统计学概率及概率分布

P(A) m p n
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事件的概率
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右
正面 /试验次数
1.00
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
50
75
100 125
试验的次数
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概率的统计定义--实例
【例4.2】某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。 按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标， 若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超 过指标的概率。
数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子
试验
抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
随机变量
使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
可能的取值
X0 0 X 100 X0
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4.2.2 随机变量的概率分布
• 随机变量可能的取值范围和取这些值相应 的概率称为随机变量的概率分布
工厂
男职工
女职工
合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂
4400 3200 900
1800 1600 600
6200 4800 1500
合计
8500
4000
12500
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概率的统计定义
在相同条件下进行n次随机试验，事件A 出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频 率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P 上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于 稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率， 记为
随机变量的概念 随机变量的概率分布
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4.2.1 随机变量的概念
一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量
和连续型随机变量
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离散型随机变量
随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 ， X2，…
不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
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事件与样本空间
基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
样本空间
一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
P(A)样事本件 A空 所间 包所 含包 的含 基 事的 本 件基 事 个＝ 本 件 数 m n个数
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概率的古典定义--实例
【例4.1】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从 该公司中随机抽取1人，问：
（1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率
表4-1 某钢铁公司所属企业职工人数
以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子
试验
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
随机变量
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
可能的取值
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
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连续型随机变量
随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取
第四章 概率与概率分布
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4 概率与概率分布
掌握随机变量及其概率分布的含义，为 推断统计的学习作准备
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学习目标
在概率部分，复习样本空间与事件的概念、 事件的概率及计算
在概率分布部分，复习随机变量的定义、离 散型和连续型随机变量的概率分布、概率分 布的数量特征，几种典型的概率分布如0-1分 布、二项分布、正态分布等，以及典型概率 分布的应用
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4.1 概率基础知识
随机事件 随机事件的概率
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随机事件的几个基本概念
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事件的概念
事件：随机试验的每一个可能结果 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
(任何样本点集合)
随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数
必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
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事件的概率
事件A的概率是对事件A在试验中出现的可 能性大小的一种度量
表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主
观概率定义
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概率的古典定义
如果某一随机试验的结果有限，而且各个 结果在每次试验中出现的可能性相同，则 事件A发生的概率为该事件所包含的基本 事件个数 m 与样本空间中所包含的基本 事件个数 n 的比值，记为
2、必然事件的概率为1，即P（Ω）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。（-）
4、A1，A2，……Ai为互斥事件，则P（A1+A2+……+Ai）= P（A1）+ P（A2）+……+ P（Ai） 则称P（A）为事件A的概率
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全概率公式和贝叶斯公式
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4.2 随机变量及其概率分布
n
pi 1
i 1
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连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量可以取某一区间或整个实 数轴上的任意一个值
它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描
述
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概率密度函数
设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的 概率密度函数记为f(x)，它满足条件
解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试
验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有
P(A)超试 过验 用的 电天 指数 标 13天 20数 0.4
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（三）概率的公理化定义及性质 在随机试验样本空间Ω 上对每个时间A都有对应的实数P
（A），如果这样的P（A）满足： 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（P(A)≥0）
• 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布
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离散型随机变量的概率分布
列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示
X = xi P(X =xi)=pi
x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
• P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 ▪ pi0