大学物理竞赛基础知识培训热学部分 - 副本概要
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热学部分
2015年4月7日
一 、 基本内容 1、平衡态、状态参量
几何参量 力学参量
四类
化学参量 电磁参量
2、温度、物态方程
T T (描述系统的状态参量)
态函数
3、理想气体状态方程
pV RT
RT pV M mol
M pV RT M mol
pV NkT
p nkT
混合理想气体状态方程
一定量的气体：
E E T , V
功和热量是过程量！
准静态过程中的体积功：
A p dV
V1
V2
p
1
2
O
V1
V V dV
V2
V
A = p—V图上过程曲线下的面积
2、理想气体的摩尔热容量 等体摩尔热容： i CV ,m R 2
等压摩尔热容：
C p ,m i2 R CV ,m R 2
dS
b a
dQ T
(可逆)
dQ可逆
T
7、克劳修斯不等式、 热力学第二定律的数学表达式 克劳修斯不等式： dQ 可逆： “=” 0 不可逆： “<” T 任意 热力学第二定律的数学表达式：
dQ Sb Sa a T 任意
b
dQ dS T
（可逆：“=” ； 不可逆：“>” ）
（2010年湖南大学大学生物理竞赛） （2012年浙江省大学生物理创新竞赛）
例15：如图所示，一金属圆筒中盛有 1 mol刚性双原子分子的 理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，迅速推 动活塞，使气体从标准状态（活塞位置 I ）压缩到体积为原来 一半的状态（活塞位置II），然后维持活塞不动，待气体温度 下降至0 ºC，再让活塞缓慢上升到位置I，完成一次循环。 （1）试在P—V图上画出相应的理想循环曲线； （2）若被100次循环放出的总热量全部用来熔解冰，则有多少 冰被熔化？
C v v0 v , 0 v v0 f v 0, v v0
求：（1）常数
C
（2）作出速率分布示意图；
（3）速率在 v3（ v0 ）附近单位速率范围内的粒子数 v0 （4）速率在 ~ v0 间隔内的粒子数及这些粒子的平均速率
3
（5）粒子的最概然速率、平均速率、方均根速率。
1 nv 4
7、玻耳兹曼分布律
m dN n0 e 2 kT
p
kT
3 2
k p
kT
dvx dv y dvz dx dy dz
分子数密度按势能的分布：
n n0e
n0e
mgh kT
n0e
M mol gh RT
等温大气压强公式：
p p0e
8、热力学第二定律的微观统计意义、 玻耳兹曼熵、能量的退降
热二律的统计意义：
玻耳兹曼熵：
S k ln
系统无序程度的量度
能量的退降：
二 、重点、难点及典型例题
1、热力学第一定律在理想气体典型过程中的应用
例9：如图，体积为30L 的圆柱形容器内，有一能上下自由滑 动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔 、温度为127℃的单原子分子理想气体．若容器外大气压强 为1 标准大气压，气温为27℃，求当容器内气体与周围达到 平衡时需向外放热多少？（普适气体常量 R 8.31 J mol-1 K1 ）
导热系数
扩散系数
Fra Baidu bibliotek
1 v cv 3 1 D v 3
低压情况下：
和 随 当 l 时，
p
的减小而减小！
10、实际气体的物态方程和内能 范德瓦尔斯气体：
物态方程
a p 2 R b RT Vm
a E0 CV ,mT Vm
5 -1 （已知冰的熔解热 3.35 10 J kg ，普适气体常量
R 8.31 J mol-1 K1 ）
（2011年长沙理工 大学第六届大学生 物理竞赛）
例16：n 摩尔单原子分子理想气体所经循环过程ABCA 和相 关状态量如图所示，其中AB 是斜直线，BC 是等温线，CA 是等压线。 （1）计算三段过程的每一段过程中，系统对外作功量； （2）计算每一段过程中，系统内能的增加量； （3）计算每一段过程中，系统的吸热量； （4）计算此循环过程的效率。
例11：有n mol的理想气体，经历如图所示的 准静态过程，图中P0，V0是已知量，ab是直 线，求（1）气体在该过程中对外界所作的功 和吸收的热量；（2）在该过程中，温度最高 值是什么？最低值是什么？并在P-V图上指出 其位置。
例12： 摩尔质量为 M mol，摩尔数为 的单原子理想 气体进行了一次x过程，在P-V图上过程曲线 向下平移P0后恰好与温度为T0的等温曲线重 合，则x过程的方程V-T关系式是什么？x过程 的比热c与压强P的关系为 。
比热比：
C p ,m CV ,m
i2 i
3、热力学第一定律对理想气体典型过程的应用 准静态等体过程
准静态等压过程
准静态等温过程 准静态绝热过程 准静态多方过程
其他过程：如自由膨胀等非静态过程
绝热线斜率 等温线斜率 多方指数
p dp V dV a p dp V dV T
摩尔内能
昂内斯（Onnes）气体：
RT p Vm B T C T 2 1 Vm Vm
二 、重点、难点及典型例题
1、理想气体状态方程
例1：每边长76cm 的密封均匀正方形导热细管按图1 所示 直立在水平地面上，稳定后，充满上方AB 管内气体的压强
pAB 76 cmHg ,两侧BC 管和AD 管内充满水银，此时下方
的最可几值
p
。
（第24届全国部分地区大学生物理竞赛）
5、平均碰撞频率、平均自由程、输运现象
例6：分子有效直径为0.26 nm的某种气体，在温度为0º C，压 强为 1.0110 帕时，它的分子热运动平均自由程为
5
nm，
一个分子在1.0 m的路程上与其他分子碰撞
次。
（玻耳兹曼常量为 1.38 10
pV i RT 总 RT i
4、理想气体的压强公式、温度公式 理想气体的压强
2 1 2 p nw v 3 3
温度公式
1 2 3 w mv k T 2 2
5、能量按自由度均分定理 理想气体的内能
i kT 2
i E E0 RT 2
mgh kT
p0e
M mol gh RT
8、分子的平均碰撞频率和平均自由程 分子的平均碰撞频率：
Z 2 d v n
2
分子的平均自由程：
v 1 kT 2 2 Z 2 d p 2 d n
9、气体内的三种输运过程
粘滞系数
1 1 nmv v 3 3
2、循环过程功、热、效率计算
例13：定体摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体，经历如图所示的
pV 平面上的两个循环过程 A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ，
相应的效率分别为
1 和 2
，试证 1 与
2 相等。
（湖南省第四届大学生 物理竞赛）
例14：如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原 子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中 K为用来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活 塞向上运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为 10-3m3．开始时活塞在位置Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准 状态．现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达 位置Ⅲ时停止加砝码；然后接通电源缓慢加热使活塞至Ⅱ；断开电 源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至Ⅰ，当上升的活塞被环 M、N挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢复到原来状态，完成一 个循环． (1) 在p－V图上画出相应的循环曲线； (2) 求出各分过程的始末状态温度； (3) 求该循环过程吸收的热量和放出的热量．
23
J K1）
（第18届全国部分地区大学生物理竞赛）
6、范德瓦尔斯气体的性质
例7： 一定量的理想气体在真空中绝热膨胀后，其 温度 ___________（ 升高、降低或不变）． 一定量的范德瓦尔斯气体在真空中绝热膨胀后，其温 度__________（升高、降低或不变）． （参加湖南省第五届大学生物理竞赛集训考查试卷二）
3/ 2 2 2 2 m ( v v v x y z ) exp 2kT
三种统计速率 ：
2kT 2 RT vp m M mol
8kT 8RT v m M mol
3kT 3RT v m M mol
2
单位时间内碰撞到器壁单位面积上的气体分子数
例8：真实气体在气缸内以温度 T1 等温膨胀，推动活塞作功， 活塞移动距离为 L 。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不 考虑时为( )；若仅考虑分子之间存在吸引力去计算功，比不 考虑时为( )。 (a)大；(b)小；(c)一样。
一 、 基本内容 1、内能、功和热量
EE
(描述系统的状态参量)
内能是态函数
DC 管内也充满了该种气体。不改变环境温度，将正方形 细管按图2 所示倒立放置，稳定后试求AB 管内气体柱的 长度 l AB （第26届全国部分地区大学生物理竞赛）
lAB 36.8 cm
2、压强公式、能量按自由度均分定理
例2：将温度为 T1 的1mol H 2 和温度为 T2 的1mol He 相混合， 在混合过程中与外界不发生任何能量交换，若这两种气体 均可视为理想气体，则达到平衡后混合气体的温度为 ______________。 （湖南省第一届大学生物理竞赛）
1 T 5T1 3T2 8
2 例3：求常温下质量为 M1 3.0 10
kg 的水蒸气与
M 2 3.0 102 kg 的氢气的混合气体的定体比热。
（常温下水蒸气和氢气分子都视为刚性分子 ）
c 5.86 10 J kg K
3
1
1
3、速率分布函数
例4：由 N 个粒子组成的热力学系统，其速率分布函数为
可逆过程与不可逆过程：
无耗散效应的准静态过程可逆
卡诺定理：
工作于两恒温热源之间的热机效率
可逆
T2 1 T1
T2 不可逆 1 T1
任意循环效率
Tmin 任意 1 Tmax
6、克劳修斯等式、克劳修斯熵 克劳修斯等式：
dQ 0 T 可逆
克劳修斯熵：
S S b S a
（2012年长沙理工大学第 七届大学生物理竞赛）
一定要先把过程分析清楚！
例10：有一个两端封闭的气缸，其中充满空气。缸中有一个 活塞，把空间分成相等的两部分，这时两边空气的压强都是
p0 1.01105 Pa 。令活塞稍偏离其平衡位置而开始振动，
求振动周期。设气体进行的过程可认为是绝热的，空气的 1.4 ，活塞的摩擦可不计，并已知活塞质量 m 1.5 kg，活塞处于平衡位置时离缸壁的距离 l0 20 cm，活塞面积 S 100 cm2 （提示：活塞位移与 l 之比的高次方可以忽略。）
n
Cn , m
C p,m Cn,m CV ,m Cn,m
n CV ,m n 1
4、循环过程 正循环效率
A净 Q2 1 Q1 Q1 Q2 Q2 A净 Q1 Q2
逆循环制冷系数 卡诺循环
T2 卡 1 T1 T2 卡 T1 T2
5、热力学第二定律、卡诺定理 两种经典表述及其等价性：
4、麦克斯韦速率分布律、玻耳兹曼分布律
例5：理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数
m mv2 /2 kT ，可导得分子平动动能在 f v 4 v e 2 kT
2 3 2
到
d
区间的概率为
f d
, 其中
1 2 mv 。再根据这一分布式，可导得分子平动动能 2
弹性分子
i t r 2s
i tr
刚性分子
6、麦克斯韦速率分布律、速度分布律 麦克斯韦速率分布函数
mv 2 m f v 4 exp v 2kT 2kT
2
3 2
麦克斯韦速度分布函数
m f (v x , v y , v z ) 2kT
2015年4月7日
一 、 基本内容 1、平衡态、状态参量
几何参量 力学参量
四类
化学参量 电磁参量
2、温度、物态方程
T T (描述系统的状态参量)
态函数
3、理想气体状态方程
pV RT
RT pV M mol
M pV RT M mol
pV NkT
p nkT
混合理想气体状态方程
一定量的气体：
E E T , V
功和热量是过程量！
准静态过程中的体积功：
A p dV
V1
V2
p
1
2
O
V1
V V dV
V2
V
A = p—V图上过程曲线下的面积
2、理想气体的摩尔热容量 等体摩尔热容： i CV ,m R 2
等压摩尔热容：
C p ,m i2 R CV ,m R 2
dS
b a
dQ T
(可逆)
dQ可逆
T
7、克劳修斯不等式、 热力学第二定律的数学表达式 克劳修斯不等式： dQ 可逆： “=” 0 不可逆： “<” T 任意 热力学第二定律的数学表达式：
dQ Sb Sa a T 任意
b
dQ dS T
（可逆：“=” ； 不可逆：“>” ）
（2010年湖南大学大学生物理竞赛） （2012年浙江省大学生物理创新竞赛）
例15：如图所示，一金属圆筒中盛有 1 mol刚性双原子分子的 理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，迅速推 动活塞，使气体从标准状态（活塞位置 I ）压缩到体积为原来 一半的状态（活塞位置II），然后维持活塞不动，待气体温度 下降至0 ºC，再让活塞缓慢上升到位置I，完成一次循环。 （1）试在P—V图上画出相应的理想循环曲线； （2）若被100次循环放出的总热量全部用来熔解冰，则有多少 冰被熔化？
C v v0 v , 0 v v0 f v 0, v v0
求：（1）常数
C
（2）作出速率分布示意图；
（3）速率在 v3（ v0 ）附近单位速率范围内的粒子数 v0 （4）速率在 ~ v0 间隔内的粒子数及这些粒子的平均速率
3
（5）粒子的最概然速率、平均速率、方均根速率。
1 nv 4
7、玻耳兹曼分布律
m dN n0 e 2 kT
p
kT
3 2
k p
kT
dvx dv y dvz dx dy dz
分子数密度按势能的分布：
n n0e
n0e
mgh kT
n0e
M mol gh RT
等温大气压强公式：
p p0e
8、热力学第二定律的微观统计意义、 玻耳兹曼熵、能量的退降
热二律的统计意义：
玻耳兹曼熵：
S k ln
系统无序程度的量度
能量的退降：
二 、重点、难点及典型例题
1、热力学第一定律在理想气体典型过程中的应用
例9：如图，体积为30L 的圆柱形容器内，有一能上下自由滑 动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔 、温度为127℃的单原子分子理想气体．若容器外大气压强 为1 标准大气压，气温为27℃，求当容器内气体与周围达到 平衡时需向外放热多少？（普适气体常量 R 8.31 J mol-1 K1 ）
导热系数
扩散系数
Fra Baidu bibliotek
1 v cv 3 1 D v 3
低压情况下：
和 随 当 l 时，
p
的减小而减小！
10、实际气体的物态方程和内能 范德瓦尔斯气体：
物态方程
a p 2 R b RT Vm
a E0 CV ,mT Vm
5 -1 （已知冰的熔解热 3.35 10 J kg ，普适气体常量
R 8.31 J mol-1 K1 ）
（2011年长沙理工 大学第六届大学生 物理竞赛）
例16：n 摩尔单原子分子理想气体所经循环过程ABCA 和相 关状态量如图所示，其中AB 是斜直线，BC 是等温线，CA 是等压线。 （1）计算三段过程的每一段过程中，系统对外作功量； （2）计算每一段过程中，系统内能的增加量； （3）计算每一段过程中，系统的吸热量； （4）计算此循环过程的效率。
例11：有n mol的理想气体，经历如图所示的 准静态过程，图中P0，V0是已知量，ab是直 线，求（1）气体在该过程中对外界所作的功 和吸收的热量；（2）在该过程中，温度最高 值是什么？最低值是什么？并在P-V图上指出 其位置。
例12： 摩尔质量为 M mol，摩尔数为 的单原子理想 气体进行了一次x过程，在P-V图上过程曲线 向下平移P0后恰好与温度为T0的等温曲线重 合，则x过程的方程V-T关系式是什么？x过程 的比热c与压强P的关系为 。
比热比：
C p ,m CV ,m
i2 i
3、热力学第一定律对理想气体典型过程的应用 准静态等体过程
准静态等压过程
准静态等温过程 准静态绝热过程 准静态多方过程
其他过程：如自由膨胀等非静态过程
绝热线斜率 等温线斜率 多方指数
p dp V dV a p dp V dV T
摩尔内能
昂内斯（Onnes）气体：
RT p Vm B T C T 2 1 Vm Vm
二 、重点、难点及典型例题
1、理想气体状态方程
例1：每边长76cm 的密封均匀正方形导热细管按图1 所示 直立在水平地面上，稳定后，充满上方AB 管内气体的压强
pAB 76 cmHg ,两侧BC 管和AD 管内充满水银，此时下方
的最可几值
p
。
（第24届全国部分地区大学生物理竞赛）
5、平均碰撞频率、平均自由程、输运现象
例6：分子有效直径为0.26 nm的某种气体，在温度为0º C，压 强为 1.0110 帕时，它的分子热运动平均自由程为
5
nm，
一个分子在1.0 m的路程上与其他分子碰撞
次。
（玻耳兹曼常量为 1.38 10
pV i RT 总 RT i
4、理想气体的压强公式、温度公式 理想气体的压强
2 1 2 p nw v 3 3
温度公式
1 2 3 w mv k T 2 2
5、能量按自由度均分定理 理想气体的内能
i kT 2
i E E0 RT 2
mgh kT
p0e
M mol gh RT
8、分子的平均碰撞频率和平均自由程 分子的平均碰撞频率：
Z 2 d v n
2
分子的平均自由程：
v 1 kT 2 2 Z 2 d p 2 d n
9、气体内的三种输运过程
粘滞系数
1 1 nmv v 3 3
2、循环过程功、热、效率计算
例13：定体摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体，经历如图所示的
pV 平面上的两个循环过程 A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ，
相应的效率分别为
1 和 2
，试证 1 与
2 相等。
（湖南省第四届大学生 物理竞赛）
例14：如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原 子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中 K为用来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活 塞向上运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为 10-3m3．开始时活塞在位置Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准 状态．现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达 位置Ⅲ时停止加砝码；然后接通电源缓慢加热使活塞至Ⅱ；断开电 源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至Ⅰ，当上升的活塞被环 M、N挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢复到原来状态，完成一 个循环． (1) 在p－V图上画出相应的循环曲线； (2) 求出各分过程的始末状态温度； (3) 求该循环过程吸收的热量和放出的热量．
23
J K1）
（第18届全国部分地区大学生物理竞赛）
6、范德瓦尔斯气体的性质
例7： 一定量的理想气体在真空中绝热膨胀后，其 温度 ___________（ 升高、降低或不变）． 一定量的范德瓦尔斯气体在真空中绝热膨胀后，其温 度__________（升高、降低或不变）． （参加湖南省第五届大学生物理竞赛集训考查试卷二）
3/ 2 2 2 2 m ( v v v x y z ) exp 2kT
三种统计速率 ：
2kT 2 RT vp m M mol
8kT 8RT v m M mol
3kT 3RT v m M mol
2
单位时间内碰撞到器壁单位面积上的气体分子数
例8：真实气体在气缸内以温度 T1 等温膨胀，推动活塞作功， 活塞移动距离为 L 。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不 考虑时为( )；若仅考虑分子之间存在吸引力去计算功，比不 考虑时为( )。 (a)大；(b)小；(c)一样。
一 、 基本内容 1、内能、功和热量
EE
(描述系统的状态参量)
内能是态函数
DC 管内也充满了该种气体。不改变环境温度，将正方形 细管按图2 所示倒立放置，稳定后试求AB 管内气体柱的 长度 l AB （第26届全国部分地区大学生物理竞赛）
lAB 36.8 cm
2、压强公式、能量按自由度均分定理
例2：将温度为 T1 的1mol H 2 和温度为 T2 的1mol He 相混合， 在混合过程中与外界不发生任何能量交换，若这两种气体 均可视为理想气体，则达到平衡后混合气体的温度为 ______________。 （湖南省第一届大学生物理竞赛）
1 T 5T1 3T2 8
2 例3：求常温下质量为 M1 3.0 10
kg 的水蒸气与
M 2 3.0 102 kg 的氢气的混合气体的定体比热。
（常温下水蒸气和氢气分子都视为刚性分子 ）
c 5.86 10 J kg K
3
1
1
3、速率分布函数
例4：由 N 个粒子组成的热力学系统，其速率分布函数为
可逆过程与不可逆过程：
无耗散效应的准静态过程可逆
卡诺定理：
工作于两恒温热源之间的热机效率
可逆
T2 1 T1
T2 不可逆 1 T1
任意循环效率
Tmin 任意 1 Tmax
6、克劳修斯等式、克劳修斯熵 克劳修斯等式：
dQ 0 T 可逆
克劳修斯熵：
S S b S a
（2012年长沙理工大学第 七届大学生物理竞赛）
一定要先把过程分析清楚！
例10：有一个两端封闭的气缸，其中充满空气。缸中有一个 活塞，把空间分成相等的两部分，这时两边空气的压强都是
p0 1.01105 Pa 。令活塞稍偏离其平衡位置而开始振动，
求振动周期。设气体进行的过程可认为是绝热的，空气的 1.4 ，活塞的摩擦可不计，并已知活塞质量 m 1.5 kg，活塞处于平衡位置时离缸壁的距离 l0 20 cm，活塞面积 S 100 cm2 （提示：活塞位移与 l 之比的高次方可以忽略。）
n
Cn , m
C p,m Cn,m CV ,m Cn,m
n CV ,m n 1
4、循环过程 正循环效率
A净 Q2 1 Q1 Q1 Q2 Q2 A净 Q1 Q2
逆循环制冷系数 卡诺循环
T2 卡 1 T1 T2 卡 T1 T2
5、热力学第二定律、卡诺定理 两种经典表述及其等价性：
4、麦克斯韦速率分布律、玻耳兹曼分布律
例5：理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数
m mv2 /2 kT ，可导得分子平动动能在 f v 4 v e 2 kT
2 3 2
到
d
区间的概率为
f d
, 其中
1 2 mv 。再根据这一分布式，可导得分子平动动能 2
弹性分子
i t r 2s
i tr
刚性分子
6、麦克斯韦速率分布律、速度分布律 麦克斯韦速率分布函数
mv 2 m f v 4 exp v 2kT 2kT
2
3 2
麦克斯韦速度分布函数
m f (v x , v y , v z ) 2kT