专题五 第2讲

第2讲 函数与方程热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，则在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f (2＋(x ＋2))＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．3 答案 A解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ，当0＜x ＜1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )， 可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3，即f (x )＝3时，g (x )有一个零点， 综上，g (x )共有四个零点．思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)已知f (x )＝2|x |x ＋x －2x ，则y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 令2|x |x ＋x －2x ＝0，化简得2|x |＝2－x 2(x ≠0)，画出y 1＝2|x |(x ≠0)，y 2＝2－x 2(x ≠0)的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 A解析 画出函数y ＝f (x )，y ＝12log 2|x |的图象如图所示，由图可知，共有5个解．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方， 即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.(2)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x ，x >0，e －x ，x ＜0，若存在三个互不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝－e 成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2e) 解析f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝－e 成立，等价于方程f (x )＝－e x 有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－e x 有三个不同的交点，易知直线y ＝－e x 与y ＝e －x 的图象相切，已有一个交点，只需直线y ＝－e x 与曲线y ＝a ＋1x (x >0)有两个不同的交点即可，由－e x ＝a ＋1x ，得e x 2＋ax ＋1＝0，∴Δ＝a 2－4e>0，解得a >2e 或a ＜－2e ，又方程的两个根之和为正数，故－ae>0，∴a ＜0.综上所述，a ＜－2 e.思维升华 判断函数零点的方法：(1)解方程法，即解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )有几个零点；(2)图象法，画出函数f (x )的图象，图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数； (3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；(4)利用零点存在性定理判断．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x ln x ，x >0，－x 2－32x ，x ≤0，若方程f (x )＝a (a 为常数)有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫916，eC ．(－∞，0]∪⎣⎡⎦⎤916，eD ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫916，e答案 D解析 当x >0时，函数f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ， 由f ′(x )>0，得0＜x ＜e ， 由f ′(x )＜0，得x >e ，当x 值趋向于正无穷大时，y 值趋向于负无穷大， 即当x ＝e 时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (e)＝2e －eln e ＝2e －e ＝e ，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－32x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋342＋916，是二次函数，在对称轴处取得最大值916， 作出函数f (x )的图象如图，要使f (x )＝a (a 为常数)有两个不相等的实根， 则a ＜0或916＜a ＜e ，即实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫916，e .(2)函数f (x )＝|x |e x ，方程[f (x )]2－(m ＋1)f (x )＋1－m ＝0有4个不相等实根，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，＋∞ 答案 C解析 当x >0时，f (x )＝xe x ，则f ′(x )＝1－x ex (x >0)，故f (1)＝1e 为f (x )在(0，＋∞)上的最大值．当x <0时，f (x )＝－xe x ，则f ′(x )＝x －1e x <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减， 画出函数f (x )的图象如图所示．设t ＝f (x )，则t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0 有两个根t 1，t 2， 由图可知，对应两个x 值的t 值只有一个， 故可设t 1对应一个x 值，t 2对应3个x 值．情况为⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e 或⎩⎨⎧t 1>1e ，t 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，当属于第一种情况时，将0代入方程得m ＝1，此时二次方程t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>1e，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，⎩⎨⎧1e 2－m ＋1e ＋1－m ＜0，1－m >0，即e 2－e ＋1e 2＋e＜m ＜1.真题体验1．(2019·浙江，9)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( ) A ．a ＜－1，b ＜0 B ．a ＜－1，b ＞0 C ．a ＞－1，b ＜0 D ．a ＞－1，b ＞0答案 C解析 由题意可得，当x ≥0时，f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ，令f (x )－ax －b ＝0，则b＝13x 3－12(a ＋1)x 2＝16x 2[2x －3(a ＋1)]．因为对任意的x ∈R ，f (x )－ax －b ＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x ≥0时，b ＝16x 2[2x －3(a ＋1)]必须有2个零点，所以3(a ＋1)2＞0，解得a ＞－1.所以b ＜0.2．(2017·山东，理，10)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞) 答案 B解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m ＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B.3．(2018·浙江，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图(1)．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)． 押题预测1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝min{－x 2＋2x ，2－x }，若方程f (x )－mx ＝0恰有两个不等实根，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－2，－13∪⎝⎛⎭⎫13，2 D.⎣⎡⎭⎫－2，－13∪⎝⎛⎦⎤13，2 答案 C解析 当0≤x ＜1时，－x 2＋2x ＜2－x ，当1≤x ≤2时，－x 2＋2x ≥2－x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，0≤x ＜1，2－x ，1≤x ≤2，又因为f (x )是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f (x )的图象(图略)，直线y ＝mx 与y ＝－x 2＋2x 的图象相切时，m ＝2，直线y ＝mx 经过点(3,1)时，与函数f (x )的图象有三个交点，此时m ＝13，故x ≥0时，要使方程f (x )－mx ＝0恰有两个不等实根，则13＜m ＜2，由对称性知x ＜0时，要使方程f (x )－mx ＝0恰有两个不等实根，则－2＜m ＜－13.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x ，x >0，ax ＋2a ＋1，x ≤0，a ∈R ，若方程f (x )－2＝0恰有3个不同的根，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x >0时，f (x )＝e x －1x ，f ′(x )＝e x －1(x －1)x 2，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 且f (1)＝1为f (x )在(0，＋∞)上的最小值．当x ≤0时，f (x )＝ax ＋2a ＋1的图象恒过点(－2,1)， 当a ＜0时，f (x )≥f (0)＝2a ＋1， 当a ≥0时，f (x )≤f (0)＝2a ＋1， 作出大致图象如图所示，方程f (x )－2＝0有3个不同的根，即方程f (x )＝2有3个解． 结合图象可知，当a ≥0时，若方程f (x )＝2有三个根，则2a ＋1≥2，即a ≥12，而当a ＜0时，结合图象可知，方程f (x )＝2一定有3个解， 综上所述，方程f (x )－2＝0在a ＜0或a ≥12时恰有3个不同的根．A 组 专题通关1．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f (2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2＜0， f (3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上． 2．已知x 0是函数f (x )＝e －x ＋1x －2的零点，若x 1∈(0，x 0)，x 2∈(x 0,2)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠2}，又e －x >0，且x ＜2时，1x －2＜0，故f (x )的零点x 0∈(－∞，2)，求导得f ′(x )＝－e －x －1(x －2)2＜0，则函数f (x )在区间(－∞，2)，(2，＋∞)上单调递减，由0＜x 1＜x 0＜x 2＜2，得f (x 1)>f (x 0)>f (x 2)，即f (x 1)>0，f (x 2)＜0，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ，x <4，2x －1，x ≥4，若存在实数a ，b ，c 满足f ()a ＝f ()b ＝f ()c ，其中c >b >a ，则()a ＋b f ()c 的取值范围是( ) A ．(24,36) B ．(48,54) C ．(24,27) D ．(48，＋∞)答案 B解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ，x <4，2x －1，x ≥4的图象如图所示，∵a <b <c ，∴由二次函数的性质可得a ＋b ＝6， 由图可知，4<c <log 29＋1， ∴f (4)<f (c )<f (log 29＋1)，f (4)＝8，f (log 29＋1)＝2log 29＋1－1＝9， ∴8<f (c )<9,48<6f (c )<54，即()a ＋b f (c )的取值范围是()48，54，故选B.4．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4＋x )＝f (x )，且当x ∈(－2,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ，0<x ≤2，－(x 2＋2x )，－2<x ≤0，则函数g (x )＝f (x )－|log 4|x ||的零点个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．9 答案 C解析 根据f (4＋x )＝f (x )可知，函数f (x )的周期为4，画出f (x )与y ＝|log 4|x ||的图象如图所示，由图可知它们交点个数为8，也即g (x )的零点个数为8.5．设a ，b ，c 分别是方程x ＋3＝13log x ，⎝⎛⎭⎫13x＝13log x ，⎝⎛⎭⎫13x ＝x ＋3的实数根，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b答案 D解析 如图，方程x ＋3＝13log x ，⎝⎛⎭⎫13x ＝13log x ，⎝⎛⎭⎫13x ＝x ＋3的根转化为y ＝x ＋3和 y ＝13log x ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝13log x ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝x ＋3函数图象的交点问题．在同一坐标系中画出各函数的图象，得c ＜a ＜b .6．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，则方程f (2x －1)＝f (x )所有实根的和是( ) A.13 B ．1 C.43 D ．2 答案 C解析 由题意得f (2x －1)＝|2x －2|＋|2x －1|＋|2x |，f (2x －1)＝f (x )⇔|2x －2|＋|2x －1|＋|2x |＝|x －1|＋|x |＋|x ＋1|，即|x －1|＋|x |＋|2x －1|－|x ＋1|＝0，设g (x )＝|x －1|＋|x |＋|2x －1|－|x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ＜－1，－5x ＋1，－1≤x ＜0，－3x ＋1，0≤x ＜12，x －1，12≤x ＜1，3x －3，x ≥1，令g (x )＝0，解得x ＝13或x ＝1，所以方程f (2x －1)＝f (x )所有根的和是13＋1＝43，故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x －1，x <0，log a x (a >0，且a ≠1，x >0)的图象上关于y 轴对称的点至多有2对，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫15，1∪()1，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫55，1∪()1，＋∞C.⎝⎛⎦⎤0，55∪()1，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤0，55 答案 B解析 设函数f (x )＝sin π2x －1()x <0关于y 轴对称的函数为g (x )，若x >0，则－x <0，∵当x <0时，f (x )＝sin π2x －1，∴f ()－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2x －1＝－sin π2x －1， ∴g (x )＝－sin π2x －1，x >0，作出函数g (x )的图象，要使g (x )＝－sin π2x －1，x >0与f (x )＝log a x ，x >0的图象至多有2个交点，当a >1时，有一个交点，满足题意；当0<a <1时，需满足g (5)≥f (5)，即－2≥log a 5，即log a 5≤log a a －2才能满足题意， 则5≥1a 2，解得55≤a <1，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫55，1∪()1，＋∞，故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x sin x ，0＜x ＜π，x ，x ≥π，g (x )＝f (x )－kx (k ∈R )，当k ＝1时，函数g (x )有________个零点；若函数g (x )有3个零点，则k 的取值范围是________． 答案 1 ⎝⎛⎦⎤0，ππ解析 当k ＝1时，令g (x )＝0，得f (x )＝x ，当0＜x ＜π时，令x sin x ＝x ，即sin x ＝1，解得x ＝π2，当x ≥π时，令x ＝x ，解得x ＝0(舍去)或x ＝1(舍去)， 综上，g (x )的零点个数为1. 若函数g (x )有3个零点，则k ≠0.当x ≥π时，x ＝kx (k >0)，最多有1个解， 即有x ＝1k 2≥π，解得0＜k ≤ππ，又0＜x ＜π时，x sin x ＝kx 有2个解，即为sin x ＝k 有2个解， 则0＜k ＜1， 综上可得0＜k ≤ππ. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，e f (|x |＋1)，x ＜1(e 为自然对数的底数)，则f (e)＝________，函数y ＝f (f (x ))－1的零点有________个．(用数字作答) 答案 1 3解析 f (e)＝ln e ＝1.函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为方程f (f (x ))＝1的根的个数，则①由ln x ＝1(x ≥1)，得x ＝e ，于是f (x )＝e ，则由ln x ＝e(x ≥1)，得x ＝e e ；由e f (|x |＋1)＝e(x ＜1)，得f (|x |＋1)＝1，所以ln(|x |＋1)＝1，解得x ＝e －1(舍去)或x ＝1－e ；②由e f (|x |＋1)＝1(x ＜1)，得f (|x |＋1)＝0， 所以ln(|x |＋1)＝0，解得x ＝0，所以f (x )＝0，只有ln x ＝0(x ≥1)，解得x ＝1.综上可知，函数y ＝f (f (x ))－1有x ＝e e ,1－e,1，共3个零点． 10．已知函数f (x )＝|x |(2－x )，关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为________． 答案 (1－2，0)解析 f (x )＝|x |(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2x －x 2，x ≥0，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0＜m ＜1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 当x >0时，由对称性知， x 2＋x 3＝2,0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝1； 当x ＜0时，由x 2－2x ＝1，得x ＝1－2(x ＝1＋2舍去)， 所以1－2＜x 1＜0，即0＜－x 1＜2－1， 所以0＜－x 1x 2x 3＜2－1，即1－2＜x 1x 2x 3＜0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x 2＋4x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不等的实数根，则b ＋c 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 根据题意作出f (x )的简图，由图象可得，当f (x )∈(0,1]时，有四个不同的x 与f (x )对应．再结合题中“方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝0有8个不同实数解”，令f (x )＝k ，可知关于k 的方程k 2－bk ＋c ＝0有两个不同的实数根k 1，k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于等于1的实数．所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4c >0，0＜b2＜1，02－b ×0＋c >0，12－b ＋c ≥0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧c ＜b 24，0＜b ＜2，c >0，1－b ＋c ≥0，此不等式组表示的区域如图阴影部分，所示，令z ＝b ＋c ，则z ＝b ＋c 在(2,1)处取得最大值3，在(0,0)处取得最小值0，又(2,1)，(0,0)不在可行域内，所以b ＋c 的取值范围为(0,3)．B 组 能力提高12．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log (x ＋1)，0≤x ＜1，1－|x －3|，x ≥1，若关于x 的方程f (x )－a ＝0(0＜a ＜1)所有根之和为1－2，则实数a 的值为( ) A.22 B.12 C.23 D.14答案 B解析 因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈(－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－12log (－x ＋1)＝log 2(1－x )；当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－|－x －3|)＝|x ＋3|－1，所以函数f (x )的图象如图所示，令g (x )＝f (x )－a ，函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝a 的交点个数，如图所示，共5个．设从左向右交点的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，由log 2(1－x 3)＝a ，得x 3＝1－2a .∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－2a ＝1－2，所以a ＝12.13．已知函数f (x )＝|x 2－2x －1|－t 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是( ) A ．(8,45] B ．(8,62) C ．(62，45] D ．(62，45)答案 A解析 由f (x )＝|x 2－2x －1|－t ＝0，得|x 2－2x －1|＝t ，作出y ＝|x 2－2x －1|的图象如图， 要使f (x )有四个不同的零点， 则0＜t ＜2，同时x 1，x 4是方程x 2－2x －1－t ＝0的两个根， x 2，x 3是方程x 2－2x －1＋t ＝0的两个根，则x 1x 4＝－1－t ，x 1＋x 4＝2，x 2x 3＝－1＋t ，x 2＋x 3＝2， 则x 4－x 1＝(x 4＋x 1)2－4x 1x 4＝8＋4t ＝22＋t ，x 3－x 2＝(x 3＋x 2)2－4x 2x 3＝8－4t ＝22－t ，则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)＝42＋t ＋22－t ，设h (t )＝42＋t ＋22－t ，0＜t ＜2， h ′(t )＝422＋t －222－t＝22＋t －12－t ， 由h ′(t )>0，得22＋t－12－t>0，即22＋t >12－t ， 平方得42＋t >12－t ，即8－4t >2＋t ，解得0＜t ＜65，此时h (t )为增函数，由h ′(t )＜0，得65＜t ＜2，此时h (t )为减函数，故当t ＝65时，h (t )取得最大值h ⎝⎛⎭⎫65＝42＋65＋22－65＝4165＋245＝1655＋455＝45，当t →0时，h (t )→62，当t →2时，h (t )→ 8， 又8＜62，所以8＜h (t )≤45，即2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是(8,45]．14．(2019·台州调研)若函数f (x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫13＋a x ＋b 在[－1,1]上有零点，则a 2－3b 的最小值为________． 答案 －13解析 设x 0为f (x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫13＋a x ＋b 在[－1,1]上的零点， 则有－b ＝x 20＋⎝⎛⎭⎫13＋a x 0， 从而a 2－3b ＝a 2＋3x 20＋x 0＋3ax 0 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋3x 022＋34x 20＋x 0≥34x 20＋x 0 ＝34⎝⎛⎭⎫x 0＋232－13≥－13， 故a 2－3b 的最小值为－13.15．(2019·杭州调研)若函数f (x )＝a －x ＋a ＋x －a (a ≠0)存在零点，则a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 方法一 题目等价于a ＝a －x ＋a ＋x 有解，显然a ＞0，－a ≤x ≤a ，两边平方得a 2＝2a ＋2a 2－x 2，又a 2－x 2∈[0，a ]，所以2a ≤a 2≤2a ＋2a ⇒2≤a ≤4. 方法二 令a －x ＝2a cos α，a ＋x ＝2a sin α，α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则a ＝2a sin α＋2a cos α＝2a sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 而a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈[2，2]，即2≤a ≤4. 方法三 令u ＝a ＋x ，v ＝a －x ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ u ＋v ＝a ，u 2＋v 2＝2a ，u ≥0，v ≥0，a ＞0， 直线u ＋v ＝a 与圆u 2＋v 2＝2a 在第一象限(含坐标轴)有交点， 只需⎩⎨⎧ d ＝|－a |2≤2a ，a ≥2a ，a ＞0，解得2≤a ≤4.。