线过M （1，1）、N （-2，5）两点，求双曲线的标准方程。
题型三：应用双曲线的定义解题P 是双曲线上任意一点，1F 、2F 为左、右焦点，则有a 2||PF ||PF ||21=-，根据以上知识解决8~10题。
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，在左支上过1F 的弦AB 的长为5，若8a 2=那么△2ABF 的周长为A. 16B. 18C. 21D. 269. 若椭圆1n y m x 22=+（0n m >>）和双曲线1by a x 22=-（0a >，0b >）有相同的焦点1F 、2F ，P 为椭圆与双曲线的公共点，则|PF ||PF |21⋅等于A. a m -B.()a m 21- C. 22a m -D. a m -10. P 是双曲线136y 64x 22=-上一点，点1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且17|PF |1=，求|PF |2的值。
【互动探究】 ［学科内综合］11. 5m 3<<是方程16m m y 5m x 222=--+-表示的图形为双曲线的A. 充分但非必要条件B. 必要但非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知1F 、2F 是双曲线19y 16x 22=-的两个焦点，PQ 是过1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么|PQ ||QF ||PF |22-+的值是A. 16B. 12C. 8D. 随α角的大小而变化13. 双曲线116y 9x 22=-的焦点为1F 、2F ，且点P 是双曲线上的一点，若∠=21PF F 60°，试求△21PF F 的面积。
［学科间综合］14. A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距km 4，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现，这一信号（该信号的传播速度为每秒km 1），A 若炮击P 地，求炮击的方位角。
15. 设声速为s /am ，在相距m a 10的观察所中，听到一声爆炸，时间差为s 6，且记录B 处的声强是A 处的声强的4倍，若已知声速s /m 340a =，声强与距离的平方成反比，试确定P 到AB 的中点的距离。
［新题型］16. 已知θ是三角形的一个内角，且21cos sin =θ-θ，则方程1cos y sin x 22=θ-θ可能表示下列曲线中的_________。
（填上所有可能情况） ①焦点在x 轴上的椭圆；②焦点在y 轴上的椭圆；③焦点在x 轴上的双曲线；④焦点在y 轴上的双曲线。
【经典名题】17. （2006·上海）若R k ∈，则3k >是方程13k y 3k x 22=+--表示双曲线的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件18. （2006·北京）已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件22|PN ||PM |=-，记动点P 的轨迹为W 。
（1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求⋅的最小值。
参考答案： 1. A2. D 提示：由题意知P 点的轨迹是双曲线。
∵5c =，4a =，∴9a c b 222=-=。
又∵焦点在x 轴上，∴P 点的轨迹方程为19y 16x 22=-。
3. 解：设P 点坐标为（x ，y ），∵()()2212y 2x |PF |+++=，()()2222y 2x |PF |-+-=22|PF ||PF |21±=-，∴()()()()222y 2x 2y 2x 2222±=-+--+++。
将这个方程移项后，两边平方，得()()()()()()2222222y 2x 2y 2x 2482y 2x -+-+-+-⨯±=+++即()()222y 2x 2y x -+-±=-+，两边再平方，得2y 22y 2x 22x y 22x 22xy 22y x 2222+-++-=--+++，整理，得1xy =，此即为所求双曲线的方程。
4. 解：∵A sin 21C sin B sin =-， 由正弦定理得a 21c b =-，即|BC |21|AB ||AC |=-。
∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，其方程为()2x 112y 4x 22>=- 5. B6. D 提示：∵26c 2=，1325c a 2=，∴13c =，25a 2=。
∴1442513b 22=-=。
∴双曲线的标准方程为1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=-。
7. 解法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为1by a x 2222=-。
∵M （1，1）、N （-2，5）在双曲线上，∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-1b 5a 2,1b 1a 1222222，解得⎪⎩⎪⎨⎧==7b 87a 22。
若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为1bx a y 2222=-。
同理有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-1b 2a 51b 1a 1222222 解得()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=舍去87b 7a 22， ∴所求双曲线的标准方程为17y 87x 22=-。
解法二：设所求双曲线的方程为 1By Ax 22=+。
将点M （1，1）、N （-2，5）代入此方程得⎩⎨⎧=+=+1B 25A 4,1B A ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==71B ,78A ，∴所求双曲线的标准方程为17y 87x 22=-。
提示：求双曲线的方程时，可根据其焦点位置，设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a 、b 的值，若双曲线的焦点位置难以确定，可设双曲线的方程为1By Ax 22=+，利用条件，通过待定系数法求出系数的值，从而写出双曲线的标准方程。
8. D 提示：如图，5|BF ||AF ||AB |11=+=，8a 2|AF ||AF |12==-，8a 2|BF ||BF |12==-，∴a 2|BF |a 2|AF ||AB ||BF ||AF ||AB |l 1122A BF 2++++=++=△2616108252a 4|AB |2a 4|AB ||AB |=+=⨯+⨯=+=++=。
9. A 提示：椭圆的焦点为()0,n m -±，双曲线的焦点为()0,b a +±，∴b a n m +=-。
∴m 2|PF ||PF |21=+，①a 2||PF ||PF ||21=-。
② ①2-②2有a m |PF ||PF |21-=⋅。
10. 解：在双曲线136y 64x 22=-中，8a =，6b =，故10c =，由P 是双曲线上一点，得16||PF ||PF ||21=-。
∴1|PF |2=或33|PF |2=。
又2a c |PF |2=-≥。
∴33|PF |2=。
提示：本题容易忽略a c |PF |2-≥这一条件，而得出错误结论1|PF |2=或33|PF |2=。
11. A 提示：当5m 3<<时，05m <-，()()03m 2m 6m m 2>-+=--，∴该方程表示的图形为双曲线；当方程表示的图形为双曲线，则()()06m m 5m 2>---，即()()()03m 2m 5m <-+-，解得-<m 2或5m 3<<。
∴5m 3<<是方程16m m y 5m x 222=--+-表示的图形为双曲线的充分而不必要条件。
12. A 提示：∵双曲线方程为19y 16x 22=-， ∴8a 2=。
由双曲线的定义得8a 2|PF ||PF |12==-，①8a 2|QF ||QF |12==-，②①+②得，()16|QF ||PF ||QF ||PF |1122=+-+。
∴16|PQ ||QF ||PF |22=-+。
13. 解：∵16b 2=，9a 2=，∴25c 2=，10c 2=。
又∵623||PF ||PF ||21=⨯=-， ︒⋅⋅-+=60cos |PF ||PF |2|PF ||PF ||F F |212221221，∴64|PF ||PF |21=⋅。
∴31660sin |PF ||PF |21S 21F PF 21=︒⋅⋅=△。
14. 解：以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，则A （3，0）、B （-3，0）、C （-5，32）。