第一讲 线段的最值问题(一)

三角形任意两 边之差小于第 三边
如图，已知定点
A'
nn
过A作关于直线
m、n的对称点
4 A在直线m、n上 分别求点P、Q,
QQ
AA A''、A',连接A''、 两点之间， A'交直线m、n 线段最短
使得PA+AQ+PQ
P P m m 分别于点P、Q,
最小
此时
A'' PA+AQ+PQ最
教二育、教常学见分模析型
PA+PQ+QB最 小
03
例题分析
教育教学分析
例1：已知A(1，1),C(3，4)，在y轴上找一点P，
使得PA+PC的值最小，请求出这个最小值以及点
P的坐标.
yy
分析：作A关于y轴的对称点A'（1,1），连接A'C交y轴于点P，点P 为所求的点.
AC (1 3)2 (1 4)2 5
5
4
3
P2 P A' 1 –1 OO
y
设lA'C : y kx b(k 0)
A'（-1,1）
1 k b, 4 3k b.
l A'C
:
y
3 4
x
解得：k
7
b
3 4 7 4
, .
4
P(0, 7 )
4
C(3,4)
P
A'
A(1,1)
x
O
教育教学分析
例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6， BC=8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD 和AC上的动点，求PC+PQ的最小值 CC
问题
图例
方法
数学原理
5
如图，已知两定
点A、B，线段PQ
在直线m上运动， 且PQ=a（a为定
值），求 PA+PQ+QB(四边 形ABQP的周长) 的最小值
BB AA A'
PP QQ A''
将点A沿PQ方向
平 到 于 点 B共移 A直 A''线'，a线，个时作m当单的点A位'对A'、'得关称Q、平质意于行、两第四三边三边角之边形形和性任大
AA
BB
作点A关于m
的对称点A'， 三角形任意
PP mm 连接A'B交直 两边之和大
A'
线m于点P， 于第三边
此时PA+PB最
小
教二育、教常学见分模析型
问题
图例
方法
数学原理
3 如图，已知两定
点A、B，动点P
在直线m上，求 |PA-PB|的最大值
A
BB
A
PP
连接BA并延长 BA交直线m于 点P，此时|PAPB|最大
第一讲
线段和差的最值 问题(一)
目 01
02ห้องสมุดไป่ตู้
03
04
录 的与 常 知最 见
例 题
课 堂
识值 模
分
练
点有 型
析
习
关
01
与最值有关的知识点
教育教学分析
01
两点之间线段最短； (点——点)
在直线外一点与直线上一点的连线中，
02
垂线段最短（垂线段最短）；
(点——线)
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边
CC(3(,34,)4) AA(1(,11,)1) xx
1234
–1
–2
若A(x1, y1), B(x2, y2 )，则AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
教育教学分析
例2：已知A(1，1),C(3，4)，在y轴上找一点P，
使得PA+PC的值最小，请求出这个最小值以及点
P的坐标.
分析 : PC+PQ=PC+P Q' CQ' QQ
DD
两点之间线段最短
PP
根据垂线段最短，当CQ'⊥AB时取得AA最小值Q'
BB
1 AC BC 1 ABCQ 1 68 1 10 CQ 1 68 1 10 CQ
2
2
2
2
2
2
教育教学分析
例3：如图，已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的
平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，B 求点P到点M与到边OA的距离之和的最小值.
03
之差小于第三边.
02
常见模型
教二育、教常学见分模析型
问题
图例
方法
数学原理
1
如图，点P为定点， 点Q为直线m上一 动点，求PQ的最 小值
PP Q Q mm
在直线外一
过点P作
点与直线上
PQ⊥m于Q， 一点的连线
则PQ最小 中，垂线段
最短
如图，已知两定
2 点A、B，动点P
在直线m上，求 PA+PB的最小值
分析：问题转化为求PM+PN的最小值
B
B
C P
C N'
P
O
A
NM
O
M'
OC
P
A NM
A NM
谢谢