2013年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试文数上海卷pdf版含答案

（3）显然过圆
x2
+
y2
= 1 内一点的直线 l 2
若与曲线
C 1 有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2交于点 (t, t +1)(t ≥ 0) ，则
l : y = (t +1) = k(x − t) ⇒ kx − y + (1+ t − kt) = 0
直线 l 与圆 x2 + y2 = 1 内部有交点，故 |1+ t − kt | < 2
2
（2）令ω = 2 ，将函数 y = f (x) 的图像向左平移 π 个单位，再往上平移1个单位，得到函
6 数 y = g(x) 的图像．对任意的 a ∈ R ，求 y = g(x) 在区间[a, a +10π ] 上零点个数的所有可
能值．
22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分．
a3 =2 − (a1 − 2) =4 − a1, 所以a1(4 − a1) =(2 − a1)2 , 得a =2 − 2(舍去）或a1 =2 + 2
综合①②得 a1= 1或a1= 2 + 2 （3）假设这样的等差数列存在，那么 a2 =2 − a1 , a3 =2 − 2 − a1
由 2a2 = a1 + a3得2-a1+ 2- a1 = 2 a1 (*) 以下分情况讨论： ① 当 a1 ＞2 时，由（*）得 a1 = 0,与a1 ＞2 矛盾 ② 当 0＜ a1 ≤2 时，有（*）得 a1 =1，从而 a=n 1(=n 1, 2,...)
= 1 内的点都不是“ 2

高考文科---高考上海卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（上海卷）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式12-x x＜0的解为 . 【答案】 )21,0(【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 【答案】 15【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 【答案】 -2【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数 4.已知1x 12=0，1x 1y =1，则y= .【答案】 1 【解析】111 2021 12 =-==⇒=-=y x yx x x x ，又已知,1,2==y x 联立上式，解得5.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是.【答案】π32 【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【答案】 78【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩7.设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= .【答案】 -2 【解析】10,110)()()(15752552-==⇒-=⇒+-a C r x xa x C x a x r r r 2,105-=-=⇒a a8.方程x 31139x=+-的实数解为 . 【答案】 4log 3 【解析】4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x x x x x xxx9.若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= . 【答案】 97- 【解析】971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则r l= .【答案】3【解析】 3336tan=⇒==rll r π由题知，11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】75 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

2013年上海高考数学(文科)试卷及答案

2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx <-的解为．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331x x +=-的实数解为．9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为．13．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u r 、2a u u r 、3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r 、2c u u r 、3c u r．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+u r u u r u u r u r的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（）（A（B ）（C ）1+（D ）116．设常数a ∈R ，集合()()}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R U ，则a 的取值范围为（）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω=L ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩL 上时，x y +的最大值分别是12,,M M L ，则lim n n M →∞=（）暂无选项！三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x +-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．第19题图B22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学文

2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.(4分)不等式＜0的解为 .解析：原不等式化为或，解得：0＜x＜，答案：0＜x＜2.(4分)在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= .解析：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2(a2+a3)=30，则a2+a3=15.答案：15.3.(4分)设m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .解析：∵复数z=(m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，∴m2+m-2=0，m2-1≠0，解得m=-2，答案：-2.4.(4分)已知，，则y= .解析：由已知，，所以x-2=0，x-y=1所以x=2，y=1.答案：1.5.(4分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .解析：∵a2+ab+b2-c2=0，即a2+b2-c2=-ab，∴cosC===-，∵C为三角形的内角，∴C=.答案：6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为.解析：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知：75x+80y=(x+y)×a，且=40%.所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为 78.答案：78.7.(4分)设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= . 解析：的展开式的通项为T r+1=C5r x10-2r()r=C5r x10-3r a r，令10-3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51，∵x7的系数是-10，∴aC51=-10，解得a=-2.答案：-2.8.(4分)方程的实数解为.解析：令t=3x(t＞0)则原方程可化为：(t-1)2=9(t＞0)∴t-1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34.答案：log34.9.(4分)若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .解析：∵cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=，∴cos(2x-2y)=cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-. 答案：-10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则= .解析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为.在直角三角形ODA中，因为，所以.则.答案：11.(4分)盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示)解析：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=.答案：.12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为 .解析：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2.∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C(-1，1)，因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2-b2=4-=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为.答案：.13.(4分)设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为. 解析：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故(9x+)min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6a≥a+1，解得a≥答案：[，+∞)14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是 .解析：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，.如图建立坐标系.(1)当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[(1，0)+(1，1)]·[((-1，0)+(-1，-1)]=-5；(2)当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[(1，0)+(1，1)]·[((-1，0)+(0，-1)]=-3；(3)当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[(1，0)+(1，1)]·[((-1，-1)+(0，-1)]=-4；(4)当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[(1，0)+(0，1)]·[((-1，0)+(-1，-1)]=-3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=-5，-4，或-3.则的最小值是-5.答案：-5.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.(5分)函数f(x)=x2-1(x≥0)的反函数为f-1(x)，则f-1(2)的值是( )A.B.C. 1+D. 1-解析：由题意令2=x2-1(x≥0)，解得x=，所以f-1(2)=.答案：A.16.(5分)设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为( )A. (-∞，2)B. (-∞，2]C. (2，+∞)D. [2，+∞)解析：当a＞1时，A=(-∞，1]∪[a，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=(-∞，a]∪[1，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立∴a＜1；综上，a的取值范围是(-∞，2].答案：B.17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件解析：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.答案：A18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n=1，2，…)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=( )A. 0B.C. 2D. 2解析：把椭圆得，椭圆的参数方程为：(θ为参数)，∴x+y=2cosθ+sinθ，∴(x+y)max==.∴M n==2. 答案：D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.(12分)如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.解析：根据题意画出图形，结合正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积.答案：∵O-ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D.则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.解析：(1)由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；(2)利用(1)的结论可得生产1千克所获得的利润为90000(5+)，1≤x≤10.进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出.答案：(1)生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元，∴获得的利润为100(5x+1-)×元.因此生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+)元.(2)生产900千克该产品获得的利润为90000(5+)，1≤x≤10.设f(x)=，1≤x≤10.则f(x)=，当且仅当x=6取得最大值.故获得最大利润为=457500元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元.21.(14分)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0(1)令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+)的奇偶性，并说明理由；(2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.解析：(1)特值法：ω=1时，写出f(x)、F(x)，求出F()、F(-)，结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；(2)根据图象平移变换求出g(x)，令g(x)=0可得g(x)可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g(x)在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；答案：(1)f(x)=2sinx，F(x)=f(x)+f(x+)=2sinx+2sin(x+)=2(sinx+cosx)，F()=2，F(-)=0，F(-)≠F()，F(-)≠-F()，所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)f(x)=2sin2x，将y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2(x+)+1的图象，所以g(x)=2sin2(x+)+1.令g(x)=0，得x=kπ+或x=kπ+(k∈z)，因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ(k∈z)也都不是零点，区间[a+kπ，a+(k+1)π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点.综上，y=g(x)在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20.22.(16分)已知函数f(x)=2-|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f(a n)，n∈N*(1)若a1=0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.解析：(1)由题意代入式子计算即可；(2)把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；(3)假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*)，分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由(*)式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；答案：(1)由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；(2)a2=2-|a1|=2-a1，a3=2-|a2|=2-|2-a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2-(2-a1)=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2-(a1-2)=4-a1，所以，得(舍去)或.综合①②得a1=1或.(3)假设这样的等差数列存在，那么a2=2-|a1|，a3=2-|2-|a1||，由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*)，以下分情况讨论：①当a1＞2时，由(*)得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由(*)得a1=1，从而a n=1(n=1，2，…)，所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2(m-1)＞2，此时d=a m+1-a m=2-|a m|-a m＜0，矛盾.综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列.23.(18分)如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点”.(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；(3)求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”解析：(1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为()，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1-C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0，1)连线的斜率；(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.答案：(1)C1的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中.(2)证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得.若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|＞1).显然直线x=0与C1无公共点.如果直线为y=kx(|k|＞1)，则由方程组，得，矛盾.所以直线y=kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1-C2型点”.(3)证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b.若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为|k|＞1，所以1-2k2≠0，因此△=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0，即b2≥2k2-1. 因为圆O的圆心(0，0)到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾.因此，圆内的点不是“C1-C2型点”.。

【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文数-含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式021xx <-的解为． 2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ． 4．若2011x =，111x y=，则y = ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331xx+=-的实数解为． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ． 10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆心上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ． 11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u r、2a u u r 、3a u u r ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r 、2c u u r 、3c u r．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+u r u u r u u r u r的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -，则()12f -的值是（）（A（B）（C）1（D）116．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R U ，则a 的取值范围为（）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω=L ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩL 上时，x y +的最大值分别是12,,M M L ，则lim n n M →∞=（）（A ）0 （B ）14三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．B20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分，第2小题满分9分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．参考答案一．填空题 1. 0＜ X ＜122. 153. -24. 15.23π 6. 78 7. -2 8. 3log 4 9. -7910. 11. 5712. 13. )1,5⎡+∞⎢⎣14. -5二．选择题三．解答题19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC 的底面△ABC 是边长为2的正三角形。

2013年上海市高考数学试卷(文科)

2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为0＜x＜．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）已知，，则y=1．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r【解答】解：的展开式的通项为T r+1令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）方程的实数解为log34．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为log34．故答案为：log34．【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解min之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min ≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选：A．【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a 1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而a n=1（n=1，2，…），所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=a m﹣a m=2﹣|a m|﹣a m＜0，矛盾．+1综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列．【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。

2013年上海高考文科数学试题word版

2 0 13 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021x x <-的解为． 2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m R ∈，222(1)m m m i +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．已知2011x =，111x y=，则y = ．5．已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数a R ∈．若25()ax x +的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = ． 8．方程91331x x +=-的实数解为． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则cos(22)x y -= ． 10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r = ． 11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=．若4AB =，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为． 13．设常数0a >．若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若,,,{1,2,3}i j k l ∈，且i j ≠，k l ≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．函数2()1(0)f x x x =-≥的反函数为1()f x -，则1(2)f -的值是（）． (A) 3 (B) 3- (C) 12+ (D) 12-16．设常数a R ∈，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-．若AB R =，则a 的取值范围为（）． (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞17．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）．(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（）． (A) 0 (B) 14(C) 2 (D) 22三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为2131005a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x = 的图像．对任意a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2f x x =-，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a +=，*n N ∈．（1）若10a =，求234,,a a a ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线221:12x C y -=，曲线2:1C y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”．。

2013年高考文科数学(上海卷)

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式12-x x＜0的解为 . 2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 4.已知1x 12=0，1x 1y =1，则y= .5.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 . 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .7.设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= .8.方程x 31139x=+-的实数解为 . 9.若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= .10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则rl= . 11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）.12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .13.设常数a ＞0.若1x 92+≥+a xa 对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若i,j,k,l ∈{}321，，且i ≠j,k ≠l ，则()j i a +a ·()l k c c +的最小值是 .二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.函数1)(f 2-=x x （x ≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（A ）3 （B ）－3 （C ）1+2 （D ）1－216.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（A ）（－∞，2）（B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞）（D ）[2，+∞） 17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件18.当点（x,y ）分别在1Ω，2Ω，…上时，x+y 的最大值分别是M 1,M 2,…，则n lim M n +∞→=（A ）0 （B ）41（C ）2 （D ）22 三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文科)解答

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文科）解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx <-的解为．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则=y ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331x x+=-的实数解为．9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则=rl ．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若{},,,1,2,3i jkl ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（）（A ）3（B ）3-（C ）12+（D ）12-16．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则a 的取值范围为（）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞ （D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件，18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（）（A ）0 （B ）41（C ）2 （D ）22第19题图三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．33=V ，33=表S20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．（1）生产a 千克需要x a 小时，所获得的利润为：)315(100)315(1002x x a x a x x -+=⋅-+ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．（1）)4sin(22cos 2sin 2)2sin(2sin 2)(ππ+=+=++=x x x x x x F ，22)4(=πF ，0)4(=-πF ，故)(x F 非奇非偶函数；（2）()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++()y g x =在区间[,10]a a π+上其长度为10个周期上，故：a 不是零点或a 是零点时，零点个数分别可以取20,21个。

2013年上海高考数学文科-含答案

2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx <-的解为．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331x x+=-的实数解为． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为．13．设常数0a >，若291a x a x +≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（）（A（B）（C）1（D）116．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则a 的取值范围为（）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（）A ．0B ．41C ．2 D．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．参考答案一、选择题1．1(0,)2 【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x 2．15 【解析】1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3．2m =- 【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数 4．1 【解析】111 202112 =-==⇒=-=y x y x x x x ，又已知，联立上式解之得2,1x y ==5．23π 【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6．78 【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩 7．2- 解：2515()(),2(5)71r r rr a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．8．3x=log 4【解析】4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x xx x x xx x 9．79- 【解析】 971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10【解析】 3336tan=⇒==rll r π由题知， 11．57解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2427517C C -=．【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

2013年上海高考数学文科试卷带详解

2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式021xx <-的解为 . 【测量目标】分式不等式.【考查方式】给出分式不等式，求出满足不等式的解.【参考答案】(0，12) 【试题解析】因为021x x <-，可得(21)0x x -<，则102x <<，所以答案为(0，12) . 2.在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += . 【测量目标】等差数列的的基本性质.【考查方式】通过给出等差数列前四项和，利用等差数列的基本性质(当m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+)，求出23a a +.【参考答案】15【试题解析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，满足m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+，因为1+4=2+3，则2314a a a a +=+15=，所以答案为15.3.设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = .【测量目标】复数的基本概念，纯虚数.【考查方式】考查了虚数为纯虚数时，虚部为不为零的实数，实部为零，来求出m . 【参考答案】2-【试题解析】根据题意得220m m +-=，得出1m =或2m =-，又因为210m -≠，则1m ≠±，所以1m =舍去，从而答案为2m =-.4.若2011x =，111x y=，则x y += . 【测量目标】行列式的运算.【考查方式】通过给出两个行列式，进行化简展开，求出x 和y. 【参考答案】3【试题解析】由题意知20x -=和1x y -=，可得2,1x y ==，所以容易得出3x y +=. 5.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c .若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）. 【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形边的关系，转换成余弦定理，得出角C 的值.【试题解析】根据余弦定理将2220a ab b c ++-=变换为222cos 2a b c C ab+-==12-，所以角C 的大小为2π3. 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【测量目标】加权平均数.【考查方式】通过给出男生在年级学生所占的比例和男女学生分别的平均分数，求出年级学生的总量和平均分数. 【参考答案】78【试题解析】根据题意可知，首先设高一年级男女生的总人数为x ，由此可得40%75(140%)8078x x x+-= .7.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = .【测量目标】二项式定理.【考查方式】已知二项式，通过二项式定理，求出其中的未知量. 【参考答案】2-【试题解析】根据题意可知，写出二项展开式的通项，从而确定7x 的系数.该二项展开式的通项为25103155C ()()C rrr r r r r a T x a x x--+==令1r =，得1725C T ax =，因为项的系数为-10,即15C 10a =，所以a2=-. 8.方程91331x x+=-的实数解为 . 【测量目标】指数方程的求解.【考查方式】通过给出函数的等式，利用换元法来求出x 的值. 【参考答案】3log 4【试题解析】根据函数的等式，通项得出38331x x x+=-232380x x ⇒--= ，令3x t =，可得2280t t --=，解得4t =或2t =-，因为3x 恒大于零，所以34x t ==，所以3log 4x =.9.若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= . 【测量目标】余弦函数的两角和与差，余弦函数的二倍角.【考查方式】通过给出余弦函数两角差的展开式，再利用二倍角的的恒等变换，从而求出cos(22)x y -的值.【试题解析】由1cos cos sin sin cos()3x y x y x y +=-=，()cos 22x y -=cos[2()]x y -= 22cos ()1x y --=79-. 10.已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则lr= .【测量目标】空间异面直线的所成角.【考查方式】通过给出圆柱中的异面直线，根据直线空间中的平移，求出半径r .【试题解析】由图可知πtan6r ll r，==⇒= 11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 【测量目标】古典概型，排列数的应用.【考查方式】给出不同的编号的球，利用排列求出概率. 【参考答案】57【试题解析】根据题意，从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有27C 21=个.2个数之积为奇数⇒2个数分别为奇数，共有24C =6个.所以2个数之积为偶数的概率2427C 6511C 217P =-=-=.12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=.若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 .【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】通过给出椭圆内三角形的边和角，椭圆的长轴，求出两个焦点的距离.【参考答案】3【试题解析】设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2423b c ==， 13.设常数0a >，若291a x a x++…对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .【测量目标】基本不等式的应用.【考查方式】给出含有未知数的不等式，利用均值不等式，求出a 的范围. 【参考答案】1[,)5+∞【试题解析】由题知，当0x >时，21()9615a f x x aa a x =+=+⇒厖?.14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c.若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c ++的最小值是 .【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】已知向量的大小和方向，判断出()()i j k l a a c c ++最小值.【参考答案】-5【试题解析】当向量()()i j k l a a c c ++ 互为相反向量，且它们的模最大时，()()i j k la a c c ++最小.这时i a ,,,,j k l AC a AD c CA c CB ==== ()()i j k l a a c c ++=25i j a a -+=- .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.函数()()211f x x x =-…的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（）B.C.1+D.1【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数的解析式，求出其反函数在对应点的值. 【参考答案】A【试题解析】由反函数的定义可知，x …12,2()1f x x x ==-⇒=116.设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--…，{}|1B x x a =-….若A B =R ，则a 的取值范围为（） A.(),2-∞B.(],2-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞【测量目标】集合的基本运算（并集）.【考查方式】结合不等式的性质，通过集合的并集运算，求出a 取值范围. 【参考答案】B【试题解析】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ⎧⎨-⎩……或11a a a ⎧⎨-⎩……，解答选项为B ．17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出一句逻辑用语，判断出结果. 【参考答案】A【试题解析】根据题意，得出结果为充分条件.18.记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞= （）A.0B.41C.2D.【测量目标】函数的极限和函数的最值.【考查方式】给出含有未知数的椭圆方程，椭圆上的点，还有每个点横坐标和与纵坐标和的最大值，求出n M 的极限.. 【参考答案】D【试题解析】椭圆方程2222221lim 1.14414444n x ny x y x y n n→∞+=⇒+=+=++（步骤1）22144x y u x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立⇒2222()42240x u x x ux u +-=⇒-+-=,（步骤2）22=48(4)0.u u ∆--…⇒222(4)u u --0… （步骤3）⇒[u ∈-所以x +y 的最大值为（步骤4）三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.【测量目标】三棱锥的表面积与体积.【考查方式】给出三棱锥的边长和高，求出三棱锥的表面积与体积. 【试题解析】O ABC -三棱锥的体积11133O ABC ABC V S -=== △.1）设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ=1，QE=3,在Rt OQE△中22222413OE OQ EQ OE=+⇒+=⇒=，2）三棱锥O ABC-的表面积332O ABC OBC ABCBCS S S OE-=+=+=△△.3）所以，三棱锥O ABC-的体积3O ABCV-=，表面积O ABCS-=.4）20.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x剟），每小时可获得的利润是3100(51)xx+-元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为213100(5)ax x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润.【测量目标】函数模型及其应用.【考查方式】通过题意，写给出函数的模型，求出最大的利润.【试题解析】（1）每小时生产x克产品，获利310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭，生产a千克该产品用时间为ax，所获利润为2313100511005ax ax x x x⎛⎫⎛⎫+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g.（步骤1）（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x⎛⎫+-⎪⎝⎭21161900003612x⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以6x=，最大利润为619000045750012⨯=元.（步骤2）21.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x xω=，其中常数0ω>.（1）令1ω=，判断函数π()()()2F x f x f x=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x=的图像向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像.对任意的a ∈R ，求()y g x =在区间[,10π]a a +上零点个数的所有可能值.【测量目标】三角函数的图像和性质，抽象函数的奇偶性，三角函数图象的变换.【考查方式】给出了函数的解析式，判断出抽象函数的奇偶性，再求出函数的图像变换后的某个区间的零点个数.【试题解析】．法一：解：（1）ππ()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x =++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.(步骤1)∵ππ()0,()44F F -==ππππ()(),()()4444F F F F -≠-≠- ∴函数π()()()2F x f x f x =++是既不是奇函数也不是偶函数.（步骤2）（2）2ω=时，()2sin 2f x x =，ππ()2sin 2()12sin(2)163g x x x =++=++，其最小正周期πT =.(步骤3)由π2sin(2)103x ++=，得π1sin(2)32x +=-，∴ππ2π(1),36k x k k +=--∈g Z ，即πππ(1),2126k k x k g =---∈Z 区间[],10πa a +的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；（步骤4）故当πππ(1),2126k k a k =---∈Ζg 时，21个，否则20个. （步骤5）法二：【解析】（1）ππ1()2sin ,()()()2sin 2sin()22f x x F x f x f x x x ω时，===++=++π2sin 2cos ).4x x x =+=+（步骤1）周期2π2π,T y x ω===是奇函数，∴图像左移π4后得π())4f x x ，=+既不是奇函数，也不是偶函数.（步骤2）（2）ω=2，将函数y =f (x )的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y =g (x )ππ()2sin 2,()()12sin 2()1,66f x xg x f x x ==-+=-+最小正周期πT =.3（步骤）所以()y g x =在区间[,10π]a a +、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,否则21个. （步骤4）22.（本题满分16分）本题共有3个小题, 第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足*1(),n n a f a n +=∈N .（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由.【测量目标】函数与数列的关系，等比数列的性质，等差数列的性质.【考查方式】已知函数的解析式和数列和函数的关系，首项条件不同时，求出各个数列的项. 【试题解析】（1）由111234()2||,02,0,2n n n n a f a a a a a a a ++=⇒=-=⇒===.（步骤1）（2）123,,a a a Q 成等比2223221212||(2||)a a a a a a a ，⇒==-⇒=-且212||a a =- 22111111(2||)[2|2|||](2)[2|2|]a a a a a a ⇒-=--⇒-=--.（步骤2）分情况讨论如何：当120a …-时，[]22111111(2)2212a a a a a a （），且-=--=⇒=….（步骤3）当120a -<时，[]222111111111(2)22(4)2840442a a a a a a a a a （）-=--=-⇒-+=⇒-+=22111112840(2)222a a a a a …⇒-+=⇒-=⇒=+.综上11a =，，或12a =（步骤4）（3）假设存在公差为d 的等差数列{}n a 满足题意，则1*,2||n n n n a a a d N ：+∀∈=-=+.||2n n a a d +=-⇒讨论如下:当n a m =即数列{}n a 为常数数列时10,2211n n d a a a ==⇒=⇒=，.（步骤5）当数列{}n a 不是常数数列时02020,n n a d d a ，⇒<-=⇒=⇒∃>所以不满足题意. 综上，存在11a =的等差数列{}n a ，且1n a =满足题意.（步骤6）23.（本题满分18分）本题共有3个小题.第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”.（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【测量目标】双曲线的简单几何性质及其与直线的关系【考查方式】给出双曲线的方程和直线的方程，利用双曲线的几何性质它们的相互关系，求出相关问题.【试题解答】由1C 方程2212x y -=可知2222212,1,3,(a b c a b F ===+=：, 显然，由双曲线1C 的几何图像性质可知，过相交的任意直线都与曲线11C F .（步骤1）在曲线2C 图像上取点P (0,1)则直线均有交点、与两曲线211C C PF .这时直线方程为y x =+⇒0x -=，所以，C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”.过该焦点的一条直线方程是033=--x y .（步骤2）（2）证明“若直线y kx =与2C 有公共点，则k ＞1”双曲线1C 的渐近线.b y x x a =±=：若直线y kx =与双曲线1C 有交点，则k A （∈=. 若直线y kx =与曲线2C 有交点，则11k B （-，-）（，+）U ∈=∞∞.所以，若直线y kx = 与2C 有公共点，则k ＞1 . （证毕）（步骤3）,A B Q I =∅∴直线y kx =与曲线1C 、2C 不能同时有公共交点.所以原点不是“C 1-C 2型点”；（步骤4）（3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与12,C C 都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：.y kx b =+若k 1…，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线y =1kx ±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >.因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=. 因为1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-…，即222 1.b k -…因为圆O 的圆心（0，0）到直线l的距离d =所以2221,12b d k =<+从而222121,2k b k +>-…得21,k <与1k >矛盾. 因此，圆2212x y +=内的点不是“12C C -”型点.。

2013年高考文科数学上海卷-答案

综上，存在的等差数列，且满足题意．
【提示】（1）由题意代入式子计算即可.
（2）把，表示为的式子，通过对的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据，，成等比数列可得关于的方程，解出即可.
（3）假设这样的等差数列存在，则，，成等差数列，即 3，亦即（），分情况①当时②当时③当时讨论，由（）式可求得进行判断；③当时，由公差可得矛盾.
2013年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷（文史类）答案解析
一、填空题
1.【答案】
【解析】．
【提示】根据两数相除商为负，得到与异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.
【考点】其他不等式的解法．
2.【答案】15
【解析】．
【提示】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得，结合已知条件可求．
若直线与双曲线有交点，则．
若直线与双曲线有交点，则．
所以直线与有公共点，则．
，直线与曲线、不能同时有公共交点．
所以原点不是“ 型点”.
（3）设直线过圆内一点，则直线斜率不存在时与曲线无交点．
设直线方程为：，则：
假设直线与曲线相交上方，则 .
【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“ 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与连线的斜率.
【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质．
5.【答案】
【解析】．
【提示】利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

2013年上海市高考数学试卷(文科)最新修正版

2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为0＜x＜．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）已知，，则y=1．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r【解答】解：的展开式的通项为T r+1令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）方程的实数解为log34．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为log34．故答案为：log34．【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解min之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min ≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选：A．【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a 1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而a n=1（n=1，2，…），所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=a m﹣a m=2﹣|a m|﹣a m＜0，矛盾．+1综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列．【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。

2013年高考文科数学上海卷及答案

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.不等式021xx <-的解为 . 2.在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a += .3.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .4.若2011x =,111xy=,则y = . 5.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是 .6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为 .7.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为﹣10,则a = .8.方程91331x x +=-的实数解为 .9.若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则2cos(2)x y =－ .10.已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ,O 是上底面圆心,A 、B 是下底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,如图.若直线OA 与 BC 所成角的大小为π6,则1r = .11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 12.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为 .13.设常数0a >.若291a x a x ++≥对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为 .14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、 3a ；以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若{},,,1,2,3i j k l ∈且 i j ≠,k l ≠,则()()i j k l a a c c ++的最小值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.函数2()=1(0)f x x x -≥的反函数为1()f x -,则1(2)f -的值是( ) AB. C.1D.116.设常数a ∈R ,集合{}|(1)()0A x x x a =--≥,{}|1B x x a =-≥.若A B =R ,则a的取值范围为( ) A .(,2)-∞ B .(,2]-∞ C .(2,)+∞D .[2,)+∞17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件18.记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=,当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞=( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）A .0B .14C .2D.三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,正三棱锥O ABC -的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.第19题图20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-元；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）令1ω=,判断函数π()()()2F x f x f x =++的奇偶性,并说明理由；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.对任意a ∈R ,求()y g x =在区间[,10π]a a +上零点个数的所有可能值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数()2||f x x =-,无穷数列{}n a 满足1()n n a f a +=,*n ∈N .（Ⅰ）若10a =,求2a ,3a ,4a ；（Ⅱ）若10a >,且1a ,2a ,3a 成等比数列,求1a 的值；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的1a ；若不存在,说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线22112x C y -=:,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”；（Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.（文史类）答案解析数学试卷第5页（共14页）数学试卷第6页（共14页）11 4315C=种取法，利用古典概型的概率计算公式即可【考点】古典概型及其概率计算公式．2．CBA∠=，24 3b∴=【解析】根据对称性，当向量()()j k la a c c++与互为相反向量，且它们的模最大时()()i j k la a c c++最小．这时a A C=，a AD=，c CA=，c CB=，2()()|)|5a a c c a a++=-+=-．【提示】如图建立直角坐标系．为起点，其余顶点为终点的向量1a，2a，3a分别为AB，AC，AD，以C为起点，其余顶点为终点的向量c，c，3c分别为CD，CA，CB再分类讨论当，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计()()k la a c c++的值，从而得出()()k la a c c++的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．[1,)(,1][),2)B A A B=+∞=-∞+∞∴=R，，符合题意．综上，选标准解法：[1,)(,1)B a A B A a=-+∞=∴⊇-∞-R，数学试卷第7页（共14页）数学试卷第8页（共14页）数学试卷第9页（共14页）数学试卷第10页（共14页）,1][,)a +∞，解得12a <≤；当][1,)+∞⇒B时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为111333ABC S ∆=的中点为E ，则1OQ =，QE =332BCOE +=，表面积33O ABC S -= 10051a x x ⎛+ ⎝千克该产品所获得的利润为21311100900590000513x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦次函数的知识可知，当1x =16，即6x =时，19000036y ⎤⎫≤⎪⎥⎭⎦数学试卷第11页（共14页）数学试卷第12页（共14页）T =周期∴图像左移）12a a ，，211||)a a -=1)(1,)∞．=，A Bϕ所以原点不是“（3）设直线l数学试卷第13页（共14页）数学试卷第14页（共14页）。

2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝.4.(4分)已知,,则y＝.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝.8.(4分)方程的实数解为.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”2013年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为0＜x＜.【分析】根据两数相除商为负,得到x与2x－1异号,将原不等式化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.【解答】解：原不等式化为或,解得：0＜x＜,故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本试题.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝15 .【分析】根据给出的数列是等差数列,由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3,结合已知条件可求a2＋a3.【解答】解：因为数列{an }是等差数列,根据等差数列的性质有：a1＋a4＝a2＋a3,由a1＋a2＋a3＋a4＝30,所以,2(a2＋a3)＝30,则a2＋a3＝15.故答案为：15.【点评】本题考查了等差中项概念,在等差数列中,若m,n,p,q,t∈N*,且m＋n＝p＋q＝2t,则a m ＋an＝ap＋aq＝2at,此题是基础题.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝－2 .【分析】根据纯虚数的定义可得m2－1＝0,m2－1≠0,由此解得实数m的值.【解答】解：∵复数z＝(m2＋m－2)＋(m－1)i为纯虚数,∴m2＋m－2＝0,m2－1≠0,解得m＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查复数的基本概念,得到 m2＋m－2＝0,m2－1≠0,是解题的关键,属于基础题.4.(4分)已知,,则y＝ 1 .【分析】利用二阶行列式的运算法则,由写出的式子化简后列出方程,直接求解y即可.【解答】解：由已知,,所以x－2＝0,x－y＝1所以x＝2,y＝1.故答案为：1.【点评】本题考查了二阶行列式的展开式,考查了方程思想,是基础题.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.【分析】利用余弦定理表示出cosC,将已知等式变形后代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.【解答】解：∵a2＋ab＋b2－c2＝0,即a2＋b2－c2＝－ab,∴cosC＝＝＝－,∵C为三角形的内角,∴C＝.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为78 .【分析】设该年级男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a,根据“平均成绩×人数＝总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩,进而根据“男生的总成绩＋女生的总成绩＝全班的总成绩”列出方程,结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,即可求出这次考试该年级学生平均分数.【解答】解：设该班男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知：75x＋80y＝(x＋y)×a,且＝40%.所以a＝78,则这次考试该年级学生平均分数为78.故答案为：78.【点评】本题主要考查了平均数.解答此题的关键：设该班男生有x人,女生有y人,根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝－2 .【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r＋1项,令x的指数为7求得x7的系数,列出方程求解即可.【解答】解：的展开式的通项为Tr＋1＝C5r x10－2r()r＝C5r x10－3r a r令10－3r＝7得r＝1, ∴x7的系数是aC51∵x7的系数是－10,∴aC51＝－10,解得a＝－2.故答案为：－2.【点评】本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.4 .8.(4分)方程的实数解为log3【分析】用换元法,可将方程转化为一个二次方程,然后利用一元二次方程根,即可得到实数x 的取值.【解答】解：令t＝3x(t＞0)则原方程可化为：(t－1)2＝9(t＞0)4可满足条件∴t－1＝3,t＝4,即x＝log3即方程的实数解为 log4.34.故答案为：log3【点评】本题考查的知识点是根的存在性,利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键,但在换元过程中,要注意对中间元取值范围的判断.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝－.【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出cos(x－y)的值,所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将cos(x－y)的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝,∴cos(2x－2y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－.故答案为：－.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.【分析】过A作与BC平行的母线AD,由异面直线所成角的概念得到∠OAD为.在直角三角形ODA中,直接由得到答案.【解答】解：如图,过A作与BC平行的母线AD,连接OD,则∠OAD为直线OA与BC所成的角,大小为.在直角三角形ODA中,因为,所以.则.故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角,考查了直角三角形的解法,是基础题.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)【分析】从7个球中任取2个球共有＝21种,两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,有＝15种取法,利用古典概型的概率计算公式即可求得答案.【解答】解：从7个球中任取2个球共有＝21种,所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,共有＝15种取法,所以两球编号之积为偶数的概率为：＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型的概率计算公式,属基础题,其计算公式为：P(A)＝,其中n(A)为事件A所包含的基本事件数,m为基本事件总数.12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.【分析】由题意画出图形,设椭圆的标准方程为,由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标,再根据点C在椭圆上求得b值,最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【解答】解：如图,设椭圆的标准方程为,由题意知,2a＝4,a＝2.∵∠CBA＝,BC＝,∴点C的坐标为C(－1,1),因点C在椭圆上,∴,∴b2＝,∴c2＝a2－b2＝4－＝,c＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.故答案为：.【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为[,＋∞) .≥a＋1,【分析】由题设数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立可转化为(9x＋)min利用基本不等式判断出9x＋≥6a,由此可得到关于a的不等式,解之即可得到所求的范围≥a＋1, 【解答】解：常数a＞0,若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立,故(9x＋)min又9x＋≥6a,当且仅当9x＝,即x＝时,等号成立故必有6a≥a＋1,解得a≥故答案为[,＋∞)【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值,本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是－5 .【分析】如图建立直角坐标系.不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.再分类讨论当i,j,k,l取不同的值时,利用向量的坐标运算计算的值,从而得出的最小值.【解答】解：不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.如图建立坐标系.(1)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－5；(2)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(0,－1)]＝－3；(3)当i＝1,j＝2,k＝2,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,－1)＋(0,－1)]＝－4；(4)当i＝1,j＝3,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(0,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－3；同样地,当i,j,k,l取其它值时,＝－5,－4,或－3.则的最小值是－5.故答案为：－5.【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识,考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－【分析】根据反函数的性质,求f－1(2)的问题可以变为解方程2＝x2－1(x≥0).【解答】解：由题意令2＝x2－1(x≥0),解得x＝所以f－1(2)＝.故选：A.【点评】本题考查反函数的定义,解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题.16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)【分析】当a＞1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a＝1时,易得A＝R,符合题意；当a＜1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围.【解答】解：当a＞1时,A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤1,∴1＜a≤2；当a＝1时,易得A＝R,此时A∪B＝R；当a＜1时,A＝(－∞,a]∪[1,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤a,显然成立,∴a＜1；综上,a的取值范围是(－∞,2].故选：B.【点评】此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,根据充要条件的定义进行判断即可,【解答】解：若p⇒q为真命题,则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,由条件⇒结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.故选：A.【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：(θ为参数),再由三角函数知识求x＋y的最大值,从而求出极限的值.【解答】解：把椭圆得,椭圆的参数方程为：(θ为参数),∴x＋y＝2cosθ＋sinθ,∴(x＋y)max＝＝.∴Mn＝＝2.故选：D.【点评】本题考查数列的极限,椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三角函数知识的灵活运用.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.【分析】根据题意画出图形,结合正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,由此入手,能够求出此三棱锥的体积及表面积.【解答】解：∵O－ABC是正三棱锥,其底面三角形ABC是边长为2的正三角形,其面积为,∴该三棱锥的体积＝＝；设O′是正三角形ABC的中心,则OO′⊥平面ABC,延长AO′交BC于D.则AD＝,O′D＝,又OO′＝1,∴三棱锥的斜高OD＝,∴三棱锥的侧面积为×＝2,∴该三棱锥的表面积为.【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法,解题时要认真审题,注意合理地化立体问题为平面问题.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【分析】(1)由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时,由于每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,即可得到生产a千克该产品所获得的利润；(2)利用(1)的结论可得生产1千克所获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.进而得到生产900千克该产品获得的利润,利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)生产a千克该产品所用的时间是小时,∵每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,∴获得的利润为100(5x＋1－)×元.因此生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元.(2)生产900千克该产品获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.设f(x)＝,1≤x≤10.则f(x)＝,当且仅当x＝6取得最大值.故获得最大利润为＝457500元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.【分析】(1)特值法：ω＝1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(－),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；(2)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)＝0可得g(x)可能的零点,而[a,a＋10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：(1)f(x)＝2sinx,F(x)＝f(x)＋f(x＋)＝2sinx＋2sin(x＋)＝2(sinx＋cosx),F()＝2,F(－)＝0,F(－)≠F(),F(－)≠－F(),所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)f(x)＝2sin2x,将y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y＝2sin2(x＋)＋1的图象,所以g(x)＝2sin2(x＋)＋1.令g(x)＝0,得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈z),因为[a,a＋10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a＋10π]上零点个数21,当a不是零点时,a＋kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a＋kπ,a＋(k＋1)π]上恰有两个零点,故在[a,a＋10π]上有20个零点.综上,y＝g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.【点评】本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断,考查数形结合思想,结合图象分析是解决(2)问的关键22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.【分析】(1)由题意代入式子计算即可；(2)把a2,a3表示为a1的式子,通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号,根据a1,a2,a3成等比数列可得关于a1的方程,解出即可；(3)假设这样的等差数列存在,则a1,a2,a3成等差数列,即2a2＝a1＋a3,亦即2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论,由(*)式可求得a1进行判断；③当a1≤0时,由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：(1)由题意,代入计算得a2＝2,a3＝0,a4＝2；(2)a2＝2－|a1|＝2－a1,a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|,①当0＜a1≤2时,a3＝2－(2－a1)＝a1,所以,得a1＝1；②当a1＞2时,a3＝2－(a1－2)＝4－a1,所以,得(舍去)或.综合①②得a1＝1或.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2＝2－|a1|,a 3＝2－|2－|a1||,由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),以下分情况讨论：①当a1＞2时,由(*)得a1＝0,与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时,由(*)得a1＝1,从而an＝1(n＝1,2,…),所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时,则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0,因此存在m≥2使得am ＝a1＋2(m－1)＞2,此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0,矛盾.综合①②③可知,当且仅当a1＝1时,a1,a2,…,an,…成等差数列.【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定,考查分类讨论思想,考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力,综合性强,难度较大.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”【分析】(1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为(),当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1－C2型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率；(2)由直线y＝kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y＝x±1与y＝－x±1之间,进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点,当|k|＞1时,过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围,结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.【解答】(1)解：C1的左焦点为(),写出的直线方程可以是以下形式：或,其中.(2)证明：因为直线y＝kx与C2有公共点,所以方程组有实数解,因此|kx|＝|x|＋1,得.若原点是“C1－C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1).显然直线x＝0与C1无公共点.如果直线为y＝kx(|k|＞1),则由方程组,得,矛盾.所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1－C2型点”.(3)证明：记圆O：,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,故可设l：y＝kx＋b.若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝－x±1之间,因此圆O也夹在直线y＝kx ±1与y＝－kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|＞1.因为l与C1由公共点,所以方程组有实数解,得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.因为|k|＞1,所以1－2k2≠0,因此△＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0,即b2≥2k2－1.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离,所以,从而,得k2＜1,与|k|＞1矛盾.因此,圆内的点不是“C1－C2型点”.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.。

2013年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版

22．已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{ n}满足 n＋1＝f( n)，n N*.
(1)若 1＝0，求 2， 3， 4；
(2)若 1＞0，且 1， 2， 3成等比数列，求 1的值；
(3)是否存在 1，使得 1， 2，…， n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的 1；若不存在，说明理由．
【考点】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列求和，考查考生分类讨论的思想，运算求解能力。
【解析】：(1) 2＝2， 3＝0， 4＝2.
(2) 2＝2－| 1|＝2－ 1， 3＝2－| 2|＝2－|2－ 1|.
①当0＜ 1≤2时， 3＝2－(2－ 1)＝ 1，所以＝(2－ 1)2，得 1＝1.
②当 1＞2时， 3＝2－( 1－2)＝4－ 1，所以 1(4－ 1)＝(2－ 1)2，
得 1＝ (舍去)或 1＝ .
10．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.
【答案】
【考点】本题主要考查圆柱中直线与直线成角的问题。
【解析】由题知， .
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．
获得最大利润90 000× ＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．
21．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.
(1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并说明理由；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对任意 R，求y＝g(x)在区间[ ，＋10π]上零点个数的所有可能值．

2013年高考上海卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（上海卷）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式12-x x＜0的解为 . 【答案】 )21,0(【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 【答案】 15【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 【答案】 -2【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数4.已知1x 12=0，1x 1y =1，则y= .【答案】 1 【解析】111 2021 12=-==⇒=-=y x yx x x x ，又已知,1,2==y x 联立上式，解得5.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 . 【答案】π32 【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【答案】 78【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩7.设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= .【答案】 -2 【解析】10,110)()()(15752552-==⇒-=⇒+-a C r x xa x C x a x r r r 2,105-=-=⇒a a8.方程x31139x=+-的实数解为 . 【答案】 4log 3 【解析】4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x x x x x xxx9.若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= . 【答案】 97- 【解析】971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则r l= .【答案】3【解析】 3336tan =⇒==rll r π由题知，11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】75 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(上海卷带解析)答案解析

2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（上海卷）数学答案解析1、【答案】0＜x＜【解析】试题分析：根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集。

原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜考点：其他不等式的解法。

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题。

2、【答案】15【解析】试题分析：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15。

考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式。

点评：本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题。

3、【答案】﹣2【解析】试题分析：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2。

考点：复数的基本概念。

点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题。

4、【答案】1【解析】试题分析：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1。

所以x=2，y=1。

考点：二阶行列式的定义。

点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题。

5、【答案】【解析】试题分析：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=。

考点：余弦定理。

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键。

6、【答案】78【解析】试题分析：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a。

根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%。

所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78。

2013年6月7日上海高考文科数学真题

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2013年6月7日上海高考文科数学真题
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