勾股定理教案(华师大版)
华师大版 14.1勾股定理 教案
华师大版初中数学八年级（上）14.1勾股定理教案设计勾股定理教案设计【教材分析】（一）教材来源：新课标华师大版初中数学八年级上册第十四章。
（二）教材地位与作用：勾股定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
学生通过对本节内容为学习勾股定理逆定理作铺垫，为学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
【教学目标】一、知识与技能角度1.使学生初步理解勾股定理，会利用勾股定理解决日常生活中的简单问题；2.培养学生“观察---比较---分析---推理---概括”的能力。
二、过程与方法角度让学生经历勾股定理的探索过程，学会从特殊到一般的数学思想方法，体会数形结合的思想方法。
三、情感、态度与价值观1.培养学生积极参与，合作交流的意识；2.探索勾股定理的过程中体验解决问题方法的多样性，体验快乐，激发学习的兴趣；3.通过简单的了解勾股定理的历史，增强学生爱国情怀。
【教学重点】1.用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理；2.运用勾股定理解决简单的实际问题。
【教学难点】用面积法探索并证明勾股定理。
【教学方法】1.学情分析：八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。
已经掌握了通过分割、拼接法计算一些几何图形的面积,但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。
另外，学生普遍学习积极性较高，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强。
2.学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的学习方式，让学生获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
【教学用具】三角板、刻度尺、多媒体设备及必要设备等。
【教学过程】针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，进行教学。
教学过程的流程如下：一、创设情境，引入课题2002年，在北京召开了一届国际数学家大会，大会的会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，这弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系。
华师大版数学八年级上册第14章勾股定理14.2勾股定理的运用教学设计
（三）情感态度与价值观
1.增强学生对勾股定理的兴趣，激发学生探索数学问题的热情。
2.培养学生勇于面对挑战，克服困难的精神，提高学生在解决问题过程中的自信心。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
（3）课堂练习：15分钟，设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用。
（4）小组合作：10分钟，组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。
（5）总结与拓展：5分钟，对本节课的学习内容进行总结，并提出拓展性问题，激发学生的思考。
4.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对勾股定理应用方法的掌握程度，及时给予指导和鼓励。
（2）讲授新课：结合实际案例，引导学生运用勾股定理解决问题，通过分析、讲解、总结，使学生掌握勾股定理的应用方法。
（3）课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用，提高解题能力。
（4）小组合作：组织学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活中的实际问题为背景，创设情境，引导学生运用勾股定理解决问题。
1.教学内容：对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学过程：
a.学生分享学习心得，总结勾股定理的应用方法；
b.教师点评学生的表现，强调勾股定理在数学中的重要地位；
c.提出拓展性问题，激发学生对勾股定理的深入思考。
五、作业布下作业题：
拓展作业旨在激发学生的探究兴趣，提高学生的数学应用意识。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，要求书写规范，步骤清晰；
华师大版八年级上册1411勾股定理
C
b c
aB
例1、如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为6米
（1）求梯子上端A到 （2）若梯子下部C向后移
墙的底端B的距离AB。 动2米到C1点，那么梯子上
解：在Rt△ABC中, ∠ABC=90゜，
BC=6,
部A向下移动了多少米？ 解：在Rt△A1BC1中,
∠A1BC1=90゜，
A
A1
ab
c
16
8
10
2
5 12
13
39
12
15
4 24
7 25
求证：a2+b2=c2
证明：如图：大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为 4 ab C2 2
c a
b
c a
b
证明：
∵ (a+b)2 = 4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
c a
b
c a
∴a2+b2=c2
解：过B作垂线，垂角为C, ∴BC=8，AC=6 ∴AB2=AC2+BC2
∴AB= AC2 BC2
即：AB= 62 82
=10（千米）
C
学以致用
1、小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿插
到离岸边2米远的水底，竹竿高出水面1米，把竹
竿的顶端拉向岸边，竿顶刚好和水面相齐，这河
水的深度为多少米?
A
b
证明2：
D
你能根据此图说 a c
明a2+b2=c2吗？ A b
E
解：∵
1 S梯 形ABCD= 2 a+b2
1 = (a2+2ab+b2)
八年级数学上册第14章勾股定理 教案华东师大版
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或7【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【基本目标】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学重点】用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学难点】勾股定理逆定理的证明.一、创设情景，导入新课【实验观察】实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.【显示投影片1】二、师生互动，探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm 或8cm,15cm,17cm呢？【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC ≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.出示习题：（投影显示）1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？解：由题意画出示意图，如图，由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.五、运用新知，深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.3.反证法【基本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难则反”的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC 不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用（1）【基本目标】1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的综合应用.【教学难点】勾股定理的综合应用.一、创设情景，导入新课如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数.二、师生互动，探究新知如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上运动，量的滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出AC的长，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的长，即可求出AE的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.【分析】显然△ABC是直角三角形，根据示意图可求出AC和BC的长，从而根据勾股定理可以求出AB的长.解：由示意图可知AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)答：两圆孔中心A和B的距离为150mm.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.第2课时勾股定理的应用（2）【基本目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】实际问题向数学问题的转化.一、创设情景，导入新课从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.二、师生互动，探究新知例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解：在Rt△OCD中，由勾股定理得CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.本章复习【基本目标】进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.【教学重点】用勾股定理及逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？问题4：反证法的步骤是什么？【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.三、典例精析，升华旧知例1（1）下列命题中正确的是（）A.1.5, 2, 2.5是勾股数B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.（3）如图，长方形ABCD 中，AB=15cm,点E 在AD 上，且AE=9cm,连结EC 将长方形沿BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A ′处，则A ′C=____cm.【答案】（1）C（2）45°提示：连结AC ，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.（3）8 由条件知△BA ′C ≌△CDE,∴A ′C=DE ，在Rt △CDE 中，设A ′C=x ，∵A ′E=AE ，∴CE=9+x ，∵CE 2=CD 2+DE 2，∴（9+x ）2=x 2+152，解得x=8(cm).例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A 关于直线EF 的对称点A ′，则A ′E=4cm,连结A ′C 交EF 于P ，则PA+PC 最短，作GC ⊥EN 于G ，在Rt △A ′GC 中，22912 =15(cm).【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.例3在Rt △ABC 中，已知两直角边a 与b 的和为pcm ，斜边长为qcm ，求这个三角形的面积.【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.(1)求证AB=BC;(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.。
勾股定理教案
华师大版八年级数学勾股定理教案§1探索勾股定理教学目标：１．知识目标：．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
２．能力目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3. 德育目标：培养学生爱国主义精神。
教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理的发现。
教具准备：直尺或三角板等教学方法：启发式教育，探究式教育教学过程:一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本Ｐ5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期数学家）在勾股定理方面的贡献。
1．观察图1一２正方形Ａ中有个小方格，即Ａ的面积为个面积单位。
正方形B中有个小方格，即B的面积为个面积单位。
正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问：3．图1—2中，A，B，C之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识老师板书。
A＋B＝C，接着提出图1—1中A、B、C的关系呢？二、做一做提问：1．图1—3中，A、B（之间有什么关系？2．图l—4中，A、B（之间有什么关系？3．从图1—1、1－2、1—3、1—4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1．图1—1、1—2、1一3、1—4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a为b，斜边为c。
那么 a2＋b2＝c2我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
2019—2020年华东师大版八年级数学上册《勾股定理》教学设计(教案).doc
《勾股定理》教案教学目标1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理，初步会用它进行有关的计算；2、通过对勾股定理的应用，判定直角三角形，培养学生方程的思想和逻辑推理能力；3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神；4、学会用“反证法”证明.教学重点勾股定理的应用；直角三角形的判定.教学难点勾股定理的证明；反证法证明.教学过程（一）激发学生兴趣，引人新课首先由计算机显示一幅星空的画面，我国著名的数学家华罗庚先生曾提议------向宇宙空间发射勾股定理的图形与外星人联系.引人课题勾股定理（二）定理的探求，证明及命名1、探求定理，猜想结论教师用计算机演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，通过平移、旋转，变动ΔABC的形状、大小，以改变a、b、c的长度.在此过程中始终计算a2、b2、c2请同学们观察a2、b2、c2之间的数量关系，得到猜想.再演示非直角三角形的a2、b2、c2之间不具备这样的关系，得到a2+b2=c2，是直角三角形所特有的性质.请同学们用语言叙述猜想，并画图写出已知、求证.直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.2、定理的证明目前世界上已有几百种勾股定理的证明方法，而我国古代数学家用割补、拼接图形计算面积的方法也有了很多种证法.教师用计算机演示其中一种.参看“试一试”，观察书本图，正方形P中有（）个小方格，即P的面积为（）平方厘米；正方形Q中有（）个小方格．即Q的面积为（）平方厘米；正方形R中有（）个小方格，即R的面积为（）平方厘米.P、Q、R之间的面积之间有什么关系？这也是一种证明方法.另一种证明方法参看课本“读一读”及正文部分.3、定理的命名(1)约2000年前，代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦为5.人们还发现，勾为6，股为8，那么弦一定为10.勾为5，股为12，那么弦一定为13等.同样，有……，即……，所以我国称它为勾股定理.(2)西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—前500年)是古希腊杰出的数学家，天文学家，哲学家.他不仅提出了定理，而且努力探求了证明方法.4、应用师生共同学习书上例题.（三）直角三角形的判定试一试：学生按照书上“试一试”的要求画三角形.观察画出的三角形，思考、总结：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.若△ABC中，AB2+BC2=AC2，那么∠B=90°.（四）反证法一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c），此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？学生思考，动手完成书上“做一做”.猜想：当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形.用“反证法”证明.完成“读一读”，反证法具体证明过程参看书本.练习1在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c：（1）已知a=6，b=8；则c=？（2）已知c=25，b=15；则a=？（3）已知a：b=3：4，c=15；则b=？注：利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.练习2（1）直角三角形两条直角边分别为6、8，则斜边上的中线为？（2）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°；则BC：AC：AB=？（3）在RtΔABC中，∠C =90°，AC=BC，则AC：BC：AB=？若AB=8，则AC=？又若CD⊥AB于点D，则CD=？练习31、给出下列几组数：（1）6，7，8；（2）8，15，6；（3）2，3，5；（4）n2—1，2n，n2+1，（n为大于1的整数），其中能作为直角三角形的三条边长的是（）2、下列说法错误的是（）（A）△ABC中，∠C=∠A—∠B，则△ABC为直角三角形（B）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形（C）△ABC中，若a：b：c=2：2：3，则△ABC为直角三角形练习4用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角页不相等.（四）小结1、勾股定理的内容及证明方法；2、勾股定理的作用：它能把三角形的形的特性（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2；3、利用勾股定理进行计算要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段的长；4、适当添加辅助线构建直角三角形使用勾股定理；5、用反证法证明命题.。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
华东师大版数学八年级上册-14.1 勾股定理 教案
14.1 勾股定理【教学目标】1.掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算。
【教学重点】勾股定理的推导过程 【教学难点】能对图形性质或数量关系进行猜想及检验。
【教学过程】 一、导入新课：知识回顾:我们学过直角三角形的哪些性质？ 二、自主学习（一）观察左图正方形A 中含有 个小方格，即A 的面积是 个单位面积。
正方形B 的面积是 个单位面积。
正方形C 的面积是 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。
（图中每个小方格代表一个单位面积）分“割”成若干个直角边为整数的三角形A B C 图2-11433182=⨯⨯⨯=c S（图中每个小方格代表一个单位面积）把C “补”成边长为6的正方形面积的一半（2）你能发现图中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？S A +S B=S C即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积议一议你认为右图中的三个正方形的面积A 、B 、C 还存在上述关系吗？直三角形三边长度之间有什么关系吗？与同伴进行交流。
分割成若干个直角边为整数的三角形思考：面积A ，B ，C 还有上述的关系吗？S A +S B =S Cc S 2162=⨯18=c S144312=⨯⨯⨯+议一议（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想:两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？S a +S b =Sca 2+b 2=c2猜想两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a2+b 2=c2赵爽弦图思考：大正方形面积怎么求？大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 。
所以结论：读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)
第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点：用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长，再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42＝52，52+122＝132，那么就有勾2+股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究新知1.勾股定理的证明活动1：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图所示的图形，利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形＝，＝从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即＝活动2：给学生如图所示的图形，利用面积证明.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S ＝2214,2ab c S a b ⨯++右边＝() .左边和右边的面积相等，即2214,2ab c a b ⨯++＝（）教学反思222.c a b +化简可得＝教学说明：以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动：出示习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝____； （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝20，则BC ＝____； （3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是__________.【答案】（1）13 （2）15 （3）10或教学说明：先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长，则c a b【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 如图，在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝6， BC ＝8，求AC .解：根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝AC ²，所以AC10.例2 如图，Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ，另一直角边BC 长为6 cm ，求AC 的长.解：由已知AB ＝AC -2，BC ＝6cm ，根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝（AC -2）²+6²＝AC ²，解得AC ＝10(cm).例3 如图，为了求出湖边两点A ，B 之间的距离，一名观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到160米，BC 的长为128米，问A ，B 解：Rt △ABC 中，AC ＝100，BC ＝128， 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答： A ，B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长. （1）已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝_______.（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 的面积等于_______. （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a 2＝______.2.直角三角形三边长是连续偶数，则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝15∶8，则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中，已知两直角边长a ＝1，b ＝3，那么斜边c 的长为（ ）.A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为（ ）.A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.（1）4 （2）60 （3）1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝. 方法：（1） 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用； （2）“割、补、拼、接”法.思想：（1） 特殊——一般——特殊； （2） 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝.教学反思。
华东师大版八年级上册数学14章 《勾股定理》教案1
课题反证法【学习目标】1．掌握反证法的定义；2．理解并掌握反证法证明命题的一般步骤；3．会利用反证法证明简单命题．【学习重点】体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证明命题的步骤；【学习难点】用反证法证明简单的命题．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题回顾：根据等腰三角形的性质，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB，AC要么相等，要么不相等．我们可以假设AB＝AC，那么根据等边对等角定理可以得到∠B＝∠C，但已知条件是∠B≠∠C，所以这与已知条件相矛盾，因此AB≠AC.自学互研生成能力知识模块一探究反证法的定义以及用反证法证明命题的步骤阅读教材P114～P115，完成下面的内容：问题：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如果∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．探究：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理可知△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．归纳：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．知识模块二用反证法证明简单的定理范例：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.证明：假设∠B＝∠C，则AB＝AC.这与已知AB≠AC矛盾，假设不成立．∴∠B≠∠C.变例：用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．证明：假设等腰三角形两底角不是锐角，则有两种情况：(1)当两底角都是直角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是直角不成立；(2)当两底角都是钝角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是钝角不成立．∴等腰三角形的底角都是锐角．归纳：(1)根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾；(2)用反证法证明命题时，应注意的事项：①周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；②推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；③在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块一探究反证法的定义以及用反证法证明命题的步骤知识模块二用反证法证明简单的定理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题勾股定理【学习目标】1．让学生利用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系；2．让学生能够运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题；3．让学生在学习的过程中体验数学的美，从而提高学习数学的兴趣．【学习重点】勾股定理．【学习难点】勾股定理的实际应用．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：当c为斜边时，还可以作如下变形：①a2＝c2－b2；②b2＝c2－a2；③a＝c2－b2；④b＝c2－a2；⑤c＝a2＋b2.情景导入生成问题回顾：1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边是AB，直角边是BC、AC．2．计算：(1)3的平方是9；(2)4的平方是16；(3)5的平方是25；(4)32＋42＝25＝52；(5)92＋402＝1681＝__412．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理阅读教材P108～P109，完成下面的内容：(1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？答：两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面猜想的数量关系吗？答：4，9，13；16，9，25.满足上面猜想的数量关系．归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a2＋b2＝c2，即勾2＋股2＝弦2.范例：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度．(1)(2)解：(1)在直角三角形中，x2＝172－152＝64.则x＝64＝8.(2)100＋225＝325.知识模块二利用勾股定理求边长范例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，求AB的长．解：在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝52＋122＝169＝13.仿例：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，如图1，点A、B都是格点，求线段AB的长度．解：构造如图2所示的Rt△ABC，∠C＝90°.图1图2注意：灵活运用勾股定理，在需要时创建直角三角形．注意：做这一类题型要分类讨论，3和4可能都是直角边或一条直角边、一条斜边．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．由题意知：AC＝3，BC＝4，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝32＋42＝25＝5(其他创建直角三角形的方法也可)．变例：已知一直角三角形的两边长是3和4，求三角形第三边的长．解：设三角形的第三边长为x(x＞0)，当x为斜边时，如图，则x2＝32＋42，∴x＝5.当x为直角边时，如图，4为斜边，则x2＋32＝42，∴x＝7.综上所述：三角形的第三边长为5或7.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究勾股定理知识模块二利用勾股定理求边长检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题勾股定理的简单应用【学习目标】1．引导学生用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性；2．让学生学会使用勾股定理解决简单实际问题；3．结合解题过程，培养学生数形结合的数学思想．【学习重点】勾股定理的验证过程． 【学习难点】利用勾股定理解决实际问题．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．知识链接：1.直角三角形的面积公式：两直角边乘积的一半； 2．正方形面积公式：边长的平方．情景导入 生成问题回顾：1.勾股定理的内容是什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a 、b 、c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a 2＋b 2＝c 2，即勾2＋股2＝弦2.图12．求图1、图2中x 、y 的值及两个直角三角形的面积．图2解：(1)在直角三角形中， x ＝52＋122＝13， S ＝12×5×12＝30.(2)在直角三角形中， y ＝202－162＝12， S ＝12×16×12＝96.3．如图所示，图中字母A 所代表的正方形的面积是( D ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．64行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．注意：用不同的方法表示大正方形的面积．一般步骤：利用不同的两种方法表示直角梯形的面积，其原理是等积法．知识链接：方位角：以正北或正南方向的射线为一边，以偏东或偏西方向的射线为另一边形成的夹角叫方位角．如：北偏东30°，南偏西63°等；东北方向：北偏东45°.自学互研 生成能力知识模块一 勾股定理的验证阅读教材P 110～P 112，完成下面的内容：图1范例：如图，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？用图1验证勾股定理． 证明：∵S ＝(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2， S ＝4×12ab ＋c 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.图2仿例：如图，利用图2验证勾股定理． 证明：∵S ＝c 2，S ＝4×12ab ＋(b －a)2＝2ab ＋a 2－2ab ＋b 2，∴c 2＝2ab ＋a 2－2ab ＋b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.图3变例：如图，利用图3验证勾股定理．证明：∵S ＝（a ＋b ）（a ＋b ）2＝12a 2＋ab ＋12b 2，S ＝2×12ab ＋12c 2＝ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝ab ＋12c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识模块二 利用勾股定理解决实际问题典例：“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车是否超速？解：由题意可知：AB ＝50米，AC ＝30米，AC ⊥BC ， 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝502－302＝40(米)．∴小汽车的行驶速度为40÷2＝20(米/秒)＝72(千米/小时)． ∵72千米/小时>70千米/小时， ∴小汽车超速．变例：有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多少海里？解：由题意可知： OA ＝1.5×12＝18(海里)， OB ＝1.5×16＝24(海里)， OA ⊥OB ， 在Rt △AOB 中，AB＝OA2＋OB2＝182＋242＝30(海里)．答：它们离开港口1.5小时后相距30海里．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一勾股定理的验证知识模块二利用勾股定理解决实际问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在介绍勾股定理的应用部分，旨在让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题。
这部分内容是学生在学习了勾股定理的基础上进行的，能够加深学生对勾股定理的理解和运用。
教材通过不同类型的题目，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
二. 学情分析学生在学习勾股定理的应用之前，已经学习了勾股定理的基本概念和证明，对勾股定理有了初步的理解。
但是，学生在应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到理解题意不深刻、列式计算错误、对不同类型题目不能灵活运用等问题。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.过程与方法：学生通过实际问题，学会如何运用勾股定理，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.教学难点：学生对不同类型题目能够灵活运用勾股定理，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，学会如何运用勾股定理。
同时，采用案例教学法，分析不同类型的题目，让学生能够灵活运用勾股定理。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关案例和题目。
2.学生准备：学生需要预习教材，了解勾股定理的基本概念和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾勾股定理的基本概念和证明。
然后，教师提出一个问题：如何利用勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度？2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题：一块矩形铁片，长为6米，宽为8米，从中剪出一个直角三角形，求剩余部分的面积。
教师引导学生将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理解决。
华师大版八年级数学上册教学设计：141勾股定理(3课时)
（一）教学重难点
1.重点：勾股定理的理解与应用，以及勾股定理的证明方法。
2.难点：理解勾股定理在直角三角形中的具体运用，以及在实际问题中的灵活应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生通过观察、思考、探索发现勾股定理，培养学生自主学习能力。
-利用几何画板等教学工具，直观演示勾股定理的图形特征，降低学生的理解难度。
1.知识复习：回顾前两节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。
2.课堂测试：进行勾股定理的测试，检验学生的学习效果。
3.知识拓展：介绍勾股定理在其他领域的应用，如计算机科学、天文学等。
4.课堂总结：总结勾股定理的学习，强调其在数学和实际生活中的重要性。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和勾股数的概念。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，由于勾股定理涉及到的逻辑推理和空间想象力要求较高，部分学生对定理的理解和运用可能存在困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
2.重点强调：强调勾股定理在直角三角形中的重要作用，以及在解决问题中的应用价值。
3.情感态度：鼓励学生勇于探究、积极思考，培养数学学习兴趣。
4.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，确保学生在课后能够自主复习和提升，特布置以下作业：
华师大版八年级数学上册教学设计：141勾股定理（3课时）
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生理解并掌握勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用，能准确辨识直角三角形中的勾股数，并能够运用勾股定理进行有关计算。
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标1.理解勾股定理的概念和形式；2.理解直角三角形的特征及判定方法；3.掌握勾股定理的运用方法； 4.利用勾股定理解决实际问题。
2. 教学重难点1.掌握三元一次方程的解题思路；2.理解弦长定理的概念；3.理解平面几何中相似图形的概念和基本属性；4.掌握勾股定理的运用方法。
3. 教学过程3.1 课前导入1.科普：直角三角形的定义和性质；2.举例：以学生为研究对象，设计一个直角三角形测量活动；3.引导：探究直角三角形的特征和判定方法。
3.2 讲授勾股定理的概念和形式1.概念：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和；2.形式：c2=a2+b2；3.解读：用语言描述和实例演示勾股定理的应用。
3.3 勾股定理的运用方法1.勾对股法；2.运用勾股定理求解图形的边长和面积。
3.4 解题演示1.设计种类齐全的练习题，有多种难度，种类和解题方向的变化；2.铺设题海，让学生共同发掘问题和解题方法。
3.5 讲授平面几何中相似图形的概念和基本属性1.概念：指二维空间内有相同形状的图形；2.基本属性：比例性、对应角相等、对应边成比例；3.解读：用语言描述和实例演示相似图形的应用。
3.6 弦长定理1.概念：圆内一条弦的长度为其所在圆的直径长度的一半；2.形式：AB2+BC2=AC2；3.解读：用语言描述和实例演示弦长定理的应用。
4. 教学总结1.给学生回答刚才的提问；2.引导学生思考本节课的重点、难点是什么；3.总结本节课的学习目标、方法和效果。
二、教学反思此次教学中，我采用了多种教学方法，如讲解、演示、练习、问答等，使课堂形式多样化、生动活泼。
在此基础上，我重视学生的学习兴趣和自主学习能力，给学生留给一定的思考时间和自主探究机会。
而且，在课堂设计中，我注重启发学生思考和探究的过程，强调理解勾股定理的概念和形式。
在课程实施中，我的教学效果达到预期。
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》说课稿
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》说课稿一. 教材分析《勾股定理》是华师大版数学八年级上册第14章的内容，这一章节的主要目标是让学生理解和掌握勾股定理的证明及其应用。
勾股定理是数学史上重要的一条定理，它不仅解决了直角三角形边长关系的问题，而且在建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。
本章内容分为两部分，第一部分是勾股定理的证明，第二部分是勾股定理的应用。
在证明部分，教材通过古希腊几何学家毕达哥拉斯的故事引入勾股定理，让学生了解勾股定理的历史背景。
然后，教材提供了多种证明方法，包括几何画板、平面几何证明等，让学生理解和掌握勾股定理的证明过程。
在应用部分，教材通过例题和练习题，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，对于勾股定理这样的抽象定理，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过实际问题来理解和掌握勾股定理。
三. 说教学目标1.让学生理解勾股定理的含义和证明过程。
2.让学生学会运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 说教学重难点1.勾股定理的证明过程。
2.运用勾股定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握勾股定理。
2.使用几何画板等教学软件，帮助学生直观地理解勾股定理的证明过程。
3.提供丰富的练习题，让学生在实践中掌握勾股定理的应用。
六. 说教学过程1.引入：通过讲述毕达哥拉斯的故事，引导学生了解勾股定理的历史背景。
2.证明：引导学生通过几何画板等工具，探索勾股定理的证明方法。
3.应用：通过例题和练习题，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。
4.总结：让学生总结勾股定理的证明过程和应用方法。
七. 说板书设计板书设计应突出勾股定理的核心内容，包括定理的表述、证明过程和应用方法。
华师大版八年级数学上册教学设计：142勾股定理的应用
4.探究性问题：鼓励学生课后自主探究勾股定理的证明方法，了解并尝试至少两种不同的证明途径。让学生在探究过程中，锻炼逻辑思维和几何直观。
4.通过勾股定理在实际问题中的应用，培养学生将数学知识应用于实际生活的意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对勾股定理的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过对勾股定理的发现和应用，让学生体会数学的简洁美、严谨美，培养学生的数学审美能力。
3.引导学生认识到勾股定理在数学发展史上的重要地位，激发学生的民族自豪感。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生面对困难、解决问题的信心。
在教学过程中，教师要注重引导学生主动参与、积极思考，关注学生的个体差异，因材施教。通过本章节的学习，使学生能够熟练掌握勾股定理，并在实际问题中灵活运用，提高学生的数学素养。同时，培养学生合作交流、探究创新的能力，使学生在数学学习中获得成就感，树立自信心。
3.灵活运用定理：在解决综合性的几何问题时，如何灵活运用勾股定理，结合其他数学知识，是学生需要克服的难点。
教学设想：
1.引入环节：通过历史故事、实际例子或数学游戏等方式引入勾股定理，激发学生的学习兴趣，为后续的教学打下基础。
2.探究学生自己发现并验证勾股定理，增强学生的体验感和理解深度。
针对学生的个体差异，教师应充分运用多样化的教学方法和手段，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.勾股定理的理解与记忆：学生需要理解并熟练掌握勾股定理的表达形式，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(精品教案)《勾股定理》讲课稿
（精品教案）《勾股定理》讲课稿整理的《勾股定理》讲课稿，欢迎大伙儿借鉴与参考，希翼对大伙儿有所帮助。
（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实日子中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生举行爱国主义教育的良好素材，所以具有相当重要的地位和作用。
依照数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学考虑、咨询题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动同意为主动探索，我确定本节课的重点为：勾股定理的探究过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发觉勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
教学办法叶圣陶讲过“教师之为教，别在全盘授予，而在相机诱导。
”所以教师利用几何直观提出咨询题，引导学生由浅入深的探究，设计实验让学生举行验证，感悟其中所蕴涵的思想办法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓舞学生采纳动手实践，自主探究、合作交流的学习办法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感觉其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板举行合作拼图。
让学生观看并考虑三个正方形面积之间的关系？它们围成了如何样三角形，反映在三旁边，又蕴含着如何样数学奥妙呢？寓教于乐，激发学生好奇、探索的欲望。
第二步追溯历史解密真相勾股定理的探究过程是本节课的重点，根据数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的咨询题入手，有利于学生参与探究。
学生非常容易发觉，在等腰三角形中存在如下关系。
巧妙的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转化的思想。
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§14.1 勾股定理【教学目标】一、知识目标1.在探索基础上掌握勾股定理。
2．掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2．应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题)。
３．学会简单的合情推理与数学说理,能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边,可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点:灵活运用勾股定理。
【教学设想】课型:新授课教学思路:探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】第一课时【本课目标】1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】1.情境导入:从观察课本中图14入手引入勾股定理。
2、课前热身观看图1４.1.１和图1４．1.２,数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。
3、合作探究（１)整体感知由观察课本中图14.1.1和图14．1．2入手得出勾股定理;通过在图１4.１.3中动手操作证实勾股定理;通过对本课本第46页例1的探索求解巩固勾股定理。
图14.1.1 （每一格表示1平方厘米） 图14.1.2（2）四边互动互动1:师：你们能数出图14.1．1中三块面积Ｐ、Q 、R 的数值吗？数数看．生:根据图形进行操作.由此得出:以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳：R Q P S S S =+ ,即两直角边的平方和等于斜边的平方．互动2：师:你们能数出图14.１．2中三块面积Ｐ、Q 、R 的数值吗?数数看.生:根据图形进行操作.由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.师生共同归纳， R Q P S S S =+，即两直角边的平方和等于斜边的平方．互动3：师：由上述操作你发现了一般规律了吗?生：略明确:在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。
互动4：师：展示课本中图14.1．３.师:在上图中画出直角三角形A ＢC,用直尺量量斜边是多长好吗？生:每人画出一个三角形,并动手测量后在小组中交流讨论,然后举手回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理:222c b a =+．例题教学：例1：如图１４.1.4，将长为5．41米的梯子ＡC 斜靠在墙上，BC 长为2.16米,求梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB.(精确到0．01米)师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看生：操作后相互交流。
明确:在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注:在实际问题中往往需要求取近似值。
解：略。
4、达标反馈(1）在直角△ABC 中,∠Ｃ＝090，a ＝3,b=4，则ｃ值是 ，理由是(2）在直角△ABC 中，∠B ＝090，ａ＝3，ｂ=4,则c 值是 ,理由是(3）在△A ＢC 中, a=３，b ＝4,c=5,则△ABC 是５、学习小结（1)内容总结 图14.1.4直角三角形三边满足勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角,再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、巩固练习：课本第46页第1、2题。
第二课时【本课目标】１．通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2.通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能。
【教学过程】１.情境导入多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。
2、课前热身让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。
3、合作探究(１）整体感知通过相同直角三角形的拼图体验,让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性,通过运用勾股定理解题,训练培养学生应用知识的技能,通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。
（2）四边互动:出示课本中图１9.2.5和19.2.６。
图14.1.5 图14.1.6互动1：师:你会拼出如图１4．1.6所示的图形吗?生:讨论交流，举手回答问题。
师:你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？生：讨论交流,举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是222cba=+。
互动2：出示课本中图14．1.7和14．1.8.图14.1.7图14.1.8 师:你会拼出图14.1.7吗生：动用操作师:你会用面积等式说明勾股定理吗？生:讨论交流，举手回答并说理。
明确:①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是222cba=+。
互动3:师：出示如图１４-2-2所示的图形.你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？生:独立尝试后,在小组之间交流,并举手回答问题.师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？生:讨论交流,举手回答问题,并尝试说理．明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。
②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。
③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。
④结论是222cba=+。
例题教学:例2 如图１4．1.9，为了求出湖两岸的Ａ、B两点之间的距离,一个观测者在点Ｃ设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量,得到AC长160米,ＢC长１２8米.问从点Ａ穿过湖到点B有多远？图14.1.9解在直角三角形ＡBC中,AＣ＝１6０,BＣ=１28，根据勾股定理可得22BC AC AB -=22128160-== 9６(米）答:从点A 穿过湖到点B 有96米.明确：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方:222AB BC AC +=4、达标反馈配套练习。
5、学习小结（1)内容总结可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理;运用勾股定理可以解决许多实际问题;运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。
(2)方法归纳通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：动手制作直角三角形,并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7、巩固练习:课本第48页1、2--§14.1.２ 直角三角形的判定● 教学目标1. 知识与技能掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．2. 过程与方法经历探索直角三角形的判定条件的过程,理解勾股定理逆定理.3. 情感态度与价值观激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.● 教学重点理解和应用直角三角形的判定.● 教学难点运用直角三角形判定方法进行解决问题．● 教学方法运用合情推理的方法,对勾股定理进行逆向思维,形成一种判别方法.● 教学用具多媒体课件、三角板等．● 教学过程一 、创设情境、引入新课1.回忆勾股定理(１）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(2）勾股定理的应用:在直角三角形中，已知两边求第三边.2.引入新课（1)问：如果知道了一个三角形的三边,我们又能否判定这个三角形是不是直角三角形呢? 这是我们本节课将要解决的问题．（2）古埃及人画直角三角形古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结,然后如图1那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角。
图1问：你认为古埃及人这样画出的三角形是不是直角三角形呢?二、探索新知１. 练习：教材48页试一试：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： ① 3,a = 4,b = 5c =；② 4,a = 6,b = 8c =；③ 6,a = 8,b = 10c =.以①题为例画出三角形,再让学生画出②、③题中的三角形.引导学生发现：按①、③所画的三角形都是直角三角形,最长边所对的角是直角；而按②所画的不是直角三角形.2． 讨论（１）问:通过练习我们发现,当三角形的三边长分别为3、４、５时,所画出的三角形为直角三角形，那么这时三角形的三边满足什么样的数量关系呢?引导学生发现:222345+＝即:较短两边的平方和等于第三边的平方.（2)验证“试一试”中②、③题的数据② 222468+≠ ③ 2226810+＝（3）如果三角形中较短两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．３. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形． 注意:最长的边c 所对的角为直角.４. 教材49页例例3、设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形:（1)7, 24， 2５; (2)12, 3５, 37; （3)13， 11, 9. 解:（１) 22272425+＝ ∴ 这个三角形是直角三角形.(２) 222351237+＝∴ 这个三角形是直角三角形. （３) 22211913+≠∴ 这个三角形不是直角三角形.5． 解答“古埃及人画直角三角形”的问题如图所示,在此三角形中，三边长分别为3、4、５,满足222345+＝,因此古埃及人画出的三角形确实是直角三角形,且最长的边所对的角为直角。
6. 练习:教材4９页设三角形的三边长分别等于下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形。
若是，指出哪一条边所对的角是直角．(1) 12, 1６， ２0 ； (是,2０所对的边是直角)(2) 8, 12, 15 ; （不是）(3) 5， 6, 8 . （不是)7. 探索：当三角形较短两边的平方和不等于第三边的平方时三角形的形状(1）由教材49页(2）、（３)可知,22281215+<,222568+<，猜测此时的三角形是锐角三角形还是钝角三角形， 并通过画图进行验证。
(2）由教材４9页例3（3）可知，22211913+>，此时的三角形又是什么锐角三角形还是钝角三角形呢？画图进行验证。
8. 教材4９页有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形？(勾股定理的逆定理;直角三角形的定义； 一个三角形有两个角的和为90︒等.）9． 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别勾股定理应用是在直角三角形中，已知两边求第三边.其使用的前提是该三角形已经是直角三角形；勾股定理的逆定理则是用于已知一个三角形的三边，判断这个三角形是否为直角三角形．10. 练习试判断以如下的a 、ｂ、c 为三边长的三角形是不是直角三角形. 如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1）1,a = 2,b = 3c =； (是． b 所对的角是直角）(2）a :b :ｃ=5:1２:13． （是. c 所对的角是直角)三、知识回顾、归纳小结1. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 注意：最长的边c 所对的角为直角.2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别勾股定理应用在直角三角形中，已知两边求第三边.其使用的前提是该三角形已经是直角三角形;勾股定理则是用于已知一个三角形的三边，判断这个三角形是否为直角三角形.四、作业教材49页2-6§14.2．1 勾股定理的应用【教学目标】：知识与技能目标:能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用的条件．情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法,激发学习热情【教学重点】：勾股定理及逆定理的应用【教学难点】：勾股定理的正确使用．【教学关键】：在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形之后，再应用勾股定理.【教学准备】:学生准备:复习勾股定理及逆定理，自制课本14.２．１图【教学过程】：一、创设情境1、问题情境：如图14-2-1所示,有一个圆柱,它的高等于12厘米，底面半径等笼3厘米,在圆柱下底面的A点有一点妈蚁,它想吃到上底面上与A点相对的Ｂ点处白食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?（ 的值取3)(1)自制一个圆柱,尝试从Ａ点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路寒最短呢?图１４-2－1（a)所示．（2）如图１4-２-1（b)，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短线路是什么？你画对了吗？（3)蚂蚁从A 点出发,想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2. 思路点拨：引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线,提醒学生将圆柱侧面展开成长方形,此时学生发现了“两点之间的所有连线中,线段最短”这个结论较易解决问题.教师活动操作投影仪，启发、引导学生动手操作,通过感性认识来突破学生空间想像的难点. 学生活动:观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解,寻求解决问题的途径.二、范例学习例２一辆装满货物的卡车，其外形高2．5米,宽１.6米,要开进厂门形状如图１4.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.３分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于C Ｈ.如图14.2.３所示,点D 在离厂门中线0.8米处,且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H.解 在Rt △O ＣＤ中，由勾股定理得ＣＤ=22OD OC -=228.01-＝0.６米，CH=０.６+2.３＝２.9（米)＞２.5(米)．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.教师活动：分析例2,帮助学生寻找RT △ＯCD ，强调应用方法学生活动:听教师分析,积累实际应用经验教学形式:接受式引导学生完成P58页“做一做”课堂演练：演练一:从地图上看（如图所示）,南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙姗路大致成直角三角形．从B 处到C 处,如果直接走湖底隧道BＣ,将比绕道BAC(约．3６ｋｍ)和AC(约2. 95ｋm ）减少多少行程（精确到0.lkm)?演练二:若△ABC 的三边a 、ｂ、c 满足条件c b a c c a 262410338222++=+++请你判断△ABC 的形状.教师活动:显示“课堂演练”,启发、引导学生、关注“学困生”学生活动：先独立完成，再有困难时，寻求同伴的帮助，通过交流,解决问题三、随堂练习１、课本Ｐ５4练习第1、2题2、探研时空.一、《九章算法》中的“折竹问题”如下“今有竹高一丈末折抵地,去根三尺，问折者高几何？”题意是有一根竹子原高1丈（1丈=10尺)，中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根３尺，试问折断处离地面多高？提出问题,引导学生思考.学生活动:先独立解题，再踊跃上台演示．二、如图所示,由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开.使剪成的若干块能够拼成一个大正方形.(１）如果剪4刀,应如何剪拼？（２)少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗?教师活动：操作投影仪，引导学生动手操作,感受方法．学生活动分小组合作交流,得到答案.四、课堂总结由学生分小组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾定理的应用方法.五、布置作业：P54页习题1４．２第1，2，3，4题。