高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲平行关系文北师大版

法二： 作 FN∥BC 交 AB 于 N， 因为 NF 平面 PBC，BC 平面 PBC， 所以 NF∥平面 PBC. 因为 AD∥BC， 所以 NF∥AD， 则FBDF＝BNNA， 又EPEA＝FBDF，
所以EPEA＝BNNA. 连接 EN，则 EN∥PB. 又 EN 平面 PBC，PB 平面 PBC， 所以 EN∥平面 PBC. 又 EN∩NF＝N， 所以平面 EFN∥平面 PBC，而 EF 平面 ENF. 所以 EF∥平面 PBC.
1.
如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，E， F 分别是 PA，BD 上的点且 PE∶EA＝BF∶FD，求证：EF∥ 平面 PBC.
[证明]法一：连接 AF 并延长交 BC 于 M.连接 PM. 因为 AD∥BC， 所以FBDF＝MFAF. 又由已知EPEA＝FBDF， 所以EPEA＝MFAF. 由平面几何知识可得 EF∥PM， 又 EF 平面 PBC，PM 平面 PBC， 所以 EF∥平面 PBC.
图形语言
符号语言
因为 l∥a，
a α,l α,
所以 l∥α
因为 l∥α，
l β,α∩β
＝b， 所以 l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
一个平面内的两条 判定定 _相__交__直__线___与另一个
平面平行，则这两个 理
平面平行(简记为“线 面平行⇒面面平行”) 如果两个平行平面同
性质定 时和第三个平面 理 ___相__交___，那么它们 的__交__线____平行
图形语言
符号语言
因为 a∥β，
b∥β，a∩b＝
P，
a α，b α，
所以 α∥β
因为 α∥β，
α∩γ＝a， β∩γ＝b，
所以 a∥b
1．辨明两个易误点 (1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键 条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
(2015·高考四川卷节选)一个正方 体的平面展开图及该正方体的直观图的示 意图如图所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中 点为 N. (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明 理由)； (2)证明：直线 MN∥平面 BDH.
[解] (1)点 F，G，H 的位置如图所示． (2)证明：如图，连接 BD，设 O 为 BD 的中点，连接 OH， OM，MN. 因为 M，N 分别是 BC，GH 的中点， 所以 OM∥CD，且 OM＝12CD， HN∥CD，且 HN＝12CD， 所以 OM∥HN，OM＝HN. 所以四边形 MNHO 是平行四边形， 从而 MN∥OH.
又 MN 平面 BDH，OH 平面 BDH， 所以 MN∥平面 BDH.
(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和 已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平 行来推导线面平行． (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需 要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
“m∥n”是“m∥α”的( D ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．a、b、c 为三条不重Fra Baidu bibliotek的直线，α、β、γ 为三个不重合
的平面，现给出四个命题：
① cc∥ ∥αβ⇒α∥β
② βα∥∥γγ⇒α∥β
③ ca∥∥αc ⇒a∥α
④ αa∥∥γγ⇒a∥α
解析：各中点连线如图，只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1 平行，在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意．
5．(必修 2 P35 习题 1－5 B 组 T3 改编)已知 ABCD，ABEF
是两个正方形，且不在同一平面内，M，N 分别是对角线
AC，FB 上的点，且 AM＝FN，则 MN 与平面 CBE 的关系
是__平__行____． 解析：过 M 作 MG∥BC 交 AB 于 G， 连接 NG，则AMMC＝AGGB， 由题意知，AMMC＝FNNB， 所以AGGB＝FNNB， 所以 NG∥FA，即 NG∥BE. 又因为 NG∩MG＝G， 所以平面 MNG∥平面 CBE， 故 MN∥平面 CBE.
考点一 线面平行的判定与性质(高频考点) 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线 面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率 很高，一般出现在解答题中． 高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角 度： (1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用．
其中正确的命题是( C ) A．①②③ C．②
B．①④ D．①③④
解析：②正确．①错在 α 与 β 可能相交．③④错在 a 可能在 α 内．
3．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B∈β，则在平面 β 内过 B 点的所有直线中( A ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线
解析：当直线 a 在平面 β 内且经过 B 点时，a∥平面 α，但这 时在平面 β 内过 B 点的所有直线中，不存在与 a 平行的直线， 而在其他情况下，都可以存在与 a 平行的直线，故选 A.
4．过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与 平面ABB1A1平行的直线共有____6____条．
2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则 一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行” 到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时， 其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具 体条件而定，不可过于“模式化”．
1．(2016·大连模拟)对于直线 m，n 和平面 α，若 n⊂α，则
第七章 立体几何初步
第3讲 平行关系
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
判定 定理
性质 定理
文字语言
平面外一条直线与 _这__个__平__面__内___的一条 直线平行，则该直线 与此平面平行(线线 平行⇒线面平行) 一条直线与一个平面
平行，则过这条直线
的任一平面与此平面 的___交__线____与该直 线平行(简记为“线 面平行⇒线线平行”)