中考一次函数综合题分类精选---距离
一次函数中考试题集锦
一次函数中考试题集锦(共9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一次函数习题1、(2003·哈尔滨)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象( 分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题:(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围;(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?(3)问快艇出发多长时间赶上轮船2、如图，甲l 、乙l 分别是甲、乙两弹簧的长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系的图像．设甲弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为甲k cm ，乙弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为乙k cm ，则甲k 与乙k 的大小关系（ ）．A ．甲k ＞乙k B.甲k ＝乙k C.甲k ＜乙k D.不能确定3、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由图可知不挂物体时弹簧 的长度为（ ）．4、长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图像如图所示，则y 与x 之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 ． 5、（05广东佛山）如快艇轮船(h)(km)2040608010012014016087654321o52012.520O· 甲l 乙l O8121(cm)(km)oy 6106080（千克）元图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km 的过程中，行使的路程y 与经过的时间x 之间的函数关系．请根据图象填空：____________出发的早，早了___________小时，____________先到达，先到_________小时，电动自行车的速度为_________km / h ，汽车的速度为_________km / h ．6、（2005年资阳市）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B 地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图7. 根据图象解决下列问题： (1) 谁先出发？先出发多少时间谁先到达终点先到多少时间？ (2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x 的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.7、某县在实施“村村通”工程中，决定在A 、B 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A 、B 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队所修道路的长度y (米)与修筑时间x (天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，求该公路的总长度．8、甲、乙两工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(cm)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：⑴乙队开挖30m 时用了 h 。
中考数学分类训练之一次函数精选题
中考数学分类训练之一次函数精选题一．选择题（共4小题）1．将函数y ＝2x +1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝2x +3C ．y ＝4x ﹣3D ．y ＝4x +52．如图，一次函数y ＝x +√2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）A ．√6+√2B ．3√2C ．2+√3D ．√3+√2 3．已知点A （√2，m ），B （32，n ）在一次函数y ＝2x +1的图象上，则m 与n 的大小关系是（ ）A ．m ＞nB ．m ＝nC ．m ＜nD ．无法确定4．根据图象，可得关于x 的不等式kx ＞﹣x +3的解集是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＞1二．填空题（共6小题）5．已知一次函数y ＝x ﹣k ，若对于x ＜3范围内任意自变量x 的值，其对应的函数值y 都小于2k ，则k 的取值范围是 ．6．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．7．请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：．8．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．9．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃．10．如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为．三．解答题（共12小题）11．近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？12．某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．请你根据所给条件决下列问题：（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值；（填“由负到正”或“由正到负”）（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．13．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y （单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．14．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc ≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000m3，原有水量分别为1200m3，300m3，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100m3，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．设注水第xmin时，甲、乙水池中的水量分别为y1m3，y2m3．（1）若每分钟向甲注水40m3，分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）若每分钟向甲注水50m3，画出y2与x之间的函数图象；（3）若每分钟向甲注水am3，则甲比乙提前3min注满，求a的值．16．小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．17．如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t 时，我们把容器甲的水位高度记为h 甲，容器乙的水位高度记为h 乙，设h 乙﹣h 甲＝h ，已知h （米）关于注水时间t （小时）的函数图象如图③所示，其中MN 平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：①求a 的值；②求图③中线段PN 所在直线的解析式．18．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．19．为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：该地区每周接种疫苗人数统计表周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周接种人数710121825293742（万人）根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点（3，12）、（8，42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y＝6x﹣6），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．请根据以上信息，解答下列问题：（1）这八周中每周接种人数的平均数为万人；该地区的总人口约为万人；（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．①估计第9周的接种人数约为万人；②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少a（a＞0）万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果a＝1.8，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？20．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．21．甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．22．A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．。
2020年中考数学压轴题专项训练：一次函数的综合(含答案)
2020年数学中考压轴题专项训练：一次函数的综合1如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P,若满足PQ小于等于AB,则称点P为线段AB的“限距点”(1)在平面直角坐标系Xoy中，若点A (- 1, 0), B( 1, 0).①在的点C(0, 2), D(- 2, - 2), E(0,-一 -：)中，是线段AB的“限距点”的是E②点P是直线y = x+'上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标3 3X P的取值范围.存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围Λ Q B∙∙∙ C不是线段AB的“限距点”；当D(-2, - 2)时，D到AB的最短距离2, T AB= 2 ,∙D不是线段AB的“限距点”；当E (0,--；)时，E到AB的最短距离「: , T AB= 2 ,∙E是线段AB的“限距点”；故答案为E;②如图：以(1 , 0)为圆心，2为半径做圆，以(-两圆与直线(2)如图，以A (t , 1)为圆心，2为半径做圆，以B (t, - 1两圆与直线(2)在平面直角坐标系XOy 中，若点A (t , 1), B (t, - 1).若直线y=解：(1)①当C (0, 2)时, C到AB的最短距离2, T AB= 2 ,1 , 0)为圆心，2为半径做圆,为圆心，2为半径做圆,上y=b"χ+±i的交点为P22.如图，已知过点 B (1, 0)的直线I i 与直线l 2: y = 2x +4相交于点 P ( - 1, a ), I i 与y 轴交于点 C, I 2与X 轴交于点 A(1) 求a 的值及直线I i 的解析式.(2) 求四边形PAoC 勺面积.(3) 在X 轴上方有一动直线平行于 X 轴，分别与I i ,丨2交于点M N 且点M 在点N 的右 侧，X轴上是否存在点 Q 使厶MN(为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)τ y = 2x +4 过点 P (- 1，a )，.∙. a= 2，•••直线 I 1 过点 B (1，0)和点 P (- 1，2)，设线段BP 所表示的函数表达式 y = kx +b 并解得： 函数的表达式y =- x +1;(2) 过点P 作PEIOA 于点E,作PF ⊥y 轴交y 轴于点F ，Il 5(3) 如图，M( 1 - a ，a )，点 N^~，小，HI a -4l-⅛-∙∙∙ MN= NQ 则3.在平面直角坐标系中，直线 I 仁y =- 2x +6与坐标轴交于 A, B 两点，直线12: y = kx +2(k > 0)与坐标轴交于点 C, D,直线∣1,丨2与相交于点 E(1) 当k = 2时，求两条直线与 X 轴围成的厶BDB 的面积；(2) 点P (a, b )在直线12： y Q kx +2 (k > 0)上，且点 P 在第二象限.当四边形 OBEC23的面积为=时.① 求k 的值；② 若m= a+b ,求m 的取值范围.%C\ .r 3\ X O B \ k X备丿 胭解：(1)τ直线l I : y =- 2x +6与坐标轴交于 A B 两点,.∙.当 Xy= O 时，得 X = 3，当 X = 0 时，y = 6;综上，点Q 的坐标为：(-匸，0)或(- 0）或（ ,0） •③当 MQ NQ 寸，*∙∙∙ A (O, 6) B (3, 0);当k = 2 时，直线12: y= 2x+2 ( k≠ 0),∙ C (0, 2), D(- 1, 0)I' y=-2x÷6' K=I解F 得，,[y=2x+2 ,y=4∙ E (1, 4),•••△ BDE的面积=丄× 4× 4= 8.2(2)①连接OE设E ( n,- 2n+6),T S 四边形OBEe= S A EO+S^EOB∙—x 2× n+二× 3 ×(- 2n+6 )=二,2解得n=—,•E⅛,和14把点E 的人y= kx+2 中，丁 = p^k+2 ,解得k= 4.②T直线y= 4k+2交X轴于D,•D(-「O),τ P (a, b)在第二象限，在线段CD上,1 C∙- —V a v 0 ,•b= 4a+2 ,•m= a+b= 5a+2 ,1 C•- --v mv 2.(2)函数y =--x +b 的图象与X 轴交于点D,点E 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单 位长度匀速运动到点 A (到A 停止运动).设点E 的运动时间为t 秒.①当△ ACE 的面积为12时，求t 的值;②在点E 运动过程中，是否存在 t 的值，使△ ACE 为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)∙.∙点 C(- 2, m 在直线 y =- x +2上,.∙. m =-(- 2) +2= 2+2 = 4, •••点 C( - 2, 4), ∙.∙函数y =二χ+b 的图象过点 C (- 2, 4),--×(- 2) +b ,得 b =即m 的值是4, b 的值是一一;(2)①T 函数y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B ,•点 A (2, 0),点 B (0 , 2),T 函数y = -χ+丄的图象与X 轴交于点D•点D 的坐标为(-14 , 0),∙∙∙ AD= 16,由题意可得，DE= 2t ,则AE= 16-2t ,y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B,与函y=-3t+2,得≈--2f 1 14V=— XH - I g 3I l y=4则点C的坐标为（-2, 4）,∙∙∙△ ACE的面积为12,∙QA盘）X 4 12•• : =12,解得，t = 5即当△ ACE的面积为12时，t的值是5;②当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形,理由：当∠ ACE= 90° 时，ACLCE •/点A (2, 0),点B( 0 , 2),点C(- 2 , 4),点D(- 14, 0), •OA= OB AC= 4 J ,∙∠BAO 45° , ∙∠CAE= 45° ,∙∠CEA= 45° ,•CA= CE= ,∙AE= 8 , ∙∙∙AE= 16- 2t ,•8 = 16- 2t ,解得，t =4;当∠ CEA 90° 时，T AC= 4 .「, ∠ CAE= 45•AE= 4 ,∙∙∙AE= 16- 2t , • 4 = 16- 2t ,解得，t =6;由上可得，当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形.5•如图1已知线段 AB 与点P ,若在线段 AB 上存在点 Q 满足P(≤ AB 则称点P 为线段(1)如图2,在平面直角坐标系 xθy (2)中，若点 A (- 1, 0), B( 1, 0)① 在 C(0, 2) 2, D(- 2, - 2), -√3) 中，是线段AB 的“限距点”的是C, E ; ② 点P 是直线y = x +1上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标XP 的取 值范围.围. 解：(1)①T 点 A (- 1, 0), B (1, 0),∙∙∙ AB= 2,T 点C 到线段AB 的最短距离是 2≤AB∙点C 是线段AB 的“限距点”，T 点D 到线段AB 的最短距离=j ∙f 「八2= ∏>AB∙点D 不是线段AB 的“限距点”(2)在平面直角坐标系XOy 中，点 A( t , 1), B(t , - 1),直线y =半沙2近与X 轴 交于点M 与y 轴交于点N 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范AB 的“限距•••点E到线段AB的最短距离是_ [≤ AB•••点E是线段AB的“限距点”，故答案为：C, E;②•••点A (- 1, 0), B (1, 0)•点P为线段AB的“限距点”的范围是平行于AB且到AB距离为2两条线段」和以点A, 点B为圆心，2为半径的两个半圆围成的封闭式图形，如图所示：如图3,直线y= x+1与该封闭式图形的交点为M N•点M坐标(1, 2)设点N (X, x+1)•( x+1) 2+ (x+1 - 0) 2= 4•X =- 1 - "< /•匚iy ¥AV F MOA V E MN•••点P 横坐标X P 的取值范围为;(2)•••直线y = ^^工卜趴卮与X 轴交于点 M 与y 轴交于点N•点 N (0, 2 品,点 M(— 6, 0)如图3,线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段MN 交于点M•••点M 是线段AB 的“限距点”，∙∙∙- 6-t = 2,∙ t = - 8,若线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段 MN 相切于点F ,延长BA '交MNF E,∙∙∙ t的取值范围为-8≤ t ≤ -：- 2.6.如图(1),在平面直角坐标系中，直线y =-2 x+4交坐标轴于A、B两点，过点C( - 4,(2)确定直线CD解析式，求出点D坐标；(3)如图2,点M是线段CE上一动点(不与点C E重合)，0N⊥Oh交AB于点N,连接MN①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；②当△ OMr面积最小时，求点M的坐标和厶OM面积.4 、一解：(1)τ直线y ----- x+4交坐标轴于A B两点，d∙当y= 0 时，X= 3,当X = 0 时，y = 4,∙点A的坐标为(3, 0),点B的坐标为(0, 4),∙OA= 3;故答案为：(0, 4), 3;(2 )•••过点C (- 4, 0)作CD交AB于D,交y轴于点已且厶CO B^ BOA∙OC= 4 , OC= OB OE= OA•••点A (3 , 0),∙OA= 3 ,∙OE= 3 ,•点E的坐标为(0, 3),设过点C (- 4 , 0),点E ( 0 , 3)的直线解析式为y = kx+b ,.∙.直线CE 的解析式为y = x +3,4即直线CD 的解析式为y = x +3,4 12■■-，2?(3)①线段OM 与ON 数量关系是Oh =ON 保持不变,证明：•••△ CO B^ BoA∙∙∙ OE= OA ∠ OEI =∠ OAN ∙∙∙∠ Bo =90°, ONLOMl∙∠ MO = ∠ BOA= 90°,∙∠ MO +∠ EO =∠ EON ∠ NOA∙∠ MO = ∠ NOA在厶 MO^ NOA 中,r ZMOE=ZNOA〈OE=OA ,LZOEK=ZOAN •••△ IMO B △ NOA( SAS ,• OM= ON即线段OMl 与ON 数量关系是OM= ON 保持不变;②由①知OM= ON•当OM ,∙∙∙OC= 4 , OE= 3, ∠ COE= 90° , ∙∙∙CE= 5 ,•••当OML CE 时，OM 取得最小值,f-⅛+b=0 lb=3 ,得即点D 的坐标为 12 25 84 25); ∙∙∙ OML ON• △ OM 面积OH-ONOK 2 2 212 v 2 亍 当AOM 取得最小值时，设此时点M 的坐标为（a ,二a +3）,4解得，a =-∙τa+3=故 A (4, 0);当 X = 0 时，y =— 3, 故 B (0,- 3);2 ^ 2 恥5 4×3 2 _ 2 解得，OMk125 7225^,⅛+3)Ξ 12_.S•••△OM 面积取得最小值是: •点M 的坐标为__ ）， 由上可得，当△36 48 OMN 面积最小时，点 M 的坐标是（=ς?,石孑）和厶OMN 面积 25 ' 25积是 72 7.如图，一次函数「V 的图象分别与X 轴、y 轴交于点A B ,以线段AB 为边在第四象限内作等腰直角厶 ABC 且∠ BAC= 90°.(1)试写出点A B 的坐标：A ( 4 , 0 ) , B ( 0 , - 3 );（2）求点C 的坐标;解得：X = 4,故答案为：(4, 0), (0,- 3);(2)过点C作CDL X轴，垂足为点D,∙∙∙∠ BAC= 90°,∙∙∙∠OAB∠ DAC= 90 ° ,又∙∙∙∠DCA∠ DAC= 90°,∙∠ACD=∠ OAB在厶AOBm CDA中r ZBOA=ZATC•Z0A&=ZACDl AB=AC•••△ AOB^△ CDA( AAS,•AD= OB= 3, CD= OA= 4,•OD= 7,• C ( 7,- 4);(3)设直线BC的函数表达式为y = kx+b 把B (0,- 3), C (乙-4)代入上式：解之得：* 7 ,,b=~3•直线BC的函数表达式为y =今鼻-3・&如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A 地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程yι, y2 （千米）与行驶时间X （小时）之间的函数关系图象.圉I ≡2(1)填空：A, B两地相距600千米；货车的速度是40千米/时;(2)求三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间X之间的函数表达式;(3)试求客车与货两车何时相距40千米？解：(1)由函数图象可得， A B两地相距：480+120 = 600 ( k∏),货车的速度是：120 ÷ 3 = 40 ( km(h)∙故答案为：600; 40 ;(2)y= 40 (X- 3) = 40x - 120 (X> 3);(3)分两种情况：①相遇前：80x+40x = 600 - 4014解之得X = -y…(8分)②相遇后：80x+40x = 600+40解之得X =千综上所述：当行驶时间为学小时或二小时，两车相遇40千米.9.如图1,在平面直角坐标系XOy中，点A (2, 0),点B( - 4, 3).(1)求直线AB的函数表达式；(2)点P是线段AB上的一点，当S∖AO P S^ AOB=2: 3时，求点P的坐标；(3)如图2,在(2)的条；件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°,点B落在点C处,连结CP求厶APC的面积，并直接写出点C的坐标.图1 解：(1)设直线AB 的函数表达式为•/点 A (2，0)，点 B (- 4, 3),.卩沙bo V ⅛+b=3,1 解得：* ■ L b = I•••直线AB 的函数表达式为 y =-—x +1;(2)过B 作BEl X 轴于E ,过P 作PDL X 轴于D,• PD// BE• S ^AO P S ^ AO = 2 :AP 2 AB 3,•点 B (- 4, 3),• BE= 3,• PD// BE• △ APDo ^ ABEPD PD 2 BE3 3,• PD= 2,当 y = 2 时，X =- 2,• P (- 2, 2);A Xy = . kx +b ,(3)点A (2, 0)、点B (- 4, 3),点P (- 2, 2),则AP= 2 U AB= CA= 3 匚，过点P作HPL AC交AC的延长线于点H,△ APC的面积=二：ACX PH=--× 3. □× . 口 =二•;2 二2设点C (X, y),则PC= P H+H C= 15+( i. ,+3 ：■) 2= 95 =( x+2) 2+ (y - 2) 2…①，CA= 45 =( X - 2) 2+y2…②，联立①②并解得：X y=∙..,故点1). 〜10.如图，平面直角坐标系中，直线AB y = kx+3 ( k≠ 0)交X轴于点A (4, 0),交y轴正半轴于点B,过点C( 0, 2)作y轴的垂线CD交AB于点E,点P从E出发，沿着射线ED 向右运动，设PE= n.(1)求直线AB的表达式；(2)当厶ABP为等腰三角形时，求n的值；(3)若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt △ BPM试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由.解：将点A 的坐标代入直线 AB y = kx +3并解得：k =-丁, 故AB 的表达式为：y =-工x +3;4而点A B 坐标分别为：(4, 0)、(0, 3),当AP= AB 时，同理可得： n = _ +「(不合题意值已舍去)；当AB= BP 时，同理可得： n =-—+2「；⅞-)(3)在直线上，理由:如图，过点M 作MDL CD 于点H,∙∙∙∠ CPB=∠ MPH BP= PM ∠ MH =∠ PCB= 90°∙∙∙ MH △^^ PCB( AAS ,故点M 在直线y = x +1上.11.小聪和小慧去某风景区游览，两人在景点古刹处碰面，相约一起去游览景点飞瀑， 骑自行车先行出发，小慧乘电动车出发，途径草甸游玩后，再乘电动’车去飞瀑,人同时到达飞瀑.图中线段 OA 和折线B- C- D- A 表示小聪、小慧离古刹的路程(2)当 y = 2 时，X = ，故点E (■ ,2),则点 P (n +二,2),≡ A P =(壬+n - 4) 2+4 ； BP =( n2+1, AB = 25, 当 AP = BP 时，(2+ n - 4) +4=( n +")2+1,解得：n =-二6BC=1 = PH7故点M( n +—,n+∙10小聪 结果两y (米)O,∠ BPG ∠ MP = 90°,则 CP= MHb n与小聪的骑行时间X (分)的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题:(1) 小聪的速度是多少米/分？从古刹到飞瀑的路程是多少米？ (2) 当小慧第一次与小聪相遇时，小慧离草甸还有多少米？ (3) 在电动车行驶速度不变的条件下，求小慧在草甸游玩的时间.U≡0.αrι解: (1) Y 小职-禺厂丄创(米/分).古刹到飞瀑的路程=180 × 50= 9000 (米).答：小聪的速度是180米/分，从古刹到飞瀑的路程是 9000米;10k+b=0.∙. Y = 450x - 4500当 X = 20, Y = 45004500 - 3000= 1500 米 答：小慧与小聪第一次相遇时，离草甸还有1500米.(3) 9000- 4500= 4500 (米) 4500 ÷ 450 = 10 (分钟). 50- 10- 10 - 10= 20 (分钟) 答：20分钟.12.对于平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A (- 2, 0)和点B(3, 0),线段AB 和线段AB 外的一点P,给出如下定义：若 45°≤∠ APB≡ 90 °时，则称点 P 为线段AB 的可视点， 且当PA= PB 时，称点P 为线段AB 的正可视点. (1)①如图1 ,在点P 1(3, 6), P 2 (- 2, - 5) ,P 3 (2,2)(2)设 Y = kx +b , 解得⅛=450 Ib='450C则k-⅛-3000中，线段AB的可视点是P2,2-4Γ备用團解：(1)①如图1,以AB 为直径作圆 G 贝U 点P 在圆上，则∠ APB= 90°,若点P 在圆内, 则∠ APB>90°，5 — 4 —*-C/ Fr■ - **■■■ *-I70 G 1b_ Ib r ・.■-3-D—■以C (勺"，女)为圆心，AC 为半径作圆，在点 P 优弧如B 上时，∠ APB= 45° ,点P 在优 弧」内，圆G 外时，45°v∠ AP 欢90°;,-—)为圆心，AD 为半径作圆，在点 P 优弧TE 上时，∠ APB= 45°,点P 在优弧」■内，圆G 外时，45°v∠ APB≤ 90°;②若点P 在y 轴正半轴上，写出一个满足条件的点 P 的坐标： P( 0,3)(答案不唯一)(2)在直线y = x +b 上存在线段 AB 的可视点，求 b 的取值范围;(3)在直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点,直接写出 m 的取值范围.Ai ■ i 占 id 斗亠3亠2 -1 O3-2-10-1-4Γ•••点P ( 3, 6), P2 (- 2,- 5), P (2, 2)∙∙∙ P I C=^4〉M= AC 则点P i在圆C外，则∠ ARB< 45°,■: ■■:P2D= ' = AC 则点P2在圆D上，则∠ APB= 45 ° ,2RG=層=BG 点P a在圆G上,则∠ APB= 90°,∙线段AB的可视点是P2, P a,故答案为：B, P a；②由图1可得，点P的坐标：P(0, 3)(答案不唯一，纵坐标y范围：∣l≤ y p≤ 6).(2)如图2,设直线y=x+b与圆C相切于点H交X轴于点N连接BH∙∙∙∠ HN=∠ HBN= 45° ,∙NH= BH ∠ NH= 90°,且NH是切线,∙BH是直径，∙BH= 5,∙BN= 10 ,∙ON= 7 ,∙点N ( - 7 , 0)∙0 =- 7+b , ∙b= 7 ,当直线y = x+b与圆D相切同理可求：b =- 88≤ b ≤ 7(3)如图3,作AB 的中垂线，交Θ C 于点Q 交Θ D 于点 W--⅛,, Xg.亠 ・■■T 直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点，.线段CC 和线段DWt 的点为线段 AB 的正可视点.别代入解析式可得:匕的函数关系如图所示:(2) 求甲、乙两车相遇后y 与X 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 X 的取值范围.T 点 CL-,=-），点 D （-^-5√2 2.m = 3, m = .m 的取值范围:^√+3,m =-2，m =-—.「- X.二冷._ 或］13.已知 A 、B 两地之间有一条 270千米的公路, 甲、乙两车同时出发，甲车以每小时 60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地, 乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地, 两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y (千米)与甲车的行驶时间X （时） 之间(1)乙年的速度为75 千米/时，a = 3.6 ,b =4.5 ;⅛41）,点Q)，点÷ 2= 75千米/时，故答案为：75; 3.6 ; 4.5 ;(2) 60× 3.6 = 216 (千米)，故A (2, O), B( 3.6 , 216) , C (4.5 , 270) 当2 V x≤ 3.6时，设y = k1x+b1,根据题意得:2k1+b 1=06k1+b1^21⅛解得∙∙∙ y = 135x - 270 (2 V x≤ 3.6 );当 3.6 V X≤ 4.5 时，设y= k2x+b2,贝U3.6k2+b Ξ=2164,解得∙当3.6 V X≤ 4.5 时，y = 60x,r135χ-270(2<x<3.6)y(60讥£代κj≤4∙5)14.已知：在平面直角坐标系中，直线x+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C是X轴正半轴上一点，AB= AC 连接BC(1)如图1 ,求直线BC解析式；(2)如图2,点P Q分别是线段AB BC上的点，且AF=J BQ连接PQ若点Q的横坐标为t , △ BPC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3) 如图3,在(2)的条件下，点 E 是线段OA 上一点，连接 BE 将厶ABE 沿BE 翻折, 使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处，点F 在y 轴上点H 上方EH= FH 连接EF 并延长交BC 于点G 若B 'AR 连接PE 连接P G 交BE 于点「求BT 长.≡1鈕解：(1)由已知可得 A (- 3 , 0), B(0, 4),∙∙∙ OA= 3, OB= 4,∙∙∙ A B=常丁吐；CF 丛=•二 I = 5,∙∙∙ AB= AC∙ AC= 5,∙C ( 2, 0), 设BC 的直线解析式为 y = kx +b , 将点B 与点C 代入，得(O-Ξk+b U=b , r ⅛=-2∙ BC 的直线解析式为 y =- 2x +4;(2)过点Q 作MQ y 轴，与y 轴交于点 M 过点Q 作QEL AB 过点C 作CF ⊥ABS34图2τ Q 点横坐标是t ,∙°∙ MQ= t ,T Ma OC…典厶/5∙ BQ= ∏t ,∙.∙ AP = BQ∙ AP= F ,T AA 5,∙ PB- 5 -凤.∣t ,在等腰三角形 ABC 中, AC= AB= 5, BC= 2 一二,1 11V--ABX CF=T-ACX OB∙ CF = OB^ 4, T EQ/ CFES -√5t•— L ∙ EQ= 2t ,∙ S =丄 L-×( 5- Γt )=-.匸—t (0≤ t ≤ 2); (3)如图3，8CH≡3EH)23 占 八3 4)BG=54E 、0O E =丄OiAE =( 4 - AE ) 2+12•••将厶ABE 沿BE 翻折，使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处,∙∙∙ AH= AB= 5,∙∙∙ OH= BH- ∙∙∙ EH =O+H,∙点 E (- -二，∙点 F (0,4 3∙∙∙ EH= FH= ⅛ ∙直线EF 解析式为y=—x+—, 直线BE 的解析式为: y = 3x +4,∙ X ∙- 2x +4= ―X• X =- 1,•点 T （- 1, 1）• B T =:厂 Iuj . T J = '115.如图，在平面直角坐标系中，点A (4, 0)、点B (0, 4),过原点的直线l 交直线AB 于点P * X\P 丿(1 )∠ BAQ 的度数为 45 °，△ AoB 的面积为 8(2) 当直线l 的解析式为y = 3X 时，求△ AOP 勺面积；1(3) 当时，求直线I 的解析式. Li AEOF J解：(1)τ点 A (4, 0)、点 B (0, 4),• OA= OB∙∙∙∠ AO = 90°,• △ AOB 是等腰直角三角形，∙∙∙ BG=主丄AP ∙∙∙ AP= 1, •••点 P （- 12 4 T ，百 •直线PG 的解析式为:•/ BAO= 45°,A AOB的面积=f-× 4 × 4= 8;故答案为：45, 8;(2)设直线AB 的解析式为：y = kx +b ,•••直线AB 的解析式为：y =- x +4, •••直线l 的解析式为y =3x ,解苗得Dl• P (1, 3),• △ AoP 勺面积=⅛× 4× 3= 6;(3)如图，过 P 作 PC ⊥OA 于 C, 贝y PC// OB S AAOP^ABOFAP- LPB = 3PAL •屈=1?∙∙∙ PC// OBPC AC PA OB OA AB'• PC= 1, AC= 1, ∙ OC= 3, • P (3,1), .∙.∙=直线I 的解析式为y =二χ∙把点A (4, 0)、点B(0, 4)代入得 '4fc+b=0 L b =4 解得: t b=4。
例析一次函数中的行程距离问题-绝对经典
例析一次函数中的行程距离问题一次函数的应用是初中数学的重要内容，也是近年来命题者关注的热点，尤其是一次函数图象与相关行程距离问题结合紧密，它要求同学们具备较好提取图表信息能力，分析问题、解决问题的能力及数学素养、数学能力，现结合试题中有关行程距离问题为例进行说明，希望能给同学们带来一定的启示与帮助。
例1 一方有难，八方支援.2010年4月14日青海玉树发生地震，全国各地积极运送物资支援灾区.现有甲、乙两车要从M 地沿同一公路运输救援物资往玉树灾区的N 地，乙车比甲车先行1小时，设甲车与乙车之间的路程．．．．．．．．．．为y （km ），甲车行驶时间为t （h ），y （km ）与t （h ）之间的函数关系的图象如图所示.结合图象解答下列问题（假设甲、乙两车的速度始终保持不变）：（1）乙车的速度是 km /h ；（2）求甲车的速度和a 的值.思路点拨：结合题意及图象可知t （h ）表示甲车．．行驶的时间. y （km ）表示甲车与乙车之间的．．．．．．．．路程．．，y 轴上的40 km 表示乙车比甲车先行1小时所行驶的路程，即乙车的速度；当甲车行驶12小时， 乙车已行驶了13小时，此时两车相距200km ，根据这两车的路程关系构建方程求解甲车的速度，而a 为甲车行驶的时间在轴上，说明两车的距离为0，即甲车追上乙车，借助路程列出方程求解a 。
解析：（1）40（2）解法1：设甲车的速度为x km/h ，依题意得12(121)40200x =+⨯+，解得x =60。
又(1)4060a a +⨯=⨯，∴a =2。
答：甲车的速度为每小时60千米，a 的值为2.点评：本题是一道典型的图表信息题，其中以新闻热点为背景，取材真实新颖而又生动，关键)在于运用数形结合的思想，弄清函数图象中的变量含义及实际意义，将抽象的图表信息问题转化为数学模型（路程、速度、时间），通过构建方程知识解决实际问题，例2 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像.思路点拨：结合直线上两点（1.5，70）、（2，0），运用待定系数法求解出直线的解析式，进而求出点A 的坐标，即甲乙两地之间的距离；借助有关两车的路程问题构建方程组求解两车的速度和时间；通过分析可知y 关于x 的函数的图像还存在两段：两车同时行驶两车的距离和慢车到达甲地后快车继续行驶时两车的距离与x 的关系。
中考数学常考考点专题之一次函数综合训练卷
中考数学常考考点专题之一次函数综合训练卷一．选择题（共15小题）1．如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝﹣x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．4√5B ．4C ．8√5D ．82．一次函数y ＝mx +m 2（m ≠0）的图象过点（0，4），且y 随x 的增大而增大，则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2或2C ．1D ．23．如图，直线y 1＝x +b 与y 2＝kx ﹣1相交于点P ，若点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不等式x +b ＞kx ﹣1的解集是（ ）A ．x ≥﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣14．如果直线y ＝3x +6与y ＝2x ﹣4交点坐标为（a ，b ），则解为{x =a y =b 的方程组是（ ）A ．{y −3x =62y +x =−4B ．{y −3x =62y −x =4C ．{3x −y =63x −y =4D ．{3x −y =−62x −y =45．在平面直角坐标系中，点A 1（﹣1，1）在直线y ＝x +b 上，过点A 1作A 1B 1⊥x 轴于点B 1，作等腰直角三角形A 1B 1B 2（B 2与原点O 重合），再以A 1B 2为腰作等腰直角三角形A 2A 1B 2；以A2B2为腰作等腰直角三角形A2B2B3；按照这样的规律进行下去，那么A2019的坐标为（）A．（22018﹣1，22018）B．（22018﹣2，22018）C．（22019﹣1，22019）D．（22019﹣2，22019））6．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 7．关于x的一次函数y＝﹣4x+8的图象，下列说法不正确的是（）A．直线不经过第三象限B．直线经过点（1，4）C．直线与x轴交于点（2，0）D．y随x的增大而增大8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=54或154．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B的，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（）A．8：30B．8：35C．8：40D．8：410．“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系11．将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5B．y＝2x+3C．y＝2x﹣2D．y＝2x﹣3 12．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k=−1 2b13．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．14．若直线BC和直线y＝x+3平行，其中点B的坐标为B（﹣2，3），将直线BC向右平移1个单位后为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+4C．y＝x+6D．y＝x+415．如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离A村的距离y（km）与他自骑车的时间x （h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．A、B两村的距离为120km B．甲的速度为20kmhC．乙的速度为40km/h D．乙运动3.5h到达目的地二．填空题（共5小题）16．我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．17．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第象限．18．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发h后两人相遇．19．若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为．20．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是．三．解答题（共5小题）21．在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．22．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（﹣2，√3），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．（1）当m=−√3时，求直线AB的函数表达式．（2）当点C落在坐标轴上时，求△ABC的面积．（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．（1）求这两个函数图象的交点坐标；（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．24．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P 与点Q为α﹣关联点．（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是；（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．25．近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处．小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．（1）两人出发后小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是千米．（2）求出AB所在直线的函数关系式．（3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发 1.5小时后，将速度调整为千米/时．。
一次函数——路程问题
分卷I注释一辆汽车由地匀速驶往相距300千米的地，汽车的速度100千米/小时，那么汽车距离B地的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系用图像表示为（）【答案】D【解析】根据题意可知s=300-100t（0≤t≤3），∴与坐标轴的交点坐标为（0，300），（3，0）．要注意x、y的取值范围（0≤t≤3，0≤y≤300）．故选D．分卷II注释小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办96m/min的速度从邮局沿同一2min后沿原路以原速返回，设t min时，小明与家之间的距离为S1 m，小明爸爸与家之间的距离为S2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数关系的图像．【小题1】求S2与t之间的函数关系式：【小题2】小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【答案】见解析。
【解析】【小题1】2400÷96＝25(min) ∴点E、F的坐标为（0,2400）（25,0）设EF的函数关系式为S2="kt+b," 则有，解得，∴S2=－96t＋2400.【小题2】B、D点的坐标为（12,2400）、（22,0）．得BD段的函数关系式为y=﹣240x+5280, 与S2=－96t＋2400的交点坐标为（20，480）所以小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家480m. .3.9月28日，我国神舟七号载人飞船顺利返回地面，下面是“神舟”七号飞船返回舱返回过程中的相关记录：从返回舱制动点火至减速伞打开期间，返回舱距离地面的高度与时间呈二次函数关系，减速伞打开后，返回舱距离地面的高度与时间呈一次函数关系，高度和时间的对应关系如下表：（1）设减速伞打开后x分钟，返回舱距离地面的高度为hkm，求h与x的函数关系式。
（2）在返回舱在距离地面5km时，要求宇航员打开电磁信号灯以便地面人员搜寻，判断宇航员应在何时开启信号灯？【答案】（1）h=-2x+20 (2)5时25分30秒(或减速伞打开后7.5秒)【解析】考查一次函数的解析式。
一次函数中考综合题练习
一次函数中考题综合练习1、在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，及．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 及x 的函数关系如图所示．（1）填空：A 、C 两港口间的距离为km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．2．（2016·黑龙江大庆）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1（万m 3）及干旱持续时间x （天）的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2（万m 3）及时间x （天）的关系如图中线段l 2所示（不考虑其它因素）． （1）求原有蓄水量y 1（万m 3）及时间x （天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量． （2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y （万m 3）及时间x （天）的函数关系式（注明x 的范围），若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．3. （2016·湖北咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件. 为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件. 已知该款童装每件成本价40元. 设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件. （1）求y 及x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？O y/km9030 a3P甲 乙 x/h4．（2016·湖北十堰）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x（元/kg）120 130 (180)每天销量y（kg）100 95 (70)设y及x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y及x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？5. (2016·新疆)暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）及汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？6. （2016江苏淮安）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2及x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2及x的函数表达式；（3）在图中画出y1及x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．7. （2016吉林长春）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y及x之间的函数图象如图所示（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；（2）求甲车返回时y及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．8．（2016·山西））我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg 和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）及购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．9. (2016年浙江省丽水市)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）及跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求图中a的值；（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．①求AB所在直线的函数解析式；②该运动员跑完赛程用时多少分钟？10．（2016.山东省临沂市）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）及x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？11．（2016.山东省泰安市）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．12．（2016·上海）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）及时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？专题训练：一次函数及几何图形综合1、直线y=-2x+2及x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 及PQ 的数量关系，并证明你的结论。
一次函数(新版中考22题)
1、如图，直线1l 的解析式为33+-=x y ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点)233(-，B ，与x 轴交于点A ，且与直线1l 交于点)2(m C ，。
（1）求直线2l 的函数表达式；（2）若直线3l 经过点D ，并把ADC ∆的面积分成2:1的两部分，求直线3l 的解析式。
2、如图，把直线kx y =向下平移2个单位长度后所得直线与双曲线)0(≠=m x m y 交于A 、B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C 、D 两点，已知552sin =∠ADO ，点B 的坐标为（2，n ）。
（1）求一函数和反比例函数的解析式；（2）连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积。
3、如图，在平面直角坐标系中，直线AB )0(4≠+=k kxx y 与与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，点C 是BO 的中点且21tan =∠ABO 。
（1）求直线AC 的解析式；（2）若点M 是直线AC 的一点，当AOC ABM S S ∆∆=2时，求点M 的坐标。
4、如图，已知函数321+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 与点A 关于y 轴对称。
（1）求直线BC 的函数解析式； （2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且ABC BOP S S ∆∆=41，求点P 的坐标。
5、如图，直线3:1+=x y l 分别与直线)0(:2≠+=k b kx y l 、直线)0(:1113≠+=k b x k y l 交于A 、B 两点，直线1l 交y 轴于点E ，直线2l 与x 轴和y 轴分别交于C 、D 两点，已知点A 的纵坐标为23，B 的横坐标为1，32//l l ，2tan =∠OCD ，连接BD 。
（1）求直线3l 的解析式； （2）求ABD ∆的面积。
6、如图，直线1l 的图像与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A 并经过点)3,2(-B ，且32t a n =∠O A C，直线2l 由直线x y 3-=平移后得到且经过点C ，与y 轴交于点D 。
(完整版)《一次函数》历年中考难题
一次函数中考试题精选1. (山东日照）在平面直角坐标系中，已知直线y=—43x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C （0,n ）是y 轴上一点．把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上,则点C 的坐标是（ ) （A ）(0，43） （B)（0，34） (C ）（0，3） （D)（0,4) 2。
(山东烟台)在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法:①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有( ）A. 1 个 B 。
2 个 C.3 个 D 。
4个2乙甲乙甲815105 1.510.5Ox /时y/千米3。
(浙江杭州)一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分,则y 与x 之间的函数关系只可能是4．（浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是( )5。
（浙江省）如图,在平面直角坐标系中,线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ )A.-5B.-2C.3 D 。
5学校小亮家s ts tst t s6. (湖南常德)设min ｛x ，y ｝表示x ，y 两个数中的最小值，例如min ｛0,2｝=0，min ｛12，8}=8，则关于x 的函数y=min{2x ，x+20}可以表示为( ）A. ()()2222xx y x x <⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ B 。
()()2222x x y xx +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩C 。
y =2x D. y=x ＋27. （山东枣庄）如图所示,函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2,2）两点．当21y y >时,x的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞28. (四川宜宾)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x,以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）9. （山东威海)如图，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0),直线3l x ⊥轴于点(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n 。
一次函数的应用与综合篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾一次函数的应用与综合--中考数学必考考点总结+题型专训1.一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ，kb ；与y 轴的交点坐标公式为：()b ，0。
2.一次函数的平移：①左右平移，自变量上进行加减。
左加右减。
即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠++=k b m x k y ；若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠+-=k b m x k y 。
②上下平移，解析式整体后面进行加减。
上加下减。
即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠++=k m b kx y ；若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠-+=k m b kx y 。
3.一次函数的对称变换：①若一次函数关于x 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为：()0≠+=-k b kx y ，即()0≠--=k b kx y 。
②若一次函数关于y 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为：()()0≠+-=k b x k y ，即()0≠+-=k b kx y 。
③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为：()()0≠+-=-k b x k y ，即()0≠-=k b kx y 。
4.待定系数法求函数解析式：具体步骤：①设函数解析式——()0≠+=k b kx y 。
②找点——经过函数图像上的点。
③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。
④解——解③中得到的方程（或方程组），求出b k ，的值。
⑤反带入——将求出的k ，5.一次函数与一元一次方程：①若一次函数()0≠+=k b kx y 的图像经过点()n m ，，则一元一次方程n b kx =+的解为m x =。
(完整版)一次函数中考题精选
一次函数中考题精选一、选择题1. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A．乙前4秒行驶的路程为48米 B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等 D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度（1）（2）（3）（4）2. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）3. 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜1.5 B．x＜3 C．x＞1.5 D．x＞34. A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（） A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜05. 点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A． B． C． D．6. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A． B． C． D．7. 设点A（a，b）是正比例函数y=﹣x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（）A．2a+3b=0 B．2a﹣3b=0 C．3a﹣2b=0 D．3a+2b=08. 已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9. 直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤010. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．11. 如果一个正比例函数的图象经过不同．．象限的两点A（2,m），B（n，3），那么一定有（）A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<012.根据下表中一次函数的自变量x与函数y 的对应值，可得p 的值为（）x －2 0 1y 3 p 0A．1 B．－1 C．3 D．－313. 把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（） A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜414. 已知一次函数y=x﹣2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．15. 若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．16. 直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜1 C．﹣1＜m＜1 D．﹣1≤m≤1二．填空题1. 如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．（1）（2）（3）（4）2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是．3. 如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线L的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．4. 如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点 A （0，1）作y 轴的垂线l 于点B ，过点B 1作作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B ．BA 为邻边作▱ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1．B 1A 1为邻边作▱A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是 ． 5. 在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．6. 已知一次函数y=kx+b （k 、b 为常数且k≠0）的图象经过点A （0，﹣2）和点B （1，0），则k= ，b= ．7. 已知直线y=x+（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2018= ．8. 一次函数,1)2(++=x m y 若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________ .9. 在一次函数y=（2﹣k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为 ．10. 已知点（3,5）在直线y ax b =+（a,b 为常数，且a 0≠）上，则a 5b -的值为__________. 11. 将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为_________．12. 若点M （k ﹣1，k+1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k ﹣1）x+k 的图象不经过第 象限．13. 在平面直角坐标系中，直线l ：y=x ﹣1与x 轴交于点A 1，如图所示依次作正方形A 1B 1C 1O 、正方形A 2B 2C 2C 1、…、正方形A n B n C n C n ﹣1，使得点A 1、A 2、A 3、…在直线l 上，点C 1、C 2、C 3、…在y 轴正半轴上，则点B n 的坐标是 ．（13） （14） （15） （16）14. 如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P (3，5)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋6的解集是_____________．15. 甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间x （秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 米．16. 为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S （米）与所用的时间t （秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 秒．三． 解答题1. 直线b x y +=2经过点（3，5），求关于x 的不等式b x +2≥0的解集．2. 如图，A （0，1），M （3，2），N （4，4）.动点P 从点A 出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x +b 也随之移动，设移动时间为t 秒.（1）当t ＝3时，求l 的解析式；（2）若点M ，N 位于L 的异侧，确定t 的取值范围；（3）直接写出t 为何值时，点M 关于L 的对称点落在坐标轴上.3. 如图，过点A（2，0）的两条直线L1，L2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=．（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线L2的解析式．4. 根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=﹣垂直的直线l5的函数表达式．。
中考数学压轴题考点训练一次函数问题试题及答案解析
中考数学压轴题考点训练一次函数问题【典例分析】【考点 1】行程问题【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x(分)，图1中线段OA和折线B -C -D 分别表示甲、乙离开小区的路程y (米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s (米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；(3)在图 2 中，画出当25 ≤x ≤ 30 时s 关于x 的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)【答案】(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 700 米；(3)图象如图所示见解析.【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得 OA 的函数解析式，然后将 x=18 代入 OA 的函数解析式，即可求得点E 的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．【详解】(1)由题意，得：甲步行的速度是2400 ÷ 30 = 80 (米/分)，∴乙出发时甲离开小区的路程是80⨯10 = 800 (2)设直线OA的解析式为: y =kx (k ≠ 0)，∵直线OA过点A(30, 2400)，∴ 30k =2400 ，解得k = 80 ，∴直线OA的解析式为: y = 80x .∴当x = 18时，y = 80 ⨯18 = 1440 ，∴乙骑自行车的速度是1440 ÷(18 -10)= 180(米).(米/分).∵乙骑自行车的时间为25 -10 = 15 (分)，∴乙骑自行车的路程为180⨯15 = 2700 (米).当x = 25 时，甲走过的路程是y =80x =80 ⨯25 = 2000(米)，∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是2700 - 2000 = 700 (3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），当 25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示．(米).【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；（2）y=30x-30(1≤x≤1.5)．【解析】(1)根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；(2)根据(1)中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图可得，小王的速度为：30 ÷ 3 = 10km / h ，小李的速度为：(30 -10 ⨯1) ÷1 = 20km / h ，答：小王和小李的速度分别是10km / h 、20km / h ；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30 ⨯ 20 = 1.5h ，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 ⨯1.5 = 15km ，⎨ ⎨ ∴点C 的坐标为(1.5,15)，设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 y = kx + b ，⎧k + b = 0 ⎩1.5k + b = 15 ，解得⎧k = 30 ， ⎩b = -30即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 1.5)．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy 所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式 1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离 y(km)与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出发时间 x(h)之间的函数关系式如图 2 中折线段 CD-DE-EF 所示.（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求 E 点坐标，并解释点的实际意义.【答案】（1）V=16 (km / h )，V=20 (km / h )；（2）E( 9, 144) 实际意义为小明到达甲地.小丽 小明 5 5【解析】(1)观察图 1 可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观察图 2 可知小丽与小明 1 小时机遇，由此即可求得小明的速度；(2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E 为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.【详解】(1)V 小丽=36÷2.25=16(km/h)， V 小明=36÷1-16=20(km/h)；(2)36÷20= 9(h)，516× 9 = 144 (km)，5 5所以点 E 的坐标为( 9 ， 144)，5 5实际意义是小明到达了甲地.【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的关键. 【考点 2】方案选择问题【例 2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg ；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg ，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 x kg (x 0) ． （Ⅰ）根据题意填表：（Ⅱ）设在甲批发店花费 y 1 元，在乙批发店花费 y 2 元，分别求 y 1 ， y 2 关于 x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购买数量多．【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）y1=6x(x>0)；当0<x时，y2=5x+100．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．50时，y2 = 7x ；当x > 50【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；（Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格⨯一次购买数量，可得出y1、y2关于 x 的函数关系式，注意进行分段；（Ⅲ）①根据y1 =y2得出 x 的值即可；②把 x=120 分别代入y1和y2的解析式，并比较y1和y2的大小即可；③分别求出当y1= 360和y2 = 360 时 x 的值，并比较大小即可．【详解】解：（Ⅰ）当 x=30 时，y1=30⨯6=180，y2=30⨯7=210当 x=150 时，y1=150⨯6=900，y2=50⨯7+（5150-50）=850故答案为：180，900，210，850．（Ⅱ）y1= 6x (x > 0)．当0 <x 50时，y2= 7x ；当x > 50 时，y2 = 7 ⨯ 50 + 5( x - 50) ，即y2= 5x + 100 ．（Ⅲ）①∵ x > 0 ∴6x ≠ 7x∴当 y 1 = y 2 时，即 6x=5x+100 ∴x=100故答案为：100②∵x=120 > 50 ，∴ y 1 = 6 ⨯120 = 720 ； y 2 = 5⨯120 +100=700 ∴乙批发店购买花费少；故答案为：乙③∵当 x=50 时乙批发店的花费是：350∵一次购买苹果花费了 360 元，∴x >50∴当 y 1 = 360时，6x=360，∴x=60 ∴当 y 2 = 360 时，5x+100=360, ∴x=52 ∴甲批发店购买数量多．故答案为：甲< 360 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式 2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x 次，选择方式一的总费用为y 1(元)，选择方式二的总费用为y 2(元). (1)请分别写出y 1，y 2 与x 之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.【答案】(1) y1 = 30x + 200; y2= 40x ；(2)当x > 20 时选择方式一比方式二省钱.【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；(2)根据题意，列出关于 x 的不等式进行解答即可. 【详解】(1) y1= 30x + 200 ，y2= 40x ；(2)由y1 <y2得：30x + 200 < 40x ，解得：x > 20 ，∴当x > 20 时选择方式一比方式 2 省钱，即一年内来此游泳馆的次数超过 20 次时先择方式一比方式二省钱.【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答.【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【答案】（1）y甲=20x，y乙=10x+100（2）见解析【解析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【详解】（1）设y甲=k1x ，根据题意得5k1 = 100 ，解得k1= 20 ，∴ y甲= 20x ；设y乙=k2x + 100 ，根据题意得：20k2+100 = 300 ，解得k2= 10 ，∴ y乙= 10x +100 ；（2）① y甲<y乙，即20x < 10x +100，解得x < 10，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算；② y甲=y乙，即20x = 10x +100 ，解得x = 10 ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样；③ y甲>y乙，即20x > 10x +100 ，解得x > 10 ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．【考点 3】最大利润问题【例3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为x 元，平均月销售量为 y 件．（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950 元．【解析】（1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销售量；（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的 x 值及最大利润．【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×60 x10∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元．（3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x≤65 时，w 随 x 的增大而增大∵30≤x≤60∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元．【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元．【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是(x + 4) 元，800=1000 ，x x + 4解得，x = 16 ，经检验，x = 16 是原分式方程的解，∴ x + 4 = 20 ，答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果(200 -a) 千克，利润为w元，w = (20 - 16)a + (25 - 20)(200 -a) =-a + 1000 ，∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，⎧a 3(200 -a)⎨，⎩16a + 20(200 -a) 3420解得，145 ≤a ≤ 150，∴当a = 145 时，w取得最大值，此时w = 855，200 -a = 55 ，答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．∴⎨ ⎨【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50 元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；（2）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）y ＝﹣2x +260；（2）销售单价为 80 元；（3）销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；（3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．【详解】（1）设y ＝k x +b （k ≠0，b 为常数）将点（50，160），（80，100）代入得⎧160 = 50k + b ⎩100 = 80k + b解得⎧k = -2 ⎩b =260∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000化简得：x2﹣180x+8000＝0解得：x1＝80，x2＝100∵x≤50×（1+90%）＝95∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）答：销售单价为 80 元．（3）设每天获得的利润为w元，由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）＝﹣2x2+360x﹣13000＝﹣2（x﹣90）2+3200∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下∴w有最大值，当x＝90 时，w最大值＝3200答：销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．【考点 4】几何问题【例4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2：y = 2x + 4 相交于点P(-1, a) .（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积.⎨-k + b = 2 ⎨【答案】（1） y = - x +1；（2） 52【解析】（1）根据 P 点是两直线交点，可求得点 P 的纵坐标，再利用待定系数法将点 B 、点 P 的坐标代入直线 l 1 解析式，得到二元一次方程组，求解即可.（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点 C （0，1），由S 四边形PAOC = S ∆PAB - S ∆BOC 可求得四边形 PAOC 的面积【详解】解：（1）∵点 P 是两直线的交点，将点 P （1，a ）代入 y = 2x + 4得2 ⨯(-1) + 4 = a ，即a = 2则 P 的坐标为(-1, 2)，设直线l 1 的解析式为： y = kx + b (k ≠ 0)，那么⎧k + b = 0 ， ⎩解得： ⎧k = -1 . ⎩b = 12 2 ∴l 1 的解析式为： y = - x +1.（2）直线l 1 与 y 轴相交于点C ，直线l 2 与 x 轴相交于点 A∴ C 的坐标为(0,1)， A 点的坐标为(-2, 0)则 AB = 3 ，而S 四边形PAOC = S ∆PAB - S ∆BOC ，∴ S 四边形PAOC = 1 ⨯ 3⨯ 2 - 1 ⨯1⨯1 = 5 2 2 2【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.【变式 4-1】（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 1 分别交 x 轴和 y 轴于点A (-3, 0),B (0,3).(1)如图 1，已知 P 经过点O ，且与直线l 1 相切于点 B ，求P 的直径长；(2)如图 2，已知直线l 2 : y = 3x - 3 分别交 x 轴和 y 轴于点C 和点 D ，点Q 是直线l 2 上的一个动点，以Q 为圆心， 2 为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线l 1 与 Q 相切；②设 Q 与直线l 1 相交于 M , N 两点， 连结QM , QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得∆QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) P 的直径长为3 ；(2) ①见解析；②存在这样的点Q 1 (3 - 2, 6 - 3 2) 和2Q 2 (3 + 2, 6 + 3 2)，使得∆QMN 是等腰直角三角形.【解析】（1）连接 BC ，证明△A BC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB ，即可求解；（2）过点C 作CE ⊥ AB 于点 E ，证明 CE=ACsin45°=4×2 =2 2=圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点Q ，使得∆QMN 是等腰直角三角形，分点Q 在线段CF 上时和点Q 在线段CF 的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】（1）如图 3，连接 BC ，∵∠BOC=90°，∴点 P 在 BC 上，∵⊙P 与直线 l 1 相切于点 B ，∴∠ABC=90°，而 OA=OB ，∴△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB=3 (2)如图 4 过点C 作CE ⊥ AB 于点 E ，22 2图 4将 y = 0代入 y = 3x - 3 ，得 x = 1，∴点C 的坐标为(1, 0).∴ AC = 4 ，∵ ∠CAE = 45︒，∴ CE =2 AC = 2 . 2∵点Q 与点C 重合，又 Q 的半径为2 ，∴直线l 1 与 Q 相切.②假设存在这样的点Q ，使得∆QMN 是等腰直角三角形，∵直线l 1 经过点 A (-3, 0), B (0,3)，∴ l 的函数解析式为 y = x + 3.记直线l 2 与l 1 的交点为 F ，情况一：如图 5，当点Q 在线段CF 上时，由题意，得∠MNQ = 45︒.如图，延长 NQ 交 x 轴于点G ，2 2 2 2图 5∵ ∠BAO = 45︒，∴ ∠NGA = 180︒ - 45︒ - 45︒ = 90︒，即 NG ⊥ x 轴，∴点Q 与 N 有相同的横坐标，设Q (m , 3m - 3)，则 N (m , m + 3)，∴ QN = m + 3 -(3m - 3).∵ Q 的半径为2 ，∴ m + 3 - (3m - 3) = 2 2 ，解得m = 3 - ，∴ 3m - 3 = 6 - 3 ∴ Q 的坐标为(3 -情况二：，2, 6 - 3 2).当点Q 在线段CF 的延长线上时，同理可得m = 3 + ， Q 的坐标为(3 + 2, 6 + 3 2).∴存在这样的点Q 1 (3 - 2, 6 - 3 2) 和Q 2 (3 + 2, 6 + 3 2)，使得∆QMN 是等腰直角三角形.【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．3 3y = x 【变式 4-2（】2019·四川中考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (0 , 2) ，动点 P 在3 的图像上运动（不与O 重合），连接 AP ，过点 P 作 PQ ⊥ AP ，交 x 轴于点Q ，连接 AQ ．（1）求线段 AP 长度的取值范围；（2）试问：点 P 运动过程中， ∠QAP 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当∆OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【答案】（1）AP ≥ ；（2）∠QAP 为定值，∠QAP =30°；（3）Q 1(2 + 4 , 0)， Q 2 (2 - 4 , 0)， Q 3 (-2 , 0)， Q (2 3 , 0)4 3【解析】（1）作 AH ⊥ OP ，由点 P 在 y =解；3x 的图像上知： ∠HOQ = 30︒，求出 AH ，即可得3 （2）①当点 P 在第三象限时，②当点 P 在第一象的线段OH 上时，③当点 P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，分别证明Q 、 P 、O 、 A 四点共圆，即可求得∠QAP =30°；（3）分OP = OQ ， PO = PQ ， QO = QP 三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）作 AH ⊥ OP ，则 AP ≥ AH 3 3 33m - 6 ∵点 P 在 y =3 x 的图像上3∴ ∠HOQ = 30︒， ∠HOA = 60︒∵ A (0 , 2)，∴ AH = AO sin 60︒ = ∴ AP ≥ （2）①当点 P 在第三象限时，由∠QPA = ∠QOA = 90︒，可得Q 、 P 、O 、 A 四点共圆， ∴ ∠PAQ = ∠POQ = 30︒②当点 P 在第一象的线段OH 上时，由∠QPA = ∠QOA = 90︒，可得Q 、 P 、O 、 A 四点共圆， ∴ ∠PAQ + ∠POQ = 180︒，又此时∠POQ = 150︒∴ ∠PAQ = 180︒ - ∠POQ = 30︒③当点 P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，由∠QPA = ∠QOA = 90︒，可得∠APQ + ∠AOQ = 180︒，∴ Q 、 P 、O 、 A 四点共圆， ∴ ∠PAQ = ∠POQ = 30︒（3）设 P (m ,3m )，则l AP ： y = + 2 3∵ PQ ⊥ AP ，∴ k PQ∴ l PQ ： y =3m= (x - m ) + 3m33 33m2 3 - m 3m2 3 - m3 3 ∴ Q ( 4m - 2 3 , 0)3 ∴ OP 2 =4 m 2 ， OQ 2 = 16 m 2 - 163m + 43 9 9 3 PQ 2 =4 m 2 - 4 3m + 49 9 3①当OP = OQ 时，则 4 m 2 = 16 m 2 -16 3m + 43 9 9 3 整理得： m 2 -4 3m + 3 = 0解得： m = 2 ± 3∴ Q 1(2 + 4 , 0)， Q 2 (2 - 4 , 0) ②当 PO = PQ 时，则 4 m 2 = 4 m 2 -4 3m + 4整理得： 2m 2 + 3 9 9 3 3m - 3 = 0解得： m =3 或m = - 2当m =3时， Q 点与O 重合，舍去， 2∴ m = - ，∴ Q 3 (-2 ③当QO = QP 时，, 0)则16 m 2 - 16 3m + 4 = 4 m 2 - 4 3m + 4 9 9 3 9 9 3整理得： m 2 - 3m = 0解得： m = 3 ∴ Q (2 3, 0) 433 3 33【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．【达标训练】1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有A,B,C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：① A, B 两村相距 10 km ；②出发 1.25 h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行 8 km ；④相遇后，乙又骑行了 15 min 或 65 min 时两人相距 2 km ．其中正确的个数是（）⎩ ⎩ ⎩ ⎩A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断.【详解】解：由图象可知 A 村、 B 村相离 10 km ，故①正确，当 1.25 h 时，甲、乙相距为 0 km ，故在此时相遇，故②正确，当0 ≤ t ≤ 1.25时，易得一次函数的解析式为s = -8t +10 ，故甲的速度比乙的速度快 8 km / h ．故③正确当1.25 ≤ t ≤ 2 时，函数图象经过点(1.25, 0) (2, 6) 设一次函数的解析式为s = kt + b代入得⎧0 = 1.25k + b ，解得⎧k = 8⎨6 = 2k + b ∴ s = 8t +10⎨b = -10当s = 2 时．得2 = 8t -10，解得t = 1.5h由1.5 -1.25 = 0.25h = 15min同理当2 ≤ t ≤ 2.5时，设函数解析式为s = kt + b将点(2, 6) (2.5, 0) 代入得⎧0 = 2.5k + b ，解得⎧k = -12⎨6 = 2k + b ⎨b =30∴ s =-12t + 30当s = 2 时，得2 =-12t + 30 ，解得t =73由7 -1.25 =13 h = 65min312故相遇后，乙又骑行了 15 min 或 65 min 时两人相距 2 km ，④正确．故选：D．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用. 2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点A(4, 4)出发，经y 轴上的点C 反射后经过点B (1,0)，则点C 的坐标是( )A．⎛0, 1 ⎫ B．⎛0, 4 ⎫ C．(0,1) D．(0, 2)2 ⎪ 5 ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】延长AC 交x 轴于点D ，利用反射定律，可得∠1 =∠OCB ，利用 ASA 可证∆COD ≅∆COB (A SA)，已知点B 坐标，从而得点D 坐标，利用A ，D 两点坐标，求出直线AD 的解析式，即可求得点C 坐标．【详解】如图所示，延长AC 交x 轴于点D ．设C (0, c)∵这束光线从点A(4, 4)出发，经y 轴上的点C 反射后经过点B (1,0)，∴由反射定律可知，∠1 =∠OCB ，∵∠1=∠OCD，⎨O ⎩⎨0 = -k + b⎨ ⎪ ∴ ∠OCB = ∠OCD ，∵ CO ⊥ DB 于O ，∴ ∠COD = ∠COB =90°，⎧∠OCD = ∠OCB 在∆COD 和∆COB 中⎪C = OC ， ⎪∠COD = ∠COB ∴ ∆COD ≅ ∆COB ( A SA )， ∴ OD = OB = 1， ∴ D (-1, 0)，设直线 AD 的解析式为 y = kx + b ，∴将点 A (4, 4)，点 D (-1, 0)代入得： ⎧4 = 4k + b， ⎩⎧k = 4解得： ⎪ 5，⎪b = 4 ⎩ 5∴直线 AD 的解析式为： y = 4 x + 4，5 5∴点C 坐标为⎛ 0, 4 ⎫．5 ⎪ ⎝ ⎭故选 B ．【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知3 3 2 2 n n3 1 1识点，综合性较强，难度略大．3．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 A 1 、 A 2 、 A 3 … A n 在 x 轴上， B 1 、B 2 、 B 3 … B n 在直线 y= 3 x 上，若 A 1 (1, 0)，且∆A 1B 1 A 2 、∆A 2 B 2 A 3 … ∆A n B n A n +1 都是等边三角3形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S 1 、S 2 、 S 3 … S n ．则S n 可表示为()A ． 22nB ． 22n -1 【答案】DC ． 22n -2D ． 22n -3【解析】直线 y = x 与 x 轴的成角∠B 1OA 1 3= 30o ，可得∠OB A = 30o ，…， ∠OB A = 30o，∠OB A = 90o ，…， ∠OB A= 90o ；根据等腰三角形的性质可知 A B = 1， B A = OA = 2 ，1 2n n +11 12 2 2B A = 4，…， B A = 2n -1 ；根据勾股定理可得 B B =， B B = 2 ，…， B B = 2n ， 3 3n n1 2 2 3 n n +1再由面积公式即可求解；【详解】解：∵ ∆A 1B 1 A 2 、∆A 2 B 2 A 3 … ∆A n B n A n +1 都是等边三角形，∴ A 1B 1 PA 2B 2 P A 3 B 3 P ⋅⋅⋅P A n B n ， B 1 A 2 P B 2 A 3 P B 3 A 4 P ⋅⋅⋅P B n A n +1 ， ∆A 1B 1 A 2 、 ∆A 2 B 2 A 3 … ∆A n B n A n +1 都是等边三角形，∵直线 y = x 与 x 轴的成角∠B 1OA 1 3= 30o ， ∠OA B = 120o，∴ ∠OB 1 A 1 = 30 ， o∴ OA 1 = A 1B 1 ，33 33 3 3n n3 n n + 13 3 3 3 3 3 ( ∵ A 1 (1, 0)， ∴ A 1B 1 = 1，同理∠OB 2 A 2= 30o ，…， ∠OB A= 30o， ∴ B A = OA = 2 ， B A = 4，…， B A = 2n -1 ，2 2 2易得∠OB 1 A 2 3 3= 90o ，…， ∠OB A n n= 90o，∴ B B =， B B = 2 ，…， B B = 2n ，1 2 2 3 n n +1∴ S = 1 ⨯1⨯ = ， S = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ，…， S = 1⨯ 2n -1 ⨯ 2n= 22n -3 ； 12 22 2 n 2 故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．4．（2019·广西中考真题）如图，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为A (-4, 0) ,B (-2, -1) ,C (3, 0) ,D (0,3)，当过点 B 的直线l 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为（）A ． y =11 x + 610 5C ． y = x + 1【答案】DB ． y = 2x + 13 3D ． y = 5 x + 34 2【解析】由已知点可求四边形 ABCD 分成面积= 1 ⨯ AC ⨯ y 2B+ 3) = 1⨯ 7 ⨯ 4 = 14 ；求出 CD 的 2 直线解析式为 y=-x+3，设过 B 的直线 l 为 y=kx+b ，并求出两条直线的交点，直线 l 与 x 轴的3 3( 交点坐标，根据面积有7 = 1 ⨯⎛ 3 - 1- 2k ⎫⨯⎛ 5k -1 +1⎫，即可求 k 。
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1．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=3，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，连接BE、DF，以B为原点建立平面直角坐标系．
（1）试判断四边形BFDE的形状，并说明理由；
（2）求直线EF的解析式；
（3）在直线EF上是否存在一点P使它到x轴、y轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）四边形BFDE是菱形，理由如下：由折叠可得DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，再由ABCD为矩形，得到AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，进而得到四条边相等，即可得证；
（2）设AE=x，则有ED=4﹣x，即BE=4﹣x，在直角三角形AEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出E、F坐标，利用待定系数法确定出直线EF解析式即可；
（3）存在，理由为：设出P（x，y），表示出P到x轴、y轴的距离分别为|y|、|x|，根据P使它到x轴、y轴的距离相等，得到|x|=|y|，即y=x和y=﹣x，与直线EF解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）四边形BFDE是菱形，理由如下：
由题意可知：DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）设AE=x，
∵AD=4，AB=3，
∴BE=DE=4﹣x，
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=（4﹣x）2，
解得：x=，
∴AE=，BF=，
∴E点的坐标是（，3），点F的坐标是（，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
可得方程组和，
解这个方程组得，
∴直线EF的解析式是y=﹣x+；
（3）存在，理由为：
设点P的坐标为（x，y）则点P到x、y轴的距离分别为|y|、|x|，
令|x|=|y|，得到y=x或y=﹣x，
联立方程组和，
解得：和，
则在直线EF上存在两个到坐标轴的距离相等点P，坐标分别是（，），（，﹣）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的性质，以及菱形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
【分析】（1）由直线AC解析式可求得C点坐标即D点坐标，过B作BE⊥x轴于点E，利用等边三角形的性质可求得BE和OE的长，可求得E点坐标；
（2）由O、C关于l对称，则直线AC与l的交点即为所求得点P，利用直线AC 解析式可求得P点坐标；
（3）利用直线AC解析式可设出满足条件的点的坐标，利用到坐标轴距离相等可得到方程，可求得满足条件的点的坐标．
【解答】解：
（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
过B作BE⊥x轴于点E，如图1，
∵△OBD为等边三角形，
∴OE=OD=2，BE=OB=2，
∴B（2，2）；
（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=﹣x+1，得y=，
∴点P的坐标为（2，）；
（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，﹣m+1），
由题意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，
解得m=或m=﹣，
∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为（，）或（﹣，）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、轴对称的性质、函数图象上点的坐标特征、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中作出点B到x轴的距离是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用条件得到关于坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。