小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三 蝴蝶模型

（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部

分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角

形BCD 的面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：

⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=，

∴:6:32:1OC OD ==．

解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13

ABD BCD S S ∆∆=， ∴13

AH CG =， ∴13

AOD DOC S S ∆∆=，

∴13

AO CO =，

∴236OC =⨯=，

∴:6:32:1OC OD ==．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面

积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是

1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；

任意四边形、梯形与相似模型

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，

根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么11221233

GCE CEF S S ∆∆=

=⨯=+． 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小

三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【解析】 在ABE V ，CDE V 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE V ，CDE V 的面积比为

()AE EB ⨯:()CE DE ⨯。同理有ADE V ，BCE V 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯。所以

有ABE S V ×CDE S V =ADE S V ×BCE S V ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S ⨯V =7ADE S ⨯V ，所以有ABE V

与ADE V 的面积比为7:6，ABE S V =

7392167⨯=+公顷，ADE S V =6

391867

⨯=+公顷。 显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为 。

【解析】 连接AD 、CD 、BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：4

1122

+

-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+

-=，ABD ∆的面积为：4

2132

+-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以4412

3471111

ABO ABD S S ∆∆=

⨯=⨯=+． 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。

【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=

+，510

277

DBC S ∆=⨯=． 【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三

角形AEG 的面积．

【解析】 连接EF ．

因为2BE EC =，CF FD =，所以1111

()23212

DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯=W W ．

因为12AED ABCD S S ∆=W ，根据蝴蝶定理，11

::6:1212

AG GF ==，

所以6613

677414

AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=W W ．

所以1322

21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==W W W ，

即三角形AEG 的面积是2

7

．

【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘

米，求长方形ABCD 的面积．

【解析】 连接AE ，FE ．

因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111

()53210

DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．

因为12AED ABCD S S =V 长方形，11

::5:1210

AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以

12AFD S =V 平方厘米．因为1

6

AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．

【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，

求三角形BDG 的面积．

【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．