用二元一次方程确定一次函数表达式
北师大版八年级上册第五章5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式(教案)
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式〔教案〕教学目的知识与技能：1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联络,体会知识之间的普遍性和知识之间的互相转化.2.理解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.过程与方法：让学生体会一次函数与二元一次方程组的互相联络,感受“数形结合〞在数学研究中的作用.情感态度与价值观：通过积极参与数学学习活动,培养学生独立考虑,团结合作的精神.教学重难点【重点】利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【难点】应用方程与函数的联络解决实际问题.教学准备【老师准备】教材图5 - 3及例题.【学生准备】复习二元一次方程组与一次函数的关系.教学过程一、导入新课导入一:师:上节课,我们学习了二元一次方程与一次函数,那么二元一次方程(组)与一次函数有哪些联络?生1:以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象一样,是一条直线.生2:确定两条直线交点的坐标,就相当于求相应的二元一次方程组的解;另一方面,解一个二元一次方程组就相当于确定相应两条直线交点的坐标.师:因此,方程问题可以通过函数知识来解决;反之,函数问题也可以通过方程知识来解决.这节课我们就来学惯用二元一次方程组确定一次函数的表达式.(板书课题:7用二元一次方程组确定一次函数表达式)[设计意图]回忆旧知,体会函数和方程之间的联络,为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔.导入二:[过渡语]第四章我们学习了一次函数表达式的简单求法,首先我们看这个问题.如以下图所示,直线l是一次函数的图象.答复以下问题.(1)b=,k=;(2)当x=30时,y=;(3)当y=30时,x=.问题1：【课件1】一般设一次函数的表达式为什么?问题2：【课件2】确定一次函数的表达式关键是确定哪个参数的值?问题3：【课件3】确定一次函数的表达式需要几个点的坐标?问题4：【课件4】确定一次函数的表达式需要几个步骤?问题5：【课件5】当一次函数的图象与y轴相交时,交点的纵坐标与一次函数的表达式中的b的取值有关吗?[处理方式]通过合作交流,自主完成上面的问题,帮助学生回忆已学过的知识.对于题目下的各个问题可以多找几个同学归纳总结,总结不准确的地方,老师点拨.问题1,2,3学生比拟容易得出答案,问题4在学生总结的根底上,老师点拨确定一次函数表达式的一般步骤为:(1)设函数表达式为y=kx+b.(2)根据条件列出关于k,b的方程.(3)解方程.(4)把求出的k,b值代回表达式中即可.问题5可以让学生结合图象得出当一次函数的图象与y轴相交时,交点的纵坐标就是一次函数表达式中的b的值.师:同学们对已学过的知识掌握得很好.此题中的b的值可以直接由一次函数图象与y轴交点的纵坐标确定.但有些题目b值不能直接给出,我们将如何解决呢?这节课我们将研究实际问题中的用二元一次方程组确定一次函数表达式.(板书课题:7用二元一次方程组确定一次函数表达式)二、新知构建[过渡语]用画图象的方法能不能准确地解决问题呢?〔1〕、用图象法解决问题的缺乏之处出示教材“引例〞:A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,那么他们各自到A地的间隔s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数,1 h后乙间隔A地80 km;2 h后甲间隔A地30 km.经过多长时间两人将相遇?让学生讨论:(1)考虑:你有几种解决上述问题的方法?它们各有什么缺乏之处?(2)对照教材,比拟你的做法与小明、小颖、小亮的做法有什么不同,与同伴交流.(3)考虑讨论:图象法和代数法在解决问题时有什么不同?学生讨论后老师小结:在上面的问题中,用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确获得问题的结果,为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.[设计意图] 通过实际问题情境,进一步加强函数与方程的联络,让学生在用多种方法解决问题的考虑和比拟中体会作图象方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联络.通过“小明的方法求出的结果准确吗?〞自然过渡到本节课的主要内容.〔2〕、用待定系数法确定一次函数的表达式出示教材例题:某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量那么需购置行李票,且行李费y (元)是行李质量x (kg)的一次函数.李明带了60 kg 的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg 的行李,交了行李费10元.(1)写出y 与x 之间的函数表达式;(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?引导学生分析设出关系式并解答.展示学生研究的结果并进展讲评,出示答案.解:(1)设y =kx +b ,根据题意,得{5=60k +b,①10=90k +b.②.②-①,得30k=5,k=16代入①,得b=-5.将k=16x-5.所以y=16(2)当x=30时,y=0.所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.【老师总结】待定系数法:先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是:(1)先设出一次函数的一般形式,即y=kx+b(k≠0);(2)将自变量x的值及与它对应的函数y的值代入所设的表达式中,得到关于待定系数k和b的方程组;(3)解方程组,求出待定系数的值,进而写出函数表达式.[知识拓展]求正比例函数表达式,只要一对x,y的对应值就可以.因为它只有一个待定系数;而求一次函数的表达式,那么需要两组x,y的对应值.三、课堂总结四、课堂练习1.直线y=kx+b在坐标系中的位置如下图,那么 ()A.k =-12,b =-1B.k =-12,b =1C.k =12,b =-1D.k =12,b =1 解析:设函数表达式为y =kx +b ,由图可得函数图象过点(2,0)和(0,1),将这两点坐标代入得{0=2k +b,1=b,解得{k =−12,b =1.应选B . 2.函数y =kx +b (k ≠0)的图象与y 轴交点的纵坐标为-2,且当x =2时,y =1.那么此函数的表达式为 .解析:将(0,-2)与(2,1)代入y =kx +b 得{b =−2,2k +b =1,解得{k =32,b =−2,那么函数解析式为y =32x-2.故填y =32x-2. 3.一次函数y =kx +b 的图象经过点A (1,-1)和点B (-1,3),求这个一次函数的表达式.解:依题意将A (1,-1)与B (-1,3)代入y =kx +b ,得{k +b =−1,-k +b =3,解得{k =−2,b =1,∴所求的表达式为y =-2x +1. 五、板书设计7 用二元一次方程组确定一次函数表达式①、用图象法解决问题的缺乏之处②、用待定系数法确定一次函数的表达式六、布置作业①、教材作业【必做题】教材习题5.8第1,2题.【选做题】教材习题5.8第3题.②、课后作业【根底稳固】1.一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线y=2x-3平行.那么此函数的表达式为()A.y=x+1B.y=2x+3C.y=2x-1D.y=-2x-52.某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,4),求这个函数的表达式.3.一个一次函数的图象平行于直线y=-2x,且经过点A(-4,2),求这个函数的表达式.4.某商场搞促销活动,一次性购置x件T恤的价格为y元,x与y之间的关系如下表:x/件 1 2 3 4y/元38 68 90 108能将y看成x的一次函数吗?4.直线l与直线y=2x+1的交点的横坐标为-1,与直线y=-x+2的交点2的纵坐标为1,求直线l对应的函数表达式.【才能提升】6.根据以下各小题中的条件,求相应的一次函数关系式.(1)一次函数的图象经过点A(2,4),B(0,2),求其表达式;(2)一次函数的图象如下图,求其表达式;(3)一次函数的图象经过点A(2,0)且与直线y=-x+3平行,求其表达式;(4)一次函数的图象经过点P(1,2)且与直线y=2x+3的交点在y轴上,求其表达式.7.某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费方法,某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如下图.(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式;(2)假设某用户10月份用水量为10吨,那么应交水费多少元?假设该用户11月份交了51元的水费,那么他该月用水多少吨?【拓展探究】8.某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y (个)与甲品牌文具盒的数量x (个)之间的函数关系如下图.当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.(1)根据图象,求y 与x 之间的函数关系式;(2)求甲、乙两种品牌的文具盒的进货单价.【答案与解析】1.B(解析:设此函数的表达式为y =kx +b ,因为该直线与直线y =2x-3平行,所以k =2,又因为图象经过点A (-2,-1),所以将此点的坐标及k 的值代入表达式即可求出b.)2.解:设一次函数表达式为y =kx +b ,由题意得{0=−2k +b,b =4,∴{k =2,b =4.故这个一次函数的表达式为y =2x +4.3.解:设一次函数表达式为y =kx +b ,∵它的图象平行于直线y =-2x ,∴k =-2,又∵该函数图象经过点(-4,2),∴函数表达式为y =-2x-6.4.解:假设y 与x 的关系为一次函数关系,设为y =kx +b ,由题可知该直线经过点(1,38)和点(2,68),从而38=k +b ,68=2k +b ,k =30,b =8.∴y =30x +8,当x =3时,y =30×3+8=98≠90,∴y 不是x 的一次函数.5.解:把x =-12代入y =2x +1,得y =0,∴直线l 与直线y =2x +1的交点坐标为(-12,0);同理可求得直线l 与直线y =-x +2的交点坐标为(1,1).设直线l 的解析式为y =kx +b ,将(-12,0),(1,1)代入,可求得表达式为y =23x +13.6.解:(1)设y =kx +b ,∵图象经过点A (2,4),B (0,2),∴{4=2k +b,2=b,解得{k =1,b =2.∴所求一次函数表达式为y =x +2. (2)设y =kx +b ,根据图象可知点(1,0),(0,-2)在直线y =kx +b 上,∴{k +b =0,-2=b,解得{k =2,b =−2.∴所求一次函数表达式为y =2x-2. (3)设y =kx +b ,∵函数y =kx +b 的图象与直线y =-x +3平行,∴k =-1,又∵其图象经过点A (2,0),∴0=-1×2+b ,解得b =2.∴所求一次函数表达式为y =-x +2. (4)设y =kx +b ,∵直线y =2x +3与y 轴的交点为(0,3),而直线y =kx +b 与直线y =2x +3的交点在y 轴上,∴直线y =kx +b 与y 轴的交点就是(0,3),∴3=b ,又∵直线y =kx +b 经过点P (1,2),∴{b =3,2=k +b,解得{k =−1,b =3.∴所求一次函数表达式为y =-x +3.7.解:(1)当0≤x ≤15时,设y =k 1x ,根据题意得27=15k 1,解得k 1=95,所以当0≤x ≤15时,y =95x ;当x >15时,设y =k 2x +b ,根据题意可得方程组{27=15k 2+b,39=20k 2+b,解这个方程组,得{k 2=125,b =−9.所以当x >15时,y =125x-9. (2)当x =10时,代入y =95x 中,得y =18.故10月份应交水费18元.当y =51时,代入y =125x-9中,得x =25.那么11月份用水25吨. 8.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ,由函数图象,得{250=50k +b,100=200k +b,解得{k =−1,b =300.所以y 与x 之间的函数关系式为y =-x +300. (2)因为y =-x +300,所以当x =120时,y =180.设甲品牌的进货单价是a 元,那么乙品牌的进货单价是2a 元,由题意得120a +180×2a=7200,解得a=15,所以乙品牌的进货单价是2×15=30(元).答:甲、乙两种品牌的文具盒的进货单价分别为15元、30元.。
用二元一次方程组确定一次函数表达式
用二元一次方程组确定一次函数表达式一元一次方程是数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数，x是未知数。
解一元一次方程的方法有很多，比如可以通过移项、消元、代入等方法来求解。
但是对于一元一次方程组来说，就是多个一元一次方程组成的方程组，其解法就要稍微复杂一些了。
在解一元一次方程组之前，我们首先要了解一下一次函数的概念。
一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，即f(x) = ax + b，其中a和b是已知的常数，x是未知数。
一次函数的图像通常是一条直线，它的斜率等于a，截距等于b。
一次函数的性质比较简单，我们可以通过确定两个点来确定一次函数的表达式。
现在我们来考虑一个具体的问题，假设我们需要确定一个一次函数表达式，已知这个函数过点P(1,2)和点Q(3,6)，我们要求这个一次函数的表达式。
我们可以根据已知条件列出方程组。
根据点P和点Q的坐标，我们可以得到两个方程：1. 2 = a + b2. 6 = 3a + b接下来，我们可以使用解方程组的方法来求解这个问题。
常见的解方程组的方法有代入法、减法法、加法法等。
这里我们选择加法法来解决这个问题。
我们将方程1和方程2相加，可以消去b这一项，得到：8 = 4a然后，我们将这个方程化简为一元一次方程的形式，得到：a = 2接下来，我们将求得的a的值代入方程1或方程2中，可以求得b 的值。
我们选择代入方程1：2 = 2 + bb = 0我们将求得的a和b的值代入一次函数的表达式中，得到：f(x) = 2x所以，经过计算得出，这个一次函数的表达式为f(x) = 2x。
通过以上的分析和计算，我们成功地确定了一个一次函数的表达式。
通过已知的两个点，我们列出了方程组，然后使用解方程组的方法求解，最后得到了一次函数的表达式。
这个过程中，我们使用了二元一次方程组来确定一次函数的表达式，通过解方程组的方法来求解。
总结一下，通过二元一次方程组可以确定一次函数的表达式。
用二元一次方程组确定一次函数表达式
用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？ (3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个． ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. (2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上． (3)适合． (4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2； (2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】 用作图象的方法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ② 分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32.在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下： (1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组； (3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】 已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.∴a ＝－12.∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”． 具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律 求与坐标轴的交点坐标解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，(1)析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？ 解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000.(2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得48 000＝52x ＋16 000.解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点． (2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线．【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题： (1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？ (3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ，汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A 的速度是1003km/h ，汽车B 的速度是100 km/h.(3)汽车A 出发3 h(或汽车B 出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。
北师大版八年级数学上册5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式(教案)
最后，我还要反思自己在课堂上的语言表达和教学组织方面，力求在今后的教学中更加精炼、清晰，让学生能够更好地理解和接受知识。通过不断反思和改进，我相信我能够帮助学生们更好地掌握这一章节的内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数图象与二元一次方程组的联系以及如何求解方程组这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图象和方程组示例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数表达式相关的实际问题，例如，如何根据两个变量的关系绘制直线图象。
-掌握一次函数图象上任意一点的坐标与二元一次方程组解的关系。
举例解释：
-重点一：学生需掌握如何从一次函数图象中识别出对应的二元一次方程组，例如，给定一次函数图象，能够通过观察图象上的点来确定方程组的解。
-重点二：在实际问题中，如两个变量的线性关系，学生需要能够建立二元一次方程组，并求解得到一次函数表达式，如成本与销售量的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组与一次函数表达式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一次函数图象与方程组之间联系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
用二元一次方程组确定一次函数表达式学案
5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式学案
【学习目标】：
了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数表达式。
【主要问题】：
如何用二元一次方程组确定一次函数表达式？
一、基础知识回顾
在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作的解。
二、新知识产生过程
问题：利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
方法一：方法二：
方法三：
三、例题讲解：
例某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.已知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
小结：利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤是
，这种方法叫做 .
2
3
x-4
四、巩固练习
1、已知函数b x y +=2的图象经过点()7,a 和()a ,2-，求这个函数的表达式.
2、某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y （元）与用水量x （吨）的函数关系如图所示.
（1）分别写出当0≤x ≤15和x ＞15时，y 与x 的函数关系式；
（2）若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？。
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
并求解得到k和b的值，进而确定一次函数的表达式。
2.教学难点
-难点一：理解一次函数图象与方程组之间的联系。对于一些学生来说，理解图象上的点如何转化为方程组中的未知数可能会存在困难。
解决方法：通过图象的直观展示，结合具体例子的逐步引导，帮助学生建立起图象与方程组之间的联系。
-难点二：在求解方程组时，如何正确选择和运用求解方法。学生在面对不同的方程组时，可能会在选择方法上感到困惑。
具体内容包括：
（1）回两点坐标，列出一个包含k和b的二元一次方程组；
（3）求解二元一次方程组，得到k和b的值，进而确定一次函数表达式；
（4）通过实际案例，让学生练习如何运用二元一次方程组求解一次函数表达式。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力：通过分析一次函数图象上的点与方程组之间的关系，让学生掌握推理方法，提高逻辑思维能力。
这些核心素养目标与新教材要求相符，旨在帮助学生全面提高数学学科素养，为未来学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一次函数图象上任意两点与二元一次方程组之间的关系，这是本节课的核心内容。重点讲解如何从一次函数图象上的两点坐标出发，构建出包含斜率k和截距b的二元一次方程组。
-掌握求解二元一次方程组的方法，并能够将其应用于确定一次函数表达式。强调学生熟练运用代入法、消元法等方法求解方程组，进而得到一次函数的表达式。
5.7应用二元一次方程组-用二元一次方程组确定一次函数表达式(教案)
-难点一：理解二元一次方程组与一次函数之间的内在联系，特别是如何从图像上的点坐标推导出方程组；
-难点二：在求解过程中，对于方程组的列写与求解，尤其是涉及代数运算的步骤，学生可能会感到困难；
-难点三：将数学模型应用于实际问题，学生可能难以理解如何将抽象的数学知识应用到具体情境中。
举例一：在解释二元一次方程组与一次函数的联系时，通过图示和具体例题，引导学生理解一次函数图像上的任意两点可以确定一条直线，从而对应一个二元一次方程组。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了如何让学生理解并应用二元一次方程组来确定一次函数表达式。我发现，大部分学生在理论理解和实际操作上都能够跟上课程的节奏，但也有一些值得注意的地方。
首先，我发现在解释二元一次方程组与一次函数关系时，部分学生对于如何从图像上的点坐标推导出方程组这个过程感到困惑。这说明在今后的教学中，我需要更加形象、具体地展示这一过程，或许可以通过更多的图示和实际例题来帮助学生理解。
4.通过实例分析，使学生感受二元一次方程组在解决实际问题中的应用。
本节课我们将围绕以下案例进行教学：已知一次函数的图像上两点坐标，求该一次函数的表达式。通过引导学生运用二元一次方程组的知识，解决这一问题，让学生在实践中掌握知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在求解一次函数表达式时，能够熟练运用二元一次方程组；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组与一次函数之间的关系，以及如何通过二元一次方程组来确定一次函数的表达式。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学上册用二元一次方程组确定一次函数表达式(解析版)
5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法叫做待定系数法． 利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤： 1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y ＝kx ＋b(k≠0)； 2．将已知条件代入上述表达式中得k ，b 的二元一次方程组； 3．解这个二元一次方程组得k ，b 的值，进而得到一次函数的表达式．培优第一阶——基础过关练1．直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．﹣14D ．2 【答案】A【解析】【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y ＝kx +b 是解题的关键．2．已知直线(0)y kx k k =+≠经过点()2,4P -和点(1,)Q m ，则m 的值为（ ） A ．83 B ．83- C ．8- D ．8【答案】C 课后培优练级练课堂知识梳理【分析】先利用点()24P -，求出直线的表达式，再根据当1x =时即可求解． 【详解】解：由题意得：42k k =-+，解得：4k =-，∴直线的表达式为：44y x =--，当1x =时，448m =--=-，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式、根据自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法求函数表达式方法是解题的关键．3．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2y x =--D ．2y x =-+【答案】A【解析】【分析】设一次函数的解析式为y kx b =+，把函数图象经过的两点代入解析式，解出k ，b 的值即可求解．【详解】解：设一次函数的解析式为y kx b =+，由题意得， 021k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩， ∴这个函数的解析式为2y x =-，故选：A ．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．一次函数的图象经过点()2,1A --，且与直线21y x =-平行，则此函数解析式为（ ） A ．25y x =-B ．23y x =-+C ．23y x =+D ．25y x =-- 【答案】C【解析】【分析】设所求的一次函数解析式为y = kx +b ，根据两直线平行的问题得到k = 2，然后把A 点坐标代入y = 2x + b 求出b 的值即可．解：设所求的一次函数解析式为y = kx + b ，∵直线y = kx + b 与直线y = 2x -3平行，∴k = 2，把A (- 2，- 1)代入y = 2x + b 得-4+b = -1，解得b = 3，∴所求的一次函数解析式为y = 2x + 3．故应选：C ．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k 值相同，掌握两条直线平行，k 的值相同是解题的关键．5．（2022·全国·八年级）小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m （单位：个）与工作时间t （单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x =3时的纵坐标，除以3即可．【详解】解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过(5,24)，(6,30)设该时段的一次函数解析式为：y kx b =+，可列出方程组：524630k b k b +=⎧⎨+=⎩，求解得：66k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：66y x =-，当3x =时，12y =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．6．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，是某航空公司规定旅客乘机所携带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）之间关系的函数图象，则旅客可携带的免费行李的的最大质量为（ ）A ．18kgB ．20kgC ．22kgD ．25kg【答案】B【解析】【分析】 根据图象由待定系数法解得一次函数的解析式，再求当y =0时，x 的值即可解答．【详解】解：由图象可知，一次函数经过点（40，600），（50，900）设一次函数的解析式为y kx b =+，代入（40，600），（50，900）得4060050900k b k b +=⎧⎨+=⎩30600k b =⎧∴⎨=-⎩30600-y x ∴=当y =0时，306000-x =20x ∴=即旅客可携带的免费行李的的最大质量为20kg故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数与x 轴的交点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．7．已知y ﹣2与x 成正比例，且当x ＝﹣1时y ＝5，则y 与x 的函数关系式是 _____．【答案】32y x =-+【解析】【分析】根据题意设2y kx -=，将x ＝﹣1，y ＝5，待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：∵y ﹣2与x 成正比例，∴设2y kx -=，当x ＝﹣1时y ＝5，则52k -=-解得3k =-32y x ∴=-+故答案为：32y x =-+【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的意义，根据题意设解析式，待定系数法求解析式是解题的关键．8．如果一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过()0,1-，且y 随x 的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是______（写出一个即可）．【答案】1y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】根据一次函数的性质，k ＞0时，y 随x 的增大而增大，不妨令1k =，把经过的点()0,1-代入求出b 的值即可．【详解】解：∵一次函数()0y kx b k =+≠中，y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，不妨设1k =，则y =x +b ，把()0,1-代入得，1b =-，∴1y x =-．故答案为：1y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k ＞0．9．如图，直线3y kx =-与x 轴、y 轴分别交于点B 与点A ，13OB OA =，点C 是直线AB 上的一点，且位于第二象限，当△OBC 的面积为3时，点C 的坐标为______．【答案】()3,6-【解析】【分析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，由题意易得1,3OB OA ==，然后根据△OBC 的面积可得点C 的纵坐标，进而问题可求解．【详解】解：过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，如图所示：∵直线3y kx =-与x 轴、y 轴分别交于点B 与点A ，∴令0x =时，则有y =-3，即OA =3，∵13OB OA =， ∴1OB =，即()1,0B -，代入直线解析式得：03k =--，解得：3k =-；∴直线AB 的解析式为33y x =--，∵△OBC 的面积为3，∴132OB CH ⋅=， ∴6CH =，即点C 的纵坐标为6，∴336x --=，解得：3x =-，∴()3,6C -；故答案为()3,6-．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．10．小颖准备乘出租车到距家超过3km 的图书馆读书，出租车的收费标准如下： 里程数/km收费/元 3km 以内(含3km)7.00 3km 以外每增加1km1.50则小颖应付车费y (元)与行驶里程数x (km)之间的关系式为_______．【答案】y =1.5x +2.5【解析】【分析】根据题意可以写出应付车费y （元)与行驶里程数x()km 之间的函数表达式．【详解】解：小颖应付车费y （元)与行驶里程数x()km 之间的关系式为： 1.5(3)7 1.5 2.5y x x =-+=+；故答案为： 1.5 2.5y x =+．【点睛】本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，得出应付车费y （元)与行驶里程数x()km 之间的函数表达式．11．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()3,0和()3,2--．(1)求该一次函数的解析式；(2)在所给的坐标系中画出该一次函数图像，并求它的图像与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)113y x =-(2)画图见解析；32 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据一次函数与坐标轴的交点画出函数图像，由交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．(1)解：因为一次函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()3,0和()3,2--，所以30,3 2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,31.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以一次函数的解析式是113y x =-． (2)该一次函数的图像如图所示．令0x =，则1y =-．该一次函数的图像与x 轴和y 轴的交点坐标分别是()3,0和()0,1-．设所求的三角形的面积为S ，所以133122S =⨯⨯=．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，画一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键．12．一次函数y =kx +b 图象经过（2，3）和（1，1）两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x =3时，求y 的值．【答案】(1)21y x =-(2)当x =3时，y 的值为5【解析】【分析】（1）把（2，3）和（1，1）代入解析式y =kx +b 中即可得到关于k 和b 的方程组求得k 、b 的值；（2）把x ＝3代入解析式即可求解．(1)解：∵一次函数y =kx +b 图象经过（2，3）和（1，1）两点∴321k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得21k b ⎧⎨-⎩＝＝， 则一次函数的解析式为：21y x =-；(2)当x ＝3时2315y =⨯-=．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．13．已知变量y 与x 之间的函数关系如图所示，请用“待定系数法”求：(1)当04x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式．(2)当412x <≤时，y 关于x 的函数解析式．【答案】(1)y =5x （0≤x ≤4）； (2)5154124y x x ． 【解析】【分析】（1）将点（4，20）代入直线方程y =kx 列出方程，并解答；（2）将点（4，20）和（12，30）分别代入直线方程y =kx +b 列出方程组，并解答．(1)解：当0≤x ≤4时，设y 关于x 的函数解析式为y =kx ．将点（4，20）代入，得4k =20．解得k =5．故y 关于x 的函数解析式为y =5x （0≤x ≤4）；(2)当4＜x ≤12时，设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ．将点（4，20）和（12，30）分别代入，得4201230k b k b +=⎧⎨+=⎩解得5415k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故y 关于x 的函数解析式为()5154124y x x =+<≤． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，此题属于分段函数，解题时，需要根据函数图象找到函数图象所经过的点的坐标．14．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表： 商品名称甲 乙 进价（元/件）40 90 售价（元/件）60 120 设其中甲种商品购进x 件，商场售完这批商品的总利润为y 元．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)若获得的利润恰好为2800元，求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？【答案】(1)103000y x =-+(2)甲20件，乙80件【解析】【分析】（1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量即可求解；（2）根据（1）中的关系式，令2800y =，解关于x 的一元一次方程即可求解．(1)解： ()()()604012090100y x x =-+--，即：103000y x =-+．(2)解：当2800y =时，即1030002800x -+=，解得：20x ，∴10080x -=（件）．答：该商场购进甲种商品20件、乙种商品80件．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．15．“双减”政策下，孩子们的课余支配时间更多了．肖强每周都会去图书馆看课外书．这个周末，他早晨8时从家出发步行去图书馆．途中发现忘了带借书证，于是原路原速返回，同时电话联系爸爸．爸爸马上骑自行车送借书证并在路上遇见肖强．为了多一些阅读时间，爸爸按原速骑自行车送肖强去图书馆．肖强离家的距离s （m ）与时间t （min ）之间的关系如图所示．请根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)图象中自变量是______，因变量是______；(2)肖强步行的速度是______m/min ，爸爸骑自行车的速度是______m/min ；(3)肖强离家______m 时遇到爸爸，图书馆离肖强家有______m ；(4)写出爸爸骑自行车送肖强去图书馆时肖强离家的距离s 与时间t 之间的关系式．【答案】(1)时间，肖强离家的距离(2)80，160(3)800，2400(4)1602400s t =-【解析】【分析】（1）图象中横轴为自变量，纵轴为因变量，由此可解；。
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案1
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案1一. 教材分析《用二元一次方程组确定一次函数表达式》是北师大版数学八年级上册7的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，让学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，从而加深对一次函数的理解。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了了一次函数的基本概念和相关性质，对一次函数有一定的了解。
但是，对于如何利用二元一次方程组确定一次函数表达式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出数学模型，理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
2.过程与方法：培养学生从实际问题中建立数学模型的能力，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的过程。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关案例和教学PPT。
2.学生准备：预习一次函数的基本概念和相关性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现具体案例，引导学生从实际问题中抽象出数学模型。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，让学生动手解二元一次方程组，确定一次函数表达式。
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案2
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案2一. 教材分析《用二元一次方程组确定一次函数表达式》是人教版初中数学八年级上册第7章的内容，本节课的主要任务是让学生掌握如何利用二元一次方程组来确定一次函数的表达式。
学生在之前的学习中已经掌握了二元一次方程组的解法和一次函数的性质，本节课将这两个知识点结合起来，进一步深化学生对函数的理解。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二元一次方程组和一次函数的知识点有一定的了解。
但学生在实际操作中，可能对如何将实际问题转化为二元一次方程组，并进一步确定一次函数表达式还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解用二元一次方程组确定一次函数表达式的原理。
2.能够将实际问题转化为二元一次方程组，并确定一次函数表达式。
3.提高学生的动手能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：如何利用二元一次方程组确定一次函数表达式。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二元一次方程组，并进一步确定一次函数表达式。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生分析实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示案例和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：某商店同时销售电脑和打印机，电脑每台售价5000元，打印机每台售价1200元。
商店进行一次促销活动，购买电脑和打印机的顾客可以获得一定的优惠。
如果顾客购买了一台电脑和一台打印机，需要支付4800元；如果购买了两台打印机，需要支付3000元。
请问，电脑和打印机的优惠价格分别是多少？2.呈现（10分钟）教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题。
用二元一次方程组确定一次函数表达式解析
用二元一次方程组确定一次函数表达式【例题1】已知一次函数的图象经过点A（－1，3）和点B（2，－3），求这个一次函数的解析式。
解：设一次函数表达式为 ,将A（－1，3），B（2，－3）代入得 ==x=解得y=所以一次函数表达式为像例1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做________________。
【例题2】：某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如下图所示.(1)写出y与x之间的函数关系式； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？课堂检测与反馈1、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。
3、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）（1）y随着x的增大而减小，（2）图象经过点（1，-3）。
4、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。
5、一次函数y=kx+b 与y=2x+1平行,且经过点(-3,4),则表达式为：6、A （1，4），B （2，m ），C （6，－1）在同一条直线上，求m 的值。
7、已知一次函数y=kx+b ，图像经过点A(2,4),B(0,2)两点，且与x 轴交于点C 。
（1）求这个函数的表达式。
（2）求△AOC 的面积8、某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y （元）与用水量x （吨）的函数关系如图所示. （1） 分别写出当0≤x ≤15和x ＞15时，y 与x 的函数关系式； （2） 若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？9、已知一次函数的图像经过点A （2，2）和点B （－2，－4） （1）求AB 的函数表达式；（2）求图像与x 轴、y 轴的交点坐标C 、D ，并求出直线AB 与坐标轴所围成的面积；（3）如果点M （a ，21）和N （－4，b ）在直线AB 上，求a ，b 的值。
用二元一次方程与确定一次函数表达式
例3：下图中 l1 ，l2 分
别表示 B 离岸起两船相 海 B
A
公
对于海岸的距离ｓ与追 岸
海
赶时间ｔ之间的关系。
根据图象回答下列问题：
当时间t等 于多少分钟 时，我边防 快艇B能够 追赶上A？
s /海里
8 6 4
l22Ａ l11 Ｂ
2
O
2 4 6 8 10
t /分
2、如图，L1和L2分别表示甲走 s
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
小颖的做法
对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b。当 t=0时，s=150；当t=1时，s=120。将它们分别代 入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即可以求出 乙 s 与t 之间的函数表达式。同样可求出甲s与 t之间的函数表达式。再联立这两个表达式，求 解方程组就行了。
路和乙骑自行车（在同一条路
上）行走的路程s（千米）与时
P
间t（小时）之间的关系，观察
图象，回答下列问题：
12
10
（1）途中乙发生了什么事， 8
（2）他们是相遇还是追击；
E
AB D
（3）他们几时相遇。
0
0.5
1 1.2
t
s 20t s 150 30t
t3
用图象法解行程问题
s
小明的做法
150
140 (B)
图象表示
可以分别作出两人s 与t 120
s乙 150 30t
之间的关系图象，找出交 100
点的横坐标就行了！
80
l2
l1
60
小明的方法求出的 40
《用二元一次方程组确定一次函数表达式》课件精选全文完整版
小明
用图象法解行程问题 小明求出的方法准确吗？
150 s 140 120
100 (B)
80 60 40 20
甲 乙
(A)0 1 2 3 4 t
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
对于乙，s是t的一次函数，可
设s=kt+b.
小颖
当t=0时，s=100；当t=1时，s=80。将它们分
别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即
解：依题意将A(1,-1)与B(-1,3)代入y=kx+b，
得
k b 1, 解得 k b 3,
k 2, b 1.
∴所求的表达式为y=-2x+1.
学习新知
A、B 两地相距100 km，甲、乙两人骑自行车 分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持
匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(km)都 是骑车时间t(h)的一次函数。1 h后乙距A地 80km，2 h后甲距A地 30千米. 问：经过多长 时间两人相遇 ?
你有几种解决上述问题的方法？它们各有什
八年级数学·上 新课标 [北师]
第五章 二元一次方程组
学习新知
检测反馈
温故启新
二元一次方程(组)与一次函数有哪些联系？
1.以一个二元一次方程的解为坐标的点组成 的图象与相应的一次函数的图象相同，是一 条直线.
2.确定两条直线交点的坐标，就相当于求相应 的二元一次方程组的解；另一方面，解一个 二元一次方程组就相当于确定相应两条直线 交点的坐标.
待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是： (1)先设出一次函数的一般形式，即 y=kx+b(k≠0)； (2)将自变量x的值及与它对应的函数y的值代 入所设的表达式中，得到关于待定系数k和b 的方程组； (3)解方程组，求出待定系数的值，进而写出 函数表达式.
北师大版八年级数学上册《用二元一次方程组确定一次函数表达式》示范课教学设计
第五章二元一次方程组7 用二元一次方程组确定一次函数表达式一、教学目标1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点.2.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.3.在作图象解法与代数解法的对比中，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.4.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究过程中学会解决实际问题的一些基本方法和策略.二、教学重难点重点：会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计思考：已知二元一次方程x＋y＝3 与3x－y＝5 有一组公共解，那么一次函数y＝3－x与y ＝3x－5 的图象的交点坐标为( )A．(1，2) B．(2，1)C．(－1，2) D．(－2，1)分析：交点坐标即为两个二元一次方程的公共解.预设答案：B【探究】A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行. 假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s (km)都是骑车时间t(h)的一次函数. 1 h后乙距离A地80 km，2 h后甲距离A地30 km.经过多长时间两人将相遇？分析：甲：t =0，s=0.t =2，s=30.乙：t =0，s=100. t =1，s=80.教师活动：注意题中的隐含条件哦！方法一：图象解法可以分别作出两人s与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.方法二：方程组解法对于乙，s是t的一次函数，可以设s=kt＋b．当t= 0时，s = 100；当t=1时，s = 80．将它们分别代入s=kt＋b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式．同样可以求出甲的s 与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.下图中的两直线l 1，l 2 的交点坐标可以看作方程组____________的解.预设答案：421x y x y +=⎧⎨-=-⎩，2.若点A (2，-3)、B (4，3)、C (5，a )在同一条直线上，则直线表达式为 ，a= . 预设答案：y =3x -9；63.已知直线y=kx+k (k ≠0)经过点P (-2，4)和点Q (1，m )，则m 的值为( ) A. B. C.-8 D.8预设答案：C4.已知一次函数的图象过点(2，0)和点(1，-1)，8383-思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式-八年级上册初二数学(北师大版)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用二元一次方程组确定一次函数表达式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过两个条件来确定一个关系的情况？”（如：根据身高和体重来确定一个人的健康状况）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索如何利用二元一次方程组来求解一次函数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数表达式的基本概念。一次函数是形如y = kx + b的表达式，其中k代表斜率，b代表截距。它在描述线性关系方面有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过给定的两个点的坐标，列出二元一次方程组，并求解得到一次函数表达式。
举例：假设某商品的价格与数量之间的关系为线性关系，通过收集的数据点（如购买数量和总价），引导学生列出方程组，并求解得到一次函数表达式，从而预测不同购买数量下的价格。
2.教学难点
-抽象出实际问题的二元一次方程组，学生需要具备将现实情境转化为数学模型的能力。
-理解和掌握解二元一次方程组的各种方法，特别是对于初学者来说，消元法可能较为复杂。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的一般形式和二元一次方程组的列解方法这两个重点。对于难点部分，如解方程组的过程，我会通过具体例题和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如根据行驶时间和速度来确定汽车行驶的距离。
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式-八年级上册初二数学（北师大版）
用二元一次方程组确定一次函数表达式
用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米，
1 时后乙距A地
甲、乙两人骑自行车分别从A
120千米,即乙的
、B 两地同时相向而行。假设 小彬 速度是 30千米/时,
他们都保持匀速行驶，则他们
各自到A地的距离s(千米)都是 骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
4 3
,
2 3
).
( , )
33
教学目标
1.理解作函 数图像的方法与 代数方法各自的 特点.
2.掌握利用 二元一次方程组 确定一次函数的 表达式.
3.进一步理 解方程与函数的 联系，体会知识 之间的普遍联系 和知识之间的相 互转化.
１、二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个 一次函数图象的交点坐标；反之，两个一 次函数图象的交点也是它们所对应的二元 一次方程组的解。
1 2
x
1
点拨：由图象知，l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2，－2)，代入验证可知只有 D 符合．
【跟踪训练】
如图，直线
l的1与交l点2 坐标是____.
l1
y
l2
3
2
1
-2 -1 -01 1 2 3
x
-2
设直线l2为y k2 x b2 , 因为直线l2过点(1, 0), (0, 2),
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化 成y=kx+b的形式,所以每个二元一次 方程都对应一个一次函数.
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解
用二元一次方程组确定一次函数表达式
5 60k b 10 90k b
1 1 k 解之，得 6 ∴y= x—5 6 b 5
（2）当x=30时，y=0。
所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
自学检测2： 1.完成P127随堂练习 1 、2 。
x y 2 2、方程组 x y 1 解的情况如何？
5.7 用二元一次元一次方程（组）的 关系，并能灵活运用这些知识解决实际问题。 2.理解掌握利用二元一次方程组确定一次函数表 达式的方法。
自学指导1：
认真阅读课本P126，完成这个问题，并对比小明、 小颖、小亮三人的做法，思考： 1.小明的做法中两函数图象是如何作的？他是 如何得到解析式的？图象的交点表示什么？ 2.小颖与小明的做法有什么不同之处？
就行了. 思考：你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
消去
s
1小时后乙距A地80 km,即乙的速度是20 km/h, 2 小时后甲距A 地 30 km,故甲的速度是 15 km/h,由此可求出甲、乙两人的速度和 …… 思考：你明白他的想法吗？用他的方法做一做! 小亮
t=
在上面的问题中，用作图象的方法可以直观地获得问题的结 果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用 代数方法.
2.仿例题，做习题，完成P127的随堂练习1、2。
例2：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定 质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李 费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知 李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了 90千克的行李，交了行李费10元。 （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
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一、教材分析
本课主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。
二、学情分析
学生的知识技能基础：学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第四章也学习了一些确定一次函数表达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了在平面直角坐标系中通过图像法解二元一次方程组的解的活动，能简单理解数与形的结合解决简单的问题，感受到了数与形结合是一种重要的数学思想。
同时学生在以往的学习过程中经历了很多合作学习的过程，具备了合作学习的经验，具备了一定合作交流的能力。
三、教学目的
知识与技能：
掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方
程与函数的联系.
过程与方法:
1.经历应用问题多种解法的探究过程,在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.
2.在对作图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化,灵活运用数形结合的思想.
3.通过对二元一次方程组与一次函数的探究,培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
情感、态度与价值观：
在探究的过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.在合作交流的活动中发展学生的合作意识和团队精神,在探究活动中获得成功的体验.
四、教学重点、难点
教学重点：理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点，确定一次函数的表达式。
教学难点：理解方程与函数的联系，体会知识之间的联系和相互转化。
五、教法、学法
引导、启发，合作交流
六、教学环节
本节课设计了六个教学环节：第一环节，复习引入；第二环节，新知探究；第三环节，典型例题，探究二元一次方程组确定一次函数的表达式；第四环节，巩固训练；第五环节，课堂小结；第六环节，
布置作业．
(一) 复习引入
1、二元一次方程组与一次函数有何联系?
2、二元一次方程组有哪些解法？
代入消元法、加减消元法和图像法三种。
(二)新知探究
A ，
B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时）的一次函数．1小时后乙距离A 地80千米；2小时后甲距离A 地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
（三）典型例题
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x (千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1） 写出y 与x 之间的函数表达式；
（2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设b kx y +=，根据题意，可得方程组
⎩⎨⎧+=+=.
9010,605b k b k 解该方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.5,61b k
所以.56
1-=x y
（2）当x =30时，y =0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
（四）巩固训练 1. 图中的两条直线1l ，2l 的交点坐标可以看做方程组 ___________的解
答案：⎩⎨⎧-=-=+.12,4y x y x 2. 在弹性限度内，弹簧的长度y （厘米）是所挂物体质量x （千克）的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y 与x 之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
答案：5.145.0+=x y 当x =4时，y =16.5
(五)课堂小结
内容：
1、函数与方程之间的关系．
2、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维．
3、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
(1)．用含字母的系数设出一次函数的表达式：b kx y +=()0≠k ；
(2)．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
(3)．解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式. （六）布置作业
习题5.8 1,2,3
七、板书设计
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、复习引入
二、探究新知
三、典型例题
四、巩固训练
五、课堂小结
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
（1）
（2）
（3）
六、布置作业
八、教学反思（课前反思）
如何使不同层次的学生都参与其中，真正理解掌握本节知识？。