微积分(经管类)(上册)1.4 无穷小无穷大

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1-4无穷大量与无穷小量

证设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
推论1 在同一过程中,有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
xx二、无穷大 Nhomakorabea定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
练习题答案
一、1、0；
3、；二、0 x 1 .
104 2
2、 lim f ( x) C ； x x
4、 1 . f (x)
证必要性设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结
一、无穷小
1.定义: 如果当x x0 (或 x )时，函数a(x)
的极限为0，那么a(x)叫做x x0 (或 x )时的无穷小.
极限为0的数列xn也称为n 时的无穷小
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0

1-4无穷小与无穷大-15页PPT精品文档

蚌埠学院高等数学
13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。判断题：（1）无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；（2）无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
14
谢谢你的阅读
知识就是财富丰富你的人生
x2
M
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
8
取 m i,n }{ 因 , ,当此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim

x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系四、小结与思考判断题
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim

x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )

第一章-4无穷小与无穷大PPT课件

M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M . lim 1 .
M
x1
x1 x 1
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线 .
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2. 利用无穷小性质, 求极限 p43
(1) lim x2 cos 1
x0
x
无穷小乘有界量
技巧: 分成两个函数, 一个是无穷小, 另一个是有界量
arctan x
(2) lim
x
x
注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如, n 时, 1 是无穷小，
n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
极限与无穷小的关系
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。
观察函数 y=1/x 的图像
lim 1
x x0
lim 1
x x0
再考察函数 y = ln x
lim ln x
x0
lim ln x
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
例如, 当x 0时, y 1 sin 1 xx
是一个无界变量 , 但不是无穷大.
y 1 sin 1 xx
(1) 取 x0
1
(k 0,1,2,3,)
2k
2
y( x0 ) 2k 2 ,

1-4 无穷小与无穷大

5
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铃
二、无穷大
无穷大的定义如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
17
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作业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
18
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铃
的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
8
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铃
铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
9
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铃
x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大定义: 绝对值无限增大的函数称为无穷大. 1 1 称为 x 0 时的无穷大如 x 0时，， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2）设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域， 0
该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0，当 0 <|x – x0| < ，恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

D1_4无穷小无穷大

二、无穷大
( lim f (x) )
x
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
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内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
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思考与练习 P37 题1 , 4
作业 P37-38 3； 6 ; 7；8
定义1. 若
(或 x ) 时, 函数
则
则称函数为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f ( x) A , 其中为 x x0
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn

2n
1 π
π 2
(n 1, 2 ,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
lim sin
n
1 xn

lim sin(2n π
n

高等数学微积分习题册上册答案

|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

微积分-无穷大无穷小

x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
注意:无穷大与无穷小是相对于过程而言的.如:
1 是 x 的无穷小;是 x 0 x
x x0
的图形的铅直渐近线.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
二、无穷大（定义见书P17）
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
如:1,0,3,0,5,0,,0,2n 1,0,不是无穷大
1 例证明 lim . x 1 x 1
而
的无穷大;
x 1 它既不是无穷大也不是无穷小.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.
式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意

大学数学高数微积分无穷大及无穷小课堂讲解

其中 (x)是x当 x0时的,无穷小
则 lif m (x ) li(A m (x ))Alim (x)A.
x x 0
x x 0
x x0
意义
〔1〕将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）给出了f(函 x)在数x0附近的近似表达
式f(x)A,误差为 (x).
3、无穷小的运算性质:
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不为是无.穷小 n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证设函数 u(x)在 N 0(x0,1)内有界 ,
则 M0,10,使得当 0xx01时
恒有 u(x)M .
又设 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小 ,
0,20,使得当 0xx0 2时恒有 (x).
例,当如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a 是无n穷小
x
x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 设函数 f ( x)在 x0某一去心邻域内有定义（或 x
大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数
M (不论它多么大),总存在正数(或正数 X ),使得对于
x x
x x
x x
由上面的讨论知，若曲线 y f (x) 有斜渐近线 y kx b ，
则常数 k 与 b 可相继由以上两式求出；反之，若由以上两式求得 k 与 b ，则可知| PN | 0 （ x ），
从而 y kx b 为曲线 y f (x) 的斜渐近线。
若 k 0 ，则称为曲线 y f (x) 的水平渐近线。
〔3〕无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

微积分(经管类)(上册)(第三版)(李艳秋主编)PPT模板

导法则
05 习题2 －2
04 2 .2 .4 基本求导法则
与导数公式
第2章导数与微分
2.3高阶导数
习题2－3
第2章导数与微分
2.4隐函数及参数方程所确定的函数的导数
01
2.4.1隐函数的导数
03
2.4.3相关变化率
02
2.4.2由参数方程所确定的
函数的导数
04
习题2－4
第2章导数与微分
2.1导数的概念
2.1.1两个实例
01
2.1.2导数
习题2－1
06
的概念
02
2.1.5函
05
数可导性
与连续性
的关系
04
2.1.4导数的几何意义
03
2.1.3求导数举例
第2章导数与微分
2.2函数的求导法则
01 2 .2 .1 函数的和、差、
积、商的求导法则
02
2.2.2反函数的求导
法则
03 2 .2 .3 复合函数的求
第1章函数、极限、连续
1.3函数的极限
1.3.1函数极限的定义
1.3.2函数极限的性质
习题1－3
第1章函数、极限、连续
1.4无穷大与无穷小
1 1.4.1无穷大
2 1.4.2无穷小
1.4.3无穷
3 小与无穷大的关系
1.4.4无穷
4 小与函数极限的关系
5 1.4.5无穷小的性质
6 习题1－4
第4章不定积分
4.1不定积分的概念和性质
0 1
4.1.1原函数与
不定积分
0 2
4.1.2基本积分

微积分(上)复习

n
n−1
同步练习P6 同步练习一、13，33，35 ，，二、6，9，16 ，，
11/58
(6)幂指函数求导法幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以为底的复合函数再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存在的点). 在的点). (3) 间断点
①可去间断点(左可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点例如：例如：振荡
同步练习P5 同步练习二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质无穷小与无穷大的概念与性质（1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（微积分（上）

1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),

1-4微积分

1 1 1 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim = ∞. x →1 x − 1 M x −1
x y 定义: 如果 lim f ( x) = ∞,则直线 = x0是函数 = f ( x)
x→x0
. 的图形的铅直渐近线
二、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
内有界，设函数 u 在 U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界，证
则 ∃ M > 0, δ 1 > 0, 使得当 0 < x − x 0 < δ 1时恒有 u ≤ M .
又设 α 是当 x → x 0时的无穷小 ,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
第四节
第一章函数与极限第一章函数与极限
无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小与无穷大的关系三、无穷小的性质
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义
1、无穷小定义
x→ x
(1) 若 lim 0 f ( x ) = , 则称 f ( x )为 x → x 0时的无穷小。
若在定义中将① 若在定义中将①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < −M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞) x→x
→ 0 ( x→∞ )
x→x0 ( x→∞ )

高等数学微积分习题册上册答案

三、根据函数极限的定义证明下列极限.
（1）
lim
x→∞
1 x2
= 0；
证明：对任意ε>0，解不等式
|
1 x2
− 0 |=
1 x2
<ε
→|
x |>
1 ε
四川大学数学学院高等数学教研室编
3
学院
姓名
学号
日期
取X
= 1 ，当| x |> ε
X,
|
1 x2
−
0
|<
ε
，所以
lim
x→∞
1 x2
= 0。
1.3 函数的极限
证明：对任意ε>0，解不等式 | x2 − 4 + 4 |=| x + 2 |< ε x+ 2
取δ = ε ，当 0 <| x + 2 |< δ , | x2 − 4 + 4 |< ε ，所以 lim x2 − 4 = −4 。
x+2
x→−2 x + 2
二、证明 lim(4x −1) = 11，并求正数δ ，使得当| x − 3 |< δ 时，就有| (4x −1) −11|< 0.001. x→3
学院
姓名
学号
一、根据数列极限的定义证明下列极限：
日期
1.2 数列的极限
（1）
lim
n→∞
(−1) n2
n
= 0；
证明：对任意ε，解不等式
|
(−1)n n2
−
0 |=
1 n2
<
ε
→
n
>
1 ε