《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案

第七章 微分方程—练习题参考答案

一、填空题

1. 三阶；

2. 023=+'-''y y y ；

3. 1-='

x

y y ；

4. x e 22ln ⋅ ；

5. x x e c e c 221-+；

6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题

1-5:ACDCB; 6-8: CCB;

三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得，

1

1

2

2

-=

+x xdx y ydy ，

两边积分得，

c x y ln 2

1)1ln(2

1)1ln(2

12

2

+-=+，

从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得，

x y x y dx

dy ln =，可见该方程是齐次方程，

令

u x

y =，即xu y =，则dx

du x

u dx

dy +=，代入方程得，u u dx

du x

u ln =+，

变量分离得，

x

dx u u du =

-)

1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-，

所以原方程的通解为cx x

y =-1ln ，或写为1

+=cx xe

y .

（3）解：整理得，x

e y x

y =+

'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为

)(1)(1)(1

1

c e xe x

c dx xe x

c dx e

e e

y x

x x

dx

x x

dx

x +-=

+=+⎰⎰=⎰⎰-

.

（4）解：整理得，

x

y x

x dx

dy 1ln 1=

+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为

)2

ln (ln 1)ln (ln 1)1(2

ln 1

ln 1

c x

x c dx x x x c dx e x e

y dx x x dx

x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-

， 代入初始条件1==e

x y

得2

1=

c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2

1x

x y +

=

.

（5）解：将方程两边逐次积分得，12

arctan 11c x dx x y +=+=

'⎰

，

212

1)1ln(2

1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=

⎰

，

即原方程通解为212

)1ln(2

1arctan c x c x x x y +++-

=.

（6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得，

x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为

x

x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰，

从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 2122

1c e c x x y x

++--=.

2、解：将⎰

+=x

du u f x x f 0

)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，

所以

)()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，

又由⎰

+

=x

du u f x x f 0

)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，

所以所求1)(-=x e x f .

3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，

所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因

3

221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关，

从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=， 所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=， 即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.