圆锥曲线的离心率问题(离心率问题经典概括)

专题：椭圆的离心率问题

一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c e =，22

2

22221a

b a b a a

c a c e -=-===

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

2

2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为

2

1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为

12

。 5.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。

6..已知)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23

7.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若

12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是12⎫

⎪⎪

⎣⎭

8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=

e 2

2

。 9.P 是椭圆22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,122

1αα=∠=∠F PF F PF

,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-

10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若ο

ο

75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为

3

6

11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2 12.设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于

点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2

1

。

13.椭圆12222=+b

y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21

∣AF ∣，

则椭圆的离心率是36

。

14.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，

则椭圆的离心率是

2

1

5- 15.已知直线L 过椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为

2

a

，则椭圆的离心率是36

16.在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b

+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过

点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =2

17.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e 2

=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-= 的两

个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ A ）

Ａ．必在圆2

2

2x y +=内

Ｂ．必在圆22

2x y +=上 Ｃ．必在圆2

2

2x y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能

二、构造a c ，的齐次式，解出e

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

5

3 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-

3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，则椭圆的离心率是13-

4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角

5．已知F 1、F 21且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2

是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3

3

6．设12F F 、分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P （c

为半焦距）的点，且122F F F P =

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r

的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取

值范围是(0,

2

2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且ο

9021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为⎪

⎪⎭

⎫

⎢

⎣⎡1,22 3．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且ο

6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡1,21

4．设椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120o ，椭圆

离心率e

的取值范围为12

e ≤< 5．在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离

心率e =3

8．

6．设12F F ，分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段

1PF 的中垂线过点2F

，则椭圆离心率的取值范围是1⎫

⎪⎪⎣⎭

7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13-