第21讲Fubini定理
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的集合是比较简单的，它有点象平面 内的矩形。这样的集合有一个特点，
对任意 x A,{x} B 是 {0} B 在 Rnm 中的一个平移，它们到 Rm 中的点 x，
对应的集合 Ex {y Rm | (x, y) E}
对不同的 x 可能差别很大。
第21讲 Fubini定理
这就象平面内两条曲线 y f (x), y g(x) 在区间 [a,b] 之间围成的图形，对任意 x [a,b], f (x), g(x) 或 g(x) f (x) 一般是 不一样的，所以对可测集 E Rnm , Ex 的可测性不是显而易见的。
M (E) 。
第21讲 Fubini定理
现在固定 ER，若 FR，则由刚才的 证明知 E (F )，据(1)，知 F (E)， 因此 R (E)，再次由 (1) 得
M (E)。 综上立知，若 E, F M ，则 E F M， E F M，且
第21讲 Fubini定理
(i) 由于 Rn Rm R ，故 Rn Rm M 。 (ii) 由于对任意 E, F M , E F M
第21讲 Fubini定理
目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握 Fubini定理并会运用，了解Fubini定理 的证明。
重点与难点：Fubini定理及其证明。
第21讲 Fubini定理
基本内容： 同极限与积分交换顺序的问题一样， 在数学分析中，多元函数的重积分与 累次积分何时相等，以及累次积分的 交换顺序等问题的讨论中也要对被积 函数加上较强的条件，本节将会看到， Lebesgue积分中对此类问题所要求的 条件也比Riemann积分弱得多。
Ln Lm 中，而开集可以表成可数个左开右
闭的长方体之并，因此，开集也在 Ln Lm
中，由 Ln Lm 是 域及Borel集的定义
立知每个Borel集都在 Ln Lm 中。证毕。
第21讲 Fubini定理
定理2 对任意 ELnm 存在 E1, E2 Ln Lm 使 E1 E E2 且
定理3 若 E Ln Lm，则对任意 x Rn， y Rm，都有 Ex Lm，E y Ln。 证明：设 L 是所有 Ln Lm中满足 ExLm (任意 xRn )，E y Ln (任意 y Rm ) 集合 E 的全体。如果 E A B ，则当 x A 时， Ex B，当x A 时，Ex ，当 y B 时， E y 。故 E L 。
第21讲 Fubini定理
可见两个可测矩形的交仍是可测矩形， 它们的差是两个不相交的可测矩形之 并，记
R {E | E 是有限个不相交的可测 矩形之并}。
第21讲 Fubini定理
由上面的证明不难看出，对任意 E1, E2 R, E1 E2 , E1 E2
均在 R 中，又 E1 E2 (E1 E2 ) E2 ， 且(E1 E2 ) E2 ，所以 E1 E2 R ， 也有这说明 R 是一个环。
m(E E1) m(E2 E) 0 。 证明：取 Lnm 中的Borel集 E2 E ，使 m(E2 E) 0，取Borel集 E1 E，使 m(E E1) 0，则由引理2知 E1, E2 Ln Lm 证毕。
第21讲 Fubini定理
定义1 设 E Rnm , x0 Rn , y0 Rm ,
A Ai , B Bi ,
i 1
i 1
则 A M , B M，称 M 为一个单调
类。
第21讲 Fubini定理
(2) Ln×Lm 的最小性证明 定理4 Ln×Lm 是含所有可测矩形的有限 不交并的最小的单调类。
证明：设 M 是含所有可测矩形有限不交
并的最小单调类，则由于LnLm 显然是一 个单调类，我们有 M Ln Lm。往证 M
第21讲 Fubini定理
二．可测矩形生成的 类
问题4：如果定义乘积空间上的测度， 则至少可测矩形应该可测， 除此而外还有什么样的集合 在乘积测度意义下应是可测 的？它们构成什么样的集类？
第21讲 Fubini定理
三．Ln×Lm与 Ln+m的关系 问题5：Ln×Lm中的集合与 Ln+m中
的集合差别有多大？
第21讲 Fubini定理
一．可测矩形的截口 问题1：回忆微积分中如何化重积分
为累次积分？什么样的积分 区域可以使重积分化成累次 积分？
第21讲 Fubini定理
问题2：在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，应 首先考虑什么问题？
第21讲 Fubini定理
本质上讲 A B作为乘积空间 Rnm 中
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 2月11 日星期 五上午1 0时9分 3秒10:09:0320 .12.11
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年12月 上午10 时9分20 .12.111 0:09De cember 11, 2020
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 2月11 日星期 五10时9 分3秒1 0:09:03 11 December 2020
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年12 月11日 上午10 时9分20 .12.112 0.12.11
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。202 0年12 月11日 星期五 上午10 时9分3 秒10:09:0320.1 2.11
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2 020年1 2月上 午10时9 分20.1 2.1110:09December 11, 2020
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。10:09:0310 :09:031 0:09Friday , December 11, 2020
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 1120.1 2.1110:09:0310 :09:03 December 11, 2020
踏实肯干，努力奋斗。2020年12月11 日上午1 0时9分 20.12.1 120.12. 11
是 域，从而 Ln Lm M，进而得
M Ln Lm 。
第21讲 Fubini定理
设 Ai Ln , Bi Lm (i 1,2)，则下式恒成立：
( A1 B1) ( A2 B2 ) ( A1 B1) (B1 B2 )( A1 B1) ( A2 B2 ) [( A1 A2 ) B1] [( A1 A2 ) (B1 B2 )]
记
Ex0 {y Rm | (x0 , y) E},
E y0 {x Rn | (x, y0 ) E},
称 Ex0 为 E 在 x0 处的 x-截口，E y0 为
E 在 y0 处的 y-截口。
第21讲 Fubini定理
问题3：对Rn+m中任一可测集，其 截口是否均可测？为什么？
第21讲 Fubini定理
第21讲 Fubini定理
不难证明下列命题都是正确的：
(i) Rn Rm L。
(ii) 若 E L，则 (CE)x C(Ex ) ，
(CE) y C(E y )，因此 CE L 。
(iii) 若 Ei L(i 1,2,3,) 且 E Ei，
则
Ex
(Ei )x , Ey
(
Ei
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 12.1110 :09:031 0:09De c-2011 -Dec-2 0
日复一日的努力只为成就美好的明天 。10:09:0310:0 9:0310:09Friday , December 11, 2020
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.11 20.12.1 110:09:0310:0 9:03De cember 11, 2020
(因为 M (E))，所以若 E M ，
则 CE M 。
(iii) 若 Ei M , i 1,2,, E Ei，令
Fk
k Ei，则
i 1
Fk 是单调上升的集
i 1
列，而 M 是对有限并运算封闭的
单调类，故 E Fk M 。
k 1
第21讲 Fubini定理
因此 M 是含 R 的 域，由于 Ln Lm 是 含 R 的最小的 域，故 LnLm M ， 从而 Ln Lm M 。证毕。 作业：P168 21
)
y
i 1
,
故
由
Ln ,
Lm
是 i1
域知
i 1
E
L。
第21讲 Fubini定理
以上三者意味着 L 是一个 域且含所 有的可测矩形，而 Ln Lm 是含所有可测 矩形的最小 域，故 L Ln Lm ，但因
L Ln Lm ，所以 L Ln Lm 。证毕。
第21讲 Fubini定理
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午10时9 分3秒 上午10 时9分10 :09:032 0.12.11
一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.12. 1120.1 2.1110:0910:09 :0310:0 9:03De c-20
牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。202 0年12 月11日 星期五1 0时9分 3秒Friday , December 11, 2020
相信相信得力量。20.12.112020年12月 11日星 期五10 时9分3 秒20.1 2.11
谢谢大家！
生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20. 12.1120 .12.11Friday , December 11, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 0:09:03 10:09:0 310:09 12/11/2 020 10:09:03 AM
第21讲 Fubini定理
对于任意 E Ln Lm，定义 (E) {F Ln Lm | F E, E F, E F M }
则 (E)显然有下列性质：
第21讲 Fubini定理
(1) F (E) E (F ) (2) 由于 M 是单调类，每一个 (E) 也 是单调类，对固定的 ER ，由于 R 是 环，所以 R (E) ，这就是说 (E)是 含 R 的单调类，由 M 的最小性知
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 12.1120 .12.11Friday , December 11, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 0:09:03 10:09:0 310:09 12/11/2 020 10:09:03 AM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 12.1110 :09:031 0:09De c-2011 -Dec-2 0
第21讲 Fubini定理
为使问题的解决更方便些，我们采用 略为抽象的形式来叙述。 记 Ln , Lm , Lnm 分别为 Rn , Rm 及 R nm 中 的Lebesgue可测集类，则它们都是
-域。定义 Ln Lm 为包含所有的可测 矩形的 Rn Rm 的最小的 -域，则有
第21讲 Fubini定理
应该看到，由于 Lnm 与 Ln Lm中元可能相
差一个零测集，所以我们不能由此断言， 对任意 E Lnm 及任意 xRn , yRm , Ex , E y 都是可测集，不过可以证明，对几乎所有
xRn , Ex 是 Rm 中的可测集，对几乎所有的
yRm , E y是 Rn 中的可测集，有兴趣的读者 可以参看江泽坚、吴智泉合编《实变函数 论》( 高教出版社，1998 ) 中有关章节。
引理1：Ln Lm Lnm。换言之，Ln Lm
中集均为 Rnm 中的Lebesgue可测集。
证明：由于 Lnm 是 域，且每个可测
矩形都在
Biblioteka BaiduLn
中，故显然有
m
证毕。
Ln Lm Lnm.
第21讲 Fubini定理
引理2 Rnm中的任意Borel集在 Ln Lm 中。
证明：注意到 Rnm 中的每个长方体显然在
第21讲 Fubini定理
四．单调类 问题6：如果定义了一个可测集类，
按上面的讨论，可测矩形应 在其中，从而可测矩形的有 限不交并也应在其中，在这 些可测集类中，有没有一个 最小的？它是什么？
第21讲 Fubini定理
(1) 最小单调类
定义2 设 M 是一个集簇，具有下列
性质：若 Ai M , Bi M 分别是单调 递增和单调递减的两个集列，
对任意 x A,{x} B 是 {0} B 在 Rnm 中的一个平移，它们到 Rm 中的点 x，
对应的集合 Ex {y Rm | (x, y) E}
对不同的 x 可能差别很大。
第21讲 Fubini定理
这就象平面内两条曲线 y f (x), y g(x) 在区间 [a,b] 之间围成的图形，对任意 x [a,b], f (x), g(x) 或 g(x) f (x) 一般是 不一样的，所以对可测集 E Rnm , Ex 的可测性不是显而易见的。
M (E) 。
第21讲 Fubini定理
现在固定 ER，若 FR，则由刚才的 证明知 E (F )，据(1)，知 F (E)， 因此 R (E)，再次由 (1) 得
M (E)。 综上立知，若 E, F M ，则 E F M， E F M，且
第21讲 Fubini定理
(i) 由于 Rn Rm R ，故 Rn Rm M 。 (ii) 由于对任意 E, F M , E F M
第21讲 Fubini定理
目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握 Fubini定理并会运用，了解Fubini定理 的证明。
重点与难点：Fubini定理及其证明。
第21讲 Fubini定理
基本内容： 同极限与积分交换顺序的问题一样， 在数学分析中，多元函数的重积分与 累次积分何时相等，以及累次积分的 交换顺序等问题的讨论中也要对被积 函数加上较强的条件，本节将会看到， Lebesgue积分中对此类问题所要求的 条件也比Riemann积分弱得多。
Ln Lm 中，而开集可以表成可数个左开右
闭的长方体之并，因此，开集也在 Ln Lm
中，由 Ln Lm 是 域及Borel集的定义
立知每个Borel集都在 Ln Lm 中。证毕。
第21讲 Fubini定理
定理2 对任意 ELnm 存在 E1, E2 Ln Lm 使 E1 E E2 且
定理3 若 E Ln Lm，则对任意 x Rn， y Rm，都有 Ex Lm，E y Ln。 证明：设 L 是所有 Ln Lm中满足 ExLm (任意 xRn )，E y Ln (任意 y Rm ) 集合 E 的全体。如果 E A B ，则当 x A 时， Ex B，当x A 时，Ex ，当 y B 时， E y 。故 E L 。
第21讲 Fubini定理
可见两个可测矩形的交仍是可测矩形， 它们的差是两个不相交的可测矩形之 并，记
R {E | E 是有限个不相交的可测 矩形之并}。
第21讲 Fubini定理
由上面的证明不难看出，对任意 E1, E2 R, E1 E2 , E1 E2
均在 R 中，又 E1 E2 (E1 E2 ) E2 ， 且(E1 E2 ) E2 ，所以 E1 E2 R ， 也有这说明 R 是一个环。
m(E E1) m(E2 E) 0 。 证明：取 Lnm 中的Borel集 E2 E ，使 m(E2 E) 0，取Borel集 E1 E，使 m(E E1) 0，则由引理2知 E1, E2 Ln Lm 证毕。
第21讲 Fubini定理
定义1 设 E Rnm , x0 Rn , y0 Rm ,
A Ai , B Bi ,
i 1
i 1
则 A M , B M，称 M 为一个单调
类。
第21讲 Fubini定理
(2) Ln×Lm 的最小性证明 定理4 Ln×Lm 是含所有可测矩形的有限 不交并的最小的单调类。
证明：设 M 是含所有可测矩形有限不交
并的最小单调类，则由于LnLm 显然是一 个单调类，我们有 M Ln Lm。往证 M
第21讲 Fubini定理
二．可测矩形生成的 类
问题4：如果定义乘积空间上的测度， 则至少可测矩形应该可测， 除此而外还有什么样的集合 在乘积测度意义下应是可测 的？它们构成什么样的集类？
第21讲 Fubini定理
三．Ln×Lm与 Ln+m的关系 问题5：Ln×Lm中的集合与 Ln+m中
的集合差别有多大？
第21讲 Fubini定理
一．可测矩形的截口 问题1：回忆微积分中如何化重积分
为累次积分？什么样的积分 区域可以使重积分化成累次 积分？
第21讲 Fubini定理
问题2：在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，应 首先考虑什么问题？
第21讲 Fubini定理
本质上讲 A B作为乘积空间 Rnm 中
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 2月11 日星期 五上午1 0时9分 3秒10:09:0320 .12.11
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年12月 上午10 时9分20 .12.111 0:09De cember 11, 2020
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 2月11 日星期 五10时9 分3秒1 0:09:03 11 December 2020
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年12 月11日 上午10 时9分20 .12.112 0.12.11
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。202 0年12 月11日 星期五 上午10 时9分3 秒10:09:0320.1 2.11
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2 020年1 2月上 午10时9 分20.1 2.1110:09December 11, 2020
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。10:09:0310 :09:031 0:09Friday , December 11, 2020
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 1120.1 2.1110:09:0310 :09:03 December 11, 2020
踏实肯干，努力奋斗。2020年12月11 日上午1 0时9分 20.12.1 120.12. 11
是 域，从而 Ln Lm M，进而得
M Ln Lm 。
第21讲 Fubini定理
设 Ai Ln , Bi Lm (i 1,2)，则下式恒成立：
( A1 B1) ( A2 B2 ) ( A1 B1) (B1 B2 )( A1 B1) ( A2 B2 ) [( A1 A2 ) B1] [( A1 A2 ) (B1 B2 )]
记
Ex0 {y Rm | (x0 , y) E},
E y0 {x Rn | (x, y0 ) E},
称 Ex0 为 E 在 x0 处的 x-截口，E y0 为
E 在 y0 处的 y-截口。
第21讲 Fubini定理
问题3：对Rn+m中任一可测集，其 截口是否均可测？为什么？
第21讲 Fubini定理
第21讲 Fubini定理
不难证明下列命题都是正确的：
(i) Rn Rm L。
(ii) 若 E L，则 (CE)x C(Ex ) ，
(CE) y C(E y )，因此 CE L 。
(iii) 若 Ei L(i 1,2,3,) 且 E Ei，
则
Ex
(Ei )x , Ey
(
Ei
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 12.1110 :09:031 0:09De c-2011 -Dec-2 0
日复一日的努力只为成就美好的明天 。10:09:0310:0 9:0310:09Friday , December 11, 2020
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.11 20.12.1 110:09:0310:0 9:03De cember 11, 2020
(因为 M (E))，所以若 E M ，
则 CE M 。
(iii) 若 Ei M , i 1,2,, E Ei，令
Fk
k Ei，则
i 1
Fk 是单调上升的集
i 1
列，而 M 是对有限并运算封闭的
单调类，故 E Fk M 。
k 1
第21讲 Fubini定理
因此 M 是含 R 的 域，由于 Ln Lm 是 含 R 的最小的 域，故 LnLm M ， 从而 Ln Lm M 。证毕。 作业：P168 21
)
y
i 1
,
故
由
Ln ,
Lm
是 i1
域知
i 1
E
L。
第21讲 Fubini定理
以上三者意味着 L 是一个 域且含所 有的可测矩形，而 Ln Lm 是含所有可测 矩形的最小 域，故 L Ln Lm ，但因
L Ln Lm ，所以 L Ln Lm 。证毕。
第21讲 Fubini定理
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第21讲 Fubini定理
对于任意 E Ln Lm，定义 (E) {F Ln Lm | F E, E F, E F M }
则 (E)显然有下列性质：
第21讲 Fubini定理
(1) F (E) E (F ) (2) 由于 M 是单调类，每一个 (E) 也 是单调类，对固定的 ER ，由于 R 是 环，所以 R (E) ，这就是说 (E)是 含 R 的单调类，由 M 的最小性知
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第21讲 Fubini定理
为使问题的解决更方便些，我们采用 略为抽象的形式来叙述。 记 Ln , Lm , Lnm 分别为 Rn , Rm 及 R nm 中 的Lebesgue可测集类，则它们都是
-域。定义 Ln Lm 为包含所有的可测 矩形的 Rn Rm 的最小的 -域，则有
第21讲 Fubini定理
应该看到，由于 Lnm 与 Ln Lm中元可能相
差一个零测集，所以我们不能由此断言， 对任意 E Lnm 及任意 xRn , yRm , Ex , E y 都是可测集，不过可以证明，对几乎所有
xRn , Ex 是 Rm 中的可测集，对几乎所有的
yRm , E y是 Rn 中的可测集，有兴趣的读者 可以参看江泽坚、吴智泉合编《实变函数 论》( 高教出版社，1998 ) 中有关章节。
引理1：Ln Lm Lnm。换言之，Ln Lm
中集均为 Rnm 中的Lebesgue可测集。
证明：由于 Lnm 是 域，且每个可测
矩形都在
Biblioteka BaiduLn
中，故显然有
m
证毕。
Ln Lm Lnm.
第21讲 Fubini定理
引理2 Rnm中的任意Borel集在 Ln Lm 中。
证明：注意到 Rnm 中的每个长方体显然在
第21讲 Fubini定理
四．单调类 问题6：如果定义了一个可测集类，
按上面的讨论，可测矩形应 在其中，从而可测矩形的有 限不交并也应在其中，在这 些可测集类中，有没有一个 最小的？它是什么？
第21讲 Fubini定理
(1) 最小单调类
定义2 设 M 是一个集簇，具有下列
性质：若 Ai M , Bi M 分别是单调 递增和单调递减的两个集列，