梯形中的对角线三角形面积揭秘

梯形中的对角线三角形面积揭秘

梯形的对角线三角形，是指梯形中由边和对角线围成的三角形. 那么，一个梯形中，由两对角线和边围成的三角形共有八个，它们具有如下性质：当底、高一定时，梯形的对角线三角形面积不变.即，只要梯形的两底和高确定了，不管它的形状如何变化，各对角线三角形的面积都不会改变.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O.设AD＝，BC ＝，梯形的高为.

我们以这个梯形ABCD为例，将其对角线三角形分成两组来讨论.

第一组：以梯形两边和一条对角线围成的三角形，图中有△ADB、△DAC、△ABC、△DBC.

其中，，.

即这四个三角形面积只和底边和高有关，不随形状的改变而变化.

第二组：以梯形一边和两条对角线围成的三角形，图中有△ABO、△BCO、△CDO、△DAO.

在△ABO、△DAO中，

∵AD∥BC，∴DO∶BO＝AD∶BC＝∶.

∴，

∴，

∴.

∴.

同样方法可推出：

，.

可见，这四个三角形的面积也只与底边和高有关，且. 综上所述，命题即可得证.