第21讲Fubini定理
第22讲Fubini定理(续)
R
Rn
Rn
R
n k ( x)dx nm f k dxdy nmf ( x, y)dxdy，
f dxdy k ( x)dx 。 nm n
R
R
R
第22讲 Fubini定理(续)
类似可证 f dxdy k ( x)dx，其中
Rnm y Rn
( y) f ( x)dx。 Rn 为证(ii)，设 f ( x, y) 是一般的 Ln Lm
证明：设 M 是使得定理成立的那些 EL L n m 的集类，我们证明 M 具有如下性质： ( i) 若
E1 E2 Ek , Ei M ,
则E
E M。
i i 1
(ii) 若 {E } 是 M 的互不相交的可数集列，则 i
E Ei M 。
i 1
第22讲 Fubini定理(续)
二．Fubini定理的特殊形式 定理：设
E Ln Lm , x R , y R ,
n m
( x) m( Ex ), ( y) m( E y ),
则
( x)dx ( y)dy.
第22讲 Fubini定理(续)
三．Fubini定理
定理7 富比尼（Fubini）定理 设 f 是 Rn+m上的 Ln×Lm-可测函数，
(i) 若 0 f ，且 (a) ( x) m f x ( y)dy, ( y)
则 , 分别是 Rn 和 Rm 上的可测函数，且
R
n
R
Rn
f y ( x)dx
(b)
( x)dx
第22讲 Fubini定理(续)
奇函数与偶函数的傅立叶级数解读
第二章 第二節 奇函數與偶函數的傅立葉級數定義1. (1)若()()f t f t -=，則f 為偶函數(2)若()()f t f t -=-，則f 為奇函數例題1. 請判斷下列各函數為奇函數或偶函數(1)()f t t = (2)2()3f t t =+ (3)2()f t t t =+Sol ：(1)()()f t t f t -=-=-∴()f t 為奇函數 (2)22()()33()f t t t f t -=-+=+=∴()f t 為偶函數 (3)22()()f t t t t t -=-+-=-+∴()f t 不是偶函數也不是奇函數◎(1)奇函數的圖形對稱於原點(2)偶函數的圖形對稱於y 軸定理1. (1)若f 為偶函數，則()2()lllf t dt f t dt -=⎰⎰(2)若f 為奇函數，則()0llf t d t -=⎰定義2. (奇函數的傅立葉級數)若週期函數f 為奇函數，則f 的傅立葉級數(又稱為傅立葉正弦級數)為1()s i n nn n t f t b l π∞==∑ 其中 02()s i n l n n tb f t dt l lπ=⎰定義3. (偶函數的傅立葉級數)若週期函數f 為偶函數，則f 的傅立葉級數(又稱為傅立葉餘弦級數)為011()c o s 2n n n tf t a a l π∞==+∑其中 002()la f t dt l =⎰02()c o s l n n ta f t dt l lπ=⎰例題2. 將函數3,50()3,05t f t t --<<⎧=⎨<<⎩展開成傅立葉級數Sol ：()f t 為奇函數00,0n a a ⇒==02()s i n l n n t b f t dt l l π=⎰55002653s i n (c o s )5555n t n tdt n πππ-==⎰ 6(c o s 1)n n ππ-=-12,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴()f t 的傅立葉(正弦)級數為 121315(s i n s i n s i n )53555t t t ππππ+++例題3. 將函數()f t t = (t ππ-≤≤) 展開成傅立葉級數Sol ：()f t 為偶函數0n b ⇒=200222()2t a f t dt tdt ππππππ===⨯⎰⎰21(0)πππ=-=n a =2π()c o s f t n t dt π⎰2c o s t n td t ππ=⎰(利用分部積分法)00211s i n s i n t n t n t d t n n πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 02211(s i n 0)c o s n t nnππππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2210(cos 1)n n ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦20,2,4,6,4,1,3,5,n n n π=⎧⎪=⎨-=⎪⎩∴()f t 的傅立葉(餘弦)級數為 224cos3cos5(cos )235t tt t ππ=-+++◎底下的兩個例題是將原來並非奇、偶函數的函數經過平移後，變成奇、偶函數，再求解的例子例題4. 試求週期為2π之週期函數()f t 的傅立葉級數,0(),0t f t t πππ-<<⎧=⎨<<⎩Sol ：上面第一個圖形為函數()f t 的圖形，其既不是偶函數也不是奇函數，但如果將f 平移，即令1()()2f t f t π=-得1f 的圖形如上面第二個圖形⇒1f 為一奇函數1()f t ∴的傅立葉級數為11()sin n n f t b nt ∞==∑1022()sin ()sin 2n b f t n dt n dt ππππππππ==-⎰⎰02s i n 2n d t ππππ=⎰011cos (cos 1)nt n n nππ--==- 0,2,4,6,2,1,3,5,n n n=⎧⎪=⎨=⎪⎩∴11()s i n n n f t b nt ∞==∑=sin3sin52(sin )35t tt +++故1()()2f t f t π=+=2π+sin3sin52(sin )35t tt +++。
浅析复积分的计算
浅析复积分的计算复积分是数学上重要的概念，其计算具有重要的应用价值。
本文旨在从理论和应用方面，浅析复积分的计算。
一、定义首先，从定义上来讲，复积分是一种多元积分，它是指将一个函数在一个或多个变量上求几阶连续积分而形成的一种积分。
它可以被定义为：在多元函数f(x1,x2,…,xn)关于n个变量求解n次积分后得到的积分，即：$$intcdotsint f(x_1, x_2, ... , x_n) dx_1 dx_2 cdots dx_n$$ 其中的n次连续积分称为复积分，也叫做多元积分。
二、计算方法复积分的计算需要从一般情况入手，从一个拆分成低阶积分开始，最终能够拆分成每个变量只积分一次，即可转化为普通的多元函数积分。
具体计算方法有两种：1.义Fubini定理广义Fubini定理也称为Fubini-Tonelli定理，它的定义如下：设f(x、y)是在[a,b]*[c,d]区域中连续可积函数，且存在F(x)、G(y)是[a,b]、[c,d]上分别可积函数，且满足：$$int_a^b F(x) dx=int_c^d G(y) dy$$若F(x)、G(y)，以及f(x、y)都可以从每边以相同方式积分，则 $$int_a^bint_c^d f(x,y)dxdy=int_c^dint_a^b f(x,y)dydx$$ 2.变积分顺序在积分时，有时需要改变各项积分的顺序，以使积分更加方便。
具体的方法是，根据实际的情况，分别进行积分，以改变积分的顺序。
一般来说，当有多个变量参与运算时，复积分的积分顺序应从低阶变量开始，逐步上升至高阶变量。
三、应用复积分可以用于计算向量、空间等高维数据，以及多变量函数的相关计算，其应用十分广泛。
1.算空间形状复积分可以用于计算空间形状，如椭圆形、平面、柱面等。
它可以用来计算空间物体的体积、表面积及空间物体的位移、速度等。
2.理空间的描述复积分也可以用于描述物理空间，如物理空间的能量、动能等，物理空间的磁场、电场等。
实变函数论课件18 Fubin定理
这时A, B 可分别表为渐缩有界开集列的极限，设An An A, Bn Bn B.
n1
n1
从而 An Bn ( An Bn ) ( An ) ( Bn ) A B.由 (2) 知诸 An Bn 为有界可测集, 所以 A B 可测, 且
n1
n1
n1
m(
A
B)
lim
n
m(
An
Bn
)
第18讲 Fubini定理
目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握 Fubini定理并会运用，了解Fubini定理 的证明。
重点与难点：Fubini定理及其证明。
同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分 析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等， 以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对 被积函数加上较强的条件.
(ii) ( An )x ( An )x;
n1
n1
( An )x ( An )x
n1
n1
(iii) ( A \ B)x Ax \ Bx;
(iv) 当 An A 时, ( An )x Ax; 当 An A 时, ( An )x Ax.
注：若 y Y，把上面的 x 截面换成 y 截面仍然成立
6
例5：设 F1 R p , F2 Rq为闭集，G1 R p , G2 Rq为开集，则 F1 F2，G1 G2分别 为R p+q中的闭集和开集.
证明：由于G1, G2为开集，所以对z (x, y) G1 G2, U1(x, r) G1,U2 ( y, r) G2. 又显然U (z, r) U1(x, r) U2 ( y, r)，从而U (z, r) G1 G2，故G1 G2为开集。 下证：F1 F2为闭集. 显然F1 F2 F1 F2。下证相反包含关系。（反证法） 设z (x, y) F1 F2，但z F1 F2，则x F1或y F2，不妨设x F1，
§4.6乘积测度与Fubini定理
§4.6 乘积测度与Fubini 定理教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理.本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.设X 和Y 是两个非空集, .,Y B X A ⊂⊂ 称B A ×为Y X ×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅×B A ,).例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即1R =×1R .2R 当A 和B 是直线上的有界区间时, B A ×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将1R =×1R 2R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如下性质(图6—1):(1).).()()()(21212211B B A A B A B A ∩×∩=×∩×(2).)].()[(])[()()(21211212211B B A A B A A B A B A −×∩∪×−=×−×图6-1设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间. 若,A ∈A ,B ∈B 则称B A ×为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半环.由C 生成的代数−σ)(C σ称为A 与B 的乘积σ-代数, 记为.B A ×)()(21212B B A A E −×∩=1211)(B A A E ×−=X1A2A 1E2B 1B Y2E在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×B A C , 令).()())((B A B A νµνµ⋅=×× (1)定理1 由(1)式定义的集函数νµ×是C 上的测度.证明 显然0))((=∅×νµ. 往证νµ×在C 上是可数可加的. 设B A ×是一个可测矩形, }{n n B A ×是一列互不相交的可测矩形使得1.n n n A B A B ∞=×=×∪由于}{n n B A ×是互不相交的, 故成立.)()()()(1∑∞−=n B A B A y I x I y I x I n n对任意固定的,Y y ∈ 将上式两边对x 积分并利用单调收敛定理得到.)()()()(1∑∞==n B n B y I A y I A nµµ再对y 积分得到.)()()()(1∑∞=⋅=⋅n nnBA B A νµνµ 这就是.))(())((1∑∞=××=××n n n B A B A νµνµ即νµ×在C 上是可数可加的. 因此νµ×是C 上的测度. ■设R 是由C 生成的环, 即}.1,,,:{11≥===k E E E A k ki i 是互不相交的可测矩形∪R注意由于∈×Y X ,R 故R 实际上是一个代数. 按下面的方式将νµ×延拓到R 上. 若∈E ,R E 的一个分解式为,1∪ki i i B A E =×= 则令.)()())((1∑=⋅=×ki iiB A E νµνµ (2)由§2.2.引理7, ))((B A ××νµ的值不依赖于B A ×的分解式的选取. 由定理1和§2.2定理8立即得到如下定理.定理2 由(2)式定义的集函数νµ×是R 上的测度.设∗×)(νµ是由νµ×导出的外测度,νµ×M 是∗×)(νµ可测集的全体所成的−σ代数.由§2.2定理5, ∗×)(νµ在νµ×M 上是一个测度, 称这个测度为µ和ν的乘积测度, 仍记为νµ×. 称测度空间),,(νµνµ×××M Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间. 由§2.2.定理10, 测度空间),,(νµνµ×××M Y X 是完备的. 容易证明若µ和ν都是−σ有限的, 则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题).由第一章习题第26题的结果知道)(C σ=).(R σ 由B A ×的定义和§2.2定理5,B A ×=)(C σ=⊂)(R σνµ×M .因此νµ×也是B A ×上的测度. 有时也称测度空间),,(νµ×××B A Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间.下面我们将证明Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设.,X x Y X E ∈×⊂ 称集}),(:{E y x Y y E x ∈∈=为E 在x 的截口. 类似地, 对,Y y ∈ 称集}),(:{E y x X x E y ∈∈=为E 在y 的截口. 注意x E 和y E 分别是Y 和X 的子集(图6—2).图6—2容易验证关于截口成立,)()().i (11∪∪∞=∞==n x n x n n E E.)().ii (x x x F E F E −=−同样, 关于y 的截口也成立类似的性质.定理3 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个−σ有限的测度空间, ∈E B A ×. 则).i (对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν和是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (3)XYx E yE x y E证明 ).i (设C 是可测矩形的全体. 令F }.,:{B B A ∈∈×∈=x E X x E 对任意若∈×=B A E ,C 则当A x ∈时, .B E x =当A x ∉时, .∅=x E 故对任意,X x ∈.B ∈x E 因此.F C ⊂ 利用截口的性质容易证明F 是一个σ-代数. 因此得到=×B A ⊂)(C σ.F 即对任意X x ∈必有.B ∈x E)ii (先设.)(+∞<Y ν 由本定理的结论),i ( 对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E 故函数)(x E ν有意义. 令}.)(:{可测的是A B A F x E E ν×∈=若B A E ×=是一个可测矩形, 则)()()(x I B E A x νν=是A 可测的. 这表明.F C ⊂ 往证F 是一个λ类. 显然∈×Y X .F 设∈F E ,F 并且.F E ⊃ 注意到,)()(+∞<≤Y F x νν我们有).()()())((x x x x x F E F E F E νννν−=−=−故))((x F E −ν是A 可测的. 因此∈−F E ,F 即F 对包含差运算封闭.再设⊂}{n E F并且.↑n E 则.)(↑x n E 于是有).)((lim ))(())((11x n n n x n x n n E E E ννν∞→∞=∞===∪∪由上式看出))((1x n nE∪∞=ν是A 可测的. 因此∈∞=∪1n n E ,F 即F 对单调增加的集列的并运算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ类. 注意到C 是一个π类. 由§1.3.推论12, 我们有=×B A ⊂)(C σ.F即对任意∈E B A ×, )(x E ν是A 可测的. 若.)(+∞=Y ν 由于),,(νB Y 是−σ有限的, 因此存在Y 的一列互不相交的可测集}{n Y 使得+∞<)(n Y ν并且1.nn Y Y ∞==∪对每个,1≥n 在B 上定义测度∈∩=B Y B B n n ),()(νν.B则.)()(+∞<=n n Y Y νν 设∈E B A ×. 则由上面所证, 每个,1≥n )(x n E ν是A 可测的. 我们有.)()())(()(111∑∑∞=∞=∞==∩=∩=n x n n n x n n x x E Y E Y E E νννν∪由此可见)(x E ν是A 可测的. 在B A ×上定义集函数λ如下:∈=∫E d E E x ,)()(µνλB A ×.则λ是非负值集函数并且.0)(=∅m 设}{n E 是B A ×中的一列互不相交的集. 则由单调收敛定理得到.)())(())(())(()(11111∑∫∑∫∫∞=∞=∞=∞=∞=====n n n x n n x n x n n n n E d E d E d E E λµνµνµνλ∪∪∪即λ是可数可加的. 故λ是B A ×上的测度. 若B A E ×=是一个可测矩形, 则).)(()()(.)()()()(E B A d x I B d E E A x νµνµµνµνλ×=⋅===∫∫故在C 上.νµλ×=测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上.νµλ×= 由于µ和ν都是−σ有限的, 容易知道λ和νµ×也是−σ有限的(参见习题). 由§2.2定理6知道在B A ×上.νµλ×= 这表明对任意∈E ,B A × (3)式成立.■注1 由定理3, 我们也可以用(3)式来定义B A ×上的乘积测度,νµ× 这样定义的νµ×与我们前面定义的νµ×M 上的乘积测度νµ×在B A ×上是一致的. 但是这样得到的乘积测度空间),,(νµ×××B A Y X 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,(νµνµ×××M Y X , 这样就避免了对),,(νµ×××B A Y X 再进行完备化的讨论.引理4 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的测度空间, 若∈E νµ×M 并且.0))((=×E νµ 则对几乎所有,X x ∈B ∈x E 并且 a.e.,0)(=x E ν证明 由§2.2定理11, 存在∈F =)(R σ,B A × 使得E F ⊃并且.0))(())((=×=×E F νµνµ定理3)ii (蕴涵 a.e.0)(=x F ν 由于B 关于ν是完备的, 因此由x x F E ⊂得到∈x E a.e.,B 并且 a.e.0)(=x E ν.■定理5 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, ∈E νµ×M . 则).i (则对几乎所有,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (4)).iii (若),(y x f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数, 则对几乎所有,X x ∈ 函数),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数.证明 设∈E νµ×M . 由§2.2定理13, 存在∈F B A × 和∈N νµ×M ,,0))((=×N νµ使得.N F E −= 由引理4, ∈x N a.e.,B 并且 a.e.0)(=x N ν 再利用定理3, 我们有∈−=x x x N F E a.e.,B 因此)i (得证. 由定理3, )(x F ν是A 可测的. 由于A 关于µ是完备的, 并且a.e.),()()()(x x x x F N F E νννν=−=故)(x E ν是A 可测的(参见第三章习题第7题). 注意到,0))((=×N νµ 由定理3)ii (,∫∫==×=×).()())(()))((x x E d F F E ννννµνµ即(4)成立. 因此)ii (得证. 由于对任意实数,a ∈<}),(:),{(a y x f y x νµ×M .于是由结论)i (, 对几乎所有,X x ∈我们有∈<=<∈x a y x f y x a y x f Y y }),(:),{(}),(:{.B即),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数. 因此)iii (得证.■由对称性,关于y E 和)((y E µ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果.设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间, ),(y x f 是Y X ×上的可测函数. 若对几乎所有固定的,X x ∈ ),(y x f 在Y 上的积分存在. 记()(,).Yg x f x y d ν=∫()(x g 可能在一个−µ零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令)(x g =0). 若)(x g 是X 上的可测函数并且在X 上的积分存在, 则称f 的二次积分存在, 并且称()Xg x d µ∫为f 的二次积分,记为()XYfd d νµ∫∫或.XYd fd µν∫∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分.YXd fd νµ∫∫关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这是本节最主要的结果定理6 (Fubini 理)设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间. 则).i (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的非负可测函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫=().YXfd d µν∫∫(5)).ii (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可积函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是关于µ和ν可积的. 并且(5)成立.证明 ).i (由对称性, 只需证明()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数, 并且X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫(6)先设E I f =是特征函数, 其中∈E νµ×M . 由定理5)i (, 对几乎所有,X x ∈∈x E .B 于是(,)()().x E E x YYI x y d I y d E ννν==∫∫ a.e..−µ由定理5)ii (, )(x E ν是X 上的可测函数. 并且()..)()()(µνµννµνµd d I d E E d I XYEXx YX E ∫∫∫∫==×=××这表明当f 是特征函数时, ()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由积分的线性性质知道, 当f 是非负简单函数时, )(x I 是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列}{n f 使得.f f n ↑ 由上面的证明,()(,)n n YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数. 由单调收敛定理得到(,)(,).n YYf x y d f x y d νν↑∫∫ 因此)(x I 是X 上的非负可测函数. 再对函数列}{n I 应用单调收敛定理, 我们有()()lim lim .n n n n X YX YXYXYf d f d f d d fd d µνµννµνµ→∞→∞×××=×==∫∫∫∫∫∫即(6)成立. 因此)i (得证.).ii (由对称性, 我们只需证明)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立. 由)i (的结论,(,)Yf x y d ν+∫和(,)Yf x y d ν−∫是X 上的非负可测函数. 因此)(x I 是X 上的可测函数.对+f 和−f 分别运用(6), 我们有()()().X YX YX YX YXYXYf d f d f d f d d f d d fd d µνµνµννµνµνµ+−×××+−×=×−×=−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫注意由于f 是关于νµ×可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许的. 这就证明了)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立.■推论7 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数. 若YXd f d νµ<+∞∫∫ 或,XYd f d µν<+∞∫∫则f 可积并且成立X Yf d µν××=∫XYd fd µν∫∫=.YXd fd νµ∫∫ (7)证明 设+∞<∫∫XYd f d µν. 由Fubini 定理, 我们有X Yf d µν××=∫.YXd f d νµ<+∞∫∫即f 可积. 再由Fubini 定理即知(7)成立. ■注2 在Fubini 定理中, 若),(y x f 是可积的. 则由于()(,)YI x f x y d ν=∫是关于µ可积的. 因此函数)(x I 几乎处处有限. 这表明对几乎所有,X x ∈),()(y x f y f x =是关于ν可积的. 同理, 对几乎所有,Y y ∈ 函数),()(y x f x f y = 是关于µ可积的.注3在Fubini 定理中, 若去掉),,(µA X 和),,(νB Y 是完备的这个条件, 则当f 是),,(νµ×××B A Y X 上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理6的证明是类似的. 只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了.例1 设),,(µA X 是一个−σ有限的测度空间, f 是X 上的非负可测函数,.1+∞<≤p 则10({:()}).pp f d p t x f x t dt µµ+∞−=>∫∫证明 令},0)(:),{(≥>=t x f t x E 则}.)(:{t x f x E t >= 显然t x f −)(是乘积空间)),(,(11m X ×××µR R M F 上的可测函数, 故∈>−=}0)(:),{(t x f t x E )(1R M F ×. 因此函数),()(t x I x I E E t =是关于)(1R M F ×可测的. 由Fubini 定理我们有()101{:()}01{:()}010()()()({:()}).f x pp XXp x f x t Xp x f x t Xp f x d d pt dtd pt I x dtpt dt I x d pt x f x t dt µµµµµ−+∞−>+∞−>+∞−====>∫∫∫∫∫∫∫∫■下面我们将本节的结果用到nR 上的Lebesgue 积分上去.定理8 设)(1R B 和)(2R B 分别是1R 和2R 上的Borel σ-代数, 1m 和2m 分别是1R 和2R 上的Lebesgue 测度. 则×)(1R B =)(1R B )(2R B 并且在)(2R B 上.211m m m =× 即=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B证明 设R 是2R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′是由2R 中的Lebesgue 可测矩形的全体生成的环. 则=)(R σ),(2R B=′)(R σ×)(1R B ).(1R B 由于⊂R R ′, 故=)(2R B =′⊂)()(R R σσ×)(1R B ).(1R B反过来, 令1p 和2p 是2R 到1R 的投影函数, 即.,),(1x y x p = y y x p =),(2. 则1p 和2p 都是连续的, 因而是2R 上的Borel 可测函数. 由§3.1定理2, 若∈B A ,)(1R B , 则∈−)(11A p )(2R B , ∈−)(12B p ).(2R B 于是).()()()()(2121111R R R B ∈∩=×∩×=×−−B p A p B A B A故⊂′R ).(2R B于是×)(1R B =)(1R B ⊂′)(R σ).(2R B 因此×)(1R B =)(1R B )(2R B . 由乘积测度的定义容易知道在R 上.211m m m =× 由§2.2定理6知道在)(R σ上.211m m m =× 即在)(2R B 上面.211m m m =×■定理9 两个一维Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue 测度空间, 即=×××),,(1111m m i i m m M R R ).),(,(222m R R M (8)证明 仍设R ,R ′, 1m 和2m 如定理8. 由定理8,=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B此即=×′×)),(,(1111m m R σR R ).),(,(22m R σR由§2.2定理15,),,(1111m m i i m m ×××M R R 和)),(,(222m R R M 分别是)),(,(1111m m ×′×R σR R 和)),(,(22m R σR 的完备化空间. 因此(8)成立.■推论10 设f 是2R 上的非负L 可测函数或L 可积函数.则成立2R f dxdy =∫dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR特别地, 当dy f dx <+∞∫∫11R R 或者dx f dy <+∞∫∫11RR 时, 成立dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR(我们将2R 上的L 积分记为2.R f dxdy ∫)证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(1111m m iim m ×××M R R 上, 并利用定理9即得. ■显然, 对pR 与qR 的乘积空间qp +R 的情形,成立与推论10类似的结果.例2 计算0sin ()(0).axbx x I e e dx a b x+∞−−=−<<∫解 我们有0sin ()sin .b ax bxxy ax e e dx dx e xdy x +∞+∞−−−−=∫∫∫ 由于1sin ln .bb b xyxyaaabdy ex dx dy edx dy y a+∞+∞−−≤==<+∞∫∫∫∫∫由Fubini 定理(推论7), 我们有002sin sin 1arctg arctg .1bb xyxy aab aI dx exdy dy e xdxdy b a y+∞+∞−−====−+∫∫∫∫∫小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用.习题习题四, 第43题—第57题.。
高维微分学——隐映照定理 - 复旦大学精品课程
锡
1 知识要素
麟
高维微分学 —— 隐映照定理 由于 f (xn ) = xn+1 , 则有 f (x0 ) = x0 , 亦即 x0 为不动点.
谢锡麟
以下证明不动点的唯一性. 设 ∃x0 , x0 ∈ E ，满足 f (x0 ) = x0 , f (x0 ) = x0 . 考虑到压缩性， 有 d(x0 , x0 ) = d(f (x0 ), f (x0 )) 故仅可能 x0 = x0 ∈ E . αd(x0 , x0 ), α ∈ [0, 1)
分
= |Dx ϕ(x + θ∆x, y )∆x|Rl
f (x, y ) : Rm × RnБайду номын сангаас⊃ Dx × Dy ∋ {x, y } → f (x, y ) ∈ Rn
谢
|Dx ϕ(x + θ∆x, y )|Rl×m |∆x|Rm ,
锡
θ ∈ (0, 1),
麟
高维微分学 —— 隐映照定理
谢锡麟
2. ξ (x) ∈ C 1 (Bλ (x0 ); Rn ). 证明 利用压缩映照定理证明隐映照定理. (1) 考虑作 ϕx (y ) : Bµ (y 0 ) ∋ y → ϕx (y ) 可证对 ∀ x ∈ Bλ (x0 ), ∃ ! y x ∈ Bµ (y 0 ), 满足 f (x, y x ) = 0 ∈ Rn , 或者ϕx (y x ) = y x ∈ Rn , y − (Dy f )−1 (x0 , y 0 )f (x, y ) ∈ Rn ,
则 ∃ Bλ (x0 ) ∈ Dx (λ < λ), 有 |ϕx (y 0 ) − y 0 |Rn < αµ. 综上, ∀ x ∈ Bλ (x0 ), ∀ y ∈ Bµ (y 0 ), 有 |ϕx (y ) − y 0 |Rn < (1 − α)|y − y 0 |Rn + αµ (1 − α)µ + αµ = µ, 3
拉氏变换傅里叶变换
的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
2 T a0 2T fT (e)dt T 2
2 T d n 2T fT (e)dt (n 1,2,3,) T 2
2 T bn 2T fT (t ) sin ntdt (n 1,2,3,) T 2
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 f (t0 0) f (t0 0) 2
(二)付氏级数的复指数形式
fT (t )
(三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期 函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。
n
jwn t Cne
即
T
lim fT (t ) f (t )
1 f (t ) 2
f (t )e jwt dt e jwt dw
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列 条件： 1°在任一有限区间满足狄利克雷条件； 2° f (t ) dt
1.δ 函数的定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为δ 函数。 1 (t ) 0, t 0
2 (t )dt 1
(1.2.3)
(2)普通函数序列极限形式的定义
其中
(t ) lim (t )
0
0, t 0; (t ) 1 ,0 t 0, t
(四)付氏变换的物理意义——频谱
1.非正弦的周期函数的频谱
a0 f (t ) (an cos nwt bn sin nwt) 2 n1
第五节乘积测度和傅比尼-48页PPT资料
(iv) 现在假设 A, B 是一般的有界
可测集，则存在 G 型集 G 及G~ ，
使 GA,G ~B ， 且 m (G A ) m (G ~ B ) 0， 于是 m G m,m AG ~mB 。由(iii)知
GG~可测，且 m (G G ~ )mm G G ~。
21.04.2020
福州大学数学与计算机学院聂建英
且 m G 0,m G ~。0
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福州大学数学与计算机学院聂建英
又由于假设了 A, B 都有界，所以存
在长方体 I, J，使 IA,JB， 于是 G J (G A ) B ,
I G ~ A (G ~ B ),
进而 m (G J) m *(G ( A ) B ),
m (I G ~ ) m * (A (G ~ B )),
A
X
，积集也称为乘积空间．
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福州大学数学与计算机学院聂建英
每个 X , ( A) 称为分支空间．
积
集
A
X
中的元也可以记为
x {x }，这里 x 称为元 x 的第 坐标,它
是 x 在集 X 上的投影．
当
A
N
时，
A
X
可以看成是序列
{(x1, x2 , x3,L , xn ,L ) | xi Xi , i N} 所 成 的
可测。
(ii)如果 A, B 都为开集，则存在两
个互不相交的长方体序列，
(iii) (iv)
21.04.2020
{Ii}i 1,{Ji}i 1
使得
福州大学数学与计算机学院聂建英
AIi , BJj ,
i1
j1
于是
§5.3 Fubini定理
x∈A，这截面实际上是将 x 固定后，f(x,y)看成是 y 的函数时在 B 上的下方图
形,即 f(x,y) ＝m (G (f,B)= )(x,y) ，于是这截面可测，且由前述定理５.４.１有：m
（G ( f , A × B) ） x ＝ ∫B f(x,y)dy，故
∫ ∫ ∫ f(p)d p ＝ dx f(x,y)dy。
∫ ∫ 的函数在 B 上可测， f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可测，且 f(p)dp＝
B
A×B
∫A dx ∫B f(x,y)dy
(2) 设 f(P)＝f(x,y)为 A×B ⊂ R p+q (其中 A ⊂ R p ，B ⊂ R q 且均为可测集)上
的可积函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可积，
(1) 对于 R p 中几乎所有点 x，E x 是 R q 中可测集； (2) mE x 作为 x 的函数，是在 R p 上几乎处处有定义的可测函数；
∫ (3) mE＝ Rn
mE x dx
证明 (一)当 E 为有界可测集时。
(1) E 为 R p+q 中左开右闭(开、闭)区间的情形：设 E＝△ 1 ×△ 2 ，其中△ 1 ， △ 2 分别为 R p ，R q 中相应的左开右闭(开、闭)区间，则
i =1
i =1
Rn m(E i ) x dx＝ Rn i=1 m(E i ) x ＝ Rn mE x dx。
证毕.
推论５.3.１ 设 f 是定义在 E 上的非负函数，且下方图形 G ( f , E)是可测集，
则 f 在 E 上可测。
证明 显然 m(G ( f , E)) x ＝f(x)，由定理５.3.１ 2)知结论成立。证毕
概率论-1.5_伯努利(Bernoulli)概型
(2)事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk Cnk pk qnk , (k 0,1, 2,L , n) .
2020年4月26日星期日
2020年4月26日星期日
2
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在 n 重伯努利试验中主要考察两类事件的概率：
(1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n 次试验中事件 A 恰有 k 次“发生”的概率．
定 理 2 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P(A) p ， P(A) 1 p q (其中 0 p 1)，则
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
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定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1, E2 ,L , En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1, E2,L , En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
3
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【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？
试论实变函数中的富比尼定理
∫ 之 一. 若 把
f (x,y )dxdy 称 为 重 积 分,将
A×B
∫ ∫ ∫ ∫ dx f(x,y)dy 和 dy f(x,y)dx 称 为 累 次 积 分,则
A
B
B
A
富比尼定理说明,在 重 积 分 存 在 的 条 件 下,两 个 累 次 积 分 均
存在且等于重积分.要证明重积分存 在 有两个累次积分其中一个存在来确定.但是f 的两 个累次积分其中一个存在并不能保 证 重 积 分 存 在. 例 如,设
f(x,y)＝
x２ －y２ (x２－y２)２
为
定
义
在
E
＝
(０,１)×
(０,１)上
的
函
数
,
则f 的两个累次积分别为
∫ ∫ ∫ dx
f (x,y )dy ＝
(０,１)
(０,１)
１ ０
被积函数的准确性和交换积分顺序技巧的应用.
例
１
设
f(x,y)＝
y２ －x２ (x２－y２)２
为
定
义
在
E
＝
[０,１]×
[０,１]上 的 函 数 ,证 明 :
∫ ∫ ∫ ∫ dx
f(x,y)dy≠
dy
f(x,y)dx.
(０,１)
(０,１)
(０,１)
(０,１)
分析这与富比尼定理不矛盾,因为f 在(０,１)×(０,１)上
A×B
A
B
B
y)dx.
数学 分 析 中,非 负 函 数 f (x)在 [a,b]上 的 定 积 分
b
∫f(x)dx 的几何意义是由直线x＝a,x＝b,y＝０和曲线y a
付里叶变换
第五章 付里叶变换5-1 5-2 付里叶积分与付里叶变换（一）主要内容：1、实数形式的付里叶积分2、付里叶积分定理3、奇延拓和偶延拓4、正交归一的和完全的函数系基本要求：掌握将函数展开为付里叶积分的基本方法，初步理解付氏展开式系数的意义，并能将所给函数展开为付里叶积分，包括进行奇延拓和偶延拓。
知道付里叶积分的收敛条件。
初步理解正交归一的和完全的函数系的性质，并知道它的简单应用。
重点：将函数展开为付里叶积分的方法。
教学方法：讲授与练习相结合。
学时：2学时 教学过程：回顾周期函数的付里叶级数()()-l, l x f()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos n n n l x n b l x n a a x f ππ式中 ()⎰-=ll dx x f l a 210()⎰-=l l n dx l xn x f l a πcos 1()⎰-=l l n dx lxn x f l b πsin 1令ωπω∆==n lnn ，付里叶级数可改写为()()∑∞=++=10sin cos n n n n n x b x a a x f ωω∞→→l 付里叶积分若()x f 在()∞∞- ,上绝对可积，则a ∞→→l 0。
∑∞=1cosn n l x n a π∑⎰∞=-∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1cos cos 1lim n n l l n l x d l ωξξω ∑⎰∞=-∞→∆⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1cos cos 1limn n ll n l x d ωωξξωπ ()∑=∞→∆⋅=nk k k n x A 1cos lim ωωω()⎰∞⋅=0cos ωωωd x A同理∑∞=1sinn n lxn b π()⎰∞⋅=0sin ωωωd x B 一、实数形式的付里叶积分()()()ωωωωωωxd B xd A x f sin cos 00⎰⎰∞∞+= 付氏积分 式中()()xdx x f A cos 1ωπω⎰∞∞-= ()()xdx x f B sin 1ωπω⎰∞∞-=付氏变换函数● 付氏正弦积分 若()x f 是奇函数，则()()ωωωxd B x f sin 0⎰∞=()()xdx x f B sin 2ωπω⎰∞=● 付氏余弦积分 若()x f 是偶函数，则()()ωωωxd A x f cos 0⎰∞=()()xdx x f A cos 2ωπω⎰∞∞-=二、付里叶积分定理若函数 ()()∞∞-∈, ,x x f 满足：（1）狄里希利条件；（在()∞∞-∈, x 仅有有限个非无穷间断点） （2）()dx x f ⎰∞∞-π1收敛。
定理1切比雪夫定理
数理统计在生产上,研究工作中具有广泛的作用.例如化工 产品的研究,它有温度,压力,物质的浓度,反应时间等因素的 影响,而每个因素又有几种情况,如温度有200C~2000C内 分成6种情况,则46=4096种要每一个都做,不但费时间,而且 费金钱.学习数理统计后我们只要做几次试验就可以了.
D 169 13
p(180 220) p( 200 220 180 20) p( 200 20)
2
13 13
p(
20 13
200 13
20) 13
0 (1.54) 0 (1.54)
20 (1.54) 1
2 0.938221 0.87644
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停 i 1
Xi
|
} 1(2)
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任 意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量X1, X 2 , , X n 的算术平X=ΣX i /n
数理统计的重要内容是抽样方法和统计推断.学习数理统 计要注意1,抽样的本身是随机现象,它以概率论为基础的.数 学期望和方差都依靠概率论的结果.
因此要学好概率论.2,在学习数理统计时需要用部分的资 料来正确地推断整体的情况,到底要多少资料才有把握,它 们的精确度如何,希望同学在学习中注意.
第22讲Fubini定理续
k
(E )x (Ei )x , i 1
k
( E ) y ( Ei ) y . i 1
第22讲 Fubini定理(续)
由定理5知(E )x , (E ) y及 (Ei )x , (Ei ) y
均是可测函数，注意到 (E )x (E )x及 ( E ) y E y，于是
问题2：对 Ln×Lm 任意集合 E 及 E 上的可测函数 f(x,y)，如果考 虑关于 f(x,y) 的重积分化为 累次积分问题，首先应考察 什么？
可测函数截口的定义：fx，f y。
第22讲 Fubini定理(续)
定义3 如果 f (x, y) 是 Rn Rm上的函 数，则对每个 x Rn，记
i (x)dx i ( y)dy,
Rn
Rm
由单调收敛性定理立得
(x)dx ( y)dy,
Rn
Rm
由此得(i)。
第22讲 Fubini定理(续)
若 {Ei }1k是 M 中互不相交的有限
k
个集合 E
k
Ei，则
E
Ei ，
i1
i 1
从而对任意 x Rn , y Em
二．Fubini定理的特殊形式
定理：设
E Ln Lm , x Rn , y Rm ,
(x) m(Ex ), ( y) m(E y ),
则
(x)dx ( y)dy.
第22讲 Fubini定理(续)
三．Fubini定理
定理7 富比尼（Fubini）定理
设 f 是 Rn+m上的 Ln×Lm-可测函数，
Rm
f
dy,
(y)
牛顿莱布尼茨公式 ppt课件
三、研究的基本内容
牛顿—莱布尼兹公式的定义，发展，应用。 如何区别复变函数积分和实一元函数牛顿—莱布尼 兹公式及数学分析中的牛顿—莱布尼兹公式能不能 推广到复变函数上来。
四、主要解决的问题
❖ 说明牛顿—莱布尼兹公式的定义。 ❖ 简述牛顿—莱布尼兹公式的发展及作用。 ❖ 解决数学分析与复变函数牛顿—莱布尼兹公
❖ 实数中的很多概念和理论可以推广到复数中，但是实一元函数 中的牛顿—莱布尼兹公式推广到复数中来不是那么简单.复变函 数积分对函数要求比实一元函数积分的要求高很多。
二、选题的意义
现实意义：更好更准确的区分和运用复变函 数积分和实一元函数中的牛顿—莱布尼兹公 式.
理论意义：对于牛顿—莱布尼兹公式,国内外 许多学者对该问题的研究日渐深入。
式的区别，为什么数学分析中的牛顿—莱布 尼兹公式不能推广到复变函数上来。
五、研究进度及步骤
2012.7.23 -2012.8 .1 确定论文题目；
2012.8.1-2012.9 .9 查阅相关文献资料，了解问题的现实背
景及研究现状；
2012.9.9-2012.10 .9 收集相关资料，整理资料 ；
2012.10.9-2012.11.1 撰写论文初稿；
2012.11.1-2012.12.1 根据指导教师的意见，对论文进行修改;
2012.12
再次对论文进行修改、定，并准备论
文答辩。
六、研究方法及措施
本论文主要采用分析方法和比较方法进行研究。 具体措施有： （1）通过实际收集资料 （2）借助参考文献，说明牛顿—莱布尼兹公式的定义 ，发展，作用。 （3）根据定义，列举相关例子，说明数学分析中的牛 顿—莱布尼兹公式推广到复变函数上来。
七、主要参考文献
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M Ln Lm 。
第21讲 Fubini定理
设 Ai Ln , Bi Lm (i 1,2)，则下式恒成立：
( A1 B1) ( A2 B2 ) ( A1 B1) (B1 B2 )( A1 B1) ( A2 B2 ) [( A1 A2 ) B1] [( A1 A2 ) (B1 B2 )]
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。10:09:0310 :09:031 0:09Friday , December 11, 2020
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 1120.1 2.1110:09:0310 :09:03 December 11, 2020
踏实肯干，努力奋斗。2020年12月11 日上午1 0时9分 20.12.1 120.12. 11
第21讲 Fubini定理
二．可测矩形生成的 类
问题4：如果定义乘积空间上的测度， 则至少可测矩形应该可测， 除此而外还有什么样的集合 在乘积测度意义下应是可测 的？它们构成什么样的集类？
第21讲 Fubini定理
三．Ln×Lm与 Ln+m的关系 问题5：Ln×Lm中的集合与 Ln+m中
的集合差别有多大？
相信相信得力量。20.12.112020年12月 11日星 期五10 时9分3 秒20.1 2.11
谢谢大家！
生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20. 12.1120 .12.11Friday , December 11, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 0:09:03 10:09:0 310:09 12/11/2 020 10:09:03 AM
M (E) 。
第21讲 Fubini定理
现在固定 ER，若 FR，则由刚才的 证明知 E (F )，据(1)，知 F (E)， 因此 R (E)，再次由 (1) 得
M (E)。 综上立知，若 E, F M ，则 E F M， E F M，且
第21讲 Fubini定理
(i) 由于 Rn Rm R ，故 Rn Rm M 。 (ii) 由于对任意 E, F M , E F M
A Ai , B Bi ,
i 1
i 1
则 A M , B M，称 M 为一个单调
类。
第21讲 Fubini定理
(2) Ln×Lm 的最小性证明 定理4 Ln×Lm 是含所有可测矩形的有限 不交并的最小的单调类。
证明：设 M 是含所有可测矩形有限不交
并的最小单调类，则由于LnLm 显然是一 个单调类，我们有 M Ln Lm。往证 M
(因为 M (E))，所以若 E M ，
则 CE M 。
(iii) 若 Ei M , i 1,2,, E Ei，令
Fk
k Ei，则
i 1
Fk 是单调上升的集
i 1
列，而 M 是对有限并运算封闭的
单调类，故 E Fk M 。
k 1
第21讲 Fubini定理
因此 M 是含 R 的 域，由于 Ln Lm 是 含 R 的最小的 域，故 LnLm M ， 从而 Ln Lm M 。证毕。 作业：P168 21
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 12.1110 :09:031 0:09De c-2011 -Dec-2 0
日复一日的努力只为成就美好的明天 。10:09:0310:0 9:0310:09Friday , December 11, 2020
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.11 20.12.1 110:09:0310:0 9:03De cember 11, 2020
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午10时9 分3秒 上午10 时9分10 :09:032 0.12.11
一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.12. 1120.1 2.1110:0910:09 :0310:0 9:03De c-20
牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。202 0年12 月11日 星期五1 0时9分 3秒Friday , December 11, 2020
的集合是比较简单的，它有点象平面 内的矩形。这样的集合有一个特点，
对任意 x A,{x} B 是 {0} B 在 Rnm 中的一个平移，它们到 Rm 中的点 x，
对应的集合 Ex {y Rm | (x, y) E}
对不同的 x 可能差别很大。
第21讲 Fubini定理
这就象平面内两条曲线 y f (x), y g(x) 在区间 [a,b] 之间围成的图形，对任意 x [a,b], f (x), g(x) 或 g(x) f (x) 一般是 不一样的，所以对可测集 E Rnm , Ex 的可测性不是显而易见的。
第21讲 Fubini定理
四．单调类 问题6：如果定义了一个可测集类，
按上面的讨论，可测矩形应 在其中，从而可测矩形的有 限不交并也应在其中，在这 些可测集类中，有没有一个 最小的？它是什么？
第21讲 Fubini定理
(1) 最小单调类
定义2 设 M 是一个集簇，具有下列
性质：若 Ai M , Bi M 分别是单调 递增和单调递减的两个集列，
定理3 若 E Ln Lm，则对任意 x Rn， y Rm，都有 Ex Lm，E y Ln。 证明：设 L 是所有 Ln Lm中满足 ExLm (任意 xRn )，E y Ln (任意 y Rm ) 集合 E 的全体。如果 E A B ，则当 x A 时， Ex B，当x A 时，Ex ，当 y B 时， E y 。故 E L 。
第21讲 Fubini定理
一．可测矩形的截口 问题1：回忆微积分中如何化重积分
为累次积分？什么样的积分 区域可以使重积分化成累次 积分？
第21讲 Fubini定理
问题2：在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，应 首先考虑什么问题？
第21讲 Fubini定理
本质上讲 A B作为乘积空间 Rnm 中
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 2月11 日星期 五上午1 0时9分 3秒10:09:0320 .12.11
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第21讲 Fubini定理
目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握 Fubini定理并会运用，了解Fubini定理 的证明。
重点与难点：Fubini定理及其证明。
第21讲 Fubini定理
基本内容： 同极限与积分交换顺序的问题一样， 在数学分析中，多元函数的重积分与 累次积分何时相等，以及累次积分的 交换顺序等问题的讨论中也要对被积 函数加上较强的条件，本节将会看到， Lebesgue积分中对此类问题所要求的 条件也比Riemann积分弱得多。
)
y
i 1
,
故
由
Ln ,
Lm
是 i1
域知
i 1
E
L。
第21讲 Fubini定理
以上三者意味着 L 是一个 域且含所 有的可测矩形，而 Ln Lm 是含所有可测 矩形的最小 域，故 L Ln Lm ，但因
L Ln Lm ，所以 L Ln Lm 。证毕。
第21讲 Fubini定理
第21讲 Fubini定理
不难证明下列命题都是正确的：
(i) Rn Rm L。
(ii) 若 E L，则 (CE)x C(Ex ) ，
(CE) y C(E y )，因此 CE L 。
(iii) 若 Ei L(i 1,2,3,) 且 E Ei，
则
Ex
(Ei )x , Ey
(
EiΒιβλιοθήκη 第21讲 Fubini定理
对于任意 E Ln Lm，定义 (E) {F Ln Lm | F E, E F, E F M }
则 (E)显然有下列性质：
第21讲 Fubini定理
(1) F (E) E (F ) (2) 由于 M 是单调类，每一个 (E) 也 是单调类，对固定的 ER ，由于 R 是 环，所以 R (E) ，这就是说 (E)是 含 R 的单调类，由 M 的最小性知
m(E E1) m(E2 E) 0 。 证明：取 Lnm 中的Borel集 E2 E ，使 m(E2 E) 0，取Borel集 E1 E，使 m(E E1) 0，则由引理2知 E1, E2 Ln Lm 证毕。
第21讲 Fubini定理
定义1 设 E Rnm , x0 Rn , y0 Rm ,
记
Ex0 {y Rm | (x0 , y) E},
E y0 {x Rn | (x, y0 ) E},
称 Ex0 为 E 在 x0 处的 x-截口，E y0 为
E 在 y0 处的 y-截口。
第21讲 Fubini定理
问题3：对Rn+m中任一可测集，其 截口是否均可测？为什么？
第21讲 Fubini定理
第21讲 Fubini定理
可见两个可测矩形的交仍是可测矩形， 它们的差是两个不相交的可测矩形之 并，记
R {E | E 是有限个不相交的可测 矩形之并}。
第21讲 Fubini定理
由上面的证明不难看出，对任意 E1, E2 R, E1 E2 , E1 E2
均在 R 中，又 E1 E2 (E1 E2 ) E2 ， 且(E1 E2 ) E2 ，所以 E1 E2 R ， 也有这说明 R 是一个环。
引理1：Ln Lm Lnm。换言之，Ln Lm
中集均为 Rnm 中的Lebesgue可测集。
证明：由于 Lnm 是 域，且每个可测