苏教版高中数学教材必修4 第1章三角函数

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（四）数学应用 课本P26 例1 课本 例2 T＝ ＝
π
2
的周期吗？ 是y＝sinx的周期吗？ ＝ 的周期吗
试证明你的结论． 试证明你的结论． 已知f(x＋ ＝ 为常数， 例3 已知 ＋T)＝f(x) (T为常数， 为常数 T≠0)，求证 ＋2T)＝f(x)． ，求证f(x＋ ＝ ．
b
O
r b
θ
a
r a
A
r O b B θr= 0o r a 与 b 同向
r a
注意: 注意:在两向量的 夹角定义中, 夹角定义中,两向 量必须是“共起点” 量必须是“共起点” 的 B
r a
A
r b
r O A B b 180 θ =r o r
O
r θ a
θ = 90oA
a 与 b 反向
记作
r r a 与 b 垂直， r 垂直， r
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(五)课堂练习 五 课堂 课堂练习 求下列三角函数的周期： π (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x π (3) y＝3sin(2＋5)．
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2
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a⊥b
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投影的概念及两个向量的数量积的性质
过点B作 OB 作 OA = a ， = b ，过点 作 BB 1 垂直于直线OA， 垂直于直线 ，垂足为 B1 ，则 OB1 = | b | cosθ B b B b b B
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向量的夹角
r r uuu r uuu r r r 两个非零向量 a和 b ，作 OA = a, OB = b，
则 ∠AOB = θ
(0 ≤ θ ≤ 180 )
o o
B
叫做向量
r r 的夹角． a 和 b的夹角．
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金凤义 三角函数·平面向量 金陵中学金凤义
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1.3.1三角函数的周期性 三角函数的周期性
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θ
O a
B1
θ
A
B1
θ
a A O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
O
θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
叫向量b 方向上的投影． 定义：| b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量
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（一）情境引入 1．问题： ．问题： （1）今天是星期二，则过了七天是星期 ）今天是星期二， 过了十四天呢？ 几？过了十四天呢？…… （2）物理学中的单摆振动、圆周运动中 ）物理学中的单摆振动、 质点运动，规律如何呢？ 质点运动，规律如何呢？ 2．我们学过的函数中哪些函数也具有这 ． 周而复始”的基本特征呢？ 种“周而复始”的基本特征呢？怎样 从数学的角度研究函数的周期现象呢？ 从数学的角度研究函数的周期现象呢？
a⋅ a =| a |2 或| a |= a⋅ a 特别地
a⋅b （4） cosθ = ） | a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b | ）
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数学应用
例 1 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， 且|a| ＝2，|b|＝3， ，分别在下列条件下,求 a•b (1) θ=135º ; (2) a∥b; (3) a⊥b. → 例 2 已知正 ∆ABC 的边长为 ，设BC＝a， BC a → → CA＝b，AB＝c，求 a•b＋b•c＋c•a． ＋ ＋
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【教学目标】 教学目标】 （1）了解周期现象在现实中广泛存在， ）了解周期现象在现实中广泛存在， 感受周期现象对实际工作的意义； 感受周期现象对实际工作的意义； （2）了解周期函数的概念，会判断一些 ）了解周期函数的概念， 简单的、常见的函数的周期性， 简单的、常见的函数的周期性，并会求 一些简单三角函数的周期； 一些简单三角函数的周期； （3）培养及渗透数形结合思想，培养辩 ）培养及渗透数形结合思想， 证唯物主义观点． 证唯物主义观点．
W =| F || s | cos θ
其中力F 和位移s 是向量， 的夹角，而功是数量. θ 其中力 和位移 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量 数量
F s cos θ
叫做力 与位移s的数量积 叫做力F 与位移 的数量积
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（三）数学理论 一般地，对于函数f(x)，如果存在一 一般地，对于函数 ，如果存在一 非零常数T，使得定义域内的每一个 每一个x 个非零常数 ，使得定义域内的每一个 都满足f(x＋ ＝ 值，都满足 ＋T)＝f(x)，那么函数 ，那么函数f(x) 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个 周期函数， 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个 函数的周期 周期． 函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，如果在它所 对于一个周期函数 ， 有的周期中存在一个最小的正数 最小的正数， 有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 这个最小正数就叫做 的最小正周期．
规定：零向量与任意向量的数量积为 即 a ⋅ 0 = 0． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
数量， 向量， （ 1）两向量的数量积是一个 数量 ， 而 不 是 向量 ， 符号由夹 ） 两向量的数量积是一个数量 角决定； 角决定； （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合 ）一种新的运算法则，以前所学的运算律、 不能写成 （3） a · b不能写成 ×b ，a×b 表示向量的另一种运算 ） 不能写成a× × 表示向量的另一种运算．
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两个向量数量积的性质： 两个向量数量积的性质：
（1）e · a=a · e=| a | cosθ （2）a⊥b ⇔ a · b=0 (判断两向量垂直的依据) ⊥ 判断两向量垂直的依据) 同向时， （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 ， 时， a · b =－| a | · | b | ． －
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（二）意义建构 由单位圆中的三角函数线可知， 由单位圆中的三角函数线可知，正、 余弦函数值的变化呈现出周期现象， 余弦函数值的变化呈现出周期现象，每 当角增加（或减少） ， 当角增加（或减少）2π，所得角的终边 与原来角的终边相同，故两角的正、 与原来角的终边相同，故两角的正、余 弦函数值也分别相同．即有sin（ ＋ ） 弦函数值也分别相同．即有 （2π＋x） ）＝cosx， ＝sinx，cos（2π＋x）＝ ， （ ＋ ）＝ ， 正弦函数和余弦函数所具有的这种 性质称为周期性． 性质称为周期性．
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数学理论 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 已知两个非零向量 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 | a || b | cosθ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 叫做 的数量积（或内积） 记作 a ⋅ b =| a || b | cosθ
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2.4向量的数量积 向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 一个物体在力 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力 所做的功应 ， 那么力F 与 的夹角为 那么力 当怎样计算？ 当怎样计算？ F θ s
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(六)课堂小结（回顾反思） 六 课堂小结 回顾反思） 课堂小结（ (七)课堂巩固与课后作业（略） 七 课堂巩固与课后作业 课堂巩固与课后作业（ 【课堂教学设计说明】 课堂教学设计说明】
1．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则，以“感受理解、 ．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则， 感受理解、 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境， 思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境，激 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题， 发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问 题． 2．函数周期性概念的教学是本节课的重点 也是本节课的难点．概念教学是 也是本节课的难点． ．函数周期性概念的教学是本节课的重点,也是本节课的难点 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视． 中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视．也不能因其难而回 概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象， 避．概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时， 对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题， 句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生 对概念的理解逐步深入． 对概念的理解逐步深入．
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证明f(x)＝sinx(x∈R)的最小正周 例4 证明 ＝ ∈ 的最小正周 期是2π． 期是 ． 求函数y＝3cosx的周期 的周期． 例5 求函数y＝3cosx的周期． 的周期． 例6 求y＝sin2x的周期． ＝ 的周期
θ
θ
a A B1
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O
O
a A
θ
O( B1 ) a A θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
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θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0
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1 π 的周期． 例7 求 y＝2sin(2x－6)的周期． ＝ － 的周期
y＝Asin(ωx＋φ)的周期 (其中 的周期． 例8 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中 A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0， 为常数， ， ， 为常数 ， ＞ ， x∈R) ∈
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． 向上的力做功． 过点B作 OB 作OA = a， = b ，过点 作 BB1 垂直于直线OA， 垂直于直线 ，垂足为 B1，则 OB1 = | b | cosθ | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量b 方向上的投影． 叫向量 B B B b b b F θ s