开环传递函数
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五、(共15分)已知某单位反馈系统的开环传递函数为
(1)()()(3)
r K s GS HS s s +=
－，试：
1、绘制该系统以根轨迹增益K r 为变量的根轨迹（求出：分离点、与虚轴的交点等）；（8分）
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围。（7分）
五、(共15分)
(1)系统有有2个开环极点（起点）：0、3，1个开环零点（终点）为：-1； （2分） (2)实轴上的轨迹：（-∞，-1）及（0，3）； （2分） (3)求分离点坐标
111
13
d d d =+
+-，得 121, 3d d ==- ； （2分） 分别对应的根轨迹增益为 1, 9r r K K ==
(4)求与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为(3)(1)0r s s K s ++=－,即2
(3)0r r s K s K +-+=
令 2(3)0r r s j s K s K ω
=+-+=,得 3, 3r K ω=±= （2分）
根轨迹如图1所示。
图1
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围
系统稳定时根轨迹增益K r 的取值范围： 3r K ≥， （2分） 系统稳定且为欠阻尼状态时根轨迹增益K r 的取值范围： 3~9r K =， （3分） 开环增益K 与根轨迹增益K r 的关系： 3
r
K K =
（1
分）
系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围： 1~3K = （1分）
六、（共22分）已知反馈系统的开环传递函数为()()(1)
K
G s H s s s =+ ，试：
1、用奈奎斯特判据判断系统的稳定性；（10分）
2、若给定输入r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，问开环增益K 应取何值。 （7分）
3、求系统满足上面要求的相角裕度γ。（5分）
六、（共22分）
解：1、系统的开环频率特性为
()()(1)
K
G j H j j j ωωωω=
+
（2分）
幅频特性：2
()1K
A ωωω
=
+， 相频特性：()90arctan ϕωω=--（2分）
起点： 00,
(0),(0)90A ωϕ+++
==∞=-；（1分）
终点： ,()0,()A ωϕ→∞∞=∞=-；（1分）
0~:()90~180
ωϕω=∞=--，
曲线位于第3象限与实轴无交点。（1分）
开环频率幅相特性图如图2所示。
判断稳定性：
开环传函无右半平面的极点，则0P =， 极坐标图不包围（－1，j0）点，则0N =
根据奈氏判据，Z ＝P －2N ＝0 系统稳定。（3分）
2、若给定输入r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，求开环增益K ：
系统为1型，位置误差系数K P =∞，速度误差系数K V =K ， （2分）
图2
依题意： 2
0.25ss v A A e K K K
====， （3分）
得
8K = （2分）
故满足稳态误差要求的开环传递函数为 8
()()(1)
G s H s s s =+
3、满足稳态误差要求系统的相角裕度γ： 令幅频特性：2
8
()11A ωωω
==+，得 2.7c ω=， （2
分）
()90arctan 90arctan 2.7160
c c ϕωω=--=--≈-， （1分）
相角裕度γ：180()18016020c γϕω=+=-= （2分）
4、
5、