高等数学 隐函数求导

方法:
y xsin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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求 解:
的导数 .

sin x (cos x ln x ) x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
x 1 1 e x x sin x 1 e [ cot x ] . x 3、 2 x 2(1 e )
b 四、1、 2 3 ； a sin t
1 2、 . f (t ) 六、2 1 2 . x
t2 1 五、 . 4t
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确定的隐函数
的一阶导数
二阶导数
解: 方程两边对 x 求导， 得
dy 2 dx 2 cos y
2sin y y d 2 ( ) 2 (2 cos y ) dx 2 cos y 2sin y 2 4sin y 2 (2 cos y) 2 cos y (2 cos y )3
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又如,
两边取对数
对 x 求导
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二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
再求导, 得
y 2 (e x) y 2 y 0 e y y
y
① ②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
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对数求导法
( x 1)( x 2) , 观察函数 y ( x 3)( x 4)
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(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) tx d 2 y d ( d y ) d ( d y ) dd 2 d t d x dd xt dx dx dx (t ) (t ) (t ) (t )
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . （隐函数的显化） 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
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练习题答案
4 一、1、 ； 3 2、 x 11 y 23 0 3、 x y 0 ； 2 2 ex y y sin t cos t ,2 3 ； 5、 4、 x y . cos t sin t xe ；
p
p
二、1、
2 3 2、- 2 csc ( x y ) cot ( x y ) ；
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隐函数求高阶导数 法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导. 法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.
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例3 解
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练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y x y 0
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
Baidu Nhomakorabea
思考题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy dx
t 0
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练 习 题
一、填空题：
3 2 2 1 、设 x 2 x y 5 xy 5 y 1 0 确定了 y 是 x 的函
x y 5 、设 xy e , 则
t
p
3
=______.
dy =________. dx
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d2y 二、求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数 2 ： dx 1、 ；
2、
3、 y
x y
；
x ( x > 0，y > 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x ；
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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思考与练习
1. 设 由方程 确定,
且
存在，求 解: 方程两边对x 求导, 得
y(ln y 1) 2 x (ln x 1) 2 3、 . 3 xy(ln y 1)
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精品课件！
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精品课件！
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三、1、 x x
2
1
( 2 ln x 1) ；
x 2( 3 x ) 4 1 4 5 [ ]； 2、 5 2( x 2) 3 x x 1 ( x 1)
dy 数，则 =________. dx (1,1) 2 、曲线 x y xy 7 在点（1 ，2 ）处的切线方程 是___________.
3 3
p x t cos t 3 、曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t
x e t cos t dy dy 4 、已知 ,则 =______； t dx dx y e sin t
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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练习： 求由方程
x f (t ) d2 y 求 . , 且 f ( t ) 0 , 2 y t f (t ) f (t ) dx
d2 y 1 f (t ) d x2
2
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习:
2
1 dy d y 1 dy 1 d y t 2 求 , 2 . 解: ; 2 t 3 dx dx dx t t dx
dy dy f ( x y )(3x 3 y 0 ) 3cos3x 6 dx dx
3 3
2
2
3 3 2 cos3x f ( x y ) x 3 3 2 f (x y ) y 2
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解
解得
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作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8

(t )
2
(t )
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
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例5
解
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例6
解
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所求切线方程为
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注意 : 已知
x
?
对谁求导?
例7. 设
x2
2、 y 3、 y
x 2( 3 x ) 4 ； 5 ( x 1) x sin x 1 e x .
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d2y 四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx x a cos t 1、 ； y b sin t x f ( t ) 2、 设 f ( t ) 存在且不为零 . y tf ( t ) f ( t ) x ln(1 t 2 ) 五、求由参数方程 所确定的函数的 y t arctan t d2y 二阶导数 2 . dx 1 3 六、设 f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( ) ，求 f ( x ) . x x