【数学】2012新题分类汇编：计数原理(高考真题+模拟新题)

计数原理(高考真题+模拟新题)

课标理数12.J2[2011·北京卷] 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)

课标理数12.J2[2011·北京卷] 14【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．

大纲理数7.J2[2011·全国卷] 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()

A．4种B．10种

C．18种D．20种

大纲理数7.J2[2011·全国卷] B【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B.

大纲文数9.J2[2011·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()

A．12种B．24种

C．30种D．36种

大纲文数9.J2[2011·全国卷] B【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.

课标理数15.J2[2011·湖北卷] 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻

．．．．的着色方案如图1－3所示：

图1－3

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻

．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑

色正方形相邻

．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)

课标理数15.J2[2011·湖北卷] 2143【解析】(1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．

(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．

课标理数12.J3[2011·安徽卷] 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

课标理数12.J3[2011·安徽卷] 0【解析】a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝－C1121＋C1021＝0.

大纲理数13.J3[2011·全国卷] (1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为

________．

大纲理数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r 20(－1)r x r 2

，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9

的系数之差为0.

大纲文数13.J3[2011·全国卷] (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．

大纲文数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r

，

x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与x 9

的系数之差为0.

课标理数6.J3[2011·福建卷] (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10

课标理数6.J3[2011·福建卷] B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r

，

令r ＝2，则2r C r 5＝22C 2

5＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.

课标理数10.J3[2011·广东卷] x ⎝⎛⎭

⎫x －2

x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答) 课标理数10.J3[2011·广东卷] 84 【解析】 先求⎝⎛⎭⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭

⎫－2x r ＝C r 7x 7－2r (－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2

＝84.

课标理数11.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭

⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)

课标理数11.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭

⎫－13x r

＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18

·x 18－32r .令18－32

r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15

的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 2

18＝17.

课标文数12.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭

⎫x －13x 18

的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果

用数值表示)

课标文数12.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18

x 18－r ⎝⎛⎭

⎫－13x r

＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18

·x 18－32r .令18－32

r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15

的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 2

18＝17.

课标理数8.J3[2011·课标全国卷] ⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝

⎛⎭⎫2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

A ．－40

B ．－20

C ．20

D ．40

课标理数8.J3[2011·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝⎛⎭

⎫1＋a

1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，

所以原式变为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝⎛⎭

⎫－1x 5－r ＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5

.

令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，