中考一次函数综合题分类精选---距离

1．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=3，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，连接BE、DF，以B为原点建立平面直角坐标系．

（1）试判断四边形BFDE的形状，并说明理由；

（2）求直线EF的解析式；

（3）在直线EF上是否存在一点P使它到x轴、y轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）四边形BFDE是菱形，理由如下：由折叠可得DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，再由ABCD为矩形，得到AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，进而得到四条边相等，即可得证；

（2）设AE=x，则有ED=4﹣x，即BE=4﹣x，在直角三角形AEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出E、F坐标，利用待定系数法确定出直线EF解析式即可；

（3）存在，理由为：设出P（x，y），表示出P到x轴、y轴的距离分别为|y|、|x|，根据P使它到x轴、y轴的距离相等，得到|x|=|y|，即y=x和y=﹣x，与直线EF解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到P的坐标．

【解答】解：（1）四边形BFDE是菱形，理由如下：

由题意可知：DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∴BE=BF=DF=DE，

∴四边形BFDE是菱形；

（2）设AE=x，

∵AD=4，AB=3，

∴BE=DE=4﹣x，

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∴AB2+AE2=BE2，

∴32+x2=（4﹣x）2，

解得：x=，

∴AE=，BF=，

∴E点的坐标是（，3），点F的坐标是（，0），

设直线EF的解析式为y=kx+b，

可得方程组和，

解这个方程组得，

∴直线EF的解析式是y=﹣x+；

（3）存在，理由为：

设点P的坐标为（x，y）则点P到x、y轴的距离分别为|y|、|x|，

令|x|=|y|，得到y=x或y=﹣x，

联立方程组和，

解得：和，

则在直线EF上存在两个到坐标轴的距离相等点P，坐标分别是（，），（，﹣）．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的性质，以及菱形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．

（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；

（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

【分析】（1）由直线AC解析式可求得C点坐标即D点坐标，过B作BE⊥x轴于点E，利用等边三角形的性质可求得BE和OE的长，可求得E点坐标；

（2）由O、C关于l对称，则直线AC与l的交点即为所求得点P，利用直线AC 解析式可求得P点坐标；

（3）利用直线AC解析式可设出满足条件的点的坐标，利用到坐标轴距离相等可得到方程，可求得满足条件的点的坐标．

【解答】解：

（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，

∴D（4，0），

过B作BE⊥x轴于点E，如图1，

∵△OBD为等边三角形，

∴OE=OD=2，BE=OB=2，

∴B（2，2）；

（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，

∴点O与点C关于直线l对称，

∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，

把x=2代入y=﹣x+1，得y=，

∴点P的坐标为（2，）；

（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，﹣m+1），

由题意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，

解得m=或m=﹣，

∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为（，）或（﹣，）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、轴对称的性质、函数图象上点的坐标特征、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中作出点B到x轴的距离是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用条件得到关于坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．