九年级数学旋转几何综合单元练习(Word版 含答案)

九年级数学旋转几何综合单元练习（Word版含答案）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．

（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE

△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；

（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有

EF=BE+DF；

（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；

（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即

180

ADG ADF

∠+∠=︒，即180

B D

∠+∠=︒；

（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．

【详解】

（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）解：∠B+∠D=180°，

理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴F、D、G在一条直线上，

和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22

AB AC

+，

如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．

则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△FAD ≌△EAD ，

∴DF=DE ，

设DE=x ，则DF=x ，

∵BD=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：222DF BF BD =+，

22(3)1x x =-+， 解得：x=

53， 即DE=53

． 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．

2．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)

（1）求出a 和b 之间的数量关系．

（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)

①求出此时抛物线的解析式；

②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(

478，91-8+)，

F 1(，，

G 2，F 2，) 【解析】

【分析】

（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；

（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；

②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出

131t -4+=，2t -4

=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。 【详解】

解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10

（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c

∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）

∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7

==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7

== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0

∵抛物线与直线AD 有两个交点

∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-

a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a + ∵A （2,5）∴x A =2即x D =

2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2

= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11