【数学】2012新题分类汇编：计数原理(高考真题+模拟新题)
(完整版)计数原理_2012~2018高考真题
所以①和②的情况一样多 .③和④的情况随机，③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球
数没有任何影响， ①和②出现的次数是一样的， 的影响次数一样 .综上选 B.]
所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数
-4-
5.(2015 四·川， 6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( )
)
1
A.
12
1
B.
14
1
C.
15
1
D.
18
[ 答案与解析 ]. 符合题意的素数有
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 个 , 故不同的取法有
2
C 10
=45
种
31
其中和为 30 的组合有 : {7, 23}, {11, 19}, {13, 17} 三种 , 故 P= = , 选 C.
2.(2015 新·课标全国Ⅰ， 10)(x2＋ x＋ y)5 的展开式中， x5y2的系数为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60 [ 答案与解析 ].C [Tk＋1＝ Ck5 (x2＋ x)5－ kyk，∴ k＝ 2.∴ C25( x2＋ x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r) xry2， ∴2(3－ r )＋ r ＝ 5，解得 r＝ 1，∴ x5y2 的系数为 C25C13＝ 30.]
C13
·A
4 4
＝72.选 D.]
4.(2016 北·京， 8) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半
.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋
中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就
2012高考试卷汇编(理)——平面向量_复数__计数原理
平面向量一、选择题1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，B A C D E F ++=A ．0B ．B EC ．A DD ．C F【答案】D【解析】B A C D E F B A A F E F B F E F C E E F C F ++=++=+=+=2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ），1412A AA A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a=b=1，a b =12-，,a c b c --=060，则c的最大值等于 A ．2 B ．3C ．2D ．1 【答案】A5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅ba ，0)()(≤-⋅-c b c a，则||c b a-+的最大值为（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2【答案】B6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D8.（广东理5）已知在平面直角坐标系x O y上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
【数学】新题分类汇编：计数原理(高考真题+模拟新题)
x 的系数为
C
2 20
，
x
9
的系数为
C
18 20
，则
x 的系数与
x9 的系数之差为
0.
大纲文数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] (1 － x) 10 的二项展开式中， x 的系
________ ．
大纲文数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] 0 【解析】 展开式的第 r ＋ 1 项为
1
9
9
9
图 1－ 3 由此推断，当 n ＝ 6 时，黑色正方形互不．相．邻．． 的着色方案共有 ___ 色正方 形相邻 的着色方案共有 ________ 种． (结果用数值表示 )
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________ ．
大纲理数 13.J3 [2011 ·全国卷 ] 0 【解析】 展开式 的第 r ＋ 1 项为
r n－r r
课标理数 4.J3 [2011 ·陕西 卷 ] C 【解析】 由 T r＋ 1＝ C na b 可知所求
－r
－x r
r
r x 12 －3r
(－ 2 ) ＝ C 6(－ 1) (2 ) ，要出现常数项，则
r ＝ 4 ，则常数项为 C
大纲文数 13.J3 [2011 ·四川卷 ] (x ＋ 1) 9 的展开式中 x3 的系数是 ____
(1 ＋
5
2x)
的通项为
令 r ＝ 2，则
2
r
C
r5＝
2
2
C
25＝
4×
5
× 2
4
＝
40，即
x2 的系数等于
40 ，故选
27
4
课标理数 10.J3 [2011 ·广东卷 ] x x－ x 的展开式中， x 的系数是 _
2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题J 计数原理 理
J 计数原理J1 基本计数原理10．J1、J2[2012·某某卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D [解析] 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.6．J1、J2[2012·卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7．K2、J1[2012·某某卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.197．D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：C15×C15＝25；另一类x为偶数，y为奇数共有：C14×C15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝545＝19.6．J1、J2[2012·某某卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种C．65种 D．66种6．D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J2 排列、组合11．J2[2012·某某卷] 现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X．从中任取3X，要求这3X卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．48411．C [解析] 本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．法一：(排除法)先从16X卡片选3X，然后排除所取三X同色与红色的为2X的情况，C316－4C34－C24C112＝560－88＝472.法二：有红色卡片的取法有C14C23C14C14＋C14C13C24，不含红色卡片的取法有C14C14C14＋C13C24C18，总共不同取法有C14C23C14C14＋C14C13C24＋C14C14C14＋C13C24C18＝472.8．J2[2012·某某卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种 B．15种C．20种 D．30种8．C [解析] 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.5．J2[2012·某某卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!5．C [解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.2．J2[2012·课标全国卷] 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种2．A [解析] 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C12C24＝12种．故选A.11．J2[2012·全国卷] 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种C．24种 D．36种11．A [解析] 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A33＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有2A33＝12种不同的排法，故选A.6．J1、J2[2012·卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.10．J1、J2[2012·某某卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D [解析] 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.11．J2[2012·某某卷] 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( ) A．60条 B．62条C．71条 D．80条11．B [解析] 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；以上共计14条不同的抛物线；②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A35＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有4A23＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，以上两种情况合计14＋48＝62(条)．6．J1、J2[2012·某某卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种C．65种 D．66种6．D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J3 二项式定理1．J3[2012·某某卷] (1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．211．D [解析] 根据二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 7x r，取r ＝2得x 2的系数为C 27＝7×62＝21.5．J3[2012·某某卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160 [解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．J3[2012·某某卷] (a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________． 12．1 [解析] 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 5a 5－r x r ，令r ＝2，所以x 2的系数为C 25a 3，即有C 25a 3＝10，a ＝1，故填1.13．J3[2012·某某卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)13．－160 [解析] 由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r，令3－r ＝0，∴r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)326－3C 36＝－160.5．J3[2012·某某卷] 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．125．D [解析] 512 012＋a ＝a ＋(13×4－1)2 012＝(1－13×14)2012＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012(13×4)2＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 012，显然当a ＋1＝13k ，k ∈Z ，即a ＝－1＋13k ，k ∈Z 时，512 012＋a ＝13×4[－C 12 012＋C 22 012(13×4)1＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 011]，能被13整除．因为a ∈Z ，且0≤a <13, 所以a ＝12.故选D.10．J3[2012·某某卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)10．20 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6x12－3r ，令12－3r ＝3，解得r ＝3，所以x 3的系数为：C 36＝20.11．J3[2012·某某卷] (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 11．2 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是T r ＋1＝C r 4a 4－r x r, x 3的系数为8，即令r ＝3，所以C 34a 1＝8，所以4a ＝8，所以a ＝2.15．J3[2012·全国卷] 若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．15．56 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n ，再结合通项公式即可．由题有C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r －8，令2r －8＝2⇒r ＝5，∴1x2的系数为C 58＝56，故填56.7．J3[2012·某某卷] (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．37．D [解析] 本题考查二项式定理的简单应用．因为()x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15，又2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为2C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20()－15＝－2，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为x 2C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21()－14＝5，故二项式()x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为－2＋5＝3.5．J3[2012·某某卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－405．D [解析] 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 525－k x 10－3k，令10－3k ＝1，即k ＝3， 此时x 的系数为(－1)3C 3522＝－40.14．J3、B12[2012·某某卷] 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.14．10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．法一：由于f (x )＝x 5＝[]1＋x －15那么a 3＝C 25(－1)2＝10，故应填10.法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.法三：由等式两边对应项系数相等．即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．4．J3[2012·某某卷] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105 4．B [解析] 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k8·(x )8－k·⎝⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k.令4－k ＝0，则k ＝4，所以展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.J4 单元综合2012模拟题1．[2012·某某五校联考] 2011年某某世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有( )A ．25种B ．150种C ．240种D ．360种1.B [解析] 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，分为两类，第一类有一样3人做，另2样各一人：C 35A 33＝60，第二类有两样各2人做，另一样1人做：12C 25C 23A 33＝90，总共有60＋90＝150种分派方法，选B.2．[2012·某某省重点中学联考] 在⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 20的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项2．B [解析] 本题主要考查二项式定理．属于基础知识、基本运算的考查．T r ＋1＝C r 20x20－r 3·x －r 2＝C r 20x 40－5r6，x 的幂指数是整数，则必需40－5r 是6的倍数，所以r ＝2,8,14,20共四项．3．[2012·某某一中检测] 每位学生可从本年级开设的A 类选修课3门，B 类选修课4门中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．(用数字作答)3．30 [解析] 因为从A 类选修课3门，B 类选修课4门中选3门，要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有C 37－C 33－C 34＝30种．4．[2012·某某省重点中学一模] 设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展示式中含x 2项的系数是________．4．－192 [解析] 本题主要考查求三角函数的定积分和二项式定理的通项公式．属于基础知识、基本运算的考查．a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ＝(－cos x ＋sin x)⎪⎪ π0＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展示式中含x 2项的系数是－C 1625＝－192.5．[2012·某某省重点中学联考] (1－2x)5(1－3x)4的展开式中按x 的升幂排列的第2项等于________．5．－22x [解析] 本题主要考查二项式定理的通项公式．属于基础知识、基本运算的考查．按x 的升幂排列的第2项为x 的一次项，它的系数为C 15(－2)＋C 14(－3)＝－22，第2项等于－22x.。
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16.小 石 潭 记 学习目标 1.了解有关作者的文学常识,能正确朗读课文,疏通文义。
2.积累常见的文言实词、虚词,提高阅读文言文的能力。
3.理解课文内容,体会作者的思想感情。
第 一 课 时 ●重点:品味作品写景的妙处。
预习导学 1.补全空缺,了解作者。
柳宗元,字 子厚 ,河东人, 唐 代中期杰出的文学家、哲学家、散文家和思想家,“ 唐宋八大家 ”之一。
与韩愈共同倡导唐代古文运动,并称为“ 韩柳 ”。
代表作:山水游记《 永州八记 》,诗《江雪》,寓言《黔之驴》。
? 2.给加点的字注音或根据拼音写出汉字。
篁竹(huáng) 清洌(liè) 为坻(chí) 为(kān) chù( )尔 xī( 翕 )忽 yǐ( )然 幽suì( 邃 ) 3.解释下列加点的古今异义词。
乃记之而去 古义:离开 今义: 前往,到某处 ? 崔氏二小生 古义: 年轻人 今义: 戏曲艺术中的一种角色 ? 4.积累文言文中的多义词。
5.指出下列加点词语的活用情况并解释。
近岸靠近。
(形容词作动词)? 心乐之以……为乐,句中则译为“喜欢”。
(意动用法)? 犬牙差互 像狗的牙齿那样。
(名词作状语) ? 斗折蛇行斗:像北斗七星一样;蛇:像蛇那样。
(名词作状语) ? 6.查资料,了解本文的写作背景。
柳宗元曾参与王叔文集团的政治革新活动,任礼部员外郎。
失败后,被贬为永州司马。
他在政治上不得志,心情抑郁,所以就以游山玩水、欣赏大自然风光来排遣内心的愁闷。
他在永州发现了许多风景优美的地方,记下了其中的八处名胜,写成了我国古典文学散文史上颇有名的诗文《永州八记》。
本文是《永州八记》中的第四篇。
合作探究 问题一:一读文章,读准文章节奏。
用“/”标出朗读节奏。
从 小 丘/西 行 百 二 十 步,隔/篁 竹,闻/ 水 声,如 鸣/佩 环,心 乐 之。
伐 竹/取 道,下 见/小 潭,水/尤 清洌。
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11.背 影 1.积累“交卸、奔丧、踌躇、颓唐”等词语,学习本文抓住人物形象的一个特征在特定环境下进行细致描写的特点(截取法)。
2.感受父子之间的浓浓亲情,净化自己的灵魂。
第 一 课 时 ●重点:能说明关键语句的含义,培养理解父母、感恩父母的思想感情。
1.下面是某同学制作的知识卡片,请你帮着补充完整。
朱自清(1898—1948),原名 朱自华 ,字佩弦,现代著名作家和学者,有著作27种,共约190万字,包括诗歌、散文、文艺批评、学术研究等。
1928年出版了散文集《背影》。
朱自清的散文主要是叙事性和抒情性的小品文。
其中《春》《 荷塘月色 》更是脍炙人口的名篇。
? 2.给下列加点字注音或根据拼音写出汉字。
差使(chāi) 奔丧(sāng) 踌躇(chóu)(chú) 颓唐(tuí) zhà(栅)栏 举 zhù( 箸) suǒ xiè( 琐)( 屑)pán shān (蹒)( 跚) 3.结合课文,解释下列词语。
交卸: 这里指失业。
颓唐: 衰颓败落。
情郁于中:感情聚积心里不得发泄。
踌躇: 犹豫不决。
不能自已: 不能够控制自己的情感。
触目伤怀:看到某种情况或景象感到悲伤。
? 拓展:辨析词义。
(1)[嘱托—嘱咐] 两者都有“告诉对方做某事”的意思。
区别:“嘱托”有委托请求之意,可用于对平辈或晚辈、下级;而“嘱咐”有叮嘱、吩咐之意,只可用于上级对下级、长辈对晚辈。
(2)[颓唐—颓废] 都有精神不振之意。
区别:“颓唐”侧重指情绪低落或境况衰败,“颓废”侧重指意志衰退。
4.阅读课文,在横线上填入恰当的词语。
问题一:细读文章,感知内容。
1.本文的题目是“背影”,文中一共几次写到“背影”? 请具体说明。
四次。
第一次:点题的背影;第二次:买橘子的背影;第三次:离别时的背影;第四次:泪光中的背影。
2.作者为什么选择这样的角度来命题立意,并用它来组织材料、结构成文呢? 示例:作者选取“背影”这个特殊的角度来反映父亲的面貌,基于表现内容的需要,体现着高明的艺术构思。
高考数学解析分类汇编(4)---计数原理 理
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40-2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种4 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（ ）A ．1635B ．835 C ．435 D ．1055 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．217 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．4849 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ）A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．1211．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．613．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 14．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 （ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题15．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答). 17．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ .18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.19．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.20．（2012年高考（湖南理））()6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)22．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________. 23．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 1. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.2. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种3. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种. 4. 【答案】B【解析】841881()2rrr r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 5. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222bcy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 6. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.8. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.9. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.11.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=. 12. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B. 【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.13. 【解析】选D 261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人 14. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题15. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =. 16. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.17. [解析] 展开式通项rr r r r r r r r r x C x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C .18. 119.解析:5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a . 20. 【答案】-160【解析】(-)6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. [来源:2]【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.21.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk kk k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =. 22. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力. 23.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5856C =.。
【数学】2012新题分类汇编：计数原理(高考真题+模拟新题)
课标理数12。
J2［2011·北京卷] 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J2[2011·北京卷] 14【解析】若不考虑数字2，3至少都出现一次的限制，对个位,十位,百位，千位,每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数,然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7。
J2[2011·全国卷] 某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(）A．4种B．10种C．18种D．20种大纲理数7。
J2［2011·全国卷］B【解析】若取出1本画册,3本集邮册，有C错误!种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册,有C错误!种赠送方法，则不同的赠送方法有C 错误!＋C错误!＝10种，故选B.［来源:Z§xx§k。
Com]大纲文数9.J2［2011·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(）A．12种B．24种C．30种D．36种大纲文数9.J2［2011·全国卷] B【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C错误!×2×2＝24种，故选B。
课标理数15.J2[2011·湖北卷］给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时,在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示:图1－3［来源:Z_xx_]由此推断,当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．（结果用数值表示）课标理数15。
J2[2011·湖北卷] 2143【解析】(1）以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形,则有C错误!＝4种;②若有2块黑色正方形，则有C错误!＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C错误!＝6种;④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻,有(C错误!＋C 错误!）＋A错误!＋C错误!＝23种；②有3块黑色正方形相邻,有C错误!＋A错误!＋C错误!＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C错误!＋C错误!＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C错误!＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12。
2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之计数原理和二项式定理
第十一章计数原理第一节排列与组合高考试题考点一两个计数原理1.(2013年福建卷,理5)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()(A)14 (B)13 (C)12 (D)10解析:若a=0,则b可以为-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有4个;若a≠0,方程ax2+2x+b=0有实数解,需Δ=4-4ab ≥0,所以ab≤1,此时(a,b)的取值为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),共9个.∴(a,b)的个数为4+9=13.故选B.答案:B2.(2012年大纲全国卷,理11)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种解析:利用分步计数原理,先填最左上角的数,有3种,再填最右上角的数,有2种,再填写第二行第一列的数,有2种,一共有3×2×2=12种.答案:A3.(2012年北京卷,理6)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()(A)24 (B)18 (C)12 (D)6A=6种方法,即符合条件的奇数解析:第一类:若0,2中选0,则0只能在十位,百位、个位从1,3,5中选有23有6个;第二类:若0,2中选2,则2可以在百位或十位,有12A 种方法,其余两位从1,3,5中选有23A 种方法.∴选2时,符合条件的奇数有1223A A =12个.综上,由加法计数原理,符合条件的奇数有12+6=18个. 答案:B4.(2010年湖南卷,理7)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) (A)10(B)11(C)12(D)15解析:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类:与信息0110有两个对应位置上的数字相同,有24C =6(个);第二类:与信息0110有一个对应位置上的数字相同,有14C =4(个);第三类:与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,有04C =1(个).所以与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6+4+1=11(个). 答案:B考点二 排列与组合1.(2013年四川卷,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b 的不同值的个数是( ) (A)9 (B)10(C)18(D)20解析:因为lg a-lg b=lg a b ,所以lg a-lg b 的个数等于a b的个数,从1,3,5,7,9中任取两个作除法有25A 种不同取法,其中13=39,31=93,故a b的不同值的个数为25A -2=18,故选C. 答案:C2.(2013年山东卷,理10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) (A)243(B)252(C)261(D)279解析:由0,1,…,9十个数字共可组成三位数个数为11191010C C C =900,其中无重复数字的三位数有1299C A =648(个),则符合题意三位数个数为900-648=252.故选B.3.(2012年辽宁卷,理5)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) (A)3×3! (B)3×(3!)3(C)(3!)4(D)9!解析:每个家庭有3!种不同的排法,而三个家庭又有3!种不同的排法,共有(3!)4种不同的排法.答案:C4.(2012年新课标全国卷,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) (A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种解析:法一 因为2名教师和4名学生共有12241C C 2种分法,再分到甲、乙两地共有1222421C C A 2=12种分法. 法二 先从2名教师中选1名,再从4名学生中选2名安排到甲地即可,乙地就安排剩下的还没有选取的教师与学生,故共有1224C C =12种安排方案.答案:A5.(2012年山东卷,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( ) (A)232(B)252(C)472(D)484解析:分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有14C 212C =264(种).第二类,不含有红色卡片,共有312C -334C =208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264+208=472(种).选C. 答案:C6.(2012年浙江卷,理6)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )(A)60种 (B)63种 (C)65种 (D)66种解析:分三种情况:①4个偶数;②两个偶数两个奇数;③四个奇数.故共有44C +24C 25C +45C =66种.7.(2012年陕西卷,理8)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) (A)10种 (B)15种 (C)20种 (D)30种 解析:两人打3局:233C =2两人打4局:223C =2×3=6两人打5局:224C =2·4!2!2!=12 故决出胜负的所有可能共有2+6+12=20种可能. 答案:C8.(2011年四川卷,理12)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.若记所有作成的平行四边形的个数为n,其中面积不超过4的平行四边形的个数为m,则mn等于( ) (A)415 (B)13(C)25 (D)23解析:向量α的坐标可能有以下6种情况:(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5).从以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边共可作平行四边形26C =15(个),即n=15.以向量a,b 为邻边的平行四边形的面积S=12|a|·|b|sin<a,b>·2=|a|·|b|·=.分别以a=(2,1),b=(2,3);a=(2,1),b=(4,1);a=(2,1),b=(4,3);a=(2,3),b=(2,5);a=(2,3),b=(4,5)为邻边的平行四边形的面积不超过4,故m=5,所以m n =515=13. 答案:B9.(2010年四川卷,理10)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) (A)72(B)96(C)108(D)144解析:由于为偶数,故末位共有13C 种选法,然后分类:①当5在首位或十位时,共有212A 33A 13C =72(个);②当5在万位、千位或百位时,共有322A 22A 13C =36(个).故共有72+36=108(个).答案:C10.(2010年天津卷,理10)如图所示,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色,若要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )(A)288种 (B)264种 (C)240种 (D)168种解析:当涂四色时,先涂A,E,D 三点,为34A ,再从B,F,C 三点选一个涂第四种颜色.如选B,若F 与D 同色,则涂C 有2种方法;若F 与D 异色,则C 只有一种涂法,故共有34A 13A (2+1)=216(种);当涂三色时,先涂A,E,D,有34C 33A 种,再涂B 有2种,F,C 各有一种涂法,故共有34C 33A ×2=48(种).故共有216+48=264(种).答案:B11.(2013年重庆卷,理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答). 解析:选派骨科、脑外科、内科医生的人数依次为3,1,1;2,2,1;2,1,2;1,3,1;1,2,2;1,1,3.所以选派种数为33C ·14C ·15C +23C ·24C ·15C +23C ·14C ·25C +13C ·34C ·15C +13C ·24C ·25C +13C ·14C ·35C =590.答案:59012.(2013年浙江卷,理14)将A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且A,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有 种(用数字作答).解析:按C 的位置分类计算.①当C 在第一或第六位时,有55A =120(种)排法;②当C 在第二或第五位时,有24A 33A =72(种)排法;③当C 在第三或第四位时,有22A 33A +23A 33A =48(种)排法.所以共有2×(120+72+48)=480(种)排法. 答案:48013.(2013年北京卷,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .解析:序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券,2张参观券连号的有4种情况,5张参观券分为4组,其中有2个连号,每一种分法中的排列方法有44A 种,因此共有不同的分法444A =4×24=96(种).答案:9614.(2013年大纲全国卷,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)解析:利用插空法求解,除甲、乙外4人排成一行,有44A 种不同排法,产生5个空位,甲、乙插入有25A 种不同插入方法,因此满足条件的不同排法有44A ·25A =480种.答案:48015.(2012年重庆卷,理15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答). 解析:随意排6节课的方法有66A =720,相邻两节文化课之间至多间隔一节艺术课的对立事件为:相邻两节文化课之间安排3节艺术课或相邻两节文化课之间安排2节艺术课,共有233A 33A +33A 12C 23A 13C =288,所以其概率为1-288720=35. 答案:3516.(2012年湖南卷,理16)设N=2n (n ∈N *,n ≥2),将N 个数x 1,x 2,…,x N 依次放入编号为1,2,…,N 的N 个位置,得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N 个位置,得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ,将此操作称为C 变换,将P 1分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到P 2.当2≤i ≤n-2时,将P i 分成2i段,每段i2N个数,并对每段作C 变换,得到P i+1,例如,当N=8时,P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8,此时x 7位于P 2中的第4个位置. (1)当N=16时,x 7位于P 2中的第 个位置; (2)当N=2n(n ≥8)时,x 173位于P 4中的第 个位置.解析:(1)当N=16时,P 0=x 1x 2x 3x 4…x 15x 16, P 1=x 1x 3x 5…x 15x 2x 4…x 16,P 2=x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16, 所以x 7位于P 2中的第6个位置. (2)当N=2n(n ≥8)时,P 0=x 1x 2…x N ,P 1=113512n N x x x x --个…1242n N x x x -个…,173为奇数,x 173位于P 1的第1段;P 2=22221593726482222n n n n x x x x x x x x x ----个个个个…………173=4×43+1,此时x 173位于P 2的第1段 P 3=3319175132122n n x x x x x x --个个……P 3分成8段,每段共2n-3个数,173=8×21+5,此时x 173位于P 3的第2段, P 4=444411792552113292222n n n n x x x x x x x x ----个个个个…………P 4分成16段,每段共2n-4个数,173=16×10+13,此时x 173位于P 4的第4段,其第4段的数的下标成等差数列,记作{a n },其中a 1=13,d=16. 所以a n =13+16(n-1)=16n-3. 令a n =173,即16n-3=173,n=11.所以x173位于P4的第4段的第11个位置,故x173位于P4中的第3×2n-4+11个位置.答案:63×2n-4+1117.(2010年江西卷,理14)将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种(用数字作答).解析:由题意可知,分成4组共有226422C CA种分法,故不同的分配方案有226422C CA44A=1080(种).答案:1080模拟试题考点一两个计数原理1.(2012孝感一模)如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则导致电路不通,今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()(A)9 (B)11(C)13 (D)15解析:按照脱落的个数多少进行分类,第一类,若脱落1个,则有(1)(4)共2种;第二类,若脱落2个,有(1,4)(2,3)(1,2)(1,3)(4,2)(4,3)共6种;第三类,若脱落3个,有(1,2,3)(1,2,4)(2,3,4)(1,3,4)共4种;第四类,若脱落4个,有(1,2,3,4)共1种.综上共有2+6+4+1=13(种).答案:C2.(2012湖南省四市九校高三第一次联考)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有种.解析:第一步,从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形,涂法有3种; 第二步,涂标号为“2、3、6”的小正方形,若“2、6”同色,涂法有2×2种,若“2、6”不同色,涂法有2×1种; 第三步:涂标号为“4、7、8”的小正方形,涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样. 所以符合条件的所有涂法共有3×(2×2+2×1)×(2×2+2×1)=108(种). 答案:108考点二 排列与组合1.(2013玉溪一中期中)某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法有( ) A.474种 B.77种 C.462种 D.79种解析:首先求得不受限制时,从9节课中任意安排3节,有39A =504种排法,其中上午连排3节的有333A =18种,下午连排3节的有233A =12种,则这位教师一天的课的所有排法有504-18-12=474种,故选A. 答案:A2.(2012济南一中质检)某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( ) (A)16(B)18(C)24(D)32解析:3辆车占3个车位,剩下的4个车位看做1个元素,3辆车连同车位有33A 种排法,将剩下的4个连在一起的车位放在3辆车形成的4个空中,有4种方法,所以共有33A ×4=24(种). 答案:C综合检测1.(2013北京市朝阳区高三期末)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种解析:若选1男3女有14C 33C =4种;若选2男2女有24C 23C =18种;若选3男1女有34C 13C =12种;所以共有4+18+12=34种不同的选法.选D. 答案:D2.(2012安庆模拟)在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7中,使相邻两数都互质的排列方式共有( )(A)576种 (B)720种 (C)864种 (D)1152种解析:先让数字1,3,5,7做全排列,有44A =24种,再排数字6,由于数字6不与3相邻,在排好的排列中,除3的左、右2个空隙,还有3个空隙可排数字6,故数字6有3种排法,最后排数字2,4,在满足条件的4个空隙中排上2,4,有24A 种排法,∴共有44A ×3×24A =864(种).答案:C3.(2011绍兴一模)现有6张风景区门票分配给6位游客,若其中A,B 风景区门票各2张,C,D 风景区门票各1张,则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)解析:6位游客选2人去A 风景区,有26C 种,余下4位游客选2人去B 风景区,有24C 种,余下2人去C,D 风景区,有22A 种,所以分配方案共有26C 24C 22A =180(种).答案:180第二节 二项式定理高考试题考点一 求二项展开式某项的系数或常数项1.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5,则a=( )(A)-4 (B)-3 (C)-2(D)-1解析:(1+x)5中的25C x 2项与15C x 项分别与(1+ax)中的常数项1与一次项ax 的乘积之和为展开式中含x 2的项,即25C x 2+15C x ·ax=5x 2,∴a=-1.故选D.答案:D2.(2012年四川卷,理1)(1+x)7的展开式中x 2的系数是( )(A)42 (B)35(C)28(D)21解析:T 3=27C x 2=21x 2,故选D.答案:D3.(2013年陕西卷,理8)设函数f(x)=61,0,0.x x x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩＜≥则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ) (A)-20(B)20(C)-15(D)15解析:当x>0时6, T r+1=6C r)6-r ·r =(-1)r 6C r·x r-3, 常数项为(-1)336C =-654321⨯⨯⨯⨯=-20.故选A. 答案:A4.(2013年江西卷,理5)(x 2-32x )5展开式中的常数项为( ) (A)80(B)-80(C)40(D)-40解析:求二项式展开式中特定的项,需先写出二项式的展开式的一般形式,T r+1=5C r·(x 2)5-r·(-32x )r=5C r ·(-2)r ·x 10-5r ,令10-5r=0,得r=2,故常数项为25C (-2)2=40.答案:C5.(2013年辽宁卷,理7)使)n(n ∈N +)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:T r+1=C r n (3x)n-r)r,(r ∈N),T r+1=C r n 3n-r52n r x-.令n-52r=0,当r=2,n=5时成立, 则n 的最小值为5.故选B. 答案:B6.(2012年重庆卷,理8的展开式中的常数项为( )(A)3516(B)358(C)354(D)105解析:T k+1=8C k (8-k·(k=8C k 82k x-·2-k·2k x-,若求常数项,只需82k --2k =0,∴k=4,∴T 5=48C ·2-4=87654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯×412=358.故选B.答案:B7.(2011年陕西卷,理4)(4x-2-x )6(x ∈R)展开式中的常数项是( )(A)-20 (B)-15 (C)15(D)20解析:由通项公式得T r+1=6C r (4x )6-r (-2-x )r =(-1)r 6C r 212x-3xr ,令12x-3xr=0⇒r=4,故常数项为(-1)446C =15.故选C. 答案:C8.(2011年天津卷,理5)在)6的二项展开式中,x 2的系数为( )(A)-154 (B)154 (C)-38(D)38解析:)6的二项展开式的通项为T r+1=6C r ()6-r )r =(-1)r 22r-66C r x 3-r ,令3-r=2,得r=1,所以含x 2项的系数为-2-4×6=-38.故选C.答案:C9.(2010年陕西卷,理4) (x+a x )5(x ∈R)的展开式中x 3的系数为10,则实数a 等于( ) (A)-1(B)12(C)1(D)2解析:由题意可知T r+1=5C rx 5-r·(a x)r =a r ·5C r·x 5-2r .令5-2r=3,则r=1.∴x 3的系数为a ·15C =10,∴a=2. 答案:D10.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m 等于( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:由二项式系数的性质知:二项式(x+y)2m的展开式中二项式系数最大有一项2C m m =a,二项式(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大有两项21C m m +=121C m m ++=b, 因此132C m m =721C m m +,∴13·2!!!m m m =7·()()21!!1!m m m ++,即13=()7211m m ++,∴m=6.故选B. 答案:B11.(2013年四川卷,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x 2y 3的项的系数是 .(用数字作答)解析:(x+y)5的展开式的通项T r+1=5C rx 5-r y r,令r=3,得含x 2y 3的项的系数为35C =10.答案:1012.(2011年浙江卷,理13)设二项式)6(a>0)的展开式中x 3项的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a 的值是 .解析:由通项公式得T r+1=6C rx 6-r)r =6C r ·(-a)r 362r x -,令6-32r=3⇒r=2,∴A=26C (-a)2=15a 2,6-32r=0⇒r=4,则B=46C (-a)4=15a 4,由B=4A,得15a 4=60a 2.∵a>0,∴a=2.答案:213.(2010年四川卷,理)6的展开式中的第四项是 . 解析:T 4=T 3+1=36C ·23·3=-160x . 答案:-160x14.(2010年辽宁卷,理13)(1+x+x 2) (x-1x)6的展开式中的常数项为 .解析: (x-1x )6中,T r+1=6C r x 6-r ·(-1x )r =(-1)r 6C r x 6-2r ,令6-2r=0,得r=3,T 4=36C (-1)3=-36C ,令6-2r=-1,r=72(舍去),令6-2r=-2,r=4,T 5=46C (-1)4x -2,∴(1+x+x 2) (x-1x)6的展开式中的常数项为1×(-36C )+46C =-20+15=-5. 答案:-515.(2013年浙江卷,理11)设二项式)5的展开式中常数项为A,则A= .解析:T r+1=(-1)r5C r 5-r)r =(-1)r 5C r1556rx -,令1556r-=0,得r=3, 故常数项A=(-1)335C =-10.答案:-1016.(2013年天津卷,理)6的二项展开式中的常数项为 . 解析:T r+1=6C r x 6-r)r =(-1)r 6C r362r x -. 令6-32r=0,得r=4, 所以)6的二项展开式中常数项为46C =15. 答案:15考点二 求二项展开式中有关系数的和或差1.(2012年湖北卷,理5)设a ∈Z,且0≤a<13,若512012+a 能被13整除,则a 等于( )(A)0 (B)1 (C)11(D)12解析:由二项式定理,得512012+a=a+(1-13×4)2012=a+1-12012C (13×4)+ 22012C (13×4)2-…+20122012C (13×4)2012,显然当a+1=13k(k ∈Z)时,512012+a 能被13整除.又0≤a<13,则a=12. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理8)若(x+a x )(2x-1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( ) (A)-40(B)-20(C)20(D)40解析:令x=1,即可得到(x+a x ) (2x-1x )5的展开式中各项系数的和为1+a=2,所以a=1, (x+a x ) (2x-1x)5=(x+1x ) (2x-1x )5,要找其展开式中的常数项,需要找(2x-1x )5的展开式中的x 和1x ,由通项公式得T r+1=5C r (2x)5-r·(-1x )r =(-1)r ·25-r 5C rx 5-2r ,令5-2r=±1,得到r=2或r=3,所以有80x 和-40x 项,分别与1x和x 相乘,再相加,即得该展开式中的常数项为80-40=40. 答案:D3.(2011年安徽卷,理12)设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= .解析:a 10,a 11分别是含x 10和x 11项的系数,所以a 10=-1121C ,a 11=1021C ,所以a 10+a 11=1021C -1121C =0.答案:04.(2010年湖北卷,理11)在20的展开式中,系数为有理数的项共有 项.解析:T r+1=20C r·43r x 20-r·y r,其系数为20Cr 43r ,当r=0,4,8,12,16,20时,其系数为有理数,∴共有6项.答案:6模拟试题考点一 求二项展开式中某项的系数或常数项1.(2013玉溪一中检测)在(1-x)5+(1-x)6的展开式中,含x 3的项的系数是 .解析:(1-x)5的展开式的通项为5C k (-1)k x k,(1-x)6的展开式的通项为6C k (-1)k x k,所以x 3项为35C (-1)3x 3+36C (-1)3x 3=-30x 3,所以x 3的系数为-30.答案:-302.(2011安徽宣城模拟)在(x-2)54的展开式中x 3y 2的系数为 .解析:(x-2)5的展开式的通项公式为T r+1=5C r x 5-r (-2)r ,令r=2得x 3的系数为25C (-2)24的展开式的通项公式为T r'+1=4C r ()4-r'y r',令r'=2得y 2的系数为24C ()2=12,于是展开式中x 3y 2的系数为40×12=480.答案:480考点二 求二项展开式中有关系数的和或差1.(2012广西调研)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为( ) (A)-960 (B)960(C)1120 (D)1680解析:因为偶数项的二项式系数和为2n-1=128,∴n-1=7,n=8,则展开式共有9项,中间项为第5项,(1-2x)8的通项公式为T r+1=8C r(-2x)r,∴T 5=48C (-2)4x 4,其系数为48C (-2)4=1120.答案:C2.(2011潍坊期末)若(1-2x)2011=a 0+a 1x+…+a 2011x 2011(x ∈R),则12a +222a +…+201120112a的值为( ) (A)2 (B)0(C)-1(D)-2解析:观察所求数列和的特点, 令x=12可得a 0+12a +222a + (201120112)=0, 所以12a +222a +…+201120112a=-a 0, 再令x=0可得a 0=1, 因此12a +222a +…+201120112a =-1. 答案:C综合检测1.(2013昆明三中检测)若变量a,b 满足约束条件6,32,1,a b a b a +⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥n=2a+3b,则n 取最小值时21x )n 二项展开式中的常数项为( ) (A)-80 (B)80(C)40(D)-20解析:如图所示,作出不等式组对应的平面区域,由n=2a+3b 得b=-23a+3n , 平移直线b=-23a+3n , 由图象可知当直线经过点B 时,n 最小, 当a=1时,b=1,即B(1,1), 代入n=2a+3b 得n=5,所以二项式为21x )5, 二项式的通项公式为T k+1=5C k 5-k(-21x )k =5C k 25-k (-1)k552kx , 所以当k=1时,展开式的常数项为 T 2=15C ·24·(-1)=-80.故选A.答案:A2.(2012安徽名校高三第五次联考)(a+b+c)6的展开式中合并同类项后共有( )(A)28项 (B)35项 (C)42项 (D)56项解析:(a+b+c)6=[(a+b)+c]6=06C (a+b)6+16C (a+b)5c+…+56C (a+b)c 5+66C c 6,于是项数为7+6+…+2+1=28. 故选A. 答案:A3.(2011南昌市高三第一次模考)若(x+y)9按x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x 的取值范围是( )(A) (-∞, 15 ) (B)[45,+∞)(C) (-∞,-45] (D)(1,+∞) 解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是T r+1=9C r·x 9-r·y r.依题意有191292299C C ,1,0,x y x y x y xy --⎧⋅⋅⋅⋅⎪+=⎨⎪⎩≤＜即()()()2871410,10,x x x x x x ⎧⋅--⋅-⎪⎨-⎪⎩≤＜由此解得x>1,即x 的取值范围是(1,+∞), 故选D. 答案:D4.(2012德州期末)若n=π20⎰(2cos x+4sin x)dx,则二项式)n的展开式中的常数项为 .(用数字作答)解析:n=π20⎰(2cos x+4sin x)dx =(2sin x-4cos x)|π20=6, 得)6的展开式的通项为 T r+1=6C rx 6-r·)r =6C r 362r x -(-2)r, 由6-32r=0,得r=4,代到展开式的通项中得T 5=240. 答案:240。
2012年数学高考试题+模拟新题分类汇编：专题J 计数原理(理科).pdf
第13课 人民军队和革命根据地的建立 班级 姓名 小组 编号 一、学习目标：1.南昌起义；2.秋收起义；3.井冈山革命根据地的建立；4.井冈山会师；5.中央革命根据地和全国其他革命根据地相继建立。
二、课堂目标重难点： 1.重点:南昌起义 2.难点：毛泽东为什么要率工农革命军刀农村开展游击战争和开辟根据地。
三、自主学习教材第 64---68页，完成下列练习： 1. 南昌起义：①时间：（ ）年（ ）月（ ）日。
②领导人：（ ）、贺龙、朱德、（ ）等。
③意义：南昌起义是中国共产党创建军队，独立领导（ ）的开始。
P64 2.井冈山会师： ①秋收起义：1927年9月，（ ）在湘赣边界地区发动秋收起义。
②（ ）年初，井冈山革命根据地初步形成。
这是中国共产党建立的第一个农村革命根据地。
③１９２８年４月，朱德＼陈毅率部队来到（ ），与毛泽东领导的部队会师，成立了中国（ ）第（ ）军。
全军１万多人，由（ ）任军长，毛泽东任（ ），（ ）任政治部主任。
Ｐ６５. ３.星火燎原 概况：①朱德、毛泽东开辟了赣南、（ ）革命根据地，后来，这两个根据地发展成为（ ）根据地。
彭德怀以井冈山根据地为基础，建立了（ ）革命根据地。
P66. ②到1930年上半年，全国共有大小根据地（ ）个，红军发展到（ ）万。
4.（ ）。
四、讨论题： 1、南昌被称为“军旗升起的地方”，每年的8月1日被定为中国人民解放军的建军节，中国工农红军是什么时候成立的？当时领导南昌起义的有哪些人？这次起义有什么历史意义？ 2、中国共产党建立的第一个农村革命根据地是什么？根据地的建立有何作用？ 在此之前，毛泽东发动过什么起义？ 3、歌谣“井冈山上朱毛会，创建四军建奇功”，指的是什么事？其中的朱毛分别指谁？会后成立了一支什么军队？ 4、红军歌谣“红米饭，南瓜汤，秋茄子，味好香，餐餐吃得精打光，干稻草来软又黄，金丝被儿盖身上，不怕北风和大雪，暖暖和和入梦乡”。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同地分配方案共有( )A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【结果】C思路：依据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有25C 种选法。
然后连同其余三人,看成四个圆素,四个项目看成四个不同地位置,四个不同地圆素在四个不同地位置地排列方式数有4！种,依据乘法原理,完成这件事,共有254!240C ⨯=种不同地分配方案,故选：C ．【点睛】本题考查排列组合地应用问题,属基础题,关键是首先确定人数地分配情况,然后利用先选后排思想求解．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)25()()x x y xy ++地展开式中x 3y 3地系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【结果】C【思路】5()x y +展开式地通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭地各项与5()x y +展开式地通项地乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中,令3r =,可得：33345xT C x y =,该项中33x y 地系数为10,在42152r r r r T C x x y y -++=中,令1r =,可得：521332T C y x xy =,该项中33x y 地系数为5所以33x y 地系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式地通项公式,还考查了赋值法，转化能力及思路能力,属于中档题．3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)24121x x ++()()地展开式中3x 地系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24【结果】A【思路】因为2442412112=1x x x x x +++++()()()(),所以3x 地系数为314424812C C +=+=,故选A ．【点评】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项地系数,是常规考法。
计数原理_2012~2018高考真题版
计数原理高考真题汇总2017~2018年一. 排列与组合1. (2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果, 哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30=7+23, 在不超过30的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30的概率是( ) A.121 B. 141 C. 151 D. 181 [答案与解析].符合题意的素数有: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10个, 故不同的取法有210C =45种其中和为30的组合有: {7, 23}, {11, 19}, {13, 17}三种, 故P=453=151, 选C. 2. (2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码， 共中5克， 3克， 1克砝码各一个， 2克砝码两个， 从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____（结果用最简分数表示） [答案与解析].砝码有5个, 故不同的取法有35C =10种, 总质量为9克的仅{9, 3, 1}, {9, 2, 2}两种, 故P=102=51, 3. (2018·浙江)从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, 一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列, 减去0为首位的情况.即331325442425A C C A C C -=1260个4. (2018·新课标1·理) 从2位女生, 4位男生中选3人参加科技比赛, 且至少有1位女生入选,则不同的选法共有______种. (用数字填写答案)[答案与解析].方法一: 先从两女生中选出1人, 余下2个名额在4男1女中任意选取.故2512C C =20, 但这里包括了2名女生入选的情况, 若2名女生入选再乘12C 就重复了, 所以, 即不同的选法共有20–1422C C =16.方法二: 在六人中任取三人, 减去作是男生的情况 3436C C -=16 方法三: 分女生有1人, 2人入选两种情况讨论2412C C +1422C C =165.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A.12种B.18种C.24种D.36种[答案与解析].D 4项工作分成3组，可得： =6，安排3名志愿者完成4项工作， 每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6× =36种．故选D ．6.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） [答案与解析].1 080 根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A 54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C 53•C 41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A 44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．7.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法．（用数字作答) [答案与解析]. 660第一类，先选1女3男，有C 63C 21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种， 故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C 62C 22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种， 故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660二. 二项式定理1. (2018·全国3·理)522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 4的系数为( )A. 10B. 20C. 40D. 80[答案与解析].T r+1=r r r r x x C --2)5(25, 由10–2r –r=4, 解得r=2, 于是所求系数为2252⨯C =40, 故选C.2. (2018·天津·理10)在521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中x 2的系数为_______[答案与解析]. T r+1=2552r rrrxxC ---,由25r r --=2, 解得r=2, 于是所求系数为2252-⨯C =25 3 (2018·上海3)在(1+x )7的二项展开式中, x 2项的系数为________ (结果用数值表示)[答案与解析].4. (2018·浙江)二项式8321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的常数项是______ .[答案与解析].5.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+ ）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ） A.15 B.20 C.30 D.35[答案与解析].C （2x ﹣y ）5的展开式的通项公式：T r+1= （2x ）5﹣r （﹣y ）r =25﹣r （﹣1）r x 5﹣r y r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数= +23× =40．故选C ．6.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为 （ ） A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80[答案与解析].C （1+ ）（1+x ）6展开式中：若（1+ ）=（1+x ﹣2）提供常数项1，则（1+x ）6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数：若（1+ ）提供x ﹣2项，则（1+x ）6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由（1+x ）6通项公式可得 ．可知r=2时，可得展开式中x 2的系数为 ．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=________，a5=________．[答案与解析].16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．8.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．[答案与解析]. （1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= （3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．2015~2016年一. 排列与组合1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9[答案与解析].B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E 点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个[答案与解析].C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72[答案与解析].D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[答案与解析].B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个[答案与解析].B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]6.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).[答案与解析].1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言.]二. 二项式定理1.(2016·四川，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4[答案与解析]. A [由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.选A.]2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 [答案与解析].C [T k ＋1＝C k5(x 2＋x )5－k y k，∴k ＝2.∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x2(3－r )x r y 2， ∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.]3.(2015·湖南，6)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B.－ 3C.6D.－6[答案与解析].D [⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 52－r，令52－r ＝32，则r ＝1，∴T 2＝－a C 15x 32，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.]4.(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n(n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7[答案与解析].C [由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.]5.(2016·全国Ⅰ，14)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________(用数字填写答案). [答案与解析].10 [(2x ＋x )5展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k(x )k ＝C k 525－k x 5－k 2，k ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3解得k ＝4，得T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3，∴x 3的系数是10.]6.(2016·北京，10)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________. [答案与解析]. 60 [展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.]7.(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答). [答案与解析].40 [展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40.]8.(2015·天津，12)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________.[答案与解析].1516 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516.]2014年一. 计数原理1.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种[答案与解析].C [从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]2.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24[答案与解析].D [3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]3.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种[答案与解析].B [当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种.故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种.]4 (2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168[答案与解析].B [依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]5.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对[答案与解析].C [法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48对.]6.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)[答案与解析].A [分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]7.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130[答案与解析].D [易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25 C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C35C13＋C35C23＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]8.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.[答案与解析].36 [将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]9 (2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).[答案与解析].60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]二. 二项式定理1.(2014·湖北，2)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A.2B.54 C.1 D.24[答案与解析].C [T r ＋1＝C r7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.]2.(2014·浙江，5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210[答案与解析].C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60,f (1，2)＝C 16·C 24＝36,f (0，3)＝C 34＝4，故选C.]3.(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10[答案与解析].C [只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可,而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.]4.(2014·湖南，4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A.－20B.－5C.5D.20[答案与解析].A [展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k，令5－k ＝2，得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3·22×3－5C 35＝－20，故选A.]5.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案). [答案与解析].－20 [由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.]6.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答). [答案与解析].12 [T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ,令10－r ＝7,得r ＝3,∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15,∴a 3＝18，∴a ＝12.]7.(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________. [答案与解析].3 [根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4， 结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n·1a ＝3，C 2n ·1a2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.]8.(2014·山东，14)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________.[答案与解析].2 [T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，则r ＝3.∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2，即a 2＋b 2的最小值为2.]9.(2014·大纲全国，13)⎝ ⎛⎭⎪⎫ x y－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________(用数字作答).[答案与解析].70 [T r ＋1＝C r8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝(－1)r ·C r 8·x16－3r 2·y 3r －82， 令⎩⎪⎨⎪⎧16－3r2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70.]2013年一. 计数原理1. (2013·四川8). 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a , b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20答案C解析：lg lg a b -=lg ,=有4×5−2 =18种，2为情况所以选C2. (2013·福建5).满足a , b ∈{–1, 0, 1, 2}，且关于的方程ax 2+2x +b =0有实数解的有序数对的个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 10[答案与解析]. B 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 分类讨论.① 当a =0时, 2x +b =0有实数解, 此时b 可以取4个值, 故有4个有序数对. ② 当a ≠0时, 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 则△=4–4ab ≥0, 即ab ≤1, 此时(2. 1), (1, 2), (2, 2)三个不符合题意, 故有3×4–3=9个 综上, 有9+4=13个.3. (2013·山东10). 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279[答案与解析]. B 有重复数字的三位数有9×10×10=900. 没有重复数字的三位数有2919A C =648. 所以有重复数字的三位数的个数为900–648=252.4. (2013·新课标II 14）). 从n 个正整数1, 2, 3, 4, 5, ... , n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是141，则n ＝_________。
2012年高考文科数学解析分类汇编：计数原理
2012年高考文科数学解析分类汇编：计数原理一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （ ）A ．-270B ．-90C ．90D ．270 2 ．（2012年高考（四川文））方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ） A ．28条 B ．32条 C ．36条 D ．48条 3 ．（2012年高考（四川文））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．21B ．28C ．35D ．424 ．（2012年高考（大纲文））6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有（ ）[来源:学科网ZXXK]A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种[来源:学|科|网]二、填空题5 ．（2012年高考（重庆文））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).6 ．（2012年高考（上海文））在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 7 ．（2012年高考（湖南文））某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.8 ．（2012年高考（福建文））某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为____________.9 ．（2012年高考（大纲文））81()2x x+的展开式中2x 的系数为____.2012年高考文科数学解析分类汇编：计数原理参考答案一、选择题1. 【答案】A【解析】33345(3)270T C x x =-=-【考点定位】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定问题.2. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b c y b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-2,1,2,3四种情况: (1)若b=-2,⎪⎩⎪⎨⎧======2,1,033,1,0,23,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ; (2)若b=2, ⎪⎩⎪⎨⎧-==-===-=1,0,233,0,2c ,13,1,0,2或或，或或或或c a a c a以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.综上,共有14+9+9=32种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.3. [答案]A[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.4. 答案C【命题意图】本试题考查了排列问题的运用.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.【解析】甲先安排在除开始与结尾的位置还有14C 个选择,剩余的元素与位置进行全排列有55A ,故不同的演讲次序共有1545480C A =种.二、填空题5. 【答案】:15【解析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻排法可分为两步解决,先把其它三门艺术课排列有33A 种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入那三个隔开的四个空中,有34A 种排法,故所有的排法种数有3334144A A =种,在课表上相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为6614415p A ==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义. 6. [解析] 展开式通项r r r r r r r r x C x xC T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为2036-=-C . 7. 【答案】7【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法,考查基本运算能力.8. 【答案】16【解析】走线路E A F G C B -----消费最少,用16.【考点定位】本题考查实际应用能力,创新能力,分析问题解决问题的能力.9. 答案7【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数. [来源:]【解析】根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.。
高考试题汇编——理科数学：计数原理与二项式定理()
2012高考真题分类汇编：计数原理与二项式1.【2012高考真题重庆理4】821⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635 B.835 C.435D.105 【答案】B【解析】二项展开式的通项为k k k k kkk x C xx C T --+==48881)21()21()(，令04=-k ，解得4=k ，所以835)21(4845==C T ，选B 2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种 【答案】D【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即545=C 种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即602425=C C 种方法；第三类是取四个奇数，即144=C 故有5+60+1=66种方法。
故选D 。
3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【答案】A【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有624=C ，所以共有12种安排方案，选A.4.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21【答案】D【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==，所以2x 的系数为21，选D.5.【2012高考真题四川理11】方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条 【答案】B【解析】本题可用排除法，,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则0a ≠且0b ≠,，要减去40225=A ，又22或-=b 和33或-=b 时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为18233=⨯⨯，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种 【答案】C.【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 【答案】C【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种，若2色相同，则有14414241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种，如同色则有72242314=C C C ，所以共有4727219214464=+++，故选C 。
2012年高考数学试题分类汇编--计数原理
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40-2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种4 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（ ）A ．1635B ．835 C ．435 D ．1055 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条6 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．217 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．4849 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ）A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．1211．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．613．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或414．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 （ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题15．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).17．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.19．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.20．（2012年高考（湖南理））()6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)22．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________. 23．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 1. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.2. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种3. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.4. 【答案】B【解析】841881()2r rr r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 5. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222bc y b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 6. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情形;当比分为3:2时,共有225220C A =种情形;总共有282030++=种,选D.8. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.9. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D. 11.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=. 12. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B. 【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.13. 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人 14. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题 15. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++ 两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.16. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.17. [解析] 展开式通项rr r r r r r r r r xC x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为1602336-=⨯-C .18. 119.解析:5()a x +展开式中第k 项为555kk k kT C a x -=,令2k =,2x 的系数为23510C a =,解得1a =.20. 【答案】-160【解析】(-)6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.21.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.22. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力. 23.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为5856C =.。
高考数学备考 真题+模拟新题分类汇编 计数原理
计数原理(高考真题+模拟新题)课标理数12.J2[2011·北京卷] 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J2[2011·北京卷] 14 【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7.J2[2011·全国卷] 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种C．18种 D．20种大纲理数7.J2[2011·全国卷] B 【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B.大纲文数9.J2[2011·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种C．30种 D．36种大纲文数9.J2[2011·全国卷] B 【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.课标理数15.J2[2011·湖北卷] 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示：图1－3由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)课标理数15.J2[2011·湖北卷] 21 43 【解析】 (1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12.J3[2011·安徽卷] 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.课标理数12.J3[2011·安徽卷] 0 【解析】a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝－C1121＋C1021＝0.大纲理数13.J3[2011·全国卷] (1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲理数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r20(－1)rx r2，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9的系数之差为0.大纲文数13.J3[2011·全国卷] (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲文数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与 x 9的系数之差为0.课标理数6.J3[2011·福建卷] (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10课标理数6.J3[2011·福建卷] B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r，令r ＝2，则2r C r 5＝22C 25＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.课标理数10.J3[2011·广东卷] x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)课标理数10.J3[2011·广东卷] 84 【解析】 先求⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r 7x7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 7x 7－2r (－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2＝84.课标理数11.J3[2011·湖北卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标理数11.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标文数12.J3[2011·湖北卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标文数12.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标理数8.J3[2011·课标全国卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3[2011·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，所以原式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5－r ＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5.令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40.课标理数14.J3[2011·山东卷] 若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．课标理数14.J3[2011·山东卷] 4 【解析】 T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6x 6－r (－1)r a r 2x －2r＝C r 6x6－3r(－1)ra r2，由6－3r ＝0，得r ＝2, 所以C 26a ＝60，所以a ＝4.课标理数4.J3[2011·陕西卷] (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20课标理数4.J3[2011·陕西卷] C 【解析】 由T r ＋1＝C r n a n －r b r 可知所求的通项为T r ＋1＝C r6(4x )6－r (－2－x )r ＝C r 6(－1)r (2x )12－3r ，要出现常数项，则r ＝4，则常数项为C 46(－1)4＝15，故选C.大纲文数13.J3[2011·四川卷] (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答) 大纲文数13.J3[2011·四川卷] 84 【解析】 本题主要考查二项展开式通项的应用. (x＋1)9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r ，所以x 3的系数是C 69＝9×8×73×2×1＝84.课标理数5.J3[2011·天津卷] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154 C ．－38 D.38课标理数5.J3[2011·天津卷] C 【解析】 由二项式展开式得，T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝()－1r 22r －6C r 6x 3－r，令r ＝1，则x 2的系数为()－1·22×1－6C 16＝－38.课标理数13.J3[2011·浙江卷] 设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．课标理数13.J3[2011·浙江卷] 2 【解析】 由题意得T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝()－a r C r6x 6－32r ， ∴A ＝()－a 2C 26，B ＝()－a 4C 46. 又∵B ＝4A ，∴()－a 4C 46＝4()－a 2C 26，解之得a 2＝4. 又∵a >0，∴a ＝2.大纲理数4.J3[2011·重庆卷] (1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9大纲理数4.J3[2011·重庆卷] B 【解析】 由题意可得C 5n 35＝C 6n 36，即C 5n ＝3C 6n ，即n ！5！n －！＝3·n ！6！n －！，解得n ＝7.故选B.大纲文数11.J3[2011·重庆卷] (1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．大纲文数11.J3[2011·重庆卷] 240 【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.[2010·绵阳三诊] 某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90[2011·安徽示范学校月考] 设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个[2011·四川树德中学模拟] (C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( ) A ．64 B ．224 C ．225 D ．256[2011·汕头期末] 设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含x 2项的系数是( ) A ．192B．182C．－192D．－182[2011·德州一中模拟] 为落实素质教育，山东省德州一中拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为__________．[2011·宁波八校联考] 将正方体ABCD－A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余的3个面的涂色方案共有__________种．[2011·宁波模拟] 若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于( )A．－10B．－5C．5D．10。
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计数原理(高考真题+模拟新题)课标理数12.J2[2011·北京卷] 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J2[2011·北京卷] 14【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7.J2[2011·全国卷] 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种大纲理数7.J2[2011·全国卷] B【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B.大纲文数9.J2[2011·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种大纲文数9.J2[2011·全国卷] B【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.课标理数15.J2[2011·湖北卷] 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示：图1－3由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)课标理数15.J2[2011·湖北卷] 2143【解析】(1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12.J3[2011·安徽卷] 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.课标理数12.J3[2011·安徽卷] 0【解析】a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝－C1121＋C1021＝0.大纲理数13.J3[2011·全国卷] (1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．大纲理数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r 20(－1)r x r 2，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9的系数之差为0.大纲文数13.J3[2011·全国卷] (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲文数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与x 9的系数之差为0.课标理数6.J3[2011·福建卷] (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10课标理数6.J3[2011·福建卷] B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r，令r ＝2，则2r C r 5＝22C 25＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.课标理数10.J3[2011·广东卷] x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答) 课标理数10.J3[2011·广东卷] 84 【解析】 先求⎝⎛⎭⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7x 7－2r (－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2＝84.课标理数11.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标理数11.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭⎫－13x r＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.课标文数12.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标文数12.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭⎫－13x r＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.课标理数8.J3[2011·课标全国卷] ⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3[2011·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝⎛⎭⎫1＋a1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，所以原式变为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝⎛⎭⎫－1x 5－r ＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5.令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40.课标理数14.J3[2011·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．课标理数14.J3[2011·山东卷] 4 【解析】 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x 2r ＝C r 6x 6－r (－1)r a r 2x －2r ＝C r 6x 6－3r(－1)r a r 2，由6－3r ＝0，得r ＝2, 所以C 26a ＝60，所以a ＝4.课标理数4.J3[2011·陕西卷] (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20课标理数4.J3[2011·陕西卷] C 【解析】 由T r ＋1＝C r n a n －r b r 可知所求的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝C r 6(－1)r (2x )12－3r ，要出现常数项，则r ＝4，则常数项为C 46(－1)4＝15，故选C.大纲文数13.J3[2011·四川卷] (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答) 大纲文数13.J3[2011·四川卷] 84 【解析】 本题主要考查二项展开式通项的应用. (x ＋1)9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r，所以x 3的系数是C 69＝9×8×73×2×1＝84.课标理数5.J3[2011·天津卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154 C ．－38 D.38课标理数5.J3[2011·天津卷] C 【解析】 由二项式展开式得，T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎫－2x r＝()－1r 22r －6C r 6x 3－r ，令r ＝1，则x 2的系数为()－1·22×1－6C 16＝－38.课标理数13.J3[2011·浙江卷] 设二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．课标理数13.J3[2011·浙江卷] 2 【解析】 由题意得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝()－a r C r 6x 6－32r ， ∴A ＝()－a 2C 26，B ＝()－a 4C 46. 又∵B ＝4A ，∴()－a 4C 46＝4()－a 2C 26，解之得a 2＝4. 又∵a >0，∴a ＝2.大纲理数4.J3[2011·重庆卷] (1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9大纲理数4.J3[2011·重庆卷] B 【解析】 由题意可得C 5n 35＝C 6n 36，即C 5n ＝3C 6n ，即n ！5！(n －5)！＝3·n ！6！(n －6)！，解得n ＝7.故选B.大纲文数11.J3[2011·重庆卷] (1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．大纲文数11.J3[2011·重庆卷] 240 【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.[2010·绵阳三诊] 某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90[2011·安徽示范学校月考] 设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个[2011·四川树德中学模拟] (C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为()A ．64B ．224C ．225D ．256[2011·汕头期末] 设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含x 2项的系数是( ) A ．192 B ．182 C ．－192 D ．－182[2011·德州一中模拟] 为落实素质教育，山东省德州一中拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为__________．[2011·宁波八校联考] 将正方体ABCD－A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余的3个面的涂色方案共有__________种．[2011·宁波模拟] 若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于()A．－10B．－5C．5D．10。