浙江省绍兴市第一中学2019届高三上学期期末考试数学试题

高三期末一、选择题（每小题4分，共40分）1．设全集，集合，则集合A．B．C．D．2．已知角的终边与单位圆交于点，则A．B．C．D．3．若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数A．B．1C．D．4．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设为数列的前项和，，，若，则＝A．B．C．D．6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下:ξ78910P x0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为A．0.2B．0.4C．0.6D．0.87．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,AB CC ==E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为A ．1BCD ．28．对于定义域为R 的函数 ，若存在非零实数 ，使函数 在 和 上与 轴都有交点，则称 为函数 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是A ．B ．C ．D ．9．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA 的最小值是A ．14B ．12C 10．设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，记2222123412341324(,,,)f a a a a a a a a a a a a =+++++，则()1234,,,f a a a a 的最小值为A ．1B ．2 D ．二、填空题（每小题5分，共35分）11．已知双曲线的方程为 ，则双曲线的渐近线方程为___________．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________．13．设变量 、 满足约束条件，则 的最大值为______.14．已知 的展开式中 的系数为 ，则 __________．15．在 中， ， 为 的平分线， ，则 ___________．16．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221λμ++ 的 取值范围为__________．17．己知实数x ，y ，z [0，4]，如果x 2，y 2，z 2是公差为2的等差数列，则 的最小值为_______．三、解答题（每小题15分，共75分）18．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，f (x )的最大值为2，求a 的值．19.已知等差数列满足：，，的前n 项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．20．如图，已知三棱锥D ABC -，2DC DA AB BC ===，AC BC ⊥，ABD CBD ⊥平面平面（是否改？），M 是BD 中点．（Ⅰ）证明：BC MAC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值．21．已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ|=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S 211n a -∈{}n b nT22.已知函数在点处的切线方程为. ⑴求、的值； ⑵如果当，且时，，求的取值范围。

参考答案DBCCC BADCB5 -1 3 ()1,+∞4－218．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，f (x )的最大值为2，求a 的值．18.解：(1)f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ， 则f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π， 且当2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，f(x)单调递增， ln ()1a x b f x x x=++(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x>+-k即k π－38π≤x≤k π＋π8(k ∈Z)． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)为f(x)的单调递增区间。

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π4≤2x＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1。

所以f(x)max ＝2＋1＋a ＝2，∴a ＝1－ 2.19．如图，已知三棱锥D ABC -，2DC DA AB BC ===，AC BC ⊥，ABD CBD ⊥平面平面，M 是BD 中点．（Ⅰ）证明：BC MAC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值．19.（Ⅰ）由AD AB =得AM BD ⊥，由ABD CBD ⊥平面平面得AM CBD ⊥平面，所以AM BC ⊥，又因为AC BC ⊥，所以BC MAC ⊥平面．（Ⅱ）过M 作ME AC ⊥且ME AC E =，连结EB ．由BC MAC ⊥平面得MAC ABC ⊥平面平面，所以ME ABC ⊥平面，故MBE ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角．A不妨设22DC DA AB BC ====．由AC BC ⊥得AC =由222AM MC AC +=，222AM MB AB +=，22222()MC MB CD CB +=+得32AM =，MC =，MB =． 所以34ME =，sin MBE ∠=， 故直线BD 与平面ABC． 20.已知等差数列满足：，，的前n 项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和． 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b n ===， 所以==， 即数列的前n 项和=。

{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S 211n a -∈{}n b n T {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1){}n b n T n 4(n+1)21．已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3，（1）求椭圆的方程；（2）过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21．（1）设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1,由PQ|=3，可得=3，解得a=2，b=，故椭圆方程为=1（2）设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，得，，则AB （）==，令t=,则t ≥1,则,令f （t ）=3t+，当t ≥1时， f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3, =4R ，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为π22.已知函数在点处的切线方程为.⑴求、的值；⑵如果当，且时，，求的取值范围。

解：⑴，依意意且，即，，解得，.⑵由⑴知，所以.设，则.ln ()1a xbf x x x =++(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1xkf x x x >+-k 221(ln )'()(1)x a x b x f x x x +-=-+(1)0,f =1(1)2f '=-1b =122ab -=-1a =1b =ln 1()1xf x x x =++22ln 1(1)(1)()()(2ln )11xkk x f x x x x x x ---+=+--()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >22(1)(1)2'()k x xh x x -++=① 当，由，当时，.而，故当时，，可得； 当x (1,+)时，<0，可得>0, 从而当x>0,且x 1时，－(+)>0，即>+. ②当0<k <1，由于当x (1,)时，(k －1)(x 2 +1)+2x >0,故>0,而 =0，故当x (1,)时，>0，可得<0,不合题意. ③当k ≥1，此时>0，则x (1，+)时，递增，，∴<0,不合题意.综上，k 的取值范围为(－,0]0k ≤222(1)(1)'()k x x h x x +--=1x ≠'()0h x <(1)0h =(0,1)x ∈()0h x >21()01h x x>-∈∞()h x 211x-()h x ≠()f x 1ln -x x x k ()f x 1ln -x x x k ∈k-11()h x '(1)h ∈k -11()h x 211x-()h x ()h x '∈∞()h x ()(1)0h x h >=211)(x x f -=()h x ∞。