2002年中考数学专题复习：圆中三大基本定理
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求证：⑴ ；⑵ ．
【解析】⑴ ∵ ，∴ ，
∵ 是直径，∴ ，
∴ ，即 ．
⑵由⑴可知 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ．
题型三圆周角定理巩固练习
【练习4】⑴如图， 是 的直径， ，设 ，
则 _________．
⑵如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，弦 交 于点 ，
且 ．若 ，则 ___________．
如图，已知 是半圆 的直径， 为半圆周上一点， 是
的中点， 于 ，试判断 与 的数量关系并证明．
【解析】 ．
解法一：连接 ，交 于
∵ 是 的中点，∴ ，即 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
解法二：补全圆，延长 交 于
由垂径定理可知， ，即
∴ ，
又∵ 是 的中点，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
拿到圆周角，先观察它的位置，对于位置不合适的，可以利用弧把它转化为圆心角或相等的圆周角，除此之外，由半径和弦构成的等腰三角形也是常用的转化角的工具，应该熟练应用.
∴ ．
解法二：由⑴得 平分 ，
由角平分线定理可得 ，
∴ ．
【练习2】如图， 中， 是直径，弦 ， 交 于 ．求证： ．
【解析】 过 点作 于 点，
∴ 是 中点，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是 中点，
∵ ，∴ ．
题型二弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理巩固练习
【练习3】如图，过 的直径 上两点 ，分别作弦 ，若 ．
如图，若 ，则 为 中点；
【探究8】弦心距与边的关系探究：
一边的弦心距等于对边的一半： ；
分析：方法一：过O作 ，垂足为 ，连接 、 、 、 ；∵
；
∴ ；
∴ ；
方法二：连接 ，延长 交圆 于点 ，连接 ；
∵ ；
∴ ；
∴ ；
方法三：过O作 ，垂足为 ，连接 、 、 ；
∵由【探究7】的婆罗摩笈多定理可知 ，
（2013普陀模拟）
【解析】①过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，
∵OE平分∠AEC，∴OM=ON，∴ ，
∴ ，即 ，∴AB=CD；
②∵OM⊥AD，∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，∴∠OEM=45°，∴∠OME=45°，
∴∠OEM=∠EOM，∴OM=ME，
在Rt△AOM中， ，即 ，
解得： 或 （舍去），故AD的长为8．
如图，已知圆内接四边形 中 ，若
， 则 __________．
【解析】⑴ ．
⑵连接
∵ ，∴
∴
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
另外还有一种解法：过点 作 交 于点 .
精讲：圆中垂直弦的相关结论探究；
【探究对象】圆中垂直弦所组成的四边形的性质
【探究目的】垂直弦是圆的题型中常见条件之一，以垂直弦为对角线的四边形非常特殊，具有很多自己特有的性质和结论，探究并掌握垂直弦所带来的性质和结论对于加强对圆的认识和加深对解题技巧的掌握都有很大的帮助；
那么 _________．
⑵如下中图， 是 的直径，点 在 上， ， ，则 （）
A． B． C． D．
⑶如下右图， 的半径为 ， 是 的一条弦，且 ，则弦 所对圆周角的度数为__________．
【解析】⑴ ；⑵C；⑶ 或 .
【例6】 如图，面积为 的四边形 内接于 ，对角线 经过圆心，
若 ，则 的长等于．
已知：如图， 是 的直径，点 是半圆上一个三等分点，点 是
的中点， 是 上一动点， 的半径为 ，则 的最小
值是__________．
如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，
则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在 中， ，那么( )
A. B.
C. D. 与 的大小关系不能确定
两端在圆上滑动时，始终与 相交，记点 到 的距离分别为
，则 等于__________．
【解析】解法一：设 相交于 ，过 点作 于 ，连结 ．
由垂径定理 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴
当 点在 点左侧时， ，
当 点在 点右侧时， ，
∴ ．
解法二：极端假设法
⑴当 点运动到与 点重合时， ， ，
此时 是直角三角形， ，∴ ．
1.若 于 ，则 ；
； ．
2.若 ，则 ；
； ．
【例1】 如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形
△ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC=12，OA=8，
则BD的长为（ ）
A．20B．19C．18D．16
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
如图，由定理可知：
若 ，则 、 ；
若 ，则 、 ；
若 ，则 、 ．
【例3】 如图， 是半圆，O为AB中点，C、D两点在 上，且
AD∥OC，连接BC、BD．若 ，则 的度
数为何？（ ）
A． B． C． D．
【探究1】角的相关性质探究：
圆内接四边形对角互补： ；
；
【探究2】边的相关性质探究：
对边平方和相等： ；
分析：连接CO，延长CO与圆O相交于点E，连接AE、BE；
则 ，从而 ；易得 ；所
以 ， ；
【探究3】面积的计算探究：
四边形 的面积等于对角线的乘积的一半： ；
【探究4】面积的性质探究：
相对顶点同圆心的连线段平分四边形的面积：
圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为．
【解析】 A; .
【例2】 如图， 是 直径，弦 交 于 ， ， ．设 ， ．下列图象中，能表示 与 的函数关系的是（）
如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y
轴的正半轴交于点 ，过点 的直线l与
⊙B相交于C、D两点．则弦CD长的所有可能的整
数值有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个
⑵当 与 垂直时， ，
∵ ，由垂径定理知 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
解法三：连接 并延长交 于
易证 ，
∴ ，∴ ，
由解法一可知 ，
∴ ，
当 在圆心 的另外一侧时， ，
∴ ．
解法四：连接 ，作 于 ，延长 交 于
易得 是 的中点，
则 ， ，
∴ ，
∴ ．
解法五：延长 交 于 ，连接 ，作 于 交 于
易证 ， ，
垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用.
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
1.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图， 是 的直径， 是弦
【解析】 A;
∵ ，圆的半径为5，∴ ，又∵ ，∴ ，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，在Rt△BCP中， ，
故 ，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时 ；
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选C．
【备选1】如图， 是 的直径，且 ，弦 的长为 ，若弦 的
∴ ，
∴ ．
【点评】此题还有其它解法，老师在讲解时还可以引导学生拓展思路.
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分别相等。利用这个定理，我们可以把四组量的相等关系进行相互转化，做到有的放矢。
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
；
分析：过 作 ，垂足为 ；过O作 ，垂
足为 ；
；
【探究5】中点四边形探究：
四边形 的中点四边形为矩形；
【探究6】弧度探究：
対弧和相等，且均等于半圆： (以上弧均指劣弧)；
分析：同【探究2】， ；
【探究7】圆中的婆罗摩笈多定理：
过对角线交点且平分一边的直线必垂直于对边：
如图，若 为 中点，则 ；
过对角线交点且垂直于一边的直线必平分对边：
【解析】⑴1；⑵ .
【练习5】已知点 顺次在 上， ， 于点
，求证： ．
【解析】解法一：补短法
过 点作 交 延长线于 ．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（或延长 到 ，使 ，连结 ，也可证得结论．）
解法二：截长法
在 上取一点 ，使得 ，连结 ．
则很容易证明 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴ ，
在Rt△DOE中， ，
在Rt△ADE中， ．
故选A．
如图所示，作 ，则
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
故选A.
【例4】 如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
①求证：AB=CD；
②如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
若 ，则
【例5】⑴如下左图， 内接于 ， ， 为 的直径， ，
从而 ；
同理 ；
∴四边形 为平行四边形；
.
题型一垂径定理巩固练习
【练习1】如图，点 是 上的三点， ．
⑴求证： 平分 ；
⑵过点 作 于点 ，交 于点 ．若 ，求 的长．
【解析】 ⑴ ∵ ，∴ ，
⑵ ∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ．
以下可以用两种不同方法解答：
解法一：∵ ，∴
【解析】 A．
作 点关于 的对称点 ，连接 与 交于点 ，
易证得，此时 取得最小值．
根据圆的对称性， 点在 上，且 ，
∵ 是半圆的三等分点，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 半径为 ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
【解析】⑴ ∵ ，∴ ，
∵ 是直径，∴ ，
∴ ，即 ．
⑵由⑴可知 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ．
题型三圆周角定理巩固练习
【练习4】⑴如图， 是 的直径， ，设 ，
则 _________．
⑵如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，弦 交 于点 ，
且 ．若 ，则 ___________．
如图，已知 是半圆 的直径， 为半圆周上一点， 是
的中点， 于 ，试判断 与 的数量关系并证明．
【解析】 ．
解法一：连接 ，交 于
∵ 是 的中点，∴ ，即 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
解法二：补全圆，延长 交 于
由垂径定理可知， ，即
∴ ，
又∵ 是 的中点，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
拿到圆周角，先观察它的位置，对于位置不合适的，可以利用弧把它转化为圆心角或相等的圆周角，除此之外，由半径和弦构成的等腰三角形也是常用的转化角的工具，应该熟练应用.
∴ ．
解法二：由⑴得 平分 ，
由角平分线定理可得 ，
∴ ．
【练习2】如图， 中， 是直径，弦 ， 交 于 ．求证： ．
【解析】 过 点作 于 点，
∴ 是 中点，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是 中点，
∵ ，∴ ．
题型二弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理巩固练习
【练习3】如图，过 的直径 上两点 ，分别作弦 ，若 ．
如图，若 ，则 为 中点；
【探究8】弦心距与边的关系探究：
一边的弦心距等于对边的一半： ；
分析：方法一：过O作 ，垂足为 ，连接 、 、 、 ；∵
；
∴ ；
∴ ；
方法二：连接 ，延长 交圆 于点 ，连接 ；
∵ ；
∴ ；
∴ ；
方法三：过O作 ，垂足为 ，连接 、 、 ；
∵由【探究7】的婆罗摩笈多定理可知 ，
（2013普陀模拟）
【解析】①过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，
∵OE平分∠AEC，∴OM=ON，∴ ，
∴ ，即 ，∴AB=CD；
②∵OM⊥AD，∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，∴∠OEM=45°，∴∠OME=45°，
∴∠OEM=∠EOM，∴OM=ME，
在Rt△AOM中， ，即 ，
解得： 或 （舍去），故AD的长为8．
如图，已知圆内接四边形 中 ，若
， 则 __________．
【解析】⑴ ．
⑵连接
∵ ，∴
∴
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
另外还有一种解法：过点 作 交 于点 .
精讲：圆中垂直弦的相关结论探究；
【探究对象】圆中垂直弦所组成的四边形的性质
【探究目的】垂直弦是圆的题型中常见条件之一，以垂直弦为对角线的四边形非常特殊，具有很多自己特有的性质和结论，探究并掌握垂直弦所带来的性质和结论对于加强对圆的认识和加深对解题技巧的掌握都有很大的帮助；
那么 _________．
⑵如下中图， 是 的直径，点 在 上， ， ，则 （）
A． B． C． D．
⑶如下右图， 的半径为 ， 是 的一条弦，且 ，则弦 所对圆周角的度数为__________．
【解析】⑴ ；⑵C；⑶ 或 .
【例6】 如图，面积为 的四边形 内接于 ，对角线 经过圆心，
若 ，则 的长等于．
已知：如图， 是 的直径，点 是半圆上一个三等分点，点 是
的中点， 是 上一动点， 的半径为 ，则 的最小
值是__________．
如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，
则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在 中， ，那么( )
A. B.
C. D. 与 的大小关系不能确定
两端在圆上滑动时，始终与 相交，记点 到 的距离分别为
，则 等于__________．
【解析】解法一：设 相交于 ，过 点作 于 ，连结 ．
由垂径定理 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴
当 点在 点左侧时， ，
当 点在 点右侧时， ，
∴ ．
解法二：极端假设法
⑴当 点运动到与 点重合时， ， ，
此时 是直角三角形， ，∴ ．
1.若 于 ，则 ；
； ．
2.若 ，则 ；
； ．
【例1】 如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形
△ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC=12，OA=8，
则BD的长为（ ）
A．20B．19C．18D．16
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
如图，由定理可知：
若 ，则 、 ；
若 ，则 、 ；
若 ，则 、 ．
【例3】 如图， 是半圆，O为AB中点，C、D两点在 上，且
AD∥OC，连接BC、BD．若 ，则 的度
数为何？（ ）
A． B． C． D．
【探究1】角的相关性质探究：
圆内接四边形对角互补： ；
；
【探究2】边的相关性质探究：
对边平方和相等： ；
分析：连接CO，延长CO与圆O相交于点E，连接AE、BE；
则 ，从而 ；易得 ；所
以 ， ；
【探究3】面积的计算探究：
四边形 的面积等于对角线的乘积的一半： ；
【探究4】面积的性质探究：
相对顶点同圆心的连线段平分四边形的面积：
圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为．
【解析】 A; .
【例2】 如图， 是 直径，弦 交 于 ， ， ．设 ， ．下列图象中，能表示 与 的函数关系的是（）
如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y
轴的正半轴交于点 ，过点 的直线l与
⊙B相交于C、D两点．则弦CD长的所有可能的整
数值有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个
⑵当 与 垂直时， ，
∵ ，由垂径定理知 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
解法三：连接 并延长交 于
易证 ，
∴ ，∴ ，
由解法一可知 ，
∴ ，
当 在圆心 的另外一侧时， ，
∴ ．
解法四：连接 ，作 于 ，延长 交 于
易得 是 的中点，
则 ， ，
∴ ，
∴ ．
解法五：延长 交 于 ，连接 ，作 于 交 于
易证 ， ，
垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用.
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
1.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图， 是 的直径， 是弦
【解析】 A;
∵ ，圆的半径为5，∴ ，又∵ ，∴ ，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，在Rt△BCP中， ，
故 ，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时 ；
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选C．
【备选1】如图， 是 的直径，且 ，弦 的长为 ，若弦 的
∴ ，
∴ ．
【点评】此题还有其它解法，老师在讲解时还可以引导学生拓展思路.
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分别相等。利用这个定理，我们可以把四组量的相等关系进行相互转化，做到有的放矢。
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
；
分析：过 作 ，垂足为 ；过O作 ，垂
足为 ；
；
【探究5】中点四边形探究：
四边形 的中点四边形为矩形；
【探究6】弧度探究：
対弧和相等，且均等于半圆： (以上弧均指劣弧)；
分析：同【探究2】， ；
【探究7】圆中的婆罗摩笈多定理：
过对角线交点且平分一边的直线必垂直于对边：
如图，若 为 中点，则 ；
过对角线交点且垂直于一边的直线必平分对边：
【解析】⑴1；⑵ .
【练习5】已知点 顺次在 上， ， 于点
，求证： ．
【解析】解法一：补短法
过 点作 交 延长线于 ．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（或延长 到 ，使 ，连结 ，也可证得结论．）
解法二：截长法
在 上取一点 ，使得 ，连结 ．
则很容易证明 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴ ，
在Rt△DOE中， ，
在Rt△ADE中， ．
故选A．
如图所示，作 ，则
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
故选A.
【例4】 如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
①求证：AB=CD；
②如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．
暑期知识点回顾：
定理
示例剖析
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
若 ，则
【例5】⑴如下左图， 内接于 ， ， 为 的直径， ，
从而 ；
同理 ；
∴四边形 为平行四边形；
.
题型一垂径定理巩固练习
【练习1】如图，点 是 上的三点， ．
⑴求证： 平分 ；
⑵过点 作 于点 ，交 于点 ．若 ，求 的长．
【解析】 ⑴ ∵ ，∴ ，
⑵ ∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ．
以下可以用两种不同方法解答：
解法一：∵ ，∴
【解析】 A．
作 点关于 的对称点 ，连接 与 交于点 ，
易证得，此时 取得最小值．
根据圆的对称性， 点在 上，且 ，
∵ 是半圆的三等分点，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 半径为 ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），