期权平价公式复习进程
B-S期权定价公式的简单推导
(二)B-S期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T
时刻）的期望值为：E [max(ST X ,0)]
其现值为
c er (T t ) E[max(ST X ,0)]
（4.18）
对数股票价格的分布为：
ln ST
~ [ln S
(r 2 )(T
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(4.17)
这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证 券价格S的所有衍生证券的定价。
2，风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流 量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而 作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
(三)伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以 从公式(4.4)得到伊藤过程（Ito Process）：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz (4.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2
根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：
df
( f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
(4.9)
(六)证券价格自然对数变化过程
令
期权平价理论
期权平价理论⼀、买卖权平价关系买卖权平价关系是指具有相同的到期⽇与执⾏价格的⾦融⼯具，其卖权与买权价格间所必然存在的基本关系。
如果两者不相同，则存在套利的空间。
买卖权平价关系可应⽤于欧式期权，即不能提前、只能在到期⽇履⾏。
⼆、欧式期权的平价关系欧式期权平价关系是指在完备的⽆套利⾦融市场条件下，没有红利⽀付且其他条件相同时欧式看涨期权和看跌期权之间存在的确定性关系。
假设某股票现在价格为S0，以该股票作为标的资产的看涨期权（Call）和看跌期权（Put）都是在T时刻到期，执⾏价格都是K。
设看涨期权当期理论价格为C，看跌期权当前理论价格为P，该股票在T时刻价格为S T。
1年期⽆风险利率为r。
考虑下⾯两个组合。
组合A：⼀份欧式看涨期权（Call）加上在T时刻的⼀笔价值为K的现⾦资产。
组合B：⼀份该欧式看跌期权（Put）加上⼀只股票。
在T时刻，组合A的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合A 的价值为看涨期权的价值S T－K加上现⾦资产K,即S T －K +K=S T；若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合A的价值为看涨期权的价值0 加上现⾦资产K，即0+K=K。
在T时刻，组合B的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合B 的价值为看跌期权的价值0 加上股票价值S T，即0+ST= S T。
若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合B的价值为看跌期权的价值K-S T加上股票价值S T，即K-S T+S T=K。
综上所述，可知⽆论该股票价格在T时刻是多少，组合A和组合B在到期时的价值总是相同的，该值为S T和K中的较⼤值，即max（S T，K）。
由此可知组合A和组合B在当前时刻的理论价格也应相同，否则将产⽣⽆风险套利的机会。
T时刻价值为K的现⾦复利贴现回当前的价值为Ke-rT。
因此，组合A 的当前理论价格C+Ke-rT等价于组合B的当前理论价格P+S0，即C+Ke-rT= P+S0上式即为欧式期权的平价关系，该公式说明了具有同样执⾏价格和到期⽇的欧式看涨期权和看跌期权当前理论价格之间的关系。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
期权定价公式的推导
pt pt
风险对冲 随机过程 偏微分方程
Black-Scholes 期权定价公式
f f 1 2 2 f rS S rf 2 t 2 S S
2
f为期权价格
14
资产定价基本原理
只要市场没有套利机会，那么一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的 折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价 值”的“鞅性质”。
6
假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中 p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…， pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。 于是它们之间就有这样的关系：
p1 p 0 1 , p 2 p1 2 , p n p n 1 n , 其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果 我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可 以引出随机游走和布朗运动的概念。
把这一离散的价格变化的关系式连续化就得到这里lnlnlnlndtdz由于dz是标准布朗运动因此在一个较短的时间间隔可见也服从正态分布其均值为14风险对冲随机过程偏微分方程为期权价格rfblackscholes期权定价公式15资产定价基本原理只要市场没有套利机会那么一定存在一种等价的概率测度使得所有证券及其组合的折现价格都有未来价值的均值等于其当前价值的鞅性质
n 0,1, 2,
（1）
11
是随机游走序列。
ln pn ln pn1 n ',
n 1, 2,
不再成立。
ln( pn / pn1 ) ln pn ln pn1 n ', n 1, 2,
这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价 格变化的关系式连续化，就得到
期权定价公式
期权定价公式期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。
随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。
我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。
其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。
根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。
这对于平值和浅度虚值期权是适用的。
对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。
比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。
所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。
比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。
所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
期权定价分析公式说明文档
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
5第五章 期权定价1(理论)
C − P − S + X (1 + r ) − t = 0 −t P = C − S + X (1 + r )
C = P + S − X (1 + r ) − t
或
上式即为买入卖出期权平价公式。如果市场 出现不符平价公式，则就存在套利组合。
例如市场出现下列情况：有效期为3月，施 权价为40的买入期权价C=3，同样的卖出 期权价为P=2，股票市价为40，利率为5%， 根据买入卖出期权平价，应该为：
uS0
S0
dS 0
则期权价值 Vc 也是两种情况
C u = max{0, uS 0 − X }
期权价格（option premium）：指购买期权权 利（包括购买 calls的费用C或购买puts的费用 P）而非股票本身的市价或施权价。期权本身 的市场价格称为期权费。 例如：买主向卖主按每股120美元（施权价） 买入100股股票的权利，买主应向卖主付出每 股8.5美元的权利金（期权价格C）。100股 （通常，每一份期权合约赋予购买或出售1整 手股的权利）付出权利金总额850美元。 同一种股票，施权价愈高则期权价（费用）就 愈小。同一种价位股票签约期愈长，期权费也 愈小 。
102030405060708090第一季度第二季度第三季度第四季度东部西部北部安徽财经大学会计学院一有关期权的若干概念二买入期权c与卖出期权p的平价关系三期权价格的上下限四期权的二项式定价期权是指未来的选择权它赋予期权的持有者购买者或多头一种权利而不必承担义务可以按预先敲定的价格购买或者出手一定数量和一定品质的资产
c (T ) = max {S (T ) − X ,0} p (T ) = max {X − S (T ), 0}
003.期权定价(一)
第二节 期权定价本节考点1.期权平价公式与无套利价格区间2.二叉树模型3.B-S-M 期权定价模型考点1：期权平价公式与无套利价格区间★★★【符号】c 欧式看涨期权价值K 期权的行权价格p 欧式看跌期权价值S 0S T 股票的当前价格T 时刻股票的价格C 美式看涨期权价值r 在T 时刻到期的无风险投资利率（连续复利）P 美式看跌期权价值T 期权的期限期权价格是否合理，如何为期权进行定价，成为期权投资的最核心问题。
依据期权价值依赖的因素，在无套利市场中，期权的价格有着合理的估值范围，以无分红标的资产的期权为例，期权的价格应满足以下条件。
（一）上限看涨期权给其持有者以行权价格买入标的资产的权利。
无论发生什么情况，期权的价格都不会超出标的资产价格，因此，标的资产价格是看涨期权价格的上限：c≤S 0，C≤S 0如果以上不等式不成立，那么套利者可以购买标的资产并同时卖出看涨期权来获取无风险盈利。
美式看跌期权持有者有权以行权价格K 卖出标的资产。
无论标的资产价格变得多么低，期权的价值都不会高于行权价格：P≤K欧式看跌期权在T 时刻的价值不会超出K ，因此其当前价格不会超过K的贴现值，即：如果以上不等式不成立，那么套利者可以通过卖出期权，并同时将所得收入以无风险利率进行投资，即可以获取无风险盈利。
（二）无孳息标的资产的欧式看涨期权下限无孳息标的资产的欧式看涨期权下限为：【推导过程】考虑A/B 两个投资组合：组合A ：一份欧式看涨期权加上在时间T 提供收益K 的零息债券；组合B ：一单位标的资产。
在组合A 中，T 时刻零息债券的价值为K 。
在时间T ，如果S T >K ，投资者卖出零息债券并获得资金K ，继而行使看涨期权，用资金K 获得标的资产，组合A 的价值为S T 。
如果S T因此，T 时刻组合A 的价值为：max （S T ，K ），组合B 在T 时刻的价值为S T 。
【推导过程】（三）无孳息标的资产的欧式看跌期权下限无孳息标的资产的欧式看跌期权下限为：【推导过程】考虑A/B两个投资组合组合A：一份欧式看跌期权加上1单位标的资产；组合B：在时间T时刻收益为K的零息债券。
布莱克_斯科尔斯期权定价公式的推导及推广
t) ] ( T - t ) , d2= d1- T - t , X 是期 权执 行价格, N ( %) 为累积标准正态分布函数。
同理, 用欧式买卖期权的平价公式可以得到欧式 卖出期权的定价公式:
P ( S , t ) = X e- r( T - t) N ( - d 2) - SN ( - d 1)
( 一) Bachelier 公式 期权定价理论的开 创性论文是 1900 年法国数 学 家 Bachelier L 的博士学位论文 #投资理论∃, 在这篇
论文中, Bachelier 假设股票价格的动态过程为布朗运 动, 股票收益为正态分布, 得到不分红股票的欧式买 入期权的定价公式为:
S- T
S- K
( 三) Boness 公式 Boness ( 1964) 假定股票收 益率为一个 固定的对 数分布, 利用股票的期望收益率, 通过将到期股票价 格贴现, 其欧式买入期权公式为: c ( S , T ) = SN ( d 1) - K e- TN ( d 2)
其中: d 1=
1 T
[ ln
(
S K
)
方法进行定价。
四、布莱克 斯科 尔斯 ( Black- Scholes) 公 式 的推导
( 一) 无风险投资组合方法 假设基础资产的价格过程为:
dS = !Sdt+ Sdw
( 3)
定义于 S 上的欧式期权的价格为 C ( S , t ) , 应
用 ITO 引理, 得:
dC= CSdS + Ctdt +
瞬时 标准 差, N ( %) 为标 准正 态分布 的分布 函数,
n ( %) 为标准状态分布的概率密度函数。该公式允许
有负的证券价格和期权价格, 而且没有考虑资金的时
定价理论-第5章--期权定价理论
第5章期权定价理论期权定价理论是继资产组合理论、资本资产定价模型之后金融领域又一个获得诺贝尔经济学奖的重要理论．1973年，Black和Scholes发表了《期权和公司债务的定价》(The pricing of options and corporate liabilities)一文，提出了著名的期权定价理论．同年，Merton给出了以支付连续红利率股票为标的资产的期权定价公式，并把Black-Scholes期权定价公式推广到无风险利率和标的资产价格的变异性不是常数的重要情况．在本章，我们将以B1ack-Scholes期权定价公式为主线介绍与期权相关的一些知识、股票价格的行为模型、Black-Scholes偏微分方程、Black-Scholes期权定价公式、B1ack-Schotes期权定价公式的拓展模型(支付已知红利的股票欧式期权定价和美式看涨期权定价)等．§5.1 期权概述5.1.1 期权的概念期权是赋予了其拥有者在未来的某时间以事先预定好的价格买卖某种金融资产的权利的合约．从广义上讲，期权也可以指金融资产中含有的任何选择权．一般称期权中规定的金融资产为期权的标的资产，并称对标的资产的商定价格为行权价格．根据交易的买卖类型，可以将期权分为看涨期权和看跃期权．看涨期权是指在指定日期以行权价格买入一定量的金融资产的合约．看跌期权是指可以在指定日期以行权价格卖出一定量的金融资产的合约．期权中指定的日期称为到期日．当投资者认为某种金融资产的价格将要上涨时，就可以购买这种金融资产的看涨期权，或者出售这种金融资产的看跌期权．相反，如果认为某种金融资产的价格将要下跌，则可以采取相反的操作．按期权允许的行权时间划分，期权可分为欧式期权和美式期权．欧式期权是指期权的行权日期是事先指定的期权；美式期权是指可以在到期日之前的任何日期行权的朗权．在交易所交易的大部分期权是美式期权．但是，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期权的一些性质总是可以从欧式期权的性质推导出来．根据行权价格与标的资产市场价格的关系，可将期权分为实值期权、虚值期权和平价期权三种类型．对看涨期权而言，若标的资产价格高于行权价格，期权的买方执行期权特有利可图，此时为实值期权．若标的资产价格低于行权价格，期权的买方格放弃执行期权，此时为虚值期权．对看跌期权而言，标的资产价格低于行权价格为实值期权；标的资产价格高于行权价格为虚值期权．若标的资产价格等于行权价格，则看涨期权和看跃期权均为平价期权．从理论上说，实值期权的内在价值为正，虚值期权的内在价值为负，平价期权的内在价值为零．但实际上，无论是看涨期权还是看跌期权，也无论期权标的资产的市场价格处于什么水平，期权的内在价值都必然大于零或等于零，而不可能为一负值．这是因为期权赋予买方执行期权与否的选择权，而没有规定相应的义务，当期权的内在价值为负时，买方可以选择放弃期权．期权的内在价值定义为期权本身所具有的价值，也就是期权的买方如果立即执行该期权所能获得的收益．一种期权有无内在价值以及内在价值的大小，取决于该期权的行权价格与标的资产市场价格之间的关系．期权的时间价值是指期权的买方购买期权而实际支付的价格超过该期权内在价值的那部分，一般以期权的实际价格减去内在价值求得．在现实的期权交易中，各种期权通常是以高于内在价值的价格买卖的，即使是平价期权或虚值期权，也会以大于零的价格成交．期权的买方之所以愿意支付额外的费用，是因为希望随着时间的推移和标的资产市场价格的变动，该期权的内在价值得以增加，使虚值期权或平价期权变为实值期权，或使实值期权的内在价值进一步提高．买卖期权一般情况下有两种动机：一种是出于投机赚取最大利润的想法，因为期权价格的波动将导致获得更大收益的机会．当然，同时也面临产生更大损失的风险．另一种情况是出于对冲风险的考虑．因为期权的行使不是必须的(期权赋予了其投资者做某事的权利，但持有者不一定必须行使该权利．这一特点使得朋权不同于远期、期货等金融资产．投资者签署远期和期货合约时的成本为零，但投资者购买一张期权合约必须支付期权费)，所以期权作为投资策略的一个部分，在对冲风险方面有更大的选择余地．期权定价就是对这种选择权本身进行定价．如果这种选择权是可以独立交易的，那么这个价格是非常有现实意义的．如果这种选择权不是单独交易的(可能是含在产品中的，如可转换债券中的转换权力)，通过定价也可以对这部分的价值有一定的了解，以便更好地掌握金融资产价值变化的情况．最早的场内期权是股票期权．芝加哥期货交易所于1973年设立了一个新的交易所期权交易所，从而拉开了期权交易的序幕．随着国际金融市场的迅速发展，期权标的资产逐渐拓展到股票指数、利率和外汇等领域．目前，股票期权和股票指数期权在期权市场中所占的比例最大．但是，并不是所有的期权都是在交易所中交易的，在金融机构与大公司之间直接进行的期权交易也非常普遍，这种期权交易称为场外期权交易．场外期权交易的主要特点是金融机构可以根据客户的需要订立期权合约．5.1.2 影响期权价格的因素期权价格由内在价值和时间价值构成，因而凡是影响内在价值和时间价值的因素，就是影响期权价格的因素．大致包括以下几种：(1)行权价格与标的资产价格．行权价格与标的资产价格是影响期权价格的最主要因素．这两种价格的关系不仅决定了期权有无内在价值及内在价值的大小，而且还决定了有无时间价值和时间价值的大小．一般而言，行权价格与标的资产价格之间的差距越大，时间价值越小；反之，则时间价值越大．这是因为时间价值是市场参与者因预期标的资产价格变动引起其内在价值变动而愿意付出的代价．当一种期权处于极度实值或极度虚值时，市场价格变动的空间已很小．只有在行权价格与标的资产价格非常接近或为平价期权时，市场价格的变动才有可能增加期权的内在价值，从们使时间价值随之增大．(2)权利期间．权利期间是指期权剩余的有效时间，即期权成交日至期权到期日的时间．在其他条件不变的情况下，权力期间越长，期权价格越高；反之，期权价格越低．这主要是因为权利期间越长，期权的时间价值越大；随着权利期间缩短，时间价值也逐渐减少；在期权的到期日，权利期间为零，时间价值也为零．通常权利期间与时间价值存在同方向但非线性的关系。
看涨期权看跌期权平价原理
看涨期权看跌期权平价原理
期权平价原理是指标的物在到期日时的现货价格与期权价格相等。
在期权交易中，看涨期权和看跌期权的价格应当满足平价原理。
平价原理的核心是基于对冲交易的思想。
通过建立相应的持仓组合，可以实现看涨期权和看跌期权的价格相等，从而获得投资组合的无风险收益。
例如，假设某标的物的当前价格为S，一个到期日为T的看涨期权的行权价为X，看跌期权的行权价也为X。
当看涨期权的价格为C时，看跌期权的价格应该为P，满足C - P = S - X。
根据期权的价内和价外概念，如果S > X，则称标的物处于价内状态，此时看涨期权价值大于看跌期权价值。
反之，如果S < X，则称标的物处于价外状态，此时看跌期权价值大于看涨期权价值。
根据平价原理，当看涨期权和看跌期权价格不相等时，可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权，或反之，来获得无风险套利机会。
因为这两个期权的价格差异会被市场套利者利用，通过对冲交易使其收益无差异。
总结来说，看涨期权和看跌期权在满足平价原理的情况下，其价格应该相等。
这一原理使得市场上的期权价格变动得到有效的调节，从而保证期权市场的有效性和稳定性。
【财务成本管理知识点】看涨期权与看跌期权的平价关系
考点十看涨期权与看跌期权的平价关系看涨期权与看跌期权的平价公式：看跌期权价格+标的资产价格=看涨期权价格+执行价格的现值。
【手写板】前提：①欧式期权；②相同的到期日；③执行价格。
买卖权评价定理：零时点，现金流出量（初始投资成本）=S0+C跌-C涨S u＞X S d＜X现货股票S u S d看跌期权0X-S d看涨期权-（S u-X）0组合X X【例题•单选题】某股票的现行价格为20元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为24.96（元）。
都在6个月后到期。
年无风险报酬率为8%，如果看涨期权的价格为10元，看跌期权的价格应为（）元。
A．6B．6.89C．13.11D．14【答案】D【解析】看跌期权的价格=24.96/（1+4%）-20+10=14（元）。
【例题•计算题】甲公司股票当前每股市价40元，6个月以后股价有两种可能：上升25%或下降20%，市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。
每份看涨期权可买入1股股票，每份看跌期权可卖出1股股票，两种期权执行价格均为45元，到期时间均为6个月，期权到期前，甲公司不派发现金股利，半年无风险报酬率为2%。
要求：（1）利用风险中性原理，计算看涨期权的股价上行时到期日价值、上行概率及期权价值，利用看涨期权—看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。
（2）假设目前市场上每份看涨期权价格2.5元，每份看跌期权价格6.5元，投资者同时卖出1份看涨期权和1份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间，如果6个月后，标的股票价格实际上涨20%，计算该组合的净损益。
（注：计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑期权价格的货币时间价值）（2015年）【答案】（1）看涨期权的股价上行时到期日价值=40×（1+25%）-45=5（元）2%=上行概率×25%+（1-上行概率）×（-20%）即：2%=上行概率×25%-20%+上行概率×20%则：上行概率=0.4889由于股价下行时到期日价值=0所以，看涨期权价值=（5×0.4889+0.5111×0）/（1+2%）=2.4（元）看跌期权价值=45/（1+2%）+2.4-40=6.52（元）（2）当股价大于执行价格时：组合净损益=-（股票市价-45）+（2.5+6.5）根据组合净损益=0，可知，股票市价=54（元）当股价小于执行价格时：组合净损益=-（45-股票市价）+9根据组合净损益=0，可知，股票市价=36（元）所以，确保该组合不亏损的股票价格区间为36～54元。
金融工程(6.14)第六章(一)
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
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二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
平价理论
期权平价套利策略期权平价定理（put-call parity 买卖权等价）理论上若不考虑交易成本，股票价格跟其同一行权价的看涨期权和看跌期权会维持一定的均衡关系，此关系称为平价公式：其中S 表示股票价格;P 表示认沽期权价格;C 表示认购期权价格;K 为行权价格; Ke－rT为行权价格的现值。
在实际中，平价公式的等式并不是随时存在，如果同一行权价、到期日、标的的认购期权和认沽期权存在相差过大的隐含波动率的时候就会出现不等，那么也就存在套利空间。
1969年由斯托尔提出；1991年，Tucker根据股指期货及股指期权之间的价格关系阐述了期货与期权的平价关系，并运用这一均衡关系来发现市场的套利机会并验证市场效率。
理论上，期权平价定理适用于欧式期权，即不能提前、只能在到期日履行。
但是实际上，所有围绕着标的产品价格的美式期权在到期日之前，总会多多少少的保留时间价值，所以被提前行权的机会是少之又少。
期权平价关系套利可分为正向套利和反向套利。
正向套利是指等式左边相对高估时，买入现货和认沽期权，同时卖出认购期权，等待价差回归或到期行权完成套利操作。
反向套利是指等式右边相对高估时，卖空现货和卖出认沽期权，同时买入认购期权，等待价差回归或到期行权完成套利操作。
实际操作中存在交易成本，资金的拆借成本也很难以无风险利率进行定价，所以在实盘应用中，对上述公式做了改进。
先以50ETF举例，1、正向套利（多头避险平价套利策略）正向套利的实质是指买入现货ETF，然后用认购期权空头和认沽期权多头合成现货标ETF的空头，从而实现类似于股指期货期现套利的操作。
若不考虑交易成本，当C+Ke－Rt>S+P 时，此时对应着认购期权的隐含波动率高于认沽期权的隐含波动率，此时投资者可以采用多头避险平价套利策略：即同时买入一个单位的股票，一个单位的认沽期权，同时卖出对应的一个单位的认购期权获得无风险套利，从表可以看出，无论到期日股价为多少，组合均能获得C+Ke－Rt-S-P 的正收益，而获利的大小取决于偏离度的大小。
CPA 财务成本管理 第42讲 期权价值评估方法(二)BSOP
第42讲：期权价值评估方法（二）BSOPBlack-Scholes Option Pricing Model（布莱克-斯科尔斯期权定价模型）可谓大名鼎鼎，在期权发展历史中具有划时代意义，其创立者Black和Scholes也因此而获得诺贝尔经济学奖。
BSOP模型非常复杂，不过考得比较浅，我们就偷懒了，介绍一些皮毛，应付考试，点到为止。
注意：连续复利是一年内付息多次的极限情况，回忆第四章介绍过报价利率和实际利率的换算，假设现在存1块钱，存t年，报价利率r，一年内付息m次连续复利就是m趋近于无穷大，即每分每秒都在复利。
大功告成，连续复利的终值系数为e rt，而现值系数和终值系数互为倒数，所以是e-rt。
是不是很晕？好多年前真的会考全套计算，还不给公式，不过现在没这么变态，连标准正态分布表都从教材中删了。
因此，计算就不要求大家掌握，但希望大家简单理解下公式的构造。
之前说过期权价值包括两部分：内在价值和时间溢价。
其中内在价值可以表达成C0 = S0– X；而时间溢价体现在：1、股价的变动N(d1)，2、行权的可能性N(d2)，3、行权现金流出的时间价值e-rt。
这就形成了BSOP的基本公式：此外，请注意，上述公式仅适用于欧式看涨期权的估值。
2、看涨–看跌平价定理（call-put parity）期权估值讲到现在，我们一直在研究看涨期权的计算问题，现在该解决看跌期权的估值了。
平价定理是考试重点，大家务必要重视哦！平价定理的推导和复制原理非常相似，我们来观察这样两个投资组合：1、c+B2、p+S说明：c表示看涨期权，B表示债券，p表示看跌期权，S表示股票。
因此，组合1是买入看涨期权和债券，组合2是买入看跌期权和股票。
此外，要注意两个期权的标的资产（即股票S）、到期日和行权价格必须相同，债券的购入金额为Xe-rt，这样到期日收回的现金流刚好等于Xe-rt×e rt=X，即执行价格。
c组合1BX XX S T X S TS组合2X XpX S T X S T上图表示两种组合的到期日价值，完全一致，说明两者互相复制，根据无套利原则，两者目前的成本一定相同，即：c+B = p+S，这就是平价定理。
期权投资中的平价实际价值与权利金的计算
期权投资中的平价实际价值与权利金的计算期权是一种金融衍生品，它给予持有人在未来某个特定时间以约定价格购买或者卖出标的资产的权利。
在期权交易中，投资者需要了解平价实际价值和权利金的概念，并能够准确计算它们，以便做出正确的投资决策。
本文将详细解释平价实际价值和权利金，并介绍计算方法。
一、平价实际价值平价实际价值（Intrinsic Value）是指期权所具备的内在价值。
对于认购期权来说，当标的资产当前价格高于行权价格时，认购期权的平价实际价值为标的资产价格与行权价格的差额；而对于认沽期权来说，当标的资产当前价格低于行权价格时，认沽期权的平价实际价值为行权价格与标的资产价格的差额。
以某只股票为标的资产，行权价格为100元，当前股票价格为120元，投资者持有该股票认购期权时，认购期权的平价实际价值为120元-100元=20元。
这意味着投资者可以通过该认购期权以100元的价格购买该股票，并在市场上以120元的价格卖出，获得20元的利润。
二、权利金权利金（Option Premium）是指购买或者卖出期权合约时需要支付的费用。
权利金是期权交易中的实际成本，也是期权卖方的收入。
权利金的计算涉及到多个因素，包括期权类型、行权价格、标的资产价格、时间价值等。
权利金的计算公式如下：认购期权的权利金 = 平价实际价值 + 时间价值认沽期权的权利金 = 平价实际价值 + 时间价值其中，平价实际价值已在上一节中介绍，是期权内在价值的部分。
时间价值是指期权除了平价实际价值外所具备的价值，它反映了期权到期前的时间、波动率以及市场预期等因素对期权价格的影响。
三、权利金的计算方法为了计算权利金，投资者需要掌握一些计算方法和公式。
以下是两种常用的计算方法：1. 黑-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）黑-斯科尔斯模型是一种用于计算期权价格的数学模型，它基于一些假设，如市场完全有效、无风险利率恒定、标的资产价格服从几何布朗运动等。
期权价格计算公式
期权价格计算公式
期权价格计算公式：
期权价值=内在价值+时间溢价
内在价值：是指期权立即执行产生的经济价值。
时间溢价：时间带来的“波动的价值”，是未来存在不确定性而产生的价值。
期权的内在价值的影响因素：
内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。
期权价值的影响因素：
股票市价、无风险利率：与看涨期权价值同向变动，看跌期权价值反向变动。
无风险利率越高，执行价格的现值越低。
执行价格、预期红利：与看涨期权价值反向变动，看跌期权价值同向变动。
期权有效期内预期红利发放，会降低股价。
到期期限：对于美式期权来说，到期期限越长，其价值越大；对于欧式期权来说，较长的时间不一定能增加期权价值。
股价波动率：股价的波动率增加会使期权价值增加。
在期权估值过程中，价格的变动性是最重要的因素。
如果一种股票的价格变动性很小，其期权也值不了多少钱。
期权价格计算公式
期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布t z ∆=∈∆在一般情况下，ds 可用下式表示：sdz sdt ds σμ+=----------- （1）或表示为：dz dt sds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。
如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。
根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）函数G 的漂移率为222221S SG t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为222)(S SG σ∂∂如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。
为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）z S SG t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4） 由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。
恰当的证卷组合是：-1； 卖空一个期权S G∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。
定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是∏∏∆=∆t r ---------（8）将（5）、（7）带入（8），得：t S SG G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。
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期权平价公式
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买入put
卖出call
买入标的物
S
K C
P
买入
put 卖出call
买入标的物
S K
C
P
行权价K 低于现货价格S
行权价K 高于现货价格S
期权平价公式：
C+ Ke^(-rT)=P+S
认购期权价格C 与行权价K 的现值之和等于认沽期权的价格P 加上标的证券现价S Ke^(-rT)：K 乘以e 的-rT 次方，也就是K 的现值。
e 的-rT 次方是连续复利的折
现系数。
也可用exp （-rT ）表示贴现因子。
根据无套利原则推导：
构造两个投资组合。
1.看涨期权C ，行权价K ，距离到期时间T 。
现金账户Ke^(-rT)，利率r ，期权到期时恰好变成行权价K 。
2.看跌期权P ，行权价K ，距离到期时间T 。
标的物股票，现价S 。
看到期时这两个投资组合的情况。
1.股价St 大于K ：投资组合1，行使看涨期权C ，花掉现金账户K ，买入标的物股票，股价为St 。
投资组合2，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为St 。
2.股价St 小于K ：投资组合1，放弃行使看涨期权，持有现金K 。
投资组合2，行使看跌期权，卖出标的物股票，得到现金K
3.股价等于K ：两个期权都不行权，投资组合1现金K ，投资组合2股票价格等于K 。
从上面的讨论我们可以看到，无论股价如何变化，到期时两个投资组合的价值一定相等，所以他们的现值也一定相等。
根据无套利原则，两个价值相等的投资组合价格一定相等。
所以我们可以得到C+Ke^(-rT)=P+S 。
换一种思路理解：C- P = S- Ke^(-rT)
认购期权价格C 与认沽期权的价格P 的差等于证券现价与行权价K 现值的差。