高考定积分分类汇总及答案

合集下载

定积分高考试题

定积分与微积分一、知识回顾：1.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰2.曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰.3.定积分有如下性质：性质1 =⎰badx 1性质2 =⎰badx x kf )( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3⎰=±badx x fx f )]()([21（定积分的线性性质）性质4⎰⎰⎰+=cabcbadx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<）4.定积分的计算（微积分基本定理）（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有二、常考题型：一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（）A 、B 、1C 、D 、2.由曲线y=x 2，y=x 3围成的封闭图形面积为（）A 、B 、C 、D 、⎰-==bab a a F b F x F dx x f )()()()(3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（）A 、B 、4C 、D 、64. ⎰+1)2(dx x e x等于（）A 、1B 、e ﹣1C 、eD 、e 2+15. ⎰421dx xdx 等于（） A 、﹣2ln2B 、2ln2C 、﹣ln2D 、ln26. dx x ⎰--22)cos 1(ππ等于（）A 、πB 、2C 、π﹣2D 、π+27. 已知则⎰-=a axdx 21cos （a ＞0），则⎰a xdx 0cos =（）A 、2B 、1C 、D 、8. 下列计算错误的是（） A 、⎰-=ππ0sin xdxB 、⎰=132dx xC 、⎰⎰-=222cos 2cos πππxdx xdxD 、⎰-=ππ0sin2xdx9 计算dx x ⎰-224的结果是（）A 、4πB 、2πC 、πD 、10. 若0)32(02=-⎰dx x x k，则k 等于（）A 、0B 、1C 、0或1D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（）①∑⎰=⨯=ni n n i dx x 1331031；②∑⎰=⨯-=n i n n i dx x 131031)1(；③∑⎰=∞→⨯=n i n n n i dx x 1331031lim 。

高考定积分分类汇总及答案汇编

第十四节定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

高考定积分及答案文档

定积分【知识梳理】（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。

基本的积分公式：⎰dx 0＝；⎰dx x m ＝（m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝；⎰dx e x ＝；⎰dx a x＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝；⎰xdx sin ＝（表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质 ①()ba kf x dx =⎰（k 为常数）； ②()()baf xg x dx ±=⎰；③⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积 S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝。

【课前预习】 1.求下列定积分. （1）02dx π-⎰＝；（2）312x dx ⎰＝；（3）1831x dx -⎰＝；（4）122()x x dx ---⎰＝；2.求下列定积分.（1）24cos xdx ππ-⎰＝；（2）36sin xdx ππ-⎰＝；（3）22xdx ⎰＝；（4）21e edx x⎰＝；【典型例题】题型一：利用积分公式求定积分值例1．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；题型二：利用定积分求平面图形的面积例2 已知直线y ax =与曲线xy e b =+相交于点(0,0),(1,)y ，求直线y ax =与xy e b =+所围成的图形的面积。

高三数学积分试题答案及解析

高三数学积分试题答案及解析1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【答案】2π【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝dx＝(x－sin x)＝2π．3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．5.已知通过点(1，2)，与有一个交点，交点横坐标为，且．如图所示:设与所围成的面积为S，则S取得最小值为．【答案】【解析】由通过点(1，2)可得，即，由与联立方程组，解得．则与所围成的面积S为．∵由得，由得或，所以当时，S取得极小值，即最小值．此时，最小值．6.设函数，若，则x的值为______．【答案】【解析】，又，∴．7.下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．【答案】①③【解析】，①正确；时，与的夹角为钝角或为，②不正确；由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；，令在是减函数，在是增函数，所以，函数的无最小值，④不正确；综上知，答案为①③.【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.8.已知，若，则= ( )A．1B．-2C．-2或4D．4【答案】D【解析】，即，解得，（因为），故选D.【考点】定积分基本定理9.．给出下列命题：①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，；③若，且，则；④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是个。

【解析】①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.【考点】（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.10.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由曲线与直线的交点为.方法一：则封闭的平面图形的面积为.方法二：.【考点】定积分的简单应用11.已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则_____.【答案】【解析】，解得.【考点】定积分的几何意义.12.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A．B．2－ln 3C．4＋ln 3D．4－ln 3【解析】如图所示，所求面积为S＝3－d x－＝8－ln x－4＝4－ln 3，故选D.13.d x＝________.【答案】π【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x＝×4π＝π.14.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.15.设a＝，b＝，c＝，则下列关系式成立的是()．A．<<B．< <C．D．【答案】C【解析】a＝＝ln x＝ln 2，b＝＝ln x＝ln3，c＝＝ln x＝ln5，所以，，，因为，()6＝32＝9，所以，()10＝25＝32，()10＝52＝25，所以<，即<<，所以16.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为( )A．4B．C．D．2【答案】D【解析】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．【考点】三角函数平移变化，定积分．17.若，则f（2016）等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】，选D.【考点】1、分段函数及函数的周期性；2、定积分.18.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．19.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】【解析】.【考点】1.积分的运算；2.利用积分求面积.20.已知，，记则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．21.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．22.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y ＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图象如图，则,，则区域的面积，区域的面积为，由题意知，化简得，解得.【考点】定积分的计算.23.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．24.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=.【考点】定积分的计算25.曲线，所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.【考点】曲边梯形面积.26.若，，，则从小到大的顺序为 .【答案】【解析】，，，故.【考点】微积分基本定理.27.＝．【答案】3【解析】，或画出函数的图象，可以求出它在区间与轴围成的面积是3，由定积分的几何意义知答案为3.【考点】定积分的计算、定积分的几何意义.28.曲线和曲线围成的图形面积是．【答案】【解析】解得，或，则所求面积为 .【考点】定积分29.设，则二项式展开式中的第四项为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，选A.【考点】微积分基本定理，二项式定理.30.在的展开式中的常数项为p，则 .【答案】11【解析】，令，即，，则.【考点】二项展开式的通项、定积分的运算.31.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为32.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1）而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò，（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

(完整版)定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

word完整版定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200) 王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。

从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。

一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么bf(x)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。

2、例题讲义e1例1、计算1(- 2x)dx1x解：因为(In x x2) 12xxe1所以j (一2x)dx =(|nx x2) I：(In e e2) (In 1 12) e21x【解题关键】：计算b f(X)dx的关键是找到满足F(x) f(x)的函数aF(x)。

跟踪训练：1计算02 (e x cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。

1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和4 |例3、求0 . 4(X 2)2dx的值解：令y 4 (x 2)2(y 0)则有y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y24(y 0)右图所以1-(x 2)2dx - S a A 2 o / 2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分_83(lx+2)2^y2=2,,…y 丄及x 轴所围图形的面积为（） 2 x A. 15 B. 17 C.如 2 4 4 2 三、利用变换被积函数求定积分1从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变换被积函数求其定积分。

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

高考定积分练习题

高考定积分应用常见题型大全一．选择题（共 21 小题）1．（ 2012?福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．2．（ 2010?山东）由曲线 y=x 2 ，y=x 3围成的封闭图形面积为（）A ．B ．C ．D ．3．设f （ x ） =，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．定积分的值为（）A ．B ． 3+ln2C ． 3﹣ln2D ．6+ln25．如图所示，曲线 y=x 2和曲线 y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A ．1B ．C ．D ．6． =（）A ．πB ． 2C ．﹣πD ．47．已知函数 f （x ）的定义域为 [ ﹣2，4] ，且 f （4） =f （﹣ 2）=1，f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数，函数如图所示，则平面区域 f （ 2a+b ）＜ 1（ a ≥0，b ≥0）所围成的面积是（）y=f ′（ x ）的图象A ．2B ． 4C ． 5D ．81 x1 x dx 相比有关系式（）8． ∫ e dx 与 ∫ eA ． 1 x 1 xdxB ． 1 x1 xdx∫ e dx ＜ ∫ e ∫ e dx ＞ ∫ eC ．1 x 21 xD ． 1 x 1 x（ ∫e dx ） =∫0 edx∫0 e dx= ∫0 edx9．若 a=， b= ，则 a 与 b 的关系是（）A ．a ＜ bB ． a ＞ bC ． a=bD ．a+b=010．的值是（）A ．B ．C ．D ．11．若 f （x ） = （e 为自然对数的底数），则=（）A ．B ． +eC ．﹣ e 2+eD ．﹣ +e 2﹣ e+e 2﹣ e12．已知 f （ x ） =2﹣ |x|，则（）A ．3B ． 4C ． 3.5D ．4.513．设 f （ x ）=3 ﹣2 f （ x ） dx=（）﹣ 2A ．7B ． 8C ． 7.5D ．6.514．积分 =（）A ．B ．C ． πa2D ．2πa 215．已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为（） A ．1/2B ． 1C ． 2D ．3/216．由函数 y=cosx （ 0≤x ≤2π）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是（）A ．4B ．C． D ．2π17．曲线 y=x 3在点（ 1， 1）处的切线与x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）A ．B ．C． D ．18．图中，阴影部分的面积是（）A ．16B．18C．20D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（ 3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A ．y=B ．y=C．y= D ．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 21 小题）1．（ 2012?福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形 OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC 的面积为 1×1=1，而阴影部分由函数y=x 与 y=围成，其面积为 ∫01（ ﹣ x ） dx=（﹣） |01= ，则正方形 OABC 中任取一点 P ，点 P 取自阴影部分的概率为= ；故选 C ．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（ 2010?山东）由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（）A ．B ．C ．D ．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．23围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求12 3分析：要求曲线 y=x ， y=x ∫ （ x ﹣ x ）dx 即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1， 1），（0， 0）故积分区间是 [0， 1]所求封闭图形的面积为∫01（ x 2﹣ x 3） dx ═，故选 A ．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设 f （ x ） = ，函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选 C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A ．B ． 3+ln2C． 3﹣ln2 D ．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（ x 21222） =3+ln2 +lnx ） |=（2+ln2 ）﹣（ 1 +ln1故选 B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x 2和曲线 y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线 y=x 2和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在 x ∈（ 0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S ，1 2）dx=则 S=∫0 （﹣ x故选： C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A ．πB ． 2C ．﹣πD ．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于 F （ x ）= x 2a ba b公式即+sinx 为 f （ x ）=x+cosx 的一个原函数即F ′（ x ） =f （ x ），根据 ∫ f （ x ） dx=F （ x ）|可求出值．解答：解： ∵（x 2++sinx ）′=x+cosx ，∴ （ x+cosx ）dx=（x 2+sinx ）=2 ．故答案为： 2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数 f （x ）的定义域为 [ ﹣2，4] ，且 f （4） =f （﹣ 2）=1，f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数，函数 y=f ′（ x ）的图象如图所示，则平面区域f （ 2a+b ）＜ 1（ a ≥0，b ≥0）所围成的面积是（）A ．2B ．4C ．5D ．8考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出求解．解答：解：由图可知 [ ﹣ 2， 0）上 f ′（x ）＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在 [﹣ 2， 0）上单调递减，（ 0，4] 上 f ′（ x ）＞ 0，∴ 函数 f （ x ）在（ 0，4] 上单调递增，故在 [﹣ 2， 4] 上， f （ x ）的最大值为 f （ 4） =f （﹣ 2） =1，a 、b 满足的条件，画出平面区域，即可∴ f （ 2a+b ）＜ 1（ a ≥0， b ≥0） ?表示的平面区域如图所示：故选 B ．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．01x01xdx 相比有关系式（）8． ∫ e dx 与 ∫ eA ． 1 x 1 xdxB ． 1 x 1 xdx∫0 e dx ＜ ∫0 e ∫0 e dx ＞ ∫0 e C ．1 x 21 xD ．1 x1 x（ ∫0e dx ）dxdx=∫ e ∫ e dx= ∫ e考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：x=0， x=1 及函数 y=e x 或 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围根据积分所表示的几何意义是以直线成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解： ∫01e x dx 表示的几何意义是以直线 x=0， x=1 及函数 y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，1 xdx 表示的几何意义是以直线x=0 ，x=1 及函数 y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫0 e如图∵ 当 xx，故有： ∫1 x1 xdx0＜ x ＜ 1 时， e x ＞ e0 e dx ＞ ∫0 e故选 B ．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若 a=，b=，则a与b的关系是（）A ．a＜ bB ． a＞ b C． a=b D ．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣ cosx）=（﹣ cos2）﹣（﹣ cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1 ≈sin57.3°．解答：解：∵ a==（﹣ cosx）=（﹣ cos2）﹣（﹣ cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1 ﹣sin0=sin1 ≈sin57.3°，∴b＞ a．故选 A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A ．B ．C． D ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．2分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1 围成的图形的面积即可．2分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积之差．即=﹣=﹣=故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若 f （x） =（e 为自然对数的底数），则=（）A ．B ．+e C．﹣ e2+eD．﹣ +e2﹣ e+e 2﹣ e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选 C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知 f （ x） =2﹣ |x|，则（）A ．3B ． 4C． 3.5 D ．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣ +4﹣2=3.5故选 C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．﹣22f（ x） dx=（）13．设 f （ x）=3 ﹣ |x﹣ 1|，则∫A ．7B ． 8C． 7.5 D ．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．2（3﹣ |x﹣ 1|）dx，将∫﹣2（ 3﹣ |x﹣ 1|） dx 转化成∫﹣1（2+x ） dx+∫2（ 4﹣ x）dx，然后根据分析：∫﹣22﹣f （ x） dx=∫2221定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：2212212） |12解：∫﹣2﹣ 2 （3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣2 （2+x） dx+ ∫1（4﹣ x） dx=（ 2x+x ） |﹣2+（ 4x﹣x=7 f（ x）dx= ∫故选 A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）A ．B ．C．πa2 D ．2πa2考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与 x 轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为 3 的圆的上半圆的面积，故==．故选 B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．1/2B ． 1C． 2 D ．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数 f （ x）的积分，求出所求即可．解答：x 轴所围成图形的面积为解：由题意图象与=（﹣1） |+sinx=+1=故选 D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx （ 0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）A ．4 B ．C． D ．2π考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（ 0≤x≤2π）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（ 1﹣cosx） dx 即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数 y=cosx （ 0≤x≤2π）的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫00（ 1﹣ cosx） dx=（ x﹣ sinx） |=．故选 B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线 y=x 3在点（ 1， 1）处的切线与x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）A ．B ．C． D ．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1， 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵ y=x 3，∴ y'=3x 2，当 x=1 时， y'=3 得切线的斜率为 3，所以 k=3；所以曲线在点（ 1， 1）处的切线方程为：y﹣ 1=3 ×（x﹣ 1），即 3x﹣ y﹣ 2=0 ．令 y=o 得： x=，∴切线与 x 轴、直线x=1 所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选 B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A ．16B ．18C ． 20D ．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（ 2，﹣ 2），（ 8，4）．过（ 2，﹣ 2）作 x 轴的垂线把阴影部分分为 S 1， S 2 两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣ 2），（ 8，4）．过（ 2，﹣ 2）作 x 轴的垂线把阴影部分分为 S 1， S 2 两部分，分别求出它们的面积A 1，A 2：102]dx=2 dx=，A =∫ [ A 2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A 1+A 2==18故选 B ．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A ．B ．C ．D ．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线 y=2x 与抛物线 y=3 ﹣x 2解得交点为（﹣ 3，﹣ 6）和（ 1， 2）抛物线 y=3﹣ x 2与 x 轴负半轴交点（﹣ ， 0）设阴影部分面积为 s ，则= =所以阴影部分的面积为，故选 C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴ 围成的面积是故选 D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（ 3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A ．y=B ．y=C．y= D ．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据 P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k 的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr 2=10π解得： r=2．∵点 P（ 3a， a）是反比例函 y= （k＞ 0）与⊙ O 的一个交点．∴ 3a 2=k 且=r∴ a 2= ×（ 2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是： y= ．故选 C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。

故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。

评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

高考定积分应用常见题型大全(含答案)

高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。

定积分高考真题及答案

一、选择题（共16小题）1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、2、（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A、B、C、D、3、（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在乙车前面B、t1时刻后，甲车在乙车后面C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，乙车在甲车前面4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A、B、2﹣ln3C、4+ln3D、4﹣ln35、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A、B、C、D、6、如图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）8、（2011•福建）（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+19、（2010•湖南）dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln210、（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）A、πB、2C、π﹣2D、π+211、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）A、2B、1C、D、12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为（）A、B、C、D、113、下列计算错误的是（）A、∫﹣ππsinxdx=0B、∫01=C、cosxdx=2cosxdxD、∫﹣ππsin2xdx=014、计算的结果是（）A、4πB、2πC、πD、15、若∫0k（2x﹣3x2）dx=0，则k等于（）A、0B、1C、0或1D、以上均不对16、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）二、填空题（共8小题）17、（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为_________．18、如图所示，计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积S=_________．19、由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为_________．20、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是_________．21、（2010•陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为_________．22、（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，0≤x0≤1，则x0的值为_________．23、（2002•天津）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积．24、若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有_________．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．三、解答题（共6小题）25、（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．26、（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．27、（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．28、（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．29、（1977•江苏）求不定积分．30、已知y=e﹣x sin2x，求微分dy．答案与评分标准一、选择题（共16小题）1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A、B、1C、D、考点：定积分在求面积中的应用。

高三数学积分试题答案及解析

高三数学积分试题答案及解析1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.若则（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】设，则因此【考点】定积分3.直线与抛物线，所围成封闭图形的面积为【答案】【解析】解与联立的方程组得，所以，由定积分的几何意义，直线与抛物线，所围成封闭图形的面积为.【考点】定积分的应用4. [2014·汕头模拟]设f(x)＝，则等于()A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】本题画图求解，更为清晰，如图，＝＋＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.5.定义域为R的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)=－2x2+12x－18,则直线x=0,x=3,y=0与曲线y=f(x)所围成的封闭图形的面积为【答案】2【解析】令x=－1,由题意得f(－1+2)=f(－1)－f(1) f(1)=f(－1)－f(1) f(1)=f(－1)=0∴f(x+2)=f(x)即y=f(x)既是定义R上的偶函数,又是以2为周期的周期函数如图为y=f(x)在[0,3]上的像∴直线x=0,x=3,y=0与曲线y=f(x)所围成的封闭图形的面积为S=－3=－3×(－x3+6x2－18x)=－3[ (－×33+6×32－18×3)－(－×23+6×22－18×2)]=－3(－18++12)=26.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．7.= .【答案】【解析】令=y≥0，则（y≥0），∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于，，所以=+=.【考点】定积分.8.设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2B．e C．2e D．【答案】D【解析】，∴.【考点】定积分.9.下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．【答案】①③【解析】，①正确；时，与的夹角为钝角或为，②不正确；由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；，令在是减函数，在是增函数，所以，函数的无最小值，④不正确；综上知，答案为①③.【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.10.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得直线l的斜率为,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为.联立直线与抛物线方程,则可知直线与抛物线围成的封闭图形面积为,故选B.【考点】直线方程定积分11.如图,阴影部分的面积是()A．2B．2-C．D．【答案】C【解析】(3-x2-2x)dx=(3x-x3-x2)=.12.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.【答案】-1【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.阴影13.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.【答案】7【解析】因为=，，所以，答案为7.【考点】定积分计算，分段函数，对数计算.14.由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为________．【答案】【解析】根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为15.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线 ,及直线x=a,与轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】图中阴影部分面积为，矩形面积，则根据几何概型有，解得，所以.故选B.【考点】1.定积分求面积；2.几何概型的应用.16.曲线和曲线围成的图形面积是____________.【答案】【解析】画出曲线和，其交点为，围成的图形面积为==．【考点】定积分的几何意义．17.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】定积分基本定理18.若函数f(a)＝，则f等于【答案】p＋1【解析】因为f(a)＝=.所以.故填p＋1.本题考查定积分的知识点，易错点：求函数的导数的逆运算易错，最后结果的两组数对减易错.【考点】1.定积分的知识.2.函数的导数的逆运算.19.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．20.设，则二项式展开后的常数项是 .【答案】【解析】=（-4=-4=4，二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C= ,由4-2r=0得r=2，所以二项式展开式的常数项是=6.【考点】1.定积分；2.二项式定理.21.一物体在力（单位：）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到（单位：）处，则力做的功为焦.【答案】.【解析】由题意知，力所做的功为焦.【考点】定积分22.已知，，记则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．23.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．24.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：）A．B．C．0.686D．0.98【答案】A【解析】已知每压缩1cm需0.49N的压缩力，所以由得，则把这根弹簧从压缩至，外力克服弹簧的弹力做功为，选A.【考点】定积分在物理上的应用25.如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于【答案】【解析】由幂函数的图象过点，得.由定积分的几何意义得，图中阴影部分的面积为，答案为.【考点】待定系数法，定积分的几何意义.26.若，，，则的大小关系为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，又，所以.【考点】定积分27.曲线所围成的封闭图形的面积为．【答案】【解析】作出图像，易知曲线与直线交于点P（4,2）. 直线与直线交于点A（2,0）则曲线所围成的封闭图形的面积为.【考点】定积分求曲形面积28.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．29.曲线，所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.【考点】曲边梯形面积.30.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.31.已知求 .【答案】24【解析】由化简可得，所以.【考点】复数的计算，积分计算.32.已知函数f（x）＝2－｜x｜，则＝A．3B．4C．3．5D．4．5【答案】C【解析】根据题意，由于函数f（x）＝2－｜x｜，则故答案为C.【考点】定积分的运算点评：主要是考查了定积分的基本运算，属于基础题。

高考定积分分类汇总及答案

第十四节定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22 B.1－ln22 C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 3 8．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176.∴13a ＋12b ＝176.② 解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝∫1－k(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x . 作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

高考数学定积分 Word版含解析

定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax t x d x+⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2baxt x d t +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。

()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb a af x dx F x F b F a ==-⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。

所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-=()sin f x x = ()'c o s f x x = ()c o s f x x = ()'s i n f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'xf x e= ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434xx =，而()3f x x=，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则()2F x xC =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。

高考定积分分类汇总及答案

定积分高考试题

高考定积分分类汇总及答案汇编

高考定积分及答案文档

高三数学积分试题答案及解析

定积分典型例题20例标准答案

(完整版)定积分习题及答案

word完整版定积分在高考中的常见题型

最新定积分习题及答案

（完整版）定积分习题及答案

高考定积分练习题

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版

高考定积分应用常见题型大全(含答案)

定积分高考真题及答案

高三数学积分试题答案及解析

高考定积分分类汇总及答案

高考数学 定积分 Word版含解析

高考数学定积分 Word版含解析