广东省深圳市2019届高三第一次(2月)调研考试数学理答案

ln 2
ln 2
理科数学试题答案及评分参考第1页（共14页）
二．填空题：
13. 3
14. 15
15. 8
16. 103
16. 解析：
an,1
=1−
1 2n−1
，
an−1,1
=1−
1 2n−2
, (n

2)
下面求数列 an,2 的通项，
由题意可知 an,2 = an−1,1 + an−1,2 , (n 3) ，
EF / / 平面 ABCD ．……………………6 分
理科数学试题答案及评分参考第3页（共14页）
（法二）如图，设 AD 中点为 R ， Q 为线段 BD 上一点，且 DQ = 3QB .
连接 ER 、 RQ 、 QF ，则有 ER / /PD ，……………………1 分 P
BF = BQ = 1 ， QF / / PD ，……………………3 分 BP BD 4
x
Q x=4
一个焦点坐标为 F (1, 0) ，另一个焦点坐标为 (−1, 0) ，……………………1 分
由椭圆定义可知 2a = (1+1)2 + (3 − 0)2 + (1−1)2 + (3 − 0)2 = 4
2
2
a = 2 ，……………………3 分
理科数学试题答案及评分参考第5页（共14页）
（1）若 AC 平分 BCD ，且 AB = 2 ，求 AC 的长；
A
D
（第 17 题图）
（2）若 CBD = 45 ，求 CD 的长． 解：（1）若对角线 AC 平分 BCD ，即 BCD = 2ACB = 2ACD ， cos BCD = 2cos2 ACB −1 = − 3 ，
2
m 2n
联立方程①，②，解得 m = 4 ， n = 3 ，
椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1. ……………………4 分 43
（2）设 M (x1, y1) ， N(x2, y2 ) ，直线 MN 的方程为 x = my +1 ，
x = my +1，
由方程组

x
2
4
+
y2 3
ln x

2ln 3 ，
x N* ， 0 ，
x9
x
（法一）
ln x x

2ln 3
，令
f
(x)
=
ln x x
，则
f
(x)
=
1− ln x2
x
，
易知 f (x) 在 (0, e) 上递增，在 (e, +) 上递减，
注意到 2<e<3 ，只需考虑 f (2) 和 f (3) 的大小关系，
2019 年深圳市高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一．选择题
1.D
2.B
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.A
9.C
10.D
11.B
12.A
11. 解析:设△ ABC 的外接圆圆心为 O ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且| OO |= d ，
依题意可知
( V1 V2
= 2 (sin BCD + cos BCD) = 2 ，…………………………9 分
2
10
在△ BCD 中，由正弦定理 BC = CD ，可得 sin CDB sin CBD
CD = BC sin CBD =5 ，即 CD 的长为 5 .………………………12 分 sin CDB
【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形
+ 2)
=
6 y2
(my1
+1) − 2 − 2y1 (my2
（my1 +1）− 2
+1)
+
2
理科数学试题答案及评分参考第6页（共14页）
=
4my1 y2
− 6( y1
+
y2 )
=
4m(−
9 3m2 +
4
)
−
6(−
6m 3m2 +
4
)
=
0，
my1 −1
my1 −1
∴ AN / / AQ ，……………………11 分
5
cos ACB 0 ， cos ACB = 5 ，………………………3 分 5
在△ ABC 中， BC = 1， AB = 2 ， cos ACB = 5 5
由余弦定理 AB2 = BC2 + AC 2 − 2BC AC cos ACB 可得：
AC2 − 2 5 AC − 3 = 0 ，解得 AC =
NE / / 平面 ABCD ，……………………2 分
又 PN = PF = 3 ， PD PB 4
∴ NF / /DB ，……………………4 分 NF 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，
NF / / 平面 ABCD ，……………………5 分
M
N
E DF
C
又 NF NE = N ，平面 NEF / / 平面 ABCD ， A B

an,2
− an−1,2
=
an−1,1
=来自百度文库−
1 2n−2
, (n

3)
，即 an,2
− an−1,2
=1−
1 2n−2
, (n

3)
，
an,2
=
(an,2
− an−1,2 ) + (an−1,2
− an−2,2 ) + + (a3,2
− a2,2 ) + a2,2
=
1 2n−2
+
n−
5 2
QF / / ER ，且 QF = 1 PD = ER ，…………………4 分 4
M
即 QFER 为平行四边形， EF / /QR ，………………5 分 E
EF 平面 ABCD ， RQ 平面 ABCD ，
DF
C
EF / / 平面 ABCD ．……………………6 分
R
A
Q
（2）（法一）解： 平面 PDC ⊥ 底面 ABCD , 且 PD ⊥ DC ，
cos = 2 2 ．…………………………12 分 3
E D
A
F
C
G B
【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所
成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．
19.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O ，其右焦点为 F(1,0) ，且点 P(1, 3)
B
PD ⊥ 底面 ABCD ，……………………7 分
如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D − xyz ，
则 D(0, 0, 0) ， P(0, 0, 2) ， A(1, 0, 0) ， C(−
2, 2
2 , 0) ， 2
Pz
∴ BC = AD = (−1, 0, 0) ，
PC = (− 2 , 2 , −2) ，……………………8 分
M
22
设平面 PBC 的一个法向量为 n1 = (x, y, z) ，
E
DF
C
则
n1 n1

BC PC
= =
0 0
，∴
−x −
= 2 2
0 x
+
2
y
−
2z
=
，
0
2
R Ax
y
Q B
取 y = 2 2 ，可得 n1 = (0, 2 2,1) ，……………………10 分
又易知平面 PAD 的一个法向量 n2 = (0,1, 0) ，……………………11 分 设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为q ，则 cos = | n1 n2 | = 2 2 ，
b2 = a2 − c2 = 3， 椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1. ……………………4 分 43
x2 y2 (法二)不妨设椭圆 C 的方程为 + = 1 ( m n 0 )，
mn 一个焦点坐标为 F (1, 0) ， m − n =1，① ……………………1 分
又 点 P(1, 3) 在椭圆 C 上， 1 + 3 = 1，② ……………………2 分
)max
=
R+d d
= 3，即 R = 2d
，显然 R2
=
d2
+ r 2 ，故 R
=
2 r， 3
又 2r = AC = 4 ，故 r = 2 ，球 O 的表面积为 4πR2 = 16 πr2 = 64 π ，故选 B.
sin ABC 3
3
3
9
12. 解析：
(
1
)
x

1 ，

xx
9 ，
x


不等式（*）有正整数解，即 y = ln x 在 y = kx 的图象上方（或者图象的交点）存在横坐
标为正整数的点，易知直线 y = x 与曲线 y = ln x e
相切，如右图所示， ln 2 2k ，或 ln 3 3k ，
解得 4ln 3 ，或 6 ，不难判断 4 ln 3 6 ，即实数 的最小值为 6 ，故选 A.
2 在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为 A 、B ，M 是椭圆上异于 A ，B 的任意一点，直线 MF
交椭圆 C 于另一点 N ，直线 MB 交直线 x = 4 于 Q 点，求证： A ， N ， Q 三点在同一条直
线上．
y
M
O
B
A
F
N
（第 19 题图）
x2 y2 解：（1）(法一)设椭圆 C 的方程为 a2 + b2 = 1(a b 0) ，
又 f (2) = ln 2 = ln 8 ， f (3) = ln 3 = ln 9 ， f (2) f (3) ，
26
36
只需 f (3) = ln 3 2ln 3 ，即 6 ，即实数 的最小值为 6 ，故选 A. 3
（法二） ln x 2ln 3 ，ln x 2ln 3 x ，令 k = 2ln 3 ，则 ln x kx （*），
5 ，或 AC = − 3
5
（舍去），
5
5
AC 的长为 5 . …………………6 分
理科数学试题答案及评分参考第2页（共14页）
（2） cos BCD = − 3 ， 5
sin BCD = 1− cos2 BCD = 4 ，……………7 分 5
又 CBD = 45 ， sin CDB = sin(180 − BCD − 45)=sin(BCD+45）
结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．
18.（本小题满分 12 分）
P
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长
为 1 的菱形， BAD = 45 ， PD = 2 ， M 为 PD 的中点，
M
E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF = 3FB . （1）求证： EF / / 平面 ABCD ；
E
D
C F
（2）若平面 PDC ⊥ 底面 ABCD ，且 PD ⊥ DC ， 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值．
A
B
（第 18 题图）
解：（1）证明：（法一）如图，设 DM 中点为 N ，连接 EN ，NF ，BD ，则有 NE / / AD ，
NE 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ， P
=
消去
1，
x
，并整理得：
(3m2
+ 4) y2
+ 6my − 9 = 0 ，
∵ = (6m)2 + 36(3m2 + 4) 0 ，
∴
y1
+
y2
=
−
6m 3m2 +
4
，
y1 y2
=
−
9 3m2 +
4
，……………………7
分
∵直线 BM 的方程可表示为 y = y1 (x − 2) ， x1 − 2
| n1 | | n2 | 3
∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 2 2 ．……………………12 分 3
（法二）如图，过 A 、P 分别做 PD 、AD 的平行线，交于点 S ，则 SP / / AD / /BC ，
理科数学试题答案及评分参考第4页（共14页）
直线 SP 为平面 PAD 与平面 PBC 的交线，
过 D 做 DG ⊥ BC ，交 BC 于 G ，连接 PG ，则 BC ⊥ 平面 PDG ，
GPD 即为平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角，设为 ，……………………9 分
P
底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BAD = 45 ，
S
DGC 为等腰直角三角形，
M
DG = 2 ，又 PD = 2， 2
将此方程与直线 x = 4 联立，可求得点 Q 的坐标为 (4, 2 y1 ) ，……………………9 分 x1 − 2
∴
AN
=
( x2
+
2,
y2 )
，
AQ
=
(6,
2 y1 ) x1 − 2
∵ 6 y2
− (x2
+ 2)
2 y1 x1 − 2
=
6 y2 (x1 − 2) − 2 y1(x2 x1 − 2
，
数列 an,2 显然递增，又易知 a102,2 100 a103,2 ，
m 的最小值为103 ，故应填103 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
如图，在平面四边形 ABCD 中， AC 与 BD 为其对角线，
B
C
已知 BC = 1，且 cos BCD = − 3 ． 5