简谐振动的运动学

[解]
A
x02
v02x
02
2m
tan v0x 10 3 3
0 x0
10 1
由初始条件得 60 π
3
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第九章 振 动
3.简谐振动的速度和加速度
x Acos(0t )
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
0 Acos(0t
π) 2
ax
dvx dt
02 Acos(0t
§9.2简谐振动的运动学
§9.2.1 简谐振动的运动学方程
1. 简谐振动的运动学方程
简谐振动的动力学方程
d2 dt
x
2
2 0
x
0
=0
其解
x(t) Acos(0t )
x
m
Ox
或
x(t) Asin(0t )
A与 由初始条件定.
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第九章 振 动
2. 特征量物理意义 (1)周期、频率和圆频率 周期(T)—— 系统作一次完整振动所需时间.
第九章 振 动
[解] （1） 1 2 2nπ
(n 0,1,, n)
x1 A1 cos(0t 1 )
v1x 0 A1 sin(0t 1)
x2 A2 cos(0t 2 )
A2 cos(0t 1 2nπ) A2 cos(0t 1 )
v2x 0 A2 sin(0t 2 ) 0 A2 sin(0t 1)
A由初始条件定.
x Acos(0t )
vx
dx dt
A0
sin(0t
Fra Baidu bibliotek
)
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
则 x0 Acos
v0 A0 sin
A
x02
v02
2 0
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第九章 振 动
(3) 相位和初相位
相位 =( t + )，决定振动系统在任意瞬时的运动状态.
x x
O
t
初相位 = 0
0
O
t
0t 0
t
0
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2. 相轨迹(相图)
x2
v
2 x
02
A2
第九章 振 动 vx
O
x
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§9.2.3 简谐振动矢量表示
第九章 振 动
v
0A
0t π 0t
π 2
a
2 0
A
A(t )
0t A(t 0)
A
O x Ax
二振动相位差 ( 2 - 1 ), 若 ( 2 - 1 ) = 2n ,n为整数，称两简谐振动同相位. 若 ( 2 - 1 ) = (2n+1), n为整数，称两简谐振动反相位.
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第九章 振 动
[例题3] 某简谐振动规律为 x Acos(10t ) 初始条件 为 t 0, x0 1, v0x 10 3 ，求该振动的振幅和初相位.
矢量末端在x 轴上投影点的运动规律：
x Acos(0t )
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第九章 振 动
[例题4] 如图右方表示 某简谐振动的 x-t 图，试用作 图方法画出 t1 和 t2 时刻的旋转矢量的位置.
[解]
x A
x
A
P1
O
B
t1 O B
t2 P2
t
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初相() ，t = 0 时的相位. tan v0 x0
一定的相位对应一定的运动状态.
如图a、b两点运动状 x
态不同，相位亦不同.
c和a运动状态同，
t
相位差2n .
ab
c
用相位表征质点振动状态的优点在于它充分反映了 振动周期性特征.
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第九章 振 动
[例题1] 质点按 x Acos(0t ) 作简谐振动.设于
二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.
(2) 1 2 (2n 1)π (n 0,1,, n)
x2 A2 cos[0t 1 (2n 1)π] A2 cos(0t 1) v2x 0 A2 sin(0t 1)
二振动相位相反，即二振动反步调.
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第九章 振 动 两简谐振动步调的比较
)
02 Acos(0t π)
速度比加速度相位落后 π 位移比速度相位落后 π
2
2
弹性力 Fx ma x kAcos(0t π)
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第九章 振 动
§9.2.2 简谐振动的 x-t 图线和相轨迹
1. x-t 图线 振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线
的“密集和疏散”.
某时刻, 相位 0t 时质点的运动状态如何?
0,
π,
π 2
,
π 2
,
问在这些瞬
[解]振动状态由x 、v 定
x Acos(0t )
0t 0
0t π
0t
π 2
0t
π 2
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
x A, vx 0
x A, vx 0
x 0, vx 0 A
x 0, v x 0 A
x( t ) = x( t +T )
Acos(0 t + ) = Acos[0(t + T )+ ]
0T = 2 n
T 的最小值
T 2π 0
弹簧振子、单摆和扭摆周期分别为
T 2π m k
T 2π l g
T 2π I c
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第九章 振 动
频率()—— 单位时间内物体所作完全振动的次数.
第九章 振 动
§9.2简谐振动的运动学
§9.2.1 简谐振动的运动学方程
1. 简谐振动的运动学方程 2. 特征量物理意义 3. 简谐振动的速度和加速度
§9.2.2 简谐振动的 x-t 图线和相轨迹
1. x-t 图线 2. 相轨迹(相图)
§9.2.3 简谐振动矢量表示
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第九章 振 动
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第九章 振 动
[例题2] 二同频率不同振幅的简谐振动表示为
x1 A1 cos(0t a1 )
x2 A2 cos(0t a2 )
试分别就 1 2 2nπ
(n 0,1,, n)
和 1 2 (2n 1)π (n 0,1,, n) 的情况比较两种振动.
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角频率()—— 2 秒内完成振动的次数.也称固有频率.
1 0
T 2π
0 2π
2π T
简谐振动的运动学方程
x(t) Acos(0t ) x(t) Acos(2π t )
T
x(t) Acos(2πt )
T、 和由振动系统本身的性质决定.
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第九章 振 动
(2) 振幅 振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值.