一元线性回归方程

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1一元线性回归方程

Lyy = ∑(Yi −Y )
i =1 n
i =1 n
2
Lxy = ∑( Xi − X ) (Yi −Y )
i=1
ˆ ˆ β0 = Y − β1 X ˆ Lxy β1 = Lxx
二、OLS回归直线的性质回归直线的性质
ˆ （1）估计的回归直线 Yi ）
（2））
ˆ ˆ = β 0 + β 1X i
前三个条件称为G-M条件条件前三个条件称为
§1.2 一元线性回归模型的参数估计
普通最小二乘法（ Squares）普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线的性质 OLS回归直线的性质 OLSE的性质 OLSE的性质
一、普通最小二乘法
对于所研究的问题，对于所研究的问题，通常真实的回归直线 E(Yi|Xi) = β0 + β1Xi 是观测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。
Y
55 80 100 120140 160
X
二、随机误差项εi的假定条件随机误差项
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：假定1：假定：零期望假定：E(εi) = 0。。假定2：假定：同方差性假定：Var(εi) = σ 2。假定3：假定：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i ≠ j )。。假定4：假定： εi 服从正态分布，即εi ∼ N (0, σ 2 )。。
以下设 x 为自变量(普通变量 Y 为因变量(随机变普通变量) 普通变量随机变量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点样本点. 样本点以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图散点图. 散点图

一元线性回归

12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。

通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。

一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。

如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。

一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。

（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。

（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。

12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。

通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。

例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。

从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。

于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。

设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。

图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。

2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。

我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。

由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。

一元线性回归方程

北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人均收入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为：两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时，这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量

一元线性回归方程的建立

第二节一元线性回‎归方程的建立一‎元线性回归分析是处理‎两个变量之间关系的最‎简单模型，它所研究的‎对象是两个变量之间的‎线性相关关系。

通过对‎这个模型的讨论，我们‎不仅可以掌握有关一元‎线性回归的知识，而且‎可以从中了解回归分析‎方法的基本思想、方法‎和应用。

一、问题‎的提出例2-1‎-1 为了研究氮含‎量对铁合金溶液初生奥‎氏体析出温度的影响，‎测定了不同氮含量时铁‎合金溶液初生奥氏体析‎出温度，得到表2-1‎-1给出的5组数据。

‎表2-1-1 ‎氮含量与灰铸铁初生‎奥氏体析出温度测试数‎据如果‎把氮含量作为横坐标，‎把初生奥氏体析出温度‎作为纵坐标，将这些数‎据标在平面直角坐标上‎，则得图2-1-1，‎这个图称为散点图。

‎从图2-1-1可以‎看出，数据点基本落在‎一条直线附近。

这告诉‎我们，变量X与Y的关‎系大致可看作是线性关‎系，即它们之间的相互‎关系可以用线性关系来‎描述。

但是由于并非所‎有的数据点完全落在一‎条直线上，因此X与Y‎的关系并没有确切到可‎以唯一地由一个X值确‎定一个Y值的程度。

其‎它因素，诸如其它微量‎元素的含量以及测试误‎差等都会影响Y 的测试‎结果。

如果我们要研究‎X与Y的关系，可以作‎线性拟合‎（2-‎1-1）二、最小二乘法‎原理如果把用回‎归方程计算得到的‎i值(i=1,2‎,…n)称为回归值，‎那么实际测量值y i与‎回归值i之间存在‎着偏差，我们把这(i=1,2,3,…‎,n)。

这样，我们就‎可以用残差平种偏‎差称为残差，记为e i‎方和来度‎量测量值与回归直线的‎接近或偏差程度。

残差‎平方和定义为:‎ (2-1-‎2) 所谓最小二乘‎法，就是选择a和b使‎Q(a,b)最小，即‎用最小二乘法得到的回‎归直线是在所有直‎线中与测量值残差平方‎和Q最小的一条。

由(‎2-1-2)式可知Q‎是关于a,b的二次函‎数，所以它的最小值总‎是存在的。

下面讨论的‎a和b的求法。

一元线性回归方程的应用

第四节一元线性回归方程的应用回归方程最主的应用就是用它进行估计或预测。

只要r2≠1，估计误差就不可避免。

因而在应用回归方程时，需要对估计的误差以及与之相联系的一些问题有所了解。

一、回归方程的建立与预测（或估计）对于一组X、Y的数据，我们可以建立回归方程，有了y对X的回归方程，也就找到了X与y之间变化的数量关系，对于任意一个X值都可估计出与之对应的y值。

一）回归方程的建立例下面是20名工作人员的智商和某一次技术考试成绩，根据这个结果求出考试成绩对智商的回归方程。

如果另有一名工作人员智商为120，则估计一下若让他也参加技术考试，将会得多少分？解：经检验两者具有线性关系计算得：X与Y的均值：107 71标准差：13.69 11.63 r=0.86代入公式则回归方程为：NO 智商X成绩Y估计Y'NO智商X成绩Y估计Y'1 89 55 57.86 11 84 53 54.212 97 74 63.7 12 121 82 81.223 126 87 84.87 13 97 58 63.74 87 60 56.4 14 101 60 66.625 119 71 79.76 15 92 67 60.056 101 54 66.62 16 110 80 73.197 130 90 87.79 17 128 85 86.338 115 73 76.84 18 111 73 73.929 108 67 71.73 19 99 71 65.1610 105 70 69.54 20 120 90 80.49二）回归方程的检验1．方差分析法SSR＝1997.48 SST=2705.14 SSE=707.66F=MSR/MSE=(SSR/dfR)/(SSE/dfE)= 1997.48 /(707.66/18)=50.81查表F(1,18)=8.28(0.01) 或 4.41(0.05) 结果显著2．回归系数法SX=13.69 SY=11.63 b=0.73 r=0.86三）用回归方程进行预测若X=120，代入回归方程得＝80.5就是说，这位工作人员虽没参加技术考试，但根据他的智商，估计其技术考试的分数应该为80.5。

《一元线性回归方程》教学设计

《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。

本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。

本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。

2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。

因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。

3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。

在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。

围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。

对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。

二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。

依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。

(完整word版)一元线性回归方程的建立分析

第二节一元线性回归方程的建立一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，它所研究的对象是两个变量之间的线性相关关系。

通过对这个模型的讨论，我们不仅可以掌握有关一元线性回归的知识，而且可以从中了解回归分析方法的基本思想、方法和应用。

一、问题的提出例2-1-1 为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到表2-1-1给出的5组数据。

表2-1-1 氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。

从图2-1-1可以看出，数据点基本落在一条直线附近。

这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。

但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。

其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y 的测试结果。

如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）我们称（2-1-1）式为回归方程，a与b是待定常数，称为回归系数。

从理论上讲，（2-1-1）式有无穷多组解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。

二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这种偏差称为残差，记为e i(i=1,2,3,…,n)。

这样，我们就可以用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。

残差平方和定义为:(2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。

由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。

下面讨论的a和b的求法。

三、正规方程组根据微分中求极值的方法可知，Q(a,b)取得最小值应满足(2-1-3)由(2-1-2)式，并考虑上述条件，则(2-1-4)(2-1-4)式称为正规方程组。

一元线性回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验的目的是对回归方程拟合优度的检验。

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差S2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

回归方程显著性检验具体方法为：由于y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起反应在S回中，二是各种偶然因素干扰所致S残中。

将回归方程离差平方和S回同剩余离差平方和S残加以比较，应用F检验来分析两者之间的差别是否显著。

如果是显著的，两个变量之间存在线性关系；如果不显著，两个变量不存在线性相关关系。

n个观测值之间存在着差异，我们用观测值yi与其平均值的偏差平方和来表示这种差异程度，称其为总离差平方和，记为由于所以式中称为回归平方和，记为S回。

称为残差平方和，记为。

不难证明，最后一项。

因此S总＝S回＋S残上式表明，y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起，二是各种偶然因素干扰所致。

事实上，S回和S残可用下面更简单的关系式来计算。

具体检验可在方差分析表上进行。

这里要注意S回的自由度为1，S残的自由度为n－2，S总的自由度为n－1。

如果x与y有线性关系，则其中，F（1，n-2）表示第一自由度为1，第二自由度为n-2的分布。

在F表中显著性水平用表示，一般取0.10，0.05，0.01，1-表示检验的可靠程度。

在进行检验时，F值应大于F表中的临界值Fα。

若F<0.05(1,n-2)，则称x与y 没有明显的线性关系，若F0.05(1,n-2)<F<F0.01(1,n-2)，则称x与y有显著的线性关系；若F>F0.01(1,n-2)，则称x与y有十分显著的线性关系。

当x与y有显著的线性关系时，在表2-1-2的显著性栏中标以〝*〞；当x与y有十分显著的线性关系时，标以〝**〞。

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质线性性⽆偏性最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。

⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。

⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。

该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。

式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。

⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。

ε表⽰其他随机因素的影响。

⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。

E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。

一元线性回归方程

n
n
避免其偏离差（有正误差、负误差）相互抵消，采用偏离差平方和 Q(a ，b) ( yi yi )2
i 1
i 1
( yi a bxi )2（也称残差平方和）来刻画观测值(xi ，yi )与直线 y a bx 的偏离程度 . 一般
所说的回归直线就是使 Q(a ，b) 最小的直线，求所需回归直线的截距和斜率，就转化成了求使
Lxx （4）写出回归（估计）方程 y a bx .
一元线性回归方程
1.2 线性相关关系的显著性检验
从以上建立回归直线方程的过程不难看出，用最小二乘法所建立的回归直线方程，只是通过一组样本观察值 (xi ，yi ) (i 1，2 ，，n) 来建立的 . 变量 x 与 y 之间是否存在线性关系，或者其线性关系是否显著，还需进行检验.常用的线性相关关系的显著性检验有两种方法，即 F 检验法和相关系数检验法 . 在此仅介绍相关系数检验法 .
0， 0.
即nan b a i1 xi
n
n
xi yi ，
i 1
i 1
n
n
b xi2 xi
i 1
i 1
yi
，取
x
y
1 n 1 n
n
i 1 n
i 1
xi ， yi .
一元线性回归方程
n
n
n
n xi yi xi yi
n
xi yi nx y
b
解之得
i 1
，
即Q(a ，b) Lyy (1 R2 ) .
一元线性回归方程
n
n
因为Q(a ，b) ( yi yi )2 0 ，Lyy ( yi y)2 0 ，
i 1

一元线性回归方程

2.F检：是对全部回归系数进行一次性显著性检验
（方程显著性检验）
其表达式为：F

Hale Waihona Puke S余S回 / m/（n m 1）
回归模型显著性检验步骤为：
(1) 根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查
F分布表得临界值Fc ；
(2)作出判断
①当F>Fc(α,m,n-m-1),
则回归模型具有显著水平，x和y之间的变化是符
年份
人均收入（元）人均消费(元）
1980
480
420
1984
640
580
1981
510
450
1985
780
620
1982
545
490
1986
760
680
1983
590
530
在表中，x—人平均收入，y—人平均消费支出。
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线性方程为：
ŷi=a+bx
(1)
由（1）可得到x和y之间的定量关系表示为：
其中：x xi —自变量的平均值； n
y yi —因变量的平均值。 n
（8）
五、可靠性检验
为了避免误差过大，确定a和b之后，在允许误差
的情况，进行可靠性检验。
1.R检验
检验x 与y之间的线性相关的程度。
其数学表达式为： R
n xy- x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
三、回归参数估计
由一组观察值画出散点图,如右图所
示,这样的直线可画出很多条,而回归直线只有一条，因为只有回归直线最接近实际观察值。要拟合一条最理想的回归直线，就要确定a和b。确定a和b的方法有多种，其中应用最多的是最小二乘法。

一元线性回归分析和有效应用

TECHNICS ·APPLICATION技术·应用文李会芳一元线性回归分析和有效应用一、一元线性回归分析基本原理一元线性回归的数学模型为y=β0+β1x+ε。

其中，变量x对因变量y的影响可以用（β0+β1x）表示出来，β0和β1是待定参数，ε则表示其他不确定因素对y造成的影响，通常来说ε是无法确定的，一般将ε假设为方差为σ2，期望是0的正态分布。

回归分析在实际中的应用其实就是一个求解未知数的过程。

它通过给出的一系列样本数值对待定参数β0和β1进行精确估计，并将估计值用β0'和β1'来表示。

在计算时采用最小二乘法对估计值进行计算：计算所给出样本值的平均值，再将相关数据带入上述公式，就可以利用最小二乘法计算出β0'和β1'的值，最后将得出的数值带入一元线性回归的数学模型即可。

二、一元线性回归分析的有效应用（一）一元线性回归分析在经济中的应用利用一元线性回归分析可以对生活中的一些经济关系进行分析，它是经济预测中常用的方法之一。

本文以财政收入和GDP之间的线性关系分析为例来对一元线性回归分析在实际中的应用情况进行探讨。

下面是某十年国家财政收入占国内生产总值的比重图：财政收入和国内经济生产总值之间有直接的关系。

下面以财政收入为自变量x，国内生产总值为因变量y，建立一元线性回归模型来对两者之间的关系进行具体的分析。

假设财政收入x和国内生产总值y的方程为：y=β+β1x1，将上表中的数据输入电脑中，利用SSPS软件进行线性回归分析得出下表。

由上表可以得出β1'=5.110，β0'=19044.809，拟合度为0.944，所以财政收入和国内生产总值的线性方程可以写为：y=19044.809+5.110x1从拟合度就可知线性显著，所以上述方程成立。

可以看出，财政收入和GDP之间成正比，这说明GDP能够迅速增长和财政收入的增加有很大的关系。

（二）一元线性回归分析在工程预测进度中的应用将一元线性回归分析应用于进度控制当中，可以有效地对工程进度进行预测，从而实现有效的事前控制。

线性回归分析

系数（或判定系数），用r2表示，显然，0≤r2≤1。
r 2 SSR / SST 1 SSE / SST L2xy Lxx Lyy
❖
两个变量之间线性相关的强弱可以用相关系数r(Correlation
coefficient)度量。
❖ 相关系数（样本中 x与y的线性关系强度）计算公式如下：
❖ 统计学检验，它是利用统计学中的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性，具体又可分为拟合程度评价和显著性检验。
1、拟合程度的评价
❖ 拟合程度，是指样本观察值聚集在估计回归线周围的紧密程度。
❖ 评价拟合程度最常用的方法是测定系数或判定系数。 ❖ 对于任何观察值y总有：( y y) ( yˆ y) ( y yˆ)
当根据样本研究二个自变量x1，x2与y的关系时，则有
估计二元回归方程： yˆ b0 b1x1 b2 x2
求估计回归方程中的参数，可运用标准方程如下：
L11b1+L12b2=L1y
L12b1+L22b2=L2y b0 y b1 x1 b2 x2
例6：根据表中数据拟合因变量的二元线性回归方程。
21040
x2
4 36 64 64 144 256 400 400 484 676
2528
练习3：以下是采集到的有关女子游泳运动员的身高（英寸）和体
重（磅）的数据: a、用身高作自变量，画出散点图 b、根据散点图表明两变量之间存在什么关系？ c、试着画一条穿过这些数据的直线，来近似身高和体重之间的关系
测定系数与相关系数之间的区别
第一，二者的应用场合不同。当我们只对测量两个变量之间线性关系的强度感兴趣时，采用相关系数；当我们想要确定最小二乘直线模型同数据符合的程度时，应用测定系数。

建立y对x的一元线性回归方程由表可知根据公式

（箱）
试用指数曲线预测1998年的肥皂销量。
解：设 y aebx令 y ln y 为了计算方便，再定
义 x x 1993 ,列表计算如下：
x y y ln y x2 xy
1
－3 95 4.5539 9 -13.6616
2
－2 104 4.6444 4 -9.2888
设相关关系的两个变量为 x 和 y ， y 的值由两
部分构成：一部分由 x 的影响确定，用 x 的
函数 f ( x)表示，称为回归函数；另一部分则由众多
不确定性因素影响产生，可看成 y 取值的随机波
动，记为，并且假定其平均值为零，即
。
于是E得( 到) 数0 学模型：
y f (x)
b 7 3.3976 0.1213，a 34.0321 4.8617
7 28
7
所以 ln y 4.8617 0.1213x
y 129.2437e0.1213 x
已知1996年的序号是 x 3 ，那么1998年应为 x 5
所以预计1998年的销量为
（11.2）
x 上式称为回归模型，它表明当取某个数值时，y
并不必然表现为一个确定的值，而是在 f ( x)附近波
动，但其平均数在大量观察下趋向于确定的值。
f (x)
图11-1 企业产量与生产费用散点图
x 我点们图容大易致看呈出直企线业关产系量。但y图i和形生中产的费各用点并不i 之都间在的—散
y 129.2437e0.12135 237（箱）
回归模型的拟合优度和显著性
一、回归模型的拟合优度
y
{}} (Yˆi Yi)＝总离差

一元线性回归方程式

一元线性回归方程式为：y=a+b x
b=n∑xy−∑x∑y n∑x2−(∑x)2
a=y̅−bx̅
其中a、b都是待定参数，可以用最小二乘法求得。

（最小平方法）b表示直线的斜率，又称为回归系数。

n表示所有数据的项数。

∑x表示所有x的求和
∑y表示所有y的求和
∑xy表示所有xy的求和
∑x2表示所有x2的求和
(∑x)2表示∑x的平方，即所有x的求和再求平方。

x̅表示所有x的平均数
y̅表示所有y的平均数
答题解法如下：
解：（答：）相关数据如下表：
根据公式b=n∑xy−∑x∑y
n∑x2−(∑x)2
得：
b=6∗1481−21∗426
6∗79−212=8886−8946
474−441
=−60
33
=-1.82
根据公式a=y̅−bx̅得：
a=71−(−1.82)∗3.5=71-(-6.37)=71+6.37=77.37
代入方程式y=a+b x得：
y=77.37+（-1.82）x=77.37-1.82 x
已知7月份产量为7000件，则x=7（千件），代入得：
y=77.37-1.82 x=77.37-1.82*7=77.37-12.74=64.63（元）
根据一元回归方程（最小乘法或最小平方法），当7月份产量为7000件时，其单位成本为64.63元。

关于有常数项的一元线性回归方程

关于有常数项的一元线性回归方程
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。

其中，且为观测值的样本方差.线性方程称作关于的线性回归方程,称作回归系数,对
应的直线称作重回直线.顺带表示,将来还需以至,其中为观测值的样本方差。

先求x,y的平均值。

利用公式解：b=把x,y的平均数带进a=y-bx。

求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。

(x为xi的平均数，y为yi的平均数)。

一元线性回归

一、一元线性回归(一)基本公式如果预测对象与主要影响因素之间存在线性关系，将预测对象作为因变量y，将主要影响因素作为自变量x，即引起因变量y变化的变量，则它们之间的关系可以用一元回归模型表示为如下形式：y=a+bx+e其中：a和b是揭示x和y之间关系的系数，a为回归常数，b为回归系数e是误差项或称回归余项。

对于每组可以观察到的变量x，y的数值xi，yi，满足下面的关系：yi =a+bxi+ei其中ei是误差项，是用a+bxi去估计因变量yi的值而产生的误差。

在实际预测中，ei是无法预测的，回归预测是借助a+bxi得到预测对象的估计值yi。

为了确定a和b，从而揭示变量y与x之间的关系，公式可以表示为：y=a+bx公式y=a+bx是式y=a+bx+e的拟合曲线。

可以利用普通最小二乘法原理(ols)求出回归系数。

最小二乘法基本原则是对于确定的方程，使观察值对估算值偏差的平方和最小。

由此求得的回归系数为：b=[∑xiyi—x∑yi]/∑xi2—x∑xia=-b式中：xi、yi分别是自变量x和因变量y的观察值，、分别为x和y的平均值.=∑xi/ n ; = ∑yi/ n对于每一个自变量的数值，都有拟合值：yi’=a+bxiyi’与实际观察值的差，便是残差项ei=yi一yi’(二)一元回归流程三)回归检验在利用回归模型进行预测时，需要对回归系数、回归方程进行检验，以判定预测模型的合理性和适用性。

检验方法有方差分析、相关检验、t检验、f检验。

对于一元回归，相关检验与t检验、f检验的效果是等同的，因此，在一般情况下，通过其中一项检验就可以了。

对于多元回归分析，t检验与f检验的作用却有很大的差异。

1．方差分析通过推导，可以得出：∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2其中：∑(yi—y-)2=tss，称为偏差平方和，反映了n个y值的分散程度，又称总变差。

∑(yi—yi’)2=rss,称为回归平方和，反映了x对y线性影响的大小，又称可解释变差。

一元线性回归方程式的相关系数定义涉及的变量的相关信息

一元线性回归方程式的相关系数定义涉及的变量的相关信息一元线性回归是一种统计分析方法，用于确定两个变量之间的相关关系。

它假设有一个自变量x 和一个因变量y，并尝试找到一条能够最好地描述这种关系的直线。

相关系数是一种度量两个变量之间相关关系强度的统计量。

它被记为r，取值范围在-1 到1 之间。

如果r 的绝对值接近于1，则表示两个变量之间存在较强的线性关系；如果r 的绝对值接近于0，则表示两个变量之间存在较弱的线性关系；如果r 的绝对值等于0，则表示两个变量之间没有线性关系。

当r 大于0 时，表示两个变量之间存在正相关关系，即x 增大时y 也会增大；当r 小于0 时，表示两个变量之间存在负相关关系，即x 增大时y 会减小。

一元线性回归方程式是一种形式为y = ax + b 的方程，其中a 和b 是常数。

通过计算自变量x 和因变量y 的平均值和标准差，可以使用最小二乘法求出a 和b 的值。

一元线性回归分析可以帮助我们了解两个变量之间的相关关系，并预测因变量y 的值。

但是，这种方法假设存在线性关系，并且假设自变量x 和因变量y 之间没有其他因素的影响。

因此，在使用一元线性回归分析时，应确保自变量x 和因变量y 之间存在线性关系，并尽量减少其他因素的影响。

此外，也应注意相关系数的绝对值只能反映两个变量之间的线性关系强度，并不能反映其他类型的相关关系。

一元线性回归方程公式

一元线性回归方程公式
一元线性回归方程公式：
y = ax + b
元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。

经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。

注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。

1。