投资组合的收益和风险

• 某投资人风险厌恶系数A=3，资产组合X 的期望收益率是12%，标准差是18%； 资产组合Y的标准差是24%，且年终有概 率相等的现金流是84000元和144000 元。Y的价格为多少时，X、Y是无差异 的？
41
投资者的最优选择
• 最优证券组合：投资者的无差异曲线和有
效集的切点组合。
• 是投资者效用最大时的投资组合。由于不
比例投资到你的基金中，以使其总投资 的预期回报最大，同时满足总投资标准 差不超过18%的条件。问：①投资比例
Y是多少？②总投资预期回报率是多少？
38
CAL(M)斜率最大，称为最优资本配置线，投资 组合M称为切点组合，即最优风险投资组合
一种无风险证券和多种风险证券组合的有效集的一般形状
E(R)
CAL(M)
21
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10%
5% 0%
0%
图5-3 证券SA、SB两项资产构造的投资组合（相关系数=1）
证券SA
证券SB
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
22
证券SA、SB （相关系数为-1）构造的投资组合
40%
35%
30%
25%
证券SB
20%
15%
10%
组合，并用一条光滑的曲线将其连接起来，这条曲线
的形状是什么？
19
图5-2 证券SA、SB两项资产构造的投资组合
30%
25%
证券SB
20%
15%
证券SA
10%
最小方差
5%
0%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
20
例5-8
•
A
B
• 预期收益率 15%
30%
• 标准差
18%
30%
• 假设两项资产之间存在相关系数等于±1 和0等情形，请分别在预期收益率与标 准差的坐标系中描绘出它们所构造的投 资组合情况。
A (100%A)
25
二、最小方差投资组合
• 根据
WA WB 1
2 P
WA2
2 A
(1
WA
)2
2 B
2WA (1WA )AB A B
•令
d
2 p
0
dWA
• 可得最优投资比例为
WA
2 B
AB
A B
2 A
2 B
2 AB
A B
,WB
2 A
2 A
2 B
AB A B 2AB A B
26
例5-9
界点为最小方差组合S）
32
E(RP)
E(R1) S
多种证券组合有效集的推导 有效集
A F E
B
C
D
33
例5-11
• 根据有关准则，下表中的资产组合中哪 个不在有效边界上？
• 资产组合 期望收益率(％) 标准差(％)
•A
9
21
•B
5
7
•C
15
36
•D
12
15
34
2、无风险证券和风险证券组合的有效集
4
2、两种证券组合的风险
• 其中Cov(RA,RB )是证券SA、SB收益率 之间的协方差（covariance）， • 计算公式为
5
协方差性质
• 衡量两只证券收益率变动的相关性
1、协方差为正数，证券SA、SB收益率变动正相
关。
2、协方差为负数，证券SA、SB收益率变动负相
关。
3、协方差为零，证券SA、SB收益率变动不相关。
铁龙物流
• 沃尔玛
五粮液
• 比亚迪股份有限公司
海正药业
• 法国赛偌非-安万特集团
工商银行
• 强生集团
东阿阿胶
2
5.1 投资组合的收益和风险
一、两种证券组合的收益和预期收益率
1、两种证券SA、SB，投资者将资金按照 WA、WB的比例构建证券组合，则该证 券组合的收益率RP可以表示为： RP = WARA+WB RB
10 15
17
5.2 可行集、有效集和最优投资组合
一、可行集 feasible set • 又称机会集合,指由某些给定证券所
构建的全部证券组合的集合。 • 投资组合的可行集，可以用所有组
合的期望收益率和标准差构成的集 合来表示。用以标准差为横坐标、期
望收益率为纵坐标的点表示。
18
Hale Waihona Puke Baidu 例5-7
• 现由证券SA、SB构造投资组合，其收益和风险以及两
假设无风险证券SF的收益率为常数Rf ，风险
证券SA 的期望收益率为E(RA)，其构成证券组 合，无风险证券的权重为W，风险证券的权
重为1-W，则证券组合的期望收益率和方差分
别为 E(RP ) WRf (1W )E(RA )
2 P
W 2
2 f
(1W
)2
2 A
2W (1W ) fA
fA
于是
(1 W
28
0.5 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2
0.5
0.6
Random Portfolios
0.7
0.8
0.9
???
1
1.1
1.2
29
虚拟投资组合可行集
Random Portfolios 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2
期望收益率
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
5-5，计算它与平安银行的协方差（62.85%）
8
例5-4
• 如果资金均为等比例投资，计算以下两个投 资组合的风险：1、宝钢股份和平安银行；2、 平安银行和浦发银行。
9
两种计算协方差方法的比较
• 利用概率估算法推导两种证券收益 率变动的协方差比较困难，因为较 难同时确定两种证券未来收益率的 分布情况。但非常幸运的是，利用 历史样本计算的两种证券收益率的 协方差，是一个较为可靠的数据。
2 P
WA2
2 A
WB2
2 B
2WAWB AB A B
p
WA2
2 A
WB2
2 B
2WAWB AB
A B
14
二、多种证券组合的收益和风险
1、三种证券组合的收益和风险
收益率
3
RP Wi Ri W1R1 W2 R2 W3 R3
预期收益率 i1
方差
33
2 P
WiWj ij i j
i1 j1
1
1.1
1.2
标准差
30
多种证券组合的可行集的一般形状
E(R)
A 最小方差 组合
B
S
C
D
31
三、有效集 efficient set
• 又称有效边界，是可行集的子集， 集合中所有组合满足两个条件：收 益率一定，风险最低；风险一定， 收益率最高。
1、风险证券组合的有效集 证券组合可行集的左上边界（分
2、组合的期望收益率包含两部分：无风险收益 率和风险溢价，与风险成正比；
3、在无风险资产的投资比例W基于0-1之间， 叫做贷出无风险资产，在无风险资产上的投 资比例W小于0，叫做借入无风险资产
37
例题5-8
• 你管理一种预期回报率为18%和标准差 为28%的风险证券组合，短期国债利率
为8%。假如你的委托人想把投资额的Y
• 计算协方差可用历史样本估算法和概率估算法： 1、历史样本估计
2、概率估计
6
例5-2
• 预测证券SA、SB在未来5种经济状态下的收益
率及各种状态发生的可能性，求这两种证券 收益率变动的协方差。
经济状态 概率 SA 收益率% SB 收益率%
1
0.2
7
-11
2
0.2
18
20
3
0.2
23
-30
4
0.2
A B
11
相关系数的性质
1、相关系数越大，越接近1，两只证券收益率 变动的正相关性越强
2、相关系数等于1时，称两种证券收益率变动 完全正相关。
3、相关系数越小，越接近-1，两只证券收益率 变动的负相关性越强。
4、相关系数等于-1时，称两种证券收益率变动 完全负相关。
5、相关系数等于0，称两种证券收益率变动完 全不相关。
同投资者的风险偏好不同，导致不同投资
者的最优投资组合存在明显差异。
• 最优风险投资组合M：是由无风险产品向
风险产品组合有效边界做切线的切点。
• 与投资者的偏好无关，任何投资者都要购
买或多或少的切点组合M，故称其为最优
风险投资组合。
42
E(RP)
不同风险偏好者的风险证券组合的最优选择
低风险偏好者 效用无差异曲线
证券SA
5%
0%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
23
两只证券（相关系数为0）构造的投资组合
40% 35%
最小方差
30% 25% 20%
证券SB
10% 5% 0% 0%
证券SA
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
24
E(R)
AB 0
B
(100%B)
D
C
AB 1
O
AB 1
M
CAL(T)
T
Rf
39
四、最优投资组合
效用：投资者在投资活动中获得的满足感，是 预期收益率和风险的函数 风险偏好程度越低，其效用无差异曲线越陡峭 风险偏好程度越高，其效用无差异曲线越平缓
投资者的效用无差异曲线
E(R)
效用递增
U E(R) 0.5A 2
C
A : 风险厌恶系数
B
A
40
例5-13
• 现由证券SA、SB构造投资组合，其收益和风险以及两
者之间的相关系数如下。
证券SA
• 预期收益率 20%
证券SB
30%
• 收益率的标准差 30%
40%
• 相关系数 -0.6
• 求最小方差组合的预期收益率与风险
27
例5-10
• 某投资人拟以宝钢股份、平安银行、五 粮液三只股票进行投资组合，试画出该 投资组合的可行集。
i1 j1
16
三、投资组合对风险的分散
• 随着组合中证券数量的
增加，风险减小
P
1、最初增加的股票对风
险的降低有显著效果；
2、组合内股票增至10-15
总风险
非系统风险
平均系统风险
只时，风险降低效果不
太明显；
3、股票数量超过15只时，
组合风险几乎不再降低，
股票数目
即组合风险与市场平均 0 1 2 系统风险非常接近
者之间的相关系数如下。
证券SA
• 预期收益率 10%
证券SB
20%
• 收益率的标准差 10%
20%
• 相关系数 -0.5
• 问：①在证券SA上投资比例为-50%、-25%、0、
25%、50%、75%、100%、125%和150%时，所
构造的投资组合的预期收益率和标准差是多少？②在
预期收益率与标准差的坐标系中描绘出上述各个投资
)
2
2 A
P
(1 W
) A
W
1 P A
E(RP )
Rf
E(RA) Rf
A
P
35
E(RP)
E(RA)
一种无风险证券与一种风险证券组合的有效集
0﹤W﹤1 贷出
W﹤0,借入 CAL
A
E(RA)- Rf
Rf
36
说明
1、无风险证券和风险证券构成的组合的可行集 也是有效集，是一条直线，称为资本配置线 （CAL）；
12
例5-5
• 根据表5-4和表5-5的有关数据，求出1、宝 钢股份和平安银行收益率变动的相关系数；2、 浦发银行和平安银行收益率的相关系数。
• 将年度收益率数据粘贴到excel中，插入统计
函数CORREL，即收益率变动的相关系数大
约为1、0.85；2、0.96。
13
例5-6
• 股票A和股票B的标准差分别为10%和20%， 在其相关系数分别为-1、-0.5、0、0.5和1时， 试分析将资金等比例投放在股票A和B所构建 的投资组合上的风险变化。
-10
60
5
0.2
6
-5
7
例5-3
• 宝钢股份和平安银行从2001年到2012年的 12个年度收益率见表5-4，计算两种证券收益 率变化的协方差。
• 将年度收益率数据黏贴到excel中，插入统计
函数COVAR即可求得宝钢股份和深发展收益
率变动的协方差为40.1%。 • 浦发银行2001年到2012年的年度收益率见表
第5章 投资组合 Portfolio
• 投资组合的收益与风险 • 可行集、有效集和最优证券组合
1
巴菲特和国内专家投资组合比较
• 巴菲特2009十大重仓股票 华夏蓝筹2010十大重仓股票
• 可口可乐
兴业银行
• 富国银行
民生银行
• 美国运通
招商银行
• 宝洁公司
大商股份
• 卡夫食品公司
建设银行
• 韩国浦项制铁集团
10
相关系数
• 是投资实践中更常使用的一个指标。是协方 差经标准化之后衡量两种证券收益率变动相 关性及相关程度的指标，其计算公式如下：
AB Cov(RA, RB ) / A B
• 证券组合风险可以记为
2 P
WA2
2 A
WB2
2 B
2WAWB AB A B
p
WA2
2 A
WB2
2 B
2WAWB AB
高风险偏好者 效用无差异曲线
A F
B E
C
D
43
不同风险偏好者的无风险与风险组合的最优选择
E(R) 低风险偏好者 效用无差异曲线
高风险偏好者 效用无差异曲线
E
Rf
F M
CAL(T)
44
• 其中WA +WB=1，可以为负数，表示卖 空该股票
• 两种证券组合的预期收益率为：
E(RP ) WAE(RA ) WB E(RB )
3
例5-1
• 投资者投资于预期收益率分别为 29.22%和17.01%的平安银行和宝钢股 份两种股票。问：①如将自有资金10 000元等比例投资于两种股票上，则投 资者的预期收益率是多少？②如先卖空 宝钢股份股票16 000元，然后将所得资 金与自有资金10 000元一起购买平安银 行，则投资者的预期收益率又是多少？
15
2、n种证券组合的收益和风险
收益率
n
RP Wi Ri W1R1 W2R2
i 1
预期收益率
Wn Rn
n
E(RP ) Wi E(Ri ) W1E(R1) W2E(R2 ) WnE(Rn )
i 1
方差
nn
nn
2 P
WiWjCov(Ri , Rj )
WiWj ij i j
i1 j1