抽屉原理(二)
第一讲 抽屉原理(二)
抽屉原理(二)把所有整数按照除以某个自然数m 的余数分为m 类，叫做m 的剩余类或同余类，用[0],表示. 每一个类含有无穷多个数，例如中含有[1]m −[1],[2],[3],...,[1]1,21m m ++3m 1,1+,，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n +1个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数.1. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.2. 求证: 从47个正整数中，一定可以找到两个正整数的差是46的倍数．3. 求证: 存在正整数使得. i N47|111i "个4. 从任意13个自然数中，总可以找到若干个数，它们的和是13的倍数． 1213,,,a a a "5. 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.6. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.7. 对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.8. 证明：17个整数中，必可找到5个数，这5个数之和为5的倍数.9. 任给12个整数，证明：其中必存在8个数，将它们用适当的运算符号连起来后运算的结果是3 465的倍数.10. 对任给的63个互异的正整数，试证：其中一定存在四个正整数，仅用减号，乘号和括号将它们适当地组合为一个算式，其结果是1984的倍数．1,,a a "6311. 试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个正整数，仅用减号、乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数。
12. 郑老师和肖同学是足球迷，同时又对趣味数学题感兴趣. 一次在看足球比赛时，肖同学说：我知道红方有20名队员，编号恰好是1到20,，今天上场的11名队员中，一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。
郑老师听后点点头，接着说：我还知道红队上场队员中每四名队员中，必定有两名队员号码之差是3的倍数。
六年级下第19讲抽屉原理二
六年级下第19讲抽屉原理二在数学的奇妙世界里，抽屉原理是一个非常有趣且实用的知识。
之前我们已经学习了抽屉原理一，现在让我们一起来探索抽屉原理二。
首先，咱们来回顾一下什么是抽屉原理。
简单地说，就是如果把 n ＋ 1 个物品放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放有两个或者更多的物品。
那抽屉原理二又是什么呢？它是抽屉原理的进一步拓展和深化。
比如说，把多于 mn 个物品任意放进 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里的物品数量不少于 m ＋ 1 个。
为了更好地理解这个原理，咱们来看几个具体的例子。
假设现在有10 支铅笔，要放进 3 个文具盒里。
按照抽屉原理二，如果平均每个文具盒放 3 支铅笔，那么 3 个文具盒一共放了 9 支铅笔，还剩下 1 支铅笔。
这剩下的 1 支铅笔无论放进哪个文具盒，都会使得其中一个文具盒里至少有 4 支铅笔。
再比如说，有 25 个苹果，要放进 6 个篮子里。
如果平均每个篮子放 4 个苹果，那么 6 个篮子一共放了 24 个苹果，还剩下 1 个苹果。
这个剩下的苹果不管放进哪个篮子，都会导致有一个篮子里至少有 5 个苹果。
那么，我们在解决实际问题的时候，怎么运用抽屉原理二呢？比如这样一道题：一个班级有 40 名学生，他们的数学考试成绩分别为 60 分到 100 分之间的整数。
那么，至少有几名同学的成绩是相同的？咱们来分析一下，60 分到 100 分一共有 41 个不同的分数。
把这 41 个分数看作 41 个抽屉，把 40 名学生看作 40 个物品。
40÷41 ＝ 040，平均每个抽屉放 0 个物品，还剩下 40 个物品。
所以至少有 1 个抽屉里会有 1 个或更多的物品，也就是说至少有 2 名同学的成绩是相同的。
再看这道题：从 1、2、3、、100 这 100 个数中，任意取出 51 个数。
证明：其中一定有两个数的差等于 50。
我们可以把这 100 个数分成 50 组：（1，51）、（2，52）、（3，53）（50，100）。
第24讲 抽屉原理二—完整版
第24讲抽屉原理二内容概述抽屉原理在数字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用。
能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子。
兴趣篇1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7个解析：红球有60个，而白球只有8个，那么排在一起时白球就把红球分割成了9个部分．60÷9 =6……6，根据抽屉原理，在这9部分中至少有一部分包含6+1=7个红球，因此至少有7个红球连在一起，2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3名解析：3道题一共有2×2×2 =8种不同的答案．把17个同学分成8组，由抽屉原理可知，至少有一组中有3个同学，因此在考试中至少有3个同学的答案一样．3．将1至6这6个自然数随意填在图24 -1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。
答案：1+2+3+4+5+6=21．所以每行平均数为7，第一行最大为6，小于7．所以至少有一行大于7解析：如果三行中每行的数字和都小于8，那么每行的数字和只能都是7．在第一行中只有一个圆圈，必须要在其中填人数字7，但是我们可以选择的只有1至6，这就出现了矛盾．究其原因，“每行的数字和都小于8”是错误的，因此至少有一行的数字之和不小于8．4．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1．答案：(1)构造50个抽屉：(1.51)，(2，52)．(3.53)．…．,(50，100)，51个数至少有2个数落入同一个抽屉(2)构造50个抽屉：(1，2)，(3.4)，(5，6)，…，(99，100)，51个数至少有2个教落入同一个抽屉解析：(1)我们把这100个数分成50组：(1，51)，(2，52)，…，(50，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差就是50.(2)我们按照如下方式把这100个数分成50组：(1，2)，(3，4)，…，(99，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差恰好是1．5．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12个解析：将这些数分成12组：(1，5)，(2，6)，(3，7)，(4,8),(9,13),(10,14),(11,15),(12,15),(17, 21)，18，19，20.每组中最多有一个数被选中，否则将有两个数的差为4，因此为了让每两个数的差都不等于4，最多从这21个数中选出12个．而选出12个是可以的：1，2，3，4，9，10，11，12, 17, 18, 19, 20.6．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？答案：7个解析：把和为12的两个数分成一组，这样就把这11个数分成6组：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8),(5，7)，6．要保证一定有两个数的和为12，就要保证至少有两个数属于同一组．由抽屉原理可知，从这12个数中选出7个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是12．如果我们从6组中各取一个数，则取出的这6个数中，没有两个数的和是12，因此本题的答案就是至少选出7个不同的数.7．100个数都不能被19整除，那么这些数除以19得到的100个余数中至少有几个是相同的？答案：6个解析：这些数除以19的余数有18种可能，100÷18=5……10，根据抽屉原理，至少有6个是相同的．8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？答案：(1)自然数除以3的余数一共只有0，1，2三种，所以4个自然数中一定有两个数除以3同余，(2)8个解析：(1)我们把除以3的余数为0的自然数分成一组，余数为1的分成一组，余数为2的分成一组．这样一来，我们就把所有的自然数分成了三组．根据抽屉原理，从中选出4个自然数，必有两个数属于同一组．由分组的方法可知，属于同一组的两个数的差就是3的倍数，因此任给4个自然数，就必有两个数的差是3的倍数．(2)把自然数分成了7组，每组中的数除以7的余数分别是O，1，2，3，4，5，6．如果从每组中取出一个数，就恰好取出了7个数，其中两两的差都不是7的倍数．如果从中取出8个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一组，那么这两个数的差就是7的倍数．因此要保证必有两个数的差是7的倍数，就要至少选出8个数．9．A 6个朋友都住在同一条胡同里．如果这个胡同有200米长，请说明一定有两个朋友的家相距不超过10米．答案：这条200米的胡同分成5段，每段40米，根据抽屉原理，必然有两家处在同一段，他们相距不超过40米10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．答案：构造4个抽屉，5个点中一定有2个落入同一个小等边三角形中，其距离不大于1解析：如图所示，我们把三角形分成大小形状都相同的4个部分，每一部分都是边长为1厘米的等边三角形．在每个等边三角形中，任何两点的距离都不大于1厘米.一共要从大三角形中选出5个点，分属于4个小三角形．由抽屉原理可知，必有两个点在同一个小三角形中，那么这两个点之间的距离一定不大于1厘米．拓展篇1．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．1、答案：从六位数中共能截出五个两位数，但一共只有11，12，21，22四种情况解析：一个六位数截取相邻两位，有5种不同的截取方法．截取后得到的5个两位数都由数字1，2组成．由数字1，2组成的两位数一共有2×2=4个不同的数，根据抽屉原理，截取得到的5个数中必有两个相等．2．如图24-2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的。
抽屉原理2
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
例3：盒子里有同样大小的红球和 蓝球各4个。要想摸出的球一定有2 个同色的，最少要摸出几个球？ 想一想： 1、在这道题中，什么是“物体”？ 什么是“抽屉”？什么是“至少 数 ”？ 2、从题目可知，问题相当于求抽屉 原理中的（ 物体 ）？怎样求？
3
1、如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒 子里摸出两个同色的球，至少要摸出几个球？
2、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在 一起，让你闭上眼睛去摸，让你闭上眼睛去摸， （1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子 是同色的？ （2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷 子？为什么?
盒子里有红袜子和黑袜子各6只。要 想摸出的袜子一定能配成一双，最 少要摸出几只？ 物体：？只袜子 抽屉：2种颜色 至少数：2
（３）要保证取出的彩球中至少有两个是同 色的，则至少应取出多少个球？
物体：57位同学
抽屉：12个月
57÷12=4……9 4+1=5（人）
2、把15个球放进4个箱子里， 至少有（ 4 ）个球要放进同 一个箱子里。 物体：15个球
抽屉：4个箱子
15÷4=3……3 3+1=4（个）
3、把红、黄两种颜色的球各6 个放到一个袋子里，任意取出5 个，至少有（3）个同色。
物体：5个球 抽屉：2种颜色
抽屉原理(二）
把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总 有一个笔筒里至少放进2枝笔.
2、把27个苹果放在4个筐,不管怎么放， 总有一个筐里至少放进( ）个苹果。
计算绝招
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
要把a个物体放进n个抽屉， 如果a÷n =b …… c
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
六年级数学抽屉原理(二)
第2讲抽屉原理(二)例1今年入学的一年级新生中，有181人是同一年出生的。
这些新生中，至少有多少人是同一年的同一个月出生的?例2有红、黄、蓝三种不同的玩具若干个，每名同学从中任意拿2个。
至少多少名同学中一定有两名所拿的玩具种类相同?例3布袋里有4种不同颜色的小球，每种颜色的球至少2个，每次任意摸出2个，然后再放回去。
要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次?例4某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。
至少有多少人游览的地方完全相同? 例5六(2)班的同学参加一次数学考试，满分为106分，全班最低分是75分。
已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。
那么，六(2)班至少有多少名同学?1．参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的?2．一副扑克牌共54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有3种花色(大王、小王不算花色)?3．六年级(1)班的40名学生中，年龄最大的是13岁．最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的?4．有红、黄、蓝、白4色小球各l0个，混合放在一个暗盒里。
一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的?5．数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同?6．5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人投进了多少个球? 7．李老师从图书馆借来一批图书分给三(1)班48名同学。
分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。
这批图书至少有多少本? 8．有规格尺寸相同的6种颜色的袜子各20双，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证能凑成3双袜子?9．某班同学的语文考试成绩都是整数，其中最高分为95分，最低分为82分。
已知全班至少有4人的成绩相同，这个班至少有多少名学生?10．一个盒子里有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色，8颗白色，7颗黄色，5颗绿色。
抽屉原理(二)
3、五年级某班有学生42 人，从学校图书室借来 130本图书，是否有人至 少能借到3本或3本以上 的图书？
4、要拿出25个苹果，最 多从几个抽屉中拿，才能 保证从其中一个抽屉里至 少拿了7个苹果。
1、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌花色相同？ 2、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌大小相同？
8÷3=2（只）……2（只）
“抽屉原理”又称“鸽巢原理”， 最先是由19世纪的德国数学家
狄利克雷 （1805～1859）
狄利克雷提出来的，所以又称
“狄利克雷原理”。
抽屉原理 在有些问题中，“抽屉”和 “物体”不是很明显，需要我们 制造出“抽屉”和“物体”。这
是比较困难的，一方面需要同学 们去分析题目中的条件和问题， 另一方面需要多做一些题来积累
5÷2=2（本）……1（本）
把7本书进2个抽屉中，不管 怎么放，总有一个抽屉至少 放进多少本书？为什么？
7÷2=3（本）……1（本）
把9本书进2个抽屉中，不管 怎么放，总有一个抽屉至少 放进多少本书？为什么？
9÷2=4（本）……1（本）
把 5 本书进 2 个抽屉，总有 一个抽屉至少放3本书。
把 7 本书进 2 个抽屉，总有 一个抽屉至少放4本书。
1.如果把6个苹果放入4个抽 屉中，至少有几个苹果被放 到同一个抽屉里呢？ 2.如果把8个苹果放入5个抽 屉中，至少有几个苹果被放 到同一个抽屉里呢？
只要物体数量是抽屉 数量的1倍多，总有一个 抽屉里 至少放进2个的物 体。
把5本书放进2个抽屉中.
例2、把5本书进2个抽屉中， 可以怎样放？不管怎么放，总 有一个抽屉至少放进（ ） 本书。这是为什么？
四年级奥数-抽屉原理与最不利原理(二)
【例3】(★★★) 口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问： ⑴至少取多少根才能保证 种颜色都取到 ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
【例2】(★★) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、巧 克力 味和香芋 味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 拿果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？
【例7】(★★★) 口袋中有红、黄、蓝3种颜色的玻璃球各50个，闭着眼睛最少要摸出多 少个球，才能保证红球数与黄球数的和比蓝球数多，黄球数与蓝球数 的和比红球数多，红球数与蓝球数的和比黄球数多？
【例6】(★★★) 口袋里有红、绿、蓝、黄、白5种颜色的袜子各50只，为确保从口袋取 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为 双），那么应从 袋里取出袜 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为一双），那么应从口袋里取出袜 子的最少只数是多少？
两只手套颜色相同即为一双口袋里有红绿蓝黄白5种颜色的袜子各50只为确保从口袋取出10双袜子两只袜子颜色相同即为一双那么应从口袋里取出袜出10双袜子两只袜子颜色相同即为双那么应从袋里取出袜子的最少只数是多少
简单抽屉原理与最不利原则(二)
【例1】(★★) 现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不晓得哪把钥匙能开哪把锁。倒 霉李最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？
【例4】(★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白 色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一次最 少取出多少个球 才能保证有4个颜色相同的球？ 少取出多少个球，才能保证有4个颜色、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一 个布袋 个布袋里，请问： 请问 ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？ ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？ (两只手套颜色相同即为一双)
小学奥数精讲第十二讲 抽屉原理(二)
第12讲抽屉原理（二）同步练习：1.新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分(摸时，看不到颜色)，结果发现总有两人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人?【答案】16人【解析】两个球的颜色只有15种可能：同色有5种，异色有2510=C 种.由抽屉原理，参加取球的至少有16人.2.一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个.现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求?如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最少要取出多少个球?【答案】10,13【解析】最不利情况下，每种颜色取3个，然后再取1个肯定可以满足要求，所以至少取10个；最不利情况下，把绿球取完，剩下2种颜色每种2个，此时再取1个就满足要求，至少取13个3.口袋中有三种颜色的筷子各10根，那么，（相同颜色的两根筷子为一双）(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到?(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子?(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子?【答案】（1）21,（2）13,（3）10【解析】(1)最坏的情况是取完两种颜色，再取1根就满足要求.至少要取102121⨯+=根.(2)最欢的情况是取完一种颜色10根，另两种颜色各1根，再取1根就满足要求.1012113+⨯+=根.(3)两双颜色相同的筷子是4只，最坏的情况是每种颜色取3只，再取一根就满足要求.33110⨯+=根.4.自制的一副玩具牌共计52张(含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点、…、13点牌各一张)．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取________张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取________张牌．【答案】（1）27（2）37【解析】可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9,10，11，12，13点各2张，共13226⨯=(张)，那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．(2)有以下的搭配：(1，2，3)，(4，5，6)，(7，8，9)，(10，11，12)，(13)因而可以取1、3、4、6、7、9、10、12、13这9个数，四种花色的牌都取，9×4=36(张)牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．此时取任意1张牌，必然会出现3张牌是相邻的因此，要取37张牌.5.有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?【答案】能【解析】根据奇偶性：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数．先用列表法进行搭配．由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．6.将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．(1)任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗?(2)任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗?如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例．【答案】见解析【解析】(1)不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数．(2)一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数7.从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取_______个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【答案】999【解析】法1：把1994个数每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，……，35，36；…………………1963，1964，…，1979，1980；1981，1982， (1994)每一组中取前9个数，共取出9111999⨯=(个)数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．法2：构造公差为9的9个数列(除以9的余数){}1,10,19,28,,1990 ，共计222个数{}2,11,20,29,,1991 ，共计222个数{}3,12,21,30,,1992 ，共计222个数{}4,13,22,31,,1993 ，共计222个数{}5,14,23,32,,1994 ，共计222个数{}6,15,24,33,,1986 ，共计221个数{}7,16,25,34,,1987 ，共计221个数{}8,17,26,35,,1988 ，共计221个数{}9,18,27,36,,1989 ，共计221个数每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取1119999⨯=个数.8.如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同?并说明理由．【答案】见解析【解析】从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手.由1，2，3组成的和中最小为818⨯=，最大的为8324⨯=，8~24中共有17种结果，而8行8列加上对角线共有18个和，根据抽屉原理，必有两和是相同的，所以此题不能满足要求．9.在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除?【答案】68【解析】21223=⨯，因为3的倍数有100333⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，所以不是3的倍数的数一共有1003367-=(个)，抽取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍数.于是最少要抽取68个数(即：68张卡片)才可以保证结果.10.某商店举行抽奖活动，在箱子里放有红色、蓝色、黄色小球各100个，若50个同色小球可以换一个布偶，80个同色小球可以换一个零食包，85个同色小球可以换一个模型．每个小球只能换一次奖．小明去抽奖，每次只能从箱子中不放回地随机抽取一个小球，他最少需要抽取__________次才能保证他可以换到每种奖品各一个．【答案】259【解析】①抽光两种颜色，此时再抽50次即保证可以换到，共需250次；②抽光一种颜色，剩下两种各抽79次，此时再抽一次才可换到，共需259次；③每种各84次，此时再抽一次才可换到，共需253次；综上，需要259次才能保证．深化练习11.现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有________名同学．【答案】7【解析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况．1，一个不拿(1种情况)；2，拿四种糖果中任意一个(4种情况)；3．拿两个，都是同种糖果(4种情况)；4．拿两个且不同的糖果，随机的(6种情况)；5．拿三个，都相同(4种情况)；6．拿三个，两个相同(12种情况)；7．拿三个都不同的糖果(4种情况)；所以一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4=35种情况；因为每一种糖都超过633颗，所以第五种情况能够出现，3×211=633，足够分．所以其他六种情况也能够发生．所以，要让最多的那组人数最少就是：211÷35=6…1(余数1)；即最多的一组最少为6+1=7人．12.证明：任意给定一个正整数n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.【答案】见解析【解析】考虑如下1+n 个数：7，77，777，……，777 位n ，1777+ 位n ，这1+n 个数除以n 的余数只能为0，1，2，……，1-n 中之一，共n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n 的余数相同，不妨设为777 位p 和777 位q (>p q )，那么()777777777000--= 位位位位p q p q q 是n 的倍数，所以n 乘以适当的整数，可以得到形式为()777000- 位位p q q 的数，即由0和7组成的数．13.上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【答案】见解析【解析】因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别．为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生．又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别．问题得证．14.8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．【答案】见解析【解析】沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过8次转动后，桌面又回到原来的位置．在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有8只“苹果”．另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在7次转动中，这样7次转动(即7个“抽屉”)将产生8位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字．15.任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【答案】见解析【解析】把这2008个数先排成一行：1a ，2a ，3a ，……，2008a ，第1个数为1a ；前2个数的和为12+a a ；前3个数的和为123++a a a ；……前2008个数的和为122008+++ a a a ．如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，……，2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是1a ，2a ，3a ，……，2008a 中若干个数的和)是2008的倍数．所以结论成立．。
抽屉原理2
抽屉原理2
抽屉原理，又称为鸽巢原理，是数学中的一个基本原理，它指出如果有n个物体放进m个抽屉，其中n大于m，那么至少有一个抽屉里面至少有两个物体。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用，不仅在数学领域，也在计算机科学、生活中的整理和分类等方面都有着重要的作用。
抽屉原理的第二个版本是指对于有限个抽屉的情况下，如果抽屉的数量小于待放入物品的数量，那么至少有一个抽屉里面放入的物品数量是相同的。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用。
比如，在一个班级里，如果有11个学生，而只有10个座位，那么至少有一个座位上会有两个学生。
这个原理也可以应用于生活中的其他方方面面，比如在购物时，如果有8个苹果要放进7个袋子里，那么至少有一个袋子里会有两个苹果。
抽屉原理2的应用不仅仅局限于数学和生活中，它也在计算机科学中有着重要的应用。
比如在数据结构中，如果有n个数据要放入m个存储空间，其中n大于m，那么至少有一个存储空间里面会有两个数据。
这个原理在算法设计和优化中有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和设计算法。
抽屉原理2的应用还可以延伸到生活中的整理和分类。
在家里收纳物品时，如果物品的数量大于收纳空间的数量，那么就需要合理地利用抽屉原理2，将物品进行分类整理，以便更好地利用有限的空间。
这样不仅可以让家里看起来更加整洁，也可以更方便地找到需要的物品。
总之，抽屉原理2在数学、计算机科学和生活中都有着重要的应用。
它帮助我们更好地理解和处理问题，让我们在面对大量数据和有限资源时能够更加合理地进行分类和整理。
通过合理地利用抽屉原理2，我们可以更好地提高工作效率，提高空间利用率，让生活变得更加有序和高效。
抽屉原理(二)
课堂练习
• 鱼缸里有足够数量的金鱼5种，最少捞出多少条， 可以保证捞到6条同种类的金鱼？ • 有含有A,B,C,D四个选项的单选题20道，最少完 成几道题，才能保证有5道题选的是A？ • 把红、黄、蓝三种颜色的球各15个放到一个袋子 里。最少取多少个球，可以保证取到7个颜色相同 的球？
２、想一想，本例题与前面所讲的抽屉原理 是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉， 要分放的东西是什么。 ３、如果盒子里红球和篮球的各数足够多， 想要摸出的球一定有３个同色的，最少要摸出几个球？ ４个呢？９个呢？ａ个呢？你能总结出什么规律吗？
物体数=抽屉数×（至少数-1）+1
m=n×（a-1）+1
把13只小兔子关在5个笼子里， 至少有多少只兔子要关在同一个 笼子里?
盒子里有同样大小的红球和蓝球 各4个。要想摸出的球一定有2个同 色的，最少要摸出几个球？
例3
合作探究
例3 盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。 要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几 个球？合作要：１、和同伴交流得出题目结论。
巷子口中心小学 金志敏
回顾复习
• 抽屉原理又名（ ）原理。 • m÷n=a… …b ( m>n>1) m表示（ ），n表示（ ），a 表示（ ），ｂ表示（ ）。 • 把m个物体放进n个抽屉里（ m>n>1）， 不管怎么放总有一个抽屉至少放进（ ） 个物体。
把３本书放进2个抽屉中.
不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
举一反三
• 把红、黄、蓝、三种颜色的球各5个放到一个袋子 里。最少取多少个球，可以保证取到两个颜色相 同的球？
• 把红、蓝、黄三种颜色的小棒各10根混在一起。 如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才能保证 一定有３根同色的小棒？ • 箱子里有5种不同品牌的果冻各20粒，要想保证 摸到同品牌的果冻4粒，最少要摸出多少粒果冻？
小学六年级奥数第30讲 抽屉原理(二)(含答案分析)
第30讲抽屉原理（二）一、知识要点在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
二、精讲精练【例题1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。
则364=120×3+4，4＜120。
根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。
练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？【例题2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×4+1=9（个）球。
列算式为（3—1）×4+1=9（个）练习2：1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。
小学四年级奥数抽屉原理(二)例题、练习及答案
抽屉原理(二）这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。
先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子.道理很简单。
如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。
剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。
这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2.抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
说明这一原理是不难的.假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
这说明一开始的假定不能成立.所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。
从最不利原则也可以说明抽屉原理2。
为了使抽屉中的物品不少于(m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。
这就说明了抽屉原理2。
不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。
即抽屉原理2是抽屉原理1的推广.例1某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉.今有玩具122件，122=3×40＋2.应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。
也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1,2，3，4的各有10块。
问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？分析与解：将1，2，3,4四种号码看成4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。
初中数学《抽屉原理(二)》讲义及练习
抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4. 利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．知识点拨教学目标第八讲：抽屉原理（二）【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？【解析】 从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样．【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【解析】 设不同的类型书为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 六种．共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”．如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同．【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【解析】 以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，则：66973÷=，718+=，即至少有8名同学所拿球的种类是一样的．【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】 根有个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的．总结： 本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解．学生们可能会这么认为：铺垫：2件⨯3种6=件，6件÷2个3=人，要保证有相同的所以至少要有314+=人；对于例题中的题目同样2件⨯4种8=件，8件÷2个4=人，要保证有相同的所以至少要有415+=人．因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复．【例 2】 红、蓝两种颜色将一个25⨯方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第二行第一行第五列第四列第三列第二列第一列蓝蓝红蓝蓝红红红将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同．【例 3】 从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？【解析】 构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数．或者从小数入手考虑，2、4、6、、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【解析】 将10个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20.【巩固】 从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.【解析】 构造和为41的抽屉：(1,40)，(4,37)，(7,34)，(10,31)，(13,28)，(16,25)，(19,22)，现在取8个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．【解析】 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34．【例 4】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；…………………1963，1964，…，1979，1980；1981，1982， (1994)每一组中取前9个数，共取出9111999⨯=（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数）{}1,10,19,28,,1990，共计222个数{}2,11,20,29,,1991，共计222个数 {}3,12,21,30,,1992，共计222个数 {}4,13,22,31,,1993，共计222个数 {}5,14,23,32,,1994，共计222个数 {}6,15,24,33,,1986，共计221个数 {}7,16,25,34,,1987，共计221个数 {}8,17,26,35,,1988，共计221个数 9,18,27,36,,1989，共计221个数邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取⨯=个数1119999【巩固】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12．【解析】在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）．【巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．【解析】将1～1989排成四个数列：1，5，9，…，1985，19892，6，10，…，19863，7，11，…，19874，8，12，…，1988每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项．因此，第一个数列只能取出一半，因为有(19891)41498-÷+=项，所以最多取出249项，例如1，9，17，…，1985．同样，后三个数列每个最多可取249项．因而最多取出2494996⨯=个数，其中每两个的差不等于4．【例 5】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．【解析】把这12个数分成6个组：第1组：1，2，4，8第2组：3，6，12第3组：5，10第4组：7第5组：9第6组：11每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2211118+++++=个．如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下945-=个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．【解析】把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．【巩固】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【解析】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，于是从35开始，1～99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．评注：1～2n 个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n 中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn 中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m 倍(m 、n 为正整数).【巩固】 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【解析】 把这200个数分类如下：(1)1，12⨯，212⨯，312⨯，…，712⨯，(2)3，32⨯，232⨯，332⨯，…，632⨯，(3)5，52⨯，252⨯，352⨯，…，552⨯，…(50)99，992⨯，(51)101，(52)103，…(100)199，以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.【例 6】 从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【解析】 将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数的个数分别为7，8，7，7，7，7，7.被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出877123+++=个【例 7】 从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【解析】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证．(2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，...，98，100)，(3，9，15，21，27，...，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23， (95)97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．【例 8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子? 【解析】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)；(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l～18号，共18个孩子．若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．【例 9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【解析】每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5种各不相同的个数，共有：1234 5 15÷=，最不利的分法是：装1、2、3、++++=，6115414、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．【例 10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。
六年级上册奥数第30讲 抽屉原理(2)
第30讲抽屉原理（2）讲义专题简析在抽屉原理的第二条原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数＝商×抽屉数＋余数如果余数不是0，则最小数＝商＋1；如果余数正好是0，则最小数＝商。
例1、幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?练习：1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。
这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球？例2、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样?练习：1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?2、一个容器里放有10块红木块、10块白本块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼去取出容器中的木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块?3、一副扑克牌共54张，其中1～13点各有4张，还有两张王。
至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同?例3、某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?练习：1、某班有37名学生，他们都订阅了《小主人报》《少年文艺》《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几名学生订的报刊相同?2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每名学生最多可以参加两个(也可以不参加)。
某班有52名学生。
问至少有几名学生参加课外学习班的情况完全相同?3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个。
抽屉原理(二)
抽屉原理（二）
例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？
例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？
例3 从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
例4在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？
例5用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。
这些四位数中至少有多少个是相同的？习题：
1、任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
2、从1、2、
3、
4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
3、从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102.
4、一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。
为什么？
5、在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的和是10？
6、右图是一个5行5
列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列及两条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同？。
《抽屉原理》(二)
（二）
最不利原则
运用抽屉原理解题时，要从最不利的 情况出发，分析问题。只有用最不利 条件下能实现的做法，才可以使这个 任务必能完成。因此，解题时要全面 分析题中条件，找出最不利的因素， 再选用万无一失的方法。
【例1】有红、黄、蓝色手套各10只，最少 要取出多少只才能保证其中有2双颜色不相 同的手套？
【例2】一付扑克牌除了大、小王有4种花色，每 种花色有13张，从中任意抽牌，问至少抽多少张 才能保证有4张牌是同一花色的？ 【分析】“除了大、小王”，也就是说被抽取的牌 不包括大、小王。
从最不利的情况考虑：从这付扑克牌中先抽出了 每种花色各3张牌，这时从剩下的4种花色牌中任 意抽一张牌，必能和原有的同花色3张牌凑成了同 一花色4张牌。
（2）一次至少要摸出多少只袜子才能 保证一定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双） （2）如果没有颜色不同的两双袜子， 那么最不利情况是成双成对的袜子都 是同一种颜色的，这时最多有9 +1+1+1+1 =13（只）袜子。因此至少 摸出14 只才能保证有两双颜色不同 的袜子。
【解析】：至少摸出11+12 + 2 + 2 +1 = 28（个）零 件才能满足要求。
3．将1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜 子、8 只黄袜子和9 只绿袜子放入一个布袋 里。请问：
（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一 定有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一 定有颜色不同的两双袜子？ （两只袜子颜色相同即为一双）
【分析】保证有2双颜色不相同的手套，即保证有 两种颜色的手套，每种颜色手套各有一双。 从最不利的情况考虑：第一种颜色10只手套全取 出，还缺少一双同色手套，剩下两种颜色又各取 出了1只。这时在剩下两种颜色手套中任意摸出一 只手套，就可以凑成第二双同色手套。
抽屉原理2
抽屉原理（二）教学内容：教科书第72、73页及相关的练习。
教学目标：1、让学生进一步了解抽屉原理的有关知识，并解决简单的实际问题。
2、通过观察、思考和讨论，培养学生的分析、推理、归纳等能力和解决实际问题的能力。
3、通过创设问题情境，体验数学与生活的联系，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热情。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学具准备：每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。
教学过程：一、创设情境，引入新课。
1、口算。
6 -3.7 -2.3 1/5+0.8 1÷1/2 -1/2÷10.6÷10 12÷0.1 1.2×0.52 、师：刚刚我们大家分别从这一前一后两扇门进入教室，你们能否知道其中较多人进入的门至少通过了几人呢？61÷2=30…1（人）师：同学们上节课的知识掌握得不错，今天再进一步研究抽屉原理，下面分小组开展活动。
二、活动探究，深入了解。
1、摸球活动。
（抽屉原理的逆思考问题）师：这个活动是，盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有两个同色，最少要摸出几个球？大家先猜一猜。
（学生猜测）师：答案有多种，这样吧，你们分组活动探索一下。
（用预先准备好的学具实际操作，讨论后汇报。
）板书：摸出两个球，有三种可能：两红、两蓝、一红一蓝。
摸出三个球，有四种可能：三红、两红一蓝、一红两蓝、三蓝。
……师：同学们分析得对，注意到球是以颜色区分的。
所以把颜色看作抽屉，大家再想想，解决这个问题是否有规律可循？学生讨论交流，师归纳总结。
板书结论：只要摸出的球比球的颜色种数至少多1，就能保证有两个球同色。
或者说：只要物体数比抽屉数至少多1，就能保证有一个抽屉至少放两个物体。
2、研究规律。
师：如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，至少从盒子里摸出几个球？才能保证有两个球是同色的。
抽屉原理应用(二)
抽屉原理应用（二）
1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。
这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD
六种。
共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。
如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
收集整理人：国防科大附属小学黄希。
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抽屉原理（二）
【专题导引】
在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
【典型例题】
【例1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
【试一试】
1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。
这是为什么？
【例2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？
【试一试】
1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样，当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？
【例3】某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？
【试一试】
1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同？
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。
某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
【例4】从1至30中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？
【试一试】
1、在1，2，3，……，49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？
2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？
【﹡例5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有七名同学得到的卡片的张数相同。
【﹡试一试】
1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。
证明无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子中，每个格子最多可以放5颗棋子。
证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。
课外作业
家长签名：
1、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？
2、一副扑克牌共54张，其中1~13点各有4张，还有两张王的扑克牌。
至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个问：在31个搬运者中至少有几人搬运完全相同？
4、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数？
﹡5、汽车8小时行了310米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。
证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。