高校规模分析模型 (数学建模)

【关键词】 规模经济 统计回归
边际成本
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二． 问题重述
1999 年，我国做出了“扩大高等教育规模”的重大决策。10 年时间里，我国高等 教育实现了历史性跨越，规模先后超过俄罗斯、印度、美国，成为世界第一。2008 年， 我国高等教育毛入学率达到 23.3%， 《国家中长期教育改革和发展规划纲要 （2010—2020 年） 》制订了 2020 年高等教育毛入学率达 40.0%的目标，我国目前已进入国际公认的大 众化发展阶段。 对于高等教育而言，教育成本中大部分属于固定成本，高等学校具有一定的“非排 他性” ，增加一名学生不会使学校的总成本有所变化，并且也不会对其他学生上学有所 影响。在一定范围内，学生数的增加不会影响教学质量，但高校生均成本随着学生规模 的扩大而降低，高校办学显现出规模经济现象。但当学校规模扩大到超出现有资源水平 能够满足的范围，资源的超负荷使用会造成教学质量的下降，高校需要新的资源，例如 修建教学楼、宿舍、食堂、增加教师数量等，新资源的投入又将导致办学成本上升。我 国从 1999 年高等学校扩招到现在已经进行到一个阶段，高校规模扩大到一定程度，不 同类型的高校呈现出不同的规。根据资料但不局限于给定材料，研究以下问题： 1. 选取适当变量，建立模型，判断这些高校是否存在规模经济现象 2. 探讨这些高校是否应当进行扩招，扩招空间有多大 3. 根据 1、2 的结论，从规模和经济的角度上提出适合这些高校的办学建议。
yLMC 0.9738q 2 3.7616q 4.858
为使能直观的分析各条曲线蕴含的信息，分别作出各自的图像如下：
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6
由图 2 的长期平均成本曲线可以直观地看出，曲线先是有一段较陡的上升，反映了 在高校的发展初期，因为要新建教学楼、宿舍、购买相关设备等，还要引进教师等工作 人员，花费很大，所以这一段时期生均成本上升很快。之后的曲线则是反映出了高校在 具备了一定的规模后，随着规模的扩大而出现的规模经济和规模不经济现象：先是生均 成本随着规模的扩大而降低，超过一定的范围后又随着规模的增大而增加。 由图 3 的长期边际成本曲线则可以直观地看出，曲线先降后升，有一个最低点，其 对应的横坐标就是最佳规模。 由长期平均成本 yLMC 0.9738q 2 3.7616q 4.858 ，可以求得当 yLMC 取得最小值时，全国 水平的各省最佳规模为 193140 人。 定义扩招或紧缩空间 K 为：
q
各高校的学生总人数 长期总成本 长期平均成本 长期边际成本 高校的最佳规模 调整空间（扩招或紧缩的人数） 回归方程中的系数 (i 0,1, 2,3) 随机误差 回归方程的准确度
yLTC yLAC
yLMC
Q0 K
i

R
六． 模型的建立与求解
6.1 问题一的建模及求解
3
高校的主要产出是培养高级人才和科研贡献， 但分析和度量其人才的产出及科研产 出存在很大困难。所以在本文中，使用在一些要求不是很精确的分析中常用到的“学生 数”这一指标作为高校的唯一产出，作为高校规模衡量的标准。分析题目所给的列表中 的信息，可知含有“本科生” 、 “硕士生” 、 “博士生”的高校所占的比例很小，所以将这 三项指标和“专科生”合在一起，四项的和作为“学生数” 。对于高校的成本，也做类 似的简化处理，即以表中给出的两项经费总支出作为总成本。 首先将表中的数据按照省份进行划分，将各省的高学视作整体共同考虑。具体见下 表： 表1 各省总成本与学生总数统计表
三． 问题的分析
对于任何的组织和公司， 其经营都以能够保证长期的盈利为方针， 这就决定了公司 或者组织要处于规模经济的经营模型中。同样对于高校的长期经营，要使学校处于一个 盈利的状态才能稳定发展。而规模经济指的是，给定技术的条件下(指没有技术变化)， 对于某一产品(无论是单一产品还是复合产品)， 如果在某些产量范围内平均成本是下降 或上升的话，我们就认为存在着规模经济(或不经济)。由经济学原理，长期边际成本曲 线和长期平均成本曲线上一样，可以反映是否存在经济规模。前者的的最低点就是“最 佳规模” 。因此针对高校扩张的问题，刚开始扩招时，由于扩大高等教育规模能够使高 校的经济效益得到提高，此时处于经济规模状态。当扩招达到一定水平时，高校规模的 扩大达到最佳规模， 此时高校的经济效益达到最大化。 若继续扩大高校高等教育的规模， 就会使经济效益下降，此时出现规模不经济。也就是说高校如果继续扩大教育规模就会 使学校的经营出现效益低于成本的情况。 对于问题一，首先将表中的数据按照省份进行划分，将各省的高学视作整体共同考 虑。在基于凯恩斯和萨缪尔森的西方经济学原理的模型上，建立长期总成本方程的回归 模型，进而可得长期总成本方程和长期边际成本方程。对各省高校的相关信息作统计分 析，可得具体的关系式。由长期边际成本函数求解出长期边际方程的最佳规模。最佳规 模减去各本科院校的实际学生规模即可判断出各本科高校是否处于规模经济还是规模 不经济状态：如果该值为正，则说明该高校处于规模经济；若该值为 0，则说明该高校 处于全国水平上的最佳规模；若该值为负，则说明该高校处于规模不经济。 对于问题二，利用问题一的结果，将最佳规模与各省的现有规模相比较，可判断出
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是否应该进行扩招。 对于第三问， 通过对于前两个问题的分析， 认为处于规模经济并且还没有达到最佳 规模的省份，可以采取对学生或教师数目的扩招、增加教学设备和器材等方式，从而改 善教学质量和高校规模，提高高校的经济效益，使高校更好地经营与发展。同时对于那 些已经处于最佳经济规模的高校，要继续保持其高校规模，使其经济效益保持在较高的 水平，或者调整内部办学成本，但总的办学成本应继续保持在现有水平。再次对于已经 处于规模不经济的高校，建议其紧缩招生数目，提高教学设备和器材的利用率，缩减不 必要的开销等以达到减小成本的目的，最终通过改进经营的方式使其经济效益提高，从 而达到规模经济。
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会出现显著的“学习效应”,从而提高教学内容、方法的熟练程度以及教学效率与效果。 2、 资本设备的专业化分工和先进教学手段的应用。 教学设施是高等院校的基本办学 条件,部分教学设施具有极强的专业性、方向性和不可替代性。高校规模的扩大,使其有 能力购置先进的专业化教学实验设备,采用多媒体、局域网、远程教育等现代化教育手 段,提高教学质量,降低教学变动费用,获得技术进步带来的经济节约。 3、生产要素的整体性和不可分割性。前者是指学校的兴办,相关教育资源必须同时 投入与运用。 后者则是指某些资源的购置及运用必须是一个自然单位,不可分割使用,如 人力、教室、实验室、教学仪器设备、图书、办公用房、学生宿舍、运动场馆、食堂等。 学校规模的扩大,有利于充分利用现有办学条件,减少生均教育成本。 4、 财务因素。 大规模高校可凭借其财产担保与社会信用从金融部门获得大量低息贷 款,以及为其带来基本建设、仪器设备、招生、教材图书、毕业生就业等采购或推荐经 济上的优惠,降低交易成本,使其具有更强的风险承担能力。 5、几何尺度(知识交流的报酬递增)。一般而言,高校规模扩大是与其专业数量呈同 方向变化的,专业数量的增加具有两个方面的报酬递增效果。一是不同专业教师可以进 行知识交流,有助于提高教师的学识、教学质量与科研水平;二是同伴效应。学生在一个 规模大的学校里可以听到不同专业的知识讲座、获取不同专业的知识,不同专业的学生 也可以进行知识交流,产生报酬递增现象。 上述两个方面共同作用的结果,有助于培养复 合型人才,提高学生培养的质量。一个学校的学风、教风和校风正是这种同伴效应和师 生交互影响的总体体现。 6、学校声望和社会地位。企业目标是追求价值或利润最大化,高等院校这类组织则 是追求社会名望地位最大化。高校规模的扩大,预示着其声望、社会地位的提高和社会 价值的实现,满足学校管理层与教职员工的成就感;并使其有机会从国家或社会获得更 多资源,以优越的教学科研条件和薪金吸引、 稳定高水平的师资队伍及高素质的学生,毕 业生也更受用人单位和社会的青睐。 对于已经处于规模不经济的院校， 各高校要根据自己的实际情况作出合理的招生计 划调整或学校规模的扩建，不管是从紧缩招生还是扩建学校基础设施来说，都是在保证 教学质量的前提下进行的，保证教学质量是高校扩招所应遵循的最本质的原则，一味地 扩大招生，若师资硬件设施跟不上扩招的步伐，满足不了学生的需求，就可能造成教学 质量的下降，盲目的追求经济利益不是高等教育院校所应出现的现象，高等院校是培养 人才的地方，只有保证教学质量，才能源源不断地为国家社会主义现代化建设输入大批 的人才精英，才能实现它应有的价值。 综上所述， 各高校一定要认清自己的现状， 作出适当的招生调整或者进行学校扩建， 以期达到最理想的状态。
0
1
2 3
回归方程的准确度 R 0.5674 。所以得全国水平的高校长期总成本函数为：
yLTC 0.3246q 3 1.8808q 2 4.858q 1.0182
长期平均成本为：
yLAC 0.3246q 2 1.8808q 4.858
1.0182 q
Leabharlann Baidu
长期平均成本为：
在基于凯恩斯和萨缪尔森的西方经济学原理的模型上， 建立长期总成本方程的回归模型 如下：
yLTC i 1q 2 q 2 3q 3
由此得长期平均成本为：
yLAC
长期边际成本为：
yLTC q
yLMC
由长期边际成本可求得最佳规模 Q 0 。
d ( yLTC ) dq
在利用表 1 中的数据进行求解时，为减小在作统计回归时的误差，总成本以“百万 元”作单位，学生数以“十万”作单位。直接利用 MATLAB 统计工具箱中的命令 regress
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求解，各参数的估计值及参数置信区间如下表： 表 2 长期总成本参数信息表 参数 参数估计值 -1.0182 4.8580 -1.8808 0.3246 参数置信区间 [-3.5874 [-1.2507 [-6.1297 [-0.5317 1.5510] 10.9667] 2.3681] 1.1810]
四． 基本假设
1. 2. 3. 4. 5. 假设高校的规模仅以学生数为指标，不考虑教师数等其他因素； 假设高校的总成本仅以经费总支出为指标，不考虑经费收入的影响； 假设学生数量是连续的变量； 假设专科生、本科生及读硕博的学生可计入无差别的学生总数； 假设在分析规模经济时可不考虑各高校的性质。
五． 符号说明
最后得出如下结论：广东、湖北、湖南、江苏、山东五省的高校总体情况存在规模不经 济现象，表中的其余 21 个省的高校存在规模经济的现象。
6.2 问题二的求解
在追求最佳规模的前提下，各省的高校决定是否扩招，只需将现有的学生总数与最 佳规模相比较即可得。就全国高校整体情况而言，安徽省的高校可扩招 58456 人，湖北 省的高校则应当紧缩 52998 人。 其余各省高校的扩招或紧缩的学生数， 具体可见表 3 “调 整空间”这一栏的信息。 6.3 问题三的求解 根据以上求解的结论， 可以大体上看出各省高校基本的规模经济情况， 从整体角度 来看，各高校的规模经济与否还是存在很大的差异的，大部分高校目前是处于规模经济 状态，但仍有很大一部分高校处于规模不经济状态，而且各高校的可扩招空间和需紧缩 空间也存在很大差距。对于处于不同状态的高校，要针对自己的具体情况采用适当的措 施来解决问题。 高等院校规模经济的形成机理是在保证教育质量前提下,使学校资源获得充分和适 当的使用；同时,规模经济的产生必须在规模扩大后不致衍生不经济缺陷的条件下才能 成立。需要首先考虑到以下几个因素： 1.劳动的专业化分工及学习效应。 在小学校,一个教师或行政人员可能要同时承担几 种工作。而规模较大的学校,人力资源相对充足,劳动分工较为细致合理,教师和行政人 员角色专门化、专业化,教师不必担任非其所学的专业课程,重复课次数增加,教学过程
高校的规模分析模型
一． 摘要
本文主要针对高等学校的规模问题， 通过对规模经济理论的理解和分析建立回归模 型。在不考虑高校性质的前提下，对题目给出的数据中各高校的信息按省份进行分类。 根据数据作出相应的简化，以高校各类学生总数作为衡量高校规模的指标，以经费总支 出作为高校的成本。对问题一，通过规模经济概念，并对分类后的数据作统计分析，得 出 长 期 总 成 本 函 数 yLTC 0.3246q 3 1.8808q 2 4.858q 1.0182 和 长 期 边 际 成 本 函 数 yLMC 0.9738q 2 3.7616q 4.858 ，求得最佳规模为 193140 人，最终得出广东、湖北、 湖南、江苏、山东五省的高校总体情况存在规模不经济现象，其余高校则存在规模经济 现象。对问题二，通过对各个省份高校现有的学生总数和最佳规模作比较，得出各省高 校可扩招或需紧缩的空间。对问题三，从规模与经济的角度考虑，在对数据分析的基础 上，对高校提出相关的建议。
K Q0 q
由相关的经济学知识可得如下结果：
K 0, 高校为规模经济 K 0, 高校为最佳规模 K 0, 高校为规模不经济 由此， 将最佳规模 Q 0 与表 1 中各省的现有学生总人数逐一相减， 可得各省的调整空间 K ，
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具体如下表： 表 3 各省的高校学生人数调整参考表