余弦函数图像与性质
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在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] (k∈z) 上都是增函数 。
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] (k∈z) 上都是减函数 ,
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y 1
(0,0)o
2
-1
( 2 ,1)
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在(在k∈xx∈ ∈z)[[22上kkππ都+- 是ππ2增2,,22函kkππ数++
(k∈z) 上都是减函数.
π
2]
3]π2
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
3
例2、判断下列函数的奇偶性： (1) y=cosx+2
(2) y=sinx·cosx
例3、求函数y 2cos(1 x )的周期。
34
小结： 一般地，余弦型函数y Acos(x )(x R)(其中A,, 为常数，且A 0, 0)的周期为T 2 .
例4、研究函数y 2cos(3x )的性质
2
五点画图法
( ,0)
3 2
3
( 2 ,-1)
( 2 ,0)
2
x
余 弦 函 图数 象的 与 性 质
-4 -3
-2
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
对称轴 对称中心
y
1
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
5 6 x
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 3 6k (k Z ).
(-o122 ,0)
3
((22,1,1))
( 2 ,0)
2
3
((,,--11))
线
4
5 6 x
y=cosx (xR) y -
6
4
2
1-
-
o
-1
-
2
4
6
定义域 值域
周期
[-1,1]
R
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
2
奇偶性
偶函数
单调递减区间： [2k ,2k ] (k Z)
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] (k∈z) 上都是减函数 ,
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
例1、求下列函数的最大值和最小值以及 相应的x值：
(1) y 3cosx 1
(2) y (cosx 1)2 3 2
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
x
2
k
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
y=sinx (xR)
-4 -3
-2
-
正弦函数的图象
y=sin(x+ ), 2
余弦函数的图象
y=cosx (xR)
-4 -3
-2
-
1
o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲
sin(x+ )=cosx, 2
线
形状完全一样 只是位置不同
y 余弦曲
((00,,111))
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
Βιβλιοθήκη Baidu
奇函数
在(在k∈xx∈ ∈z)[[22上kkππ都+- 是ππ2增2,,22函kkππ数++
(k∈z) 上都是减函数.
π
2]
3]π2
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] (k∈z) 上都是增函数 。
3
探究1：函数的周期性 探究2：函数的单调区间 探究3：函数的值域以及函数取得最值时相应的x的值 探究4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
单调性 单调递增区间： [2k ,2k 2 ] (k Z)
对称轴
x k (k Z )
对称中心
( k ,0) (k Z )
2
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] (k∈z) 上都是减函数 ,
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y 1
(0,0)o
2
-1
( 2 ,1)
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在(在k∈xx∈ ∈z)[[22上kkππ都+- 是ππ2增2,,22函kkππ数++
(k∈z) 上都是减函数.
π
2]
3]π2
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
3
例2、判断下列函数的奇偶性： (1) y=cosx+2
(2) y=sinx·cosx
例3、求函数y 2cos(1 x )的周期。
34
小结： 一般地，余弦型函数y Acos(x )(x R)(其中A,, 为常数，且A 0, 0)的周期为T 2 .
例4、研究函数y 2cos(3x )的性质
2
五点画图法
( ,0)
3 2
3
( 2 ,-1)
( 2 ,0)
2
x
余 弦 函 图数 象的 与 性 质
-4 -3
-2
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
对称轴 对称中心
y
1
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
5 6 x
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 3 6k (k Z ).
(-o122 ,0)
3
((22,1,1))
( 2 ,0)
2
3
((,,--11))
线
4
5 6 x
y=cosx (xR) y -
6
4
2
1-
-
o
-1
-
2
4
6
定义域 值域
周期
[-1,1]
R
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
2
奇偶性
偶函数
单调递减区间： [2k ,2k ] (k Z)
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] (k∈z) 上都是减函数 ,
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
例1、求下列函数的最大值和最小值以及 相应的x值：
(1) y 3cosx 1
(2) y (cosx 1)2 3 2
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
x
2
k
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
y=sinx (xR)
-4 -3
-2
-
正弦函数的图象
y=sin(x+ ), 2
余弦函数的图象
y=cosx (xR)
-4 -3
-2
-
1
o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲
sin(x+ )=cosx, 2
线
形状完全一样 只是位置不同
y 余弦曲
((00,,111))
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
Βιβλιοθήκη Baidu
奇函数
在(在k∈xx∈ ∈z)[[22上kkππ都+- 是ππ2增2,,22函kkππ数++
(k∈z) 上都是减函数.
π
2]
3]π2
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] (k∈z) 上都是增函数 。
3
探究1：函数的周期性 探究2：函数的单调区间 探究3：函数的值域以及函数取得最值时相应的x的值 探究4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
单调性 单调递增区间： [2k ,2k 2 ] (k Z)
对称轴
x k (k Z )
对称中心
( k ,0) (k Z )
2
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1