关于最佳平方逼近多项式课件
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最佳平方逼近多项式
（2） f g 2 f 2 g 2 ，又称三角不等式； 2 2 2 2 （3） f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 ) ，又称平 行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x)为[a,b]上的权 函数且满足 b ( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0 a 则称 f ( x) 与 g ( x)在[a,b]上带权正交。 正交函数族：若函数族 0 ( x),1 ( x), , n ( x), 满足关系 b jk 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a
d1 ( f , x) x 1 x 3 dx 0.5883
0
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
第5章 10.最佳逼近多项式
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
证（⇐） ∀ϕ ∈ M， ϕ − ϕ ∈ M
*
f −ϕ
2 2
⇒ P2 ( x ) = 1.013 + 0.851 x + 0.839 x
2
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
0 1
1
{
}
1 (ϕ 0 , ϕ 1 ) = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ∫ xdx = 0 2 1 (ϕ 0 , f ) = ∫ e x dx = e − 1
0
(ϕ 1 , f ) = ∫ xe x dx = 1
0
1
(ϕ 2 , f ) = ∫ x 2 e x dx = e − 2
0
1
1 1 / 2 1 / 3 c1 e − 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 = 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e − 2 3
*
ϕ 的构造求法
*
设M的基底为 span{ϕ 0 , ϕ 1 ,Lϕ n }
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
第二章最佳平方逼近课件
在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
11
例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
12
即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
13
(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
29
三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
30
(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
22
解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可
最佳平方逼近
逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
4章§3 最佳平方逼近
定理6
ϕ0 (x),ϕ1(x),Lϕn−1(x), 在[a，b]上线性无关的充分必要条
件是它的克来姆(Gramer)行列式 G ≠ 0, ，其中 n−1
(ϕ0 ,ϕ0 ) Gn−1 = G(ϕ0,ϕ1, Lϕn−1 = (ϕ1,ϕ0 ) L
(ϕ0 ,ϕ1) L (ϕ0 ,ϕn−1) (ϕ1,ϕ1) L (ϕ1,ϕn−1) L L L
用{1，x，…，xn)做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数 矩阵(3.16)式是高度病态的(病态矩阵概念见第七章)，求法方程 (3.13)的解，舍人误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得 最小平方逼近多项式(见§5).
(ϕn−1,ϕ0 ) (ϕn−1,ϕ1) L (ϕn−1,ϕn−1)
(3.10) 定理的证明由读者完成.
一、函数的最佳平方逼近
现在我们研究在区间[a，b]上一般的最佳平方逼近问题. 对 f (x) ∈C[a，b]及C[a，b]中的一个子集ϕ = span{ 0 ,ϕ1 ,L,ϕn ) ， ϕ 若存在S*(x) ∈ϕ ，使
(3.2)
则在(a，b)上g(x)≡0，就称 ρ(x) 为区间(a，b)上的权函数. 定义5 设f(x)，g(x)∈[a，b]，是[a，b]上的权函数，积分
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g( x)dx
a
b
称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积.
容易验证这样定义的内积满足下列四条公理； 1) ( f , g)=(g, f ) ； 2) (cf , g)=c(f , g) ，c为常数； 3)
于是有
∑(ϕ ,ϕ )a
j=0 k, j
n
j
= ( f ,ϕk )
(k = 0,1,L, n)
最佳逼近PPT课件.ppt
性质3 ( f1 f 2 , g) ( f1, g) ( f 2 , g); 性质4 ( f , f ) 0,切当且仅当f 0是等号成立。
称线性空间Y为内积空间，(f,g)为内积。
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
a0(n 1) a1 n xi
i0
a0
n i0
n
xi a1
i0
xi2
n
n
am xim
yi
i0
i0
n
n
am
x m 1 i
xi yi
i0
i0
a0
n i0
n
xim a2
i0
x m 1 i
n
n
m
xi2m
xim yi
i0
i0
(4―73)
写成矩阵形式
(4-74)
例8 设有一组数据表
故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有
误差
ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n
(4―69)
称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。
设 函 数 关 系 y=f(x) 的 一 组 观 测 数 据 为
(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项 式
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
称线性空间Y为内积空间，(f,g)为内积。
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
a0(n 1) a1 n xi
i0
a0
n i0
n
xi a1
i0
xi2
n
n
am xim
yi
i0
i0
n
n
am
x m 1 i
xi yi
i0
i0
a0
n i0
n
xim a2
i0
x m 1 i
n
n
m
xi2m
xim yi
i0
i0
(4―73)
写成矩阵形式
(4-74)
例8 设有一组数据表
故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有
误差
ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n
(4―69)
称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。
设 函 数 关 系 y=f(x) 的 一 组 观 测 数 据 为
(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项 式
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
§3 最佳平方逼近多项式
若f ( x) C[a, b], span{0 ( x),1 ( x),n ( x)},
若函数组 0 ( x),1 ( x), n ( x)满足条件
则
方程组
0， 当i j ( i , j ) ( j , j )， 当i j
( 0 , 0 ) a 0 ( f , 0 ) a ( f , ) ( , ) 1 1 1 1 ( n , n ) an ( f , n )
* a 展开，而系数 k (k 1,2,, n)
按下式计算
ak ( f ( x),k ( x)) /(k ( x),k ( x)) ; (k 0,1,, n)
得级数
a k k ( x) k 0
* 称为f(x)的广义傅立叶(Foureir)级数,系数 ak (k 1,2,, n)
( x)
1 1 x2
，k 0 ( (Tk Tk ) ) ,k 0 2
1 1 x
2
由切比雪夫(Chebyshev)镇多项式作最佳平方逼近
Cn ( x ) ak Tk ( x ) k 0 n
其中
( f , T0 ) 1 a (T0 , T0 )
f P*
2 2
事实上,
f P
2 2
( f P, f P )
*
( f P* P* P, f Pn P* P)
( f P * , f P* ) ( P* P, P * P ) 2( f P * , P * P )
* 因为（f P ，P P） （f P ， （ a j a j） j ( x) ） * * * j 0
最佳一致和平方逼近ppt课件
若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“正”偏差点。 若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
第一章数据拟合和最佳平方逼近培训课件
y 2 (x ) 1 3 .4 5 9 7 3 .6 0 5 3 x 0 .2 6 7 6 x 2
拟合效果见图7－1
13
结束
例1.2 设有数据,求其拟合多项式．
xi
0
0.25
0.50
fi
1.0000
1.2840.
1.6487
0.75 2.1170
1.00 2.7183
解：表格计算
i
xi
yi
1
0
23
结束
本章讨论如何用函数y(x)逼近函数f (x)时，使其整体误差达到 最小．整体误差有各种定义，其中常用的有误差的各种范数．下 面介绍有关的数学概念：
1
结束
定义1.1 对离散的 f f0,f1,L,fnT 和 gg0,g1,L,gnT,
n
( f , g) fi gi i0
称为f和g的内积．这是我们已经知道的向量内积．
对连续的f (x)和g (x) ，有：
定义1.1* 设 f(x)g ,(x) C [a ,b ], 称
b
(f,g)a f(x)g(x)dx
为f (x)和g (x) 在[a,b]上的内积.
定义1.2 f f0,f1,L,fnT的范数定义
1
n
|| f ||1 fi i0
||
f
||2
n
f
i
2
2
L
i0
L L L
L
n
x
m i
i0
n
x
m i
1
i0
n
x
m i
2
i0
M
n
i 0
x
2 i
m
a0
最佳平方逼近
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
最佳逼近PPT课件
φ(xi)=f(xi),
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
(4―70)
这种方法称为多项式拟合数据。
偏差的平方和
n
n
R ri2 [Pm ( xi ) yi ]2
i0
i0
(4―71)
为最小,这样的方法称为线性最小二乘法,R称为用
Pm(x)拟合f(x)的总偏差。 根据极值理论,要使得R达到极小,必有
反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最
好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。
有的还称为配曲线或找经验公式。
例如,已知数据
x0
1
2
3
4
5
y1
1.6
2.1
2.4
3.2
3.4
我们可以用近似函数
(
x)
a0
a1x
1
1 2
x
图 4.4
因为曲线拟合问题并不要求满足插
值原则
φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
k (x) C[a,b](k 0,1, 2 , n) 且线性无关.
记 Span{0 ,1,,n}
为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素
第3章数值分析---最佳平方逼近
5 3 P ( x ) ( 63 x 70 x 15 x) / 8, 5
6 4 2 P ( x ) ( 231 x 315 x 105 x 5) / 16, 6
6
切比雪夫多项式 P61-64
当权函数 ( x)
1 1 x2
，区间为 [1, 1]时，由序
列 {1, x,, x n ,} 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.
1/ 2 1/ 3 1 /( n 2)
1 /( n 1) 1 /( n 2) （3.6） 1 /( 2n 1)
称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.
T T 记 a (a0 , a1 ,, an ) , d (d 0 , d1 ,, d n ) , 则
2 2
min f ( x) P( x)
PH n
2 2
（1.19）
min
PH n
b
a
[ f ( x) P( x)]2 dx,
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最佳平方逼近多项式.
若 f ( x) 是 [a, b]上的一个列表函数，在
a x0 x1 xm b
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
6 4 2 P ( x ) ( 231 x 315 x 105 x 5) / 16, 6
6
切比雪夫多项式 P61-64
当权函数 ( x)
1 1 x2
，区间为 [1, 1]时，由序
列 {1, x,, x n ,} 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.
1/ 2 1/ 3 1 /( n 2)
1 /( n 1) 1 /( n 2) （3.6） 1 /( 2n 1)
称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.
T T 记 a (a0 , a1 ,, an ) , d (d 0 , d1 ,, d n ) , 则
2 2
min f ( x) P( x)
PH n
2 2
（1.19）
min
PH n
b
a
[ f ( x) P( x)]2 dx,
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最佳平方逼近多项式.
若 f ( x) 是 [a, b]上的一个列表函数，在
a x0 x1 xm b
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
函数逼近最佳平方逼近ppt课件
16
切比雪夫多项式的性质:
(1)递推关系
T T n 0 (1x (x )) 1,2xT n 1 T ((x x)) T x n ,1(x).
(2.1
T n (x )的最 x n 的 高 系 2 n 次 1 ,( 数 n 1 幂 )为 .
事实上，只需由Biblioteka co(ns1)2cocsonscons1 (),n1. 代入 xco,s即得递.推关系式
21
3. 埃尔米特多项式
区间 ( , )上带(权 x)ex2的正交多项式
Hn(x)(1)nex2ddxnn(ex2), 称为 埃 尔 米 特.多 项 式
(2.16
22
• 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论 本节f(讨 x)C 论 [a,b],求多pn *项 (x)H 式 n,使得误
||f(x)pn *(x)| |mi|n |f(x)pn(x)| | .
p１(x)=4/5x+4/15
3
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意 义下的逼近，逼近函数是不同的.
4
定义设 1 集S是 合数P域 上的线性空间 x1, ， ,xn元 S素 ,
如果存在不全1为 ,,零 n的 P,使 数得
1x1nxn0，
（ 1.1）
则称 x1,,xn线性相 . 否关则 ,若(1.1)只对 1n0成
(f,g)=∫ b(x)f(x)g(x)dx=0 a
则f称 (x)与 g(x)在 [a,b]上 带 权 ρ. ( x ) 正 交
设在 [a,b]给定函数 0(x族 ),1(x),,n(x),, 且满足 (i(x),k(x))A0k,,iikk,, (i,k0,1,2,) (2.2
则称函{数 n(族 x)}为[a,b]上带权ρ(x)的数正族.交函
chap3第1节 连续函数的最佳平方逼近.ppt
k 0,1, , n
再写成
2 2
(3.4)
意味着
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
(3.5)
f
( x)
pn* ( x)
2 2
min
pn
f
(x)
pn ( x)
2 2
(3.4)
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准， 在此度量标准之下，就可以找出 f(x) 在不同函数类中的 最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。
二、 函数的最佳平方逼近
解释此子 空间结构
１函数的最佳平方逼近概念
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
span{0( x), 1( x), , n( x)}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在
pn ( x) c00 c11 cnn
使得对于一切
pn ( x) c00 c11 cnn
都有：
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
２最佳平方逼近函数构造
不等式 f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
p(x), 称作最佳逼近问题。
本节我们主要考虑连续函数空 间X=C[a,b]上的最佳逼近问题，这 时的子集合Φ可以取为由具有某种 共同特征的函数组成，例如三角 函数、指数函数、有理分式函数、 多项式函数等。
X
f (x)
p( x)
再写成
2 2
(3.4)
意味着
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
(3.5)
f
( x)
pn* ( x)
2 2
min
pn
f
(x)
pn ( x)
2 2
(3.4)
I(c0, c1,
, cn )
min
ci ( , )
I (c0 , c1 ,
, cn )
给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准， 在此度量标准之下，就可以找出 f(x) 在不同函数类中的 最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。
二、 函数的最佳平方逼近
解释此子 空间结构
１函数的最佳平方逼近概念
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
span{0( x), 1( x), , n( x)}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在
pn ( x) c00 c11 cnn
使得对于一切
pn ( x) c00 c11 cnn
都有：
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
２最佳平方逼近函数构造
不等式 f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
p(x), 称作最佳逼近问题。
本节我们主要考虑连续函数空 间X=C[a,b]上的最佳逼近问题，这 时的子集合Φ可以取为由具有某种 共同特征的函数组成，例如三角 函数、指数函数、有理分式函数、 多项式函数等。
X
f (x)
p( x)
函数逼近最佳平方逼近ppt课件
9
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
7
只要给定[a,b]上的权函数(x ), 由{1,x , x n ,}利用逐个
(2.5) (2.6)
11
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (Βιβλιοθήκη x)dx
0, 2
2n
, 1
m n, m n.
(2.7)
证：(i) 当m n时,不妨m n. 做m次分部积分
11 Pm
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的 的p1(x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1(x)‖２
=(∫01[f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小 的形如(1)式的p１(x)
第三章 函数逼近 (Approximating Function)
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2
2
2
2
行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x ) 为[a,b]上的权
函数且满足
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx0 a
则称 f ( x )与g ( x )在[a,b]上带权正交。
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
b
I(a 0,a 1,,a n)a
n
(x) [aj
j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1, ,n), 则
ak
I b n
a k 2 a( x ) [j 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 , ,n )
引入内积定义，可得
(1,n1)
(n1,0) (n1,1) (n1,n1)
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{ 0,1, ,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 G n1 0，其中
(0,0) (0,1)
(0,n1)
Gn1G(0,1, ,n1)(1,0) (1,1)
1） b|x|n(x)(n0,1, a
)存在；
2）对非负的连续函数
g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
k1
1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g2，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2g2 )，又称平
关于最佳平方逼近 多项式
§5.2 最佳平方逼近多项式
本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数
值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区
间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
函数，则称积(分f,g)b(x)f(x)g(x)dx a
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。
1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x,y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
fk2)2
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1 an10时成立，则称
0(x),1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) a nn ( x ) 。
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,c o sx ,sinx ,c o s2 x ,sin 2 x , 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1, ,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1, ,n)
j0
3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1, ,n)
j0
上式是关于a0,a1, ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
(0,1) (1,1)
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
(n1,0) (n1,1)
(n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1, ,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 , 1 ,2 ,,n )
3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k *(k0 ,1 ,2 , ,n)
则最佳平方逼近函数为
s * ( x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n ( x )
令f(x)s*(x)，则平方误差
n 2 2 (f s * ,f s * ) (f,f) (s * ,f)f2 2 a k * (k ,f) k 0
3.函数的最佳平方逼近
特别地，取 k (x ) x k ,(x ) 1 ,f(x ) C [ 0 ,1 ]，