上海市建平中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题((解析版)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
上海市建平中学高一数学理期末试卷含解析
上海市建平中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知<0，那么角是（）；A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第二或第四象限角D. 第一或第四象限角参考答案：B略2. 如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是 ( ）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③② B．①③② C．①②③ D．④②③参考答案：A3. 当时,在同一坐标系中,函数的图象是（）参考答案：C4. 已知平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，设，，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果.【详解】本题正确选项：B【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.5. 若{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（）A．8 B．7 C．4 D．3参考答案：A【考点】16：子集与真子集．【分析】集合子集的列举要按照一定的顺序，防止遗漏．【解答】解：集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合子集的列举及其个数，属于基础题．6. 已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2] D．[，+∞）参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意把点（3，1）代入解析式，化简后求出b 的值，由x 的范围和指数函数的单调性求出f （x ）的值域．【解答】解：因为函数f （x ）=2x ﹣b 的图象经过点（3，1）， 所以1=23﹣b ，则3﹣b=0，解得b=3， 则函数f （x ）=2x ﹣3，由2≤x≤4得，﹣1≤x﹣3≤1，则2x ﹣3≤2，所以f （x ）的值域为[，2]， 故选C ．7. 已知一个四面体的三视图如图，则它的体积为（ ）A ．3B ．C ．9D ．参考答案： C8. ”A=1,for i=1 to 5,A=A*i,i=i+1,next,输出A ”,该语句执行后输出的结果A 是（ ）A 5，B 6C 15D 120 参考答案： C 略9. 函数的定义域是( )A. B. C. D.参考答案：D10. 的值为 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ）参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数恒过定点，其坐标为．参考答案：略 12. 函数的定义域为 ；参考答案：13. 棱长为4的正四面体外接球的表面积等于______.参考答案：24π试题分析：正四棱锥底面中线长为,棱锥的高为.设外接球的半径为,则有,解得,所以此外接球的面积为.14. 菱形ABCD中，,向量=1，则= ____________.参考答案：1略15. 已知向量=（2，3），=（﹣1，4），=﹣λ， =2﹣，若∥，则λ= ．参考答案：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合向量的坐标运算法则，可得与的坐标，又由∥，则有（2+λ）×2﹣（3﹣4λ）×5=0，解可得λ的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（﹣1，4），则=﹣λ=（2+λ，3﹣4λ），=2﹣=（5，2），若∥，则有（2+λ）×2﹣（3﹣4λ）×5=0，解可得λ=；故答案为：．【点评】本题考查数量积的坐标运算，涉及向量平行的坐标表示，解题的关键是求出向量、的坐标．16. 设数列的前项和为已知（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式。
2019年建平中学高一期末
建平中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 1和4的等差中项为2. 已知(1,2)a =r ，(,4)b x =r ，若a r ∥b r ，则实数x 的值为3. 设函数()arctan f x x =，则(1)f -的值为4. 已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，数列{}n a 的公比为5. 已知3sin()25a π+=，则cos a 的值为 6. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为12-，则其各项的和为 7. 131lim()312n n n n →∞++=-8. 已知[)0,2ϕπ∈，若方程sin 2sin()x x x θ-=-的解集为R ，则ϕ=9. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为12，1b =， 2c =，则角A 的弧度为10. 数列{}n a 满足1111223(1)n a n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+，设n S 为数列1{}n n a a +-的前n 项的 和，则10S = 11. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若8142n n n S n =⎧=⎨≥⎩，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式 为n a = 12. 已知等比数列1234,,,a a a a 满足1(0,1)a ∈，3(1,2)a ∈，4(2,4)a ∈，则6a 的取值范围为二. 选择题13. 已知基本单位向量(1,0)i =r ，(0,1)j =r ，则|34|i j -r r 的值为（ ）A. 1B. 5C. 7D. 2514. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）A. 不完全归纳法B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，4n n a S +=（*n ∈N ），则4S 的值为（ ）A. 3B. 72C. 154D. 不确定16. 小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A. 126B. 127C. 128D. 129三. 解答题17. 已知点G 是△ABC 的重心，2AD DC =u u u r u u u r .（1）用AB u u u r 和AC uuu r 表示AG uuu r ；（2）用AB u u u r 和AC uuu r 表示DG u u u r .18. 已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的最小值和取到最小值时x 的取值.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说---除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块呈凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设△BCD 中边AD 所对的角为A ， △BCD 中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===,23AD =.（1）霍尔顿发现无论边BD 多长，3cos cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD 的面积分别为1S 与2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.20. 已知*1(,),()n n A A n n n +=∈N u u u u u u r .（1）求122334A A A A A A ++u u u u r u u u u u r u u u u u r 的坐标；（2）设11()n n b A A n ++=∈N u u u r ，求数列{}n b 的通项公式；（3）设111(,)22n n a a B B +--=u u u u u u r，1(22n n C C +=u u u u u u r （*n ∈N ），其中a 为常数， ||1a ≥，求112111lim ()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r 的值.21. 无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,...,n a a a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值；（2）已知命题p ：存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题p 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥ 恒成立，求1039a 的值.参考答案一. 填空题 1.52 2. 2 3. 4π- 4. 2 5. 35 6. 23 7. 1 8. 3π 9.6π 10. 512- 11. 181342n n n -=⎧⎨⨯≥⎩，*n ∈N 12. (4,64) 二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. B三. 解答题17.（1）1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ；（2）1()3DG AB AC =-u u u r u u u r u u u r . 18.（1）π；（2）min ()0f x =，4x k ππ=-+，k ∈Z .19.（1）1；（2）634. 20.（1）(6,6)；（2）22(,)22n n n n n b ++=；（3）当1a =-时，112111lim 2()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=-⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r ； 当1a ≠-时，112111lim 0()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r . 21.（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明略；（3）1039519a =.。
建平中学高一期末(2020.01)
建平中学高一期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 已知集合{1,2,3}A =，{|2,}B y y x x A ==∈，则B =2. 写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题3. 已知关于x 的不等式20x bx c ++>（,b c ∈R ）的解集是1(,2)(,)2-∞--+∞U ，则 b c +的值为4. 设函数()f x 的图像关于原点对称，且存在反函数1()f x -，若已知(4)2f =，则1(2)f --=5. 已知幂函数()f x 的部分对应值如下表：则不等式(||)2f x ≤的解集是6. 函数2()ln 32f x x x =--的值域是7. 已知当0x >时，函数()(21)x f x a =-（0a >，12a ≠）的函数值总大于1，则函 数22x x y a -=的单调增区间是8. 乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨）之间函数关系的图像如图中的折线段所ABC 示（不包含端点A ，但包含端点C ），已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为 吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大 9. 已知a ∈R 且11a>，则关于x 的不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 10. 已知函数()f x 的定义域为{1,2,3,4,5,6}A =，值域为{7,8,9}B =，且对任意的x y <， 恒有()()f x f y ≤，则满足条件的不同函数的个数为11. 若不等式25|6|x xt <--对于1[,2]2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围是12. 设a 、b 、c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为二. 选择题13. 设2*{|1,}M x x a a ==+∈N ，2*{|45,}P y y b b b ==-+∈N ，则下列关系正确的是（ ）A. M P =B. M PC. P MD. M 与P 没有公共元素14. 函数1y =（0x ≤）的反函数是（ ）A. y =1x ≥-）B. y =1x ≥-）C. y =0x ≥）D. y =（0x ≥）15. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意x ∈R ，有()(2)20f x f x +-+=，则()f x 图像是中心对称图形，且对称中心为(1,1)-；（3）若对任意x ∈R ，有(1)(3)0f x f x ---=，则()f x 图像是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知(2)y f x =-是R 上的奇函数，则()(4)0f x f x +-=；这些命题中，真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，1()12||2f x x =--，当(,1]x ∈-∞-， 1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为（ ）A. (1,0)(0,)-+∞UB. (2,0)(0,)-+∞UC. 1(ln 2,1)(0,)2---+∞U D. 1(ln 2,0)(0,)2--+∞U三. 解答题17. 解下列方程：（1）2122x x -=； （2）239(log )log (3)2x x +=.18. 设函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M ，函数()g x =的定义域为集 合N ，求：（1）集合M ，C N R ；（2）集合M N I ，()C M N R U .19. 已知函数1()log ()122m x f x =++（0m >，1m ≠）的图像恒经过与m 无关的定点A .（1）求点A 的坐标；（2）若偶函数2()g x ax bx c =+-，[12,]x c c ∈-的图像过点A ，求a 、b 、c 的值.20. 已知()x x m f x e e=-（m ∈R ）是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求实数m 的值；（2）求证：()f x 在[1,1]-上是单调递减函数；（3）若2(1)(2)0f a f a -+≤，求实数a 的取值范围.21. 设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在*(0,1)x ∈使得()f x 在*[0,]x 上单调递增， 在*[,1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，*x 为峰点，包含峰点的区间为 ()f x 的含峰区间.（1）判断下列函数是否为[0,1]上的单峰函数：① 2()41xf x x =+，[0,1]x ∈； ② 21()2x x f x -+=，[0,1]x ∈； ③ 121()log (||1)3f x x =-+，[0,1]x ∈； ④ 41()()4f x x =-，[0,1]x ∈； 对任意的[0,1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度l （区间长度l 等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的12,(0,1)x x ∈，12x x <，若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间，若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；（3）对给定的r （00.5r <<），证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +.参考答案一. 填空题1. {2,4,6}2. 若22am bm ≥，则a b ≥3. 724. 4-5. [4,4]-6. (,ln 2]-∞7. (,1)-∞8. 239. (2,3) 10. 10 11. 57(,)22 12. 3二. 选择题13. B 14. B 15. A 16. A三. 解答题17.（1）1x =-；（2）3x =或323x -=.18.（1）3{|}2M x x =>，{|13}C N x x =≤<R ；（2）{|3}M N x x =≥I ， 3(){|1}2C M N x x =≤≤R U . 19.（1）(1,1)；（2）2a =，0b =，1c =.20.（1）1m =；（2）证明略；（3）12a ≤≤. 21.（1）①③是单峰函数；（2）略；（3）略.。
上海市建平中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
4
若 f (x1) f (x2 ) ，则 (x1,1) 含峰区间；
（3）对给定的 r 0 r 0.5 ，证明：存在 x1, x2 (0,1) ，满足 x2 x1 2r ，使得由（1）所确定
（2）若对任意 x R ，有 f (x) f (2 x) 2 0 ，则 f (x) 图像是中心对称图形，且对称中心为
1,1 ；
（3）若对任意 x R ，有 f (x 1) f (3 x) 0 ，则 f (x) 图像是轴对称图形，且对称轴为 x 1 ；
（4）已知 y f (x 2) 是 R 上的奇函数，则 f (x) f (4 x) 0 .
成
本是 2800 元 / 吨，那么乔经理的采购量为
吨时，老陈
在
这次买卖中所获的利润W 最大．
9.
已知 a R 且 1 a
1 ，则关于 x 的不等式 loga (x2 5x 7) 0 的解集为
．
10. 已知函数 f (x) 的定义域为 A 1, 2,3, 4,5, 6 ，值域为 B 7,8,9 ，且对任意的 x y ，恒有
f (x) f ( y) ，则满足条件的不同函数共有
个．
11. 若不等式 x2 5 | 6 xt | 对于 x [1 , 2] 恒成立，则实数 t 的取值范围是 2
12.
设 a,b, c 是三个正实数，且 a b 2c bc a
，则 39a 的最大值为 3b c
二．选择题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
).
A． y (x 1)3 x 1 B． y (x 1)3 x 1
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
上海市建平中学高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
建平中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 1和4的等差中项为2. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，若a ∥b ，则实数x 的值为3. 设函数()arctan f x x =，则(1)f -的值为4. 已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，数列{}n a 的公比为5. 已知3sin()25a π+=，则cos a 的值为 6. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为12-，则其各项的和为 7. 131lim()312n n n n →∞++=-8. 已知[)0,2ϕπ∈，若方程sin 2sin()x x x θ-=-的解集为R ，则ϕ=9. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为12，1b =， 2c =，则角A 的弧度为10. 数列{}n a 满足1111223(1)n a n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+，设n S 为数列1{}n n a a +-的前n 项的 和，则10S = 11. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若8142n n n S n =⎧=⎨≥⎩，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式 为n a = 12. 已知等比数列1234,,,a a a a 满足1(0,1)a ∈，3(1,2)a ∈，4(2,4)a ∈，则6a 的取值范围为二. 选择题13. 已知基本单位向量(1,0)i =，(0,1)j =，则|34|i j -的值为（ ）A. 1B. 5C. 7D. 2514. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）A. 不完全归纳法B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，4n n a S +=（*n ∈N ），则4S 的值为（ ）A. 3B. 72C. 154D. 不确定16. 小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A. 126B. 127C. 128D. 129三. 解答题17. 已知点G 是△ABC 的重心，2AD DC =.（1）用AB 和AC 表示AG ；（2）用AB 和AC 表示DG .18. 已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的最小值和取到最小值时x 的取值.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说---除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块呈凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设△BCD 中边AD 所对的角为A ，△BCD 中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===,AD =（1）霍尔顿发现无论边BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD 的面积分别为1S 与2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.20. 已知*1(,),()n n A A n n n +=∈N .（1）求122334A A A A A A ++的坐标；（2）设11()n n b A A n ++=∈N ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设111(,)22n n a a B B +--=，1(22n n a C C +=（*n ∈N ），其中a 为常数， ||1a ≥，求112111lim()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.21. 无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,...,n a a a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值；（2）已知命题p ：存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题p 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥ 恒成立，求1039a 的值.参考答案一. 填空题 1.52 2. 2 3. 4π- 4. 2 5. 35 6. 23 7. 1 8. 3π 9.6π 10. 512- 11. 181342n n n -=⎧⎨⨯≥⎩，*n ∈N 12. (4,64) 二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. B三. 解答题17.（1）1()3AG AB AC =+；（2）1()3DG AB AC =-. 18.（1）π；（2）min ()0f x =，4x k ππ=-+，k ∈Z . 19.（1）1；（2）634. 20.（1）(6,6)；（2）22(,)22n n n n n b ++=；（3）当1a =-时，112111lim 2()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=-⋅++； 当1a ≠-时，112111lim 0()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=⋅++.21.（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明略；（3）1039519a =.。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附解答解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，3}，B={3，5}，则A∩B=（）A. B. C. D. 3，2.下列四组直线中，互相平行的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.圆x2+4x+y2=0的圆心和半径分别为（）A. ，4B. ，4C. ，2D. ，24.在空间中，下列命题错误的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 不共线的三个点确定一个平面5.下列各函数在其定义域内为增函数的是（）A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.若x=8，y=log217，z=（）-1，则（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG∥平面ACE，则BG=（）A. B. 4 C. D.9.已知直线l：y=kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2=6，圆N：x2+（y+1）2=9，则（）A. l必与圆M相切，l不可能与圆N相交B. l必与圆M相交，l不可能与圆N相切C. l必与圆M相切，l不可能与圆N相切D. l必与圆M相交，l不可能与圆N相离10.函数f（x）=+1的大致图象为（）A. B.C. D.11.若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A. 16B. 17C. 32D. 3312.光线沿直线l：3x-4y+5=0射入，遇直线l：y=m后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线y=x2-2x+5的顶点，则m=（）A. 3B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线的倾斜角是直线的倾斜角的______倍．14.直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．15.若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，AC⊥AB，PA=3，AC=4，PC=5，且三棱锥P-ABC的外接球的表面积为28π，则AB=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f（x）=+ln（2-x）的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．18.（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）若点F为线段PC上一点，且DF⊥平面PBC，求四棱锥F-ABCD的体积．20.已知函数f（x）=x3+e x-e-x．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数的单调性（不需要证明）；（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．21.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．22.设函数f（x）=（）x+m的图象经过点（2，-），h（x）=ax2-2x（＜1）．（1）若f（x）与h（x）有相同的零点，求a的值；（2）若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，求a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A∩B={3}．故选：A．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：因为x+2y=0与2x+4y-3=0的斜率均为-，故平行，故选：D．两直线平行则斜率相等，计算斜率判断即可．本题考查了两直线平行与斜率的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：圆x2+4x+y2=0，即圆（x+2）2+y2=4，它的圆心为（-2，0），半径为2，故选：C．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：空间中，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行或相交货异面，故A错误；如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，也可能相交货平行，故B正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，由平行公理可C正确；由公理3可得不共线的三个点确定一个平面，故D正确．故选：A．空间垂直于同一直线的两直线可以平行、相交或异面，可判断A；垂直于同一平面的两个平面肯相交或平行，可判断B；运用平行公理和公理3，即可判断C和D．本题考查空间线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的性质和公理的运用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=-，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y=log（4-x），其定义域为（-∞，4），令t=4-x，则y=log tx，则t=4-x为减函数，y=log tx也为减函数，则y=log（4-x）在其定义域内为增函数，符合题意；对于C，y=1-2x2，为二次函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，y=-x3，在其定义域上是减函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握函数单调性的性质以及判断方法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.【答案】D【解析】解：∵x=8，∴x=4，∵z=（）-1=，y=log217＞y=log216=4，∴y＞x＞z，故选：D．分别根据对数指数幂的运算性质求出x，y，z即可比较本题考查了对数指数幂的运算性质，属于基础题8.【答案】C【解析】解：根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，则EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，而EO⊂平面ACE，则BD1∥平面ACE，又由FG∥平面ACE，则BD1∥FG，又由C1F=1，且C1D1=4，则=，则C1G=，则BG=BC1-C1G=3，故选：C．根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，分析可得EO为△BDD1的中位线，进而可得BD1∥平面ACE，由线面平行的性质可得BD1∥FG，由平行线定理分析可得答案．本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，∴直线l必与圆M相交，∵（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，∴l不可能与圆N相离．故选：D．直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，由此得到l必与圆M相交，l不可能与圆N相离．本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值得变化趋势，属于基础题11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y=x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．由对数函数的单调性可得y=x2-2x+a的最小值为16，配方即可得到所求最小值，解方程可得a．本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：抛物线y=x2-2x+5的顶点（1，6），点（1，6）关于直线y=m的对称点（1，2m-6），（1，2m-6）在直线3x-4y+5=0上，3-4（2m-6）+5=0，解得m=4．故选：C．求出抛物线的顶点坐标，求得点M关于直线y=m的对称点M'的坐标，代入直线方程求解m即可．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，考查直线的方程的求法，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：直线的倾斜角是150°，直线的倾斜角是30°，则直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，故答案为：5．根据直线的斜率k=tanα，分别求出直线的倾斜角，问题得以解决．本题考查直线的倾斜角，考查了直线的斜率，是基础题14.【答案】2【解析】解：∵O到直线3x-4y+5=0的距离为1，∴所求距离为2=2．故答案为：2先求圆心O到直线的距离，再用勾股定理可得弦长．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．15.【答案】[-6，1）【解析】解：由题意得：，解得：-6≤a＜1，故答案为：[-6，1）．根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．16.【答案】【解析】解：∵PA=3，AC=4，PC=5，∴PA2+AC2=PC2，则PA⊥AC，又PA⊥AB，AC⊥AB，∴三棱锥P-ABC可以补成一个长方体，则其外接球的半径r=，∴，即AB=．故答案为：．由已知可得三棱锥P-ABC满足过顶点A的三条侧棱两两垂直，然后补形为长方体求解．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．17.【答案】解：（1）由得，-6≤x＜2；由2x＞1得，x＞0；∴A=[-6，2），B=（0，+∞）；∴A∪B=[-6，+∞）；（2）A∩B=（0，2）；∵集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集；∴ ；解得0≤a≤1；∴a的取值范围是[0，1]．【解析】（1）可解出A=[-6，2），B=（0，+∞），然后进行并集的运算即可；（2）可解出A∩B=（0，2），根据集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，即可得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，函数定义域的定义及求法，子集的定义，以及交集、并集的运算．18.【答案】解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|==2；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【解析】（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答19.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴，∴DF==，∴FC==，∴=，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK=，∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，∴ ．【解析】（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OE∥PA，进而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能证明平面PAG∥平面BDE．（2）由DF⊥PC，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3+e x-e-x，则f（-x）=（-x）3+e-x-e x=-（x3+e x-e-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）f（x）=x3+e x-e-x在R上为增函数；（3）由（1）（2）的结论，f（x）=x3+e x-e-x是奇函数且在R上为增函数；f（2x-1）+f（-3）＜0⇒f（2x-1）＜-f（-3）⇒f（2x-1）＜f（3）⇒2x-1＜3，解可得x＜2，即不等式的解集为（-∞，-2）．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，可以将原不等式转化为2x-1＜3，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用，（3）注意分析得到关于x的不等式，属于基础题．21.【答案】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．设C（a，0），则k CM=，∴•（-）=-1，∴a=-1，∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，△=4+12（1+k2）＞0，x1+x2=-，x1x2=-．（i）证明：+==为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=（x1-2）2+（y1-1）2+（x2-2）2+（y2-1）2=（x1-2）2+（kx1-1）2+（x2-2）2+（kx2-1）2=（1+k2）（x1+x2）2-2（1+k2）x1x2-（4+2k）（x1+x2）+10=+16，令3+k=t（t＞3），则k=t-3，上式即为+16=+16≤+16=2+22．当且仅当t=，即k=-3时，取得最大值2+22．【解析】（1）由题意设C（a，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解得a，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得（ⅰ）+为定值；（ii）由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得f（2）=m+=-，即有m=-，即f（x）=（）x-，由f（x）=0，可得x=1，由题意可得h（1）=a-2=0，即a=2；（2）函数f（x）在[-2，0]上递减，可得f（x）的最大值为f（-2）=4+m=，若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，由h（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由＜1可得a＞1，即有h（x）在[1，2]递增，可得h（x）的最小值为h（1）=a-2，由a-2=，解得a=；当a＜0时，h（x）在[1，2]递减，即有h（x）的最小值为h（2）=4a-8，由4a-8=，解得a=，又a＜0，不符题意．综上可得a=．【解析】（1）由题意可得f（2）=-，解得m，由零点定义，即可得到所求值；（2）运用指数函数的单调性可得f（x）的最大值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，解方程即可得到所求值．本题考查函数的零点求法，考查指数函数的单调性和二次函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，属于中档题．。
2023上海市建平中学高一上学期数学期末试卷及答案
建平中学2022学年第一学期期末考试高一数学学科说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一、填空题（每题3分，满分36分） 1.函数y =的定义域为 ． 2.不等式11x>的解集为_______________． 3. 已知偶函数()()y f x x R =∈，当0x >时()1f x x =-，则()1f -=___________．4.函数2cos sin y x x =-的最小值为___________．5. 已知全集R U=，集合{}2,x A y y x R ==∈，则A =_______________．6. 已知tan 2θ=-，则sin cos θθ=___________．7. 已知54x >，则1445x x +-的取值范围是___ ___. 8.已知0βπ<<，若将角β的终边顺时针旋转23π，所得的角的终边与角3β的终边重合．则角β=____________.9. 已知幂函数223()n n y xn Z --=∈的图像与两坐标轴均无公共点，且其图像关于y 轴对称，则n 的值为_____________．10. 已知tan 2α=，tan 3β=，30,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则αβ+=______________． 11.已知A 为锐角，()1lg 1cos ,lg 1cos ⎛⎫+==⎪-⎝⎭A m n A ，则lgsin A 可用,m n 表示为______. 12.已知R a ∈，函数2|||2| , 0,()11, 02++->⎧⎪=⎨-++≤⎪⎩x a x x f x x ax a x 的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是 .二、选择题（每题3分，满分12分，每题有且只有一个正确选项，选出正确选项） 13. 图1中的图象所表示的函数的解析式为 （ ）A. |1|23-=x y (02x ≤≤) B. |1|2323--=x y ( 02x ≤≤)C.|1|23--=x y (02x ≤≤)D. |1|1--=x y (02x ≤≤)14. 条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的 （ ） A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15.已知0x 是函数()1()20xf x x x=->的零点，则 （ ） A. ()02,3x ∈ B. ()01,2x ∈ C. ()00,1x ∈ D. ()03,4x ∈ 16.角α是第四象限角，其终边与单位圆交点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭,把角α顺时针旋转2π得角β，则角β终边与单位圆焦点P '的坐标为 （ ）A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭ B.34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、解答题（本题共有5大题，满分52分，要写出解题的必要过程，没有过程不得分） 17. （本题8分）已知函数233()log 2log 2f x x a x .（1）当12a 时求不等式()0f x 的解； （4分） （2）当1,27x 时，()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围. （4分）图118. （本题8分）记函数421x f x x 定义域为A ，g x x a 定义域为B.（1）求A ，B ；（4分）（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. （4分）19. （本题10分）设sin cos .P a b c θθ=++（1）若2,1P a b c ====，求出满足条件的角θ的解集；（4分）（2）当1a b ==时，若存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在R 均有解，求实数c 的取值范围. （6分）20. （本题12分）为了预防新冠病毒，我校对教室每天用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图2所示．（1） 求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（6分）（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经多少小时后，学生才能回到教室．（6分）21.（本题满分14分）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数．（1）若(f x ()f x 的值域；（4分）（2）若[]()1224()1log ,,04214x x x f x D t t t x +-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；（4分）（3）若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()1()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式（6分）（毫克）（小时）2建平中学2022学年第一学期期末考试高一数学学科说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一、填空题（每题3分，满分36分）1.函数y =的定义域为 ． 【答案】[)()1,22+∞，2.不等式11x>的解集为_______________． 【答案】()0,1 3. 已知偶函数()()y f x x R =∈，当0x >时()1f x x =-，则()1f -=__________．【答案】04.函数2cos sin y x x =-的最小值为___________．【答案】5. 已知全集R U=，集合{}2,x A y y x R ==∈，则A =_______________．【答案】(],0-∞6. 已知tan 2θ=-，则sin cos θθ=___________． 【答案】25-7. 已知54x >，则1445x x +-的取值范围是___ ___. 【答案】[)7,+∞8.已知0βπ<<，若将角β的终边顺时针旋转23π所得的角的终边与角3β的终边重合．则角β=____________.【答案】23π 9. 已知幂函数223()n n y x n Z --=∈的图像与两坐标轴均无公共点，且其图像关于y 轴对称，则n 的值为_____________． 【答案】-1或1或310. 已知tan 2α=，tan 3β=，30,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则αβ+=______________． 【答案】74π 11.已知A 为锐角，()1lg 1cos ,lg 1cos ⎛⎫+==⎪-⎝⎭A m n A ，则lgsin A 可用,m n 表示为______. 【答案】2m n- 12.已知R a ∈，函数2|||2| , 0,()11, 02++->⎧⎪=⎨-++≤⎪⎩x a x x f x x ax a x 的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是 .【答案】233⎧-⎨⎩， 二、选择题（每题3分，满分12分）13. 图中的图象所表示的函数的解析式为 （ ）BA. |1|23-=x y (02x ≤≤)B. |1|2323--=x y ( 02x ≤≤)C.|1|23--=x y (02x ≤≤) D. |1|1--=x y (02x ≤≤)14. 条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的 （ ）B A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15.已知0x 是函数()1()20xf x x x=->的零点，则 （ ）C A. ()02,3x ∈ B. ()01,2x ∈ C. ()00,1x ∈ D. ()03,4x ∈ 16.角α是第四象限角，其终边与单位圆交点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭,把角α顺时针旋转2π得角β，则角β终边与单位圆焦点P '的坐标为 （ ）BA ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭ B.34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、解答题（本题共有5大题，满分52分） 17. （本题8分）已知函数233()log 2log 2f x x a x .（1）当12a 时求不等式()0f x 的解； （4分） （2）当1,27x 时，()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围. （4分） 解：（1）23333log log 20log 2log 10x x x x ┅1分2133332log 1log 3log log 3x x┅2分1,39x┅1分 （2）223333log 2log 232log log 1x a x a xx因为1,27x时3log 0x ，所以3312log log axx对1,27x 恒成立 ┅1分令3log 0,3tx，所以12a t t对0,3t 恒成立，所有min12a tt┅1分因为函数1y tt在区间0,1上是严格减函数，在区间1,3上是严格增函数， 所以当1t 即3x 时，min12t t， ┅1分所以221aa . ┅1分18. （本题8分）记函数421x f x x 定义域为A ，g x x a 定义域为B.（1）求A ，B ；（4分）（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. （4分）解：（1）4222111x x x x x x 或即A=(,1)[2,)-∞-+∞ ┅1分由120120x a a x x a x a1)121:a a a -=⇒=- 220x x不成立， ┅1分2)121:(2,1)a a a B a a ->⇒<-=-， ┅1分)3()1:1,2a B a a >-=- ┅1分（2）由A B ⊆得1） 112211a a a a <-⎧⇒<-⎨≥-≤-⎩或 ┅2分2）111312212a a a a a >-⎧⇒-<≤-≥⎨-≥≤-⎩或或 ┅ 1分综上()[)1,11,3,2a ⎛⎤∈-∞---+∞ ⎥⎝⎦ ┅1分19. （本题10分）设sin cos .P a b c θθ=++（1）若2,1P a b c ====，求出满足条件的角θ的解集；（4分）（2）当1a b ==时，若存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在R 均有解，求实数c 的取值范围. （6分）解：（1）由题2sin cos 1sin cos 1sin sin 424ππθθθθθ⎛⎫=++⇒+=⇒+== ⎪⎝⎭┅1分 ()1,44kk k Z ππθπ⇒+=+-∈ ┅2分22+,2k k k Z πθπθπ⇒==∈或=22+,2k k k Z πθθθπθπ⎧⎫⇒∈=∈⎨⎬⎩⎭或 ┅1分（2）cos =2sin ++6P c c πθθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22sin ++222sin +22sin +666c c πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤≤⇒--≤≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对θ在R 上均有实数解，所以minmax 22sin +22sin +66c ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤≤- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ┅1分因为sin +16πθ⎛⎫= ⎪⎝⎭时min 22sin +46πθ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ┅2分 sin +16πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时max 22sin +46πθ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ┅2分所以44c -≤≤. ┅1分20.（本题12消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116t ay-⎛⎫= ⎪⎝⎭（a为常数），如图所示．（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（6分）（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经多少小时后，学生才能回到教室．（6分）解：（1）由题意和图示可知，当00.1t≤≤时，可设y kt=（k为待定系数），由于点()01,1.在直线上，10k∴=；┅2分同理，当0.1t>时，可得0.11110.101610aa a-⎛⎫=⇒-=⇒=⎪⎝⎭┅2分所以[]()10,0,0.11,0.1,16t ax xyx-⎧∈⎪=⎨⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩┅2分（2）由题意可得10.254y≤=，即得110400.1tt⎧≤⎪⎨⎪≤≤⎩或110111640.1tt-⎧⎛⎫⎪≤⎪⎨⎝⎭⎪>⎩┅2分140t⇒≤≤或0.6t≥，┅2分由题意知至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．┅2分21.（本题满分14分）已知函数()f x在定义域D上是严格增函数．（1）若(f x()f x的值域；（4分）（2）若[]()1224()1log,,04214xxxf x D t t tx+-=++=-<<++的值域为[],m n，求m n+的值；（4分）（3）若()0,D=+∞，且对定义域D内任意自变量x均有()1()1f x f f xx⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭成立，试求()f x的解析式（6分）（毫克）解：（1）[]220 D=1,110x x +≥⎧⇒-⎨-≥⎩ ┅2分 因为()f x 在[]D=1,1-上严格增，所以()()1()1f f x f -≤≤， 因为()()112f f -==，所以()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦. ┅2分（2）令()12212222()1()121()121212121x x x x x x h x h x h x ++-=-⇒=-=--⇒=-++++， 因为[],D t t =-是对称区间，任取D 内自变量x ，()122()112121x x x h x h x -+--=-=-=-++ 所以()h x 是奇函数，又函数[]()24log ,,044xy x t t t x-=∈-<<+也是奇函数，┅2分 所以函数[]()1224log 1,,04214x x xy D t t t x+-=+-=-<<++是奇函数，其图像关于原点对称， 而1224()1log 214x x xf x x+-=++++图像是由1224log 1214x x x y x +-=+-++的图像向上平移2个单位得到，所以1224()1log 214x xxf x x+-=++++的图像关于点()0,2对称，所以4m n +=.┅2分 （3）设()f x t =，则11t f t x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭设()()111t k tf k f k x t+=⇒=⇒=， ┅2分 又()111111()11f k f f k f f t k t t k t k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+=⇒+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()111f t f x t t x ⎛⎫⎪+== ⎪ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()()211101x tx tx t t x+=⇒--=+ ┅2分解方程得()tx t f x =⇒==又因为()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()()0,f x x =∈+∞. ┅2分。
上海市上海中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_10
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上.2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算法则进行计算可得答案.【详解】解：由集合，，可得，故选:B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，相对简单.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的性质列出关于x的不等式，求解可得答案.【详解】解：由题意得：,解得：，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域，是基础题.3.（）A. B. - C. D.【答案】C【解析】试题分析：，答案选C．考点：诱导公式4.已知函数，若，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数值的求解方法，对与两种情况求解，可得答案.【详解】解：若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，综上可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数核心.5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，的图象如图所示，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由时，的图象可得,的取值范围，由是定义在上的偶函数，可得函数的值域.【详解】解：由时的图象，可得当，，由是定义在上的偶函数，可得当，，综合可得，的值域是，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型.6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出的取值范围可得到结论.【详解】解：由题意得：，，故，，故可得：，故选:C.【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键.8.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，，求出的取值范围，可得答案.【详解】解：由，由得单调递减区间为，可得，，解得：，故函数的单调递减区间是，故选：A.【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题.9.设，若，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式与函数之间的关系，设，利用二次函数图像和性质可得结论.【详解】解：设，,由，可得：若,则，即：，可得；若，则，即,即：，综上可得：，故选：D.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得其对称轴为,分与进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案.【详解】解：由题意得：设，可得其对称轴为；当时，由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，可得：，解得：，当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且，可得：，解得：，综上可得：或故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得,可得的取值范围将，代入可得关于的二次函数，由二次函数性质可得答案.【详解】解：由，可得，由，，可得，可得：，当时，的最小值为，当时候，的最小值为，则的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12.设，，（）A. 若恒成立，则B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则恒成立【答案】C【分析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.【详解】解：由题意得：，易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，设，可得，可得，故，同理：若恒成立，则则恒成立，可得：，故，故选：C.【点睛】本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对进行化简是解题的关键.非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分.13.设全集，集合，，则______，_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】计算出集合，由集合的运算法则可得及的值.【详解】解：由集合，，可得，，，故答案为：；.【点睛】本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型.14.__________；_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.【详解】解：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是___________，弧田的面积是__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设弧所对的圆心角为,由弧长公式计算可得的值，计算可得弦的长，计算出扇形的面积及的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去的面积计算可得答案.【详解】解：设弧所对的圆心角为，由题意可得：，，,可得：，可得弧田的面积为扇形的面积减去的面积，可得：；故答案：；.【点睛】本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16.某种放射性元素原子数随时间的变化规律是，其中，是正的常数，当时，_______.【答案】【解析】【分析】将代入中计算可得t的值.【详解】解：由及，代入可得：，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17.已如函数，若，且在上是单调函数，则的最大值是__________.【答案】7【解析】【分析】由，且在上是单调函数，可得及，解之可得的最大值.【详解】解：由，且在上是单调函数，易得：，且，可得当时与均单调，可得，，同理，，综上可得：，即：，可得，故的最大值是7，故答案为：7.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18.已知函数则关于的方程的所有根的和的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】将化简为同时设，可得的函数解析式，可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】解：由可得：设，由函数的性质与图像可得，当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当时，，，当时，，，当时，，，此时所有根的和的最大值为：，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19.已知函数，若在上存在零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设设是方程的解，其中，由韦达定理列出关于的不等式组，可得实数的取值范围.【详解】解：设是方程的解，其中，可得：，可得，，其中，由二次函数性质可得，的对称轴为，可得，可得当时，最小，此时，，可得，当时，最大，此时，，可得，综上可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题：本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知，且是第三象限角，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案.【详解】解：(1)由，可得，即，可得，由是第三象限角，可得，故的值为;(2) ,代入，值，可得原式.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.【详解】解：(1)由函数是奇函数，可得：，即：，；（2）由(1)得：，任取,且，则，，，即：，，即在上是减函数；（3）是奇函数，不等式恒成立等价为恒成立，在上是减函数，,恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得，故的取值范围为：.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）利用函数的图像得，，可求出得值，代入点可得函数的解析式；（2）当时，可得得取值范围，将化简列出不等式组可得实数的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：,,,由，，可得，所以(),代入点，可得，可得，故；(2) 当时,, ,由不等式有解，可得，，由，可得，可得，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23.已知函数，（1）当时，若且，证明：；（2）当时，若恒成立，求的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2)【解析】【分析】（1）将化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设，，由当时，若恒成立，列出关于的不等式组，可得的最大值.【详解】解：（1）由，可得，可得其对称轴，其对称轴为易得：设当时候，；当，由函数单调性可得不存在，且；当时，设关于的对称点为，则，易得与函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，可得，且此时，由，此时，综上可得：若且，（2）设，，由时，若恒成立，可得，可得，得①同理可得，可得，可得②得，可得的最大值为.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上.2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算法则进行计算可得答案.【详解】解：由集合，，可得，故选:B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，相对简单.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的性质列出关于x的不等式，求解可得答案.【详解】解：由题意得：,解得：，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域，是基础题.3.（）A. B. - C. D.【答案】C【解析】试题分析：，答案选C．考点：诱导公式4.已知函数，若，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数值的求解方法，对与两种情况求解，可得答案.【详解】解：若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，综上可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数核心. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，的图象如图所示，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由时，的图象可得,的取值范围，由是定义在上的偶函数，可得函数的值域.【详解】解：由时的图象，可得当，，由是定义在上的偶函数，可得当，，综合可得，的值域是，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型.6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出的取值范围可得到结论.【详解】解：由题意得：，，故，，故可得：，故选:C.【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键.8.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，，求出的取值范围，可得答案.【详解】解：由，由得单调递减区间为，可得，，解得：，故函数的单调递减区间是，故选：A.【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题.9.设，若，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式与函数之间的关系，设，利用二次函数图像和性质可得结论.【详解】解：设，,由，可得：若,则，即：，可得；若，则，即,即：，综上可得：，故选：D.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得其对称轴为,分与进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案.【详解】解：由题意得：设，可得其对称轴为；当时，由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，可得：，解得：，当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且，可得：，解得：，综上可得：或故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得,可得的取值范围将，代入可得关于的二次函数，由二次函数性质可得答案.【详解】解：由，可得，由，，可得，可得：，当时，的最小值为，当时候，的最小值为，则的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12.设，，（）A. 若恒成立，则B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则恒成立【答案】C【解析】【分析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.【详解】解：由题意得：，易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，设，可得，可得，故，同理：若恒成立，则则恒成立，可得：，故，故选：C.【点睛】本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对进行化简是解题的关键.非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分.13.设全集，集合，，则______，_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】计算出集合，由集合的运算法则可得及的值.【详解】解：由集合，，可得，，，故答案为：；.【点睛】本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型.14.__________；_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.【详解】解：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是___________，弧田的面积是__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设弧所对的圆心角为,由弧长公式计算可得的值，计算可得弦的长，计算出扇形的面积及的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去的面积计算可得答案.【详解】解：设弧所对的圆心角为，由题意可得：，，,可得：，可得弧田的面积为扇形的面积减去的面积，可得：；故答案：；.【点睛】本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16.某种放射性元素原子数随时间的变化规律是，其中，是正的常数，当时，_______.【答案】【解析】【分析】将代入中计算可得t的值.【详解】解：由及，代入可得：，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17.已如函数，若，且在上是单调函数，则的最大值是__________.【答案】7【解析】【分析】由，且在上是单调函数，可得及，解之可得的最大值.【详解】解：由，且在上是单调函数，易得：，且，可得当时与均单调，可得，，同理，，综上可得：，即：，可得，故的最大值是7，故答案为：7.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18.已知函数则关于的方程的所有根的和的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】将化简为同时设，可得的函数解析式，可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】解：由可得：设，由函数的性质与图像可得，当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当时，，，当时，，，当时，，，此时所有根的和的最大值为：，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19.已知函数，若在上存在零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设设是方程的解，其中，由韦达定理列出关于的不等式组，可得实数的取值范围.【详解】解：设是方程的解，其中，可得：，可得，，其中，由二次函数性质可得，的对称轴为，可得，可得当时，最小，此时，，可得，当时，最大，此时，，可得，综上可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题：本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知，且是第三象限角，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案.【详解】解：(1)由，可得，即，可得，由是第三象限角，可得，故的值为;(2) ,代入，值，可得原式.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.【详解】解：(1)由函数是奇函数，可得：，即：，；（2）由(1)得：，任取,且，则，，，即：，，即在上是减函数；（3）是奇函数，不等式恒成立等价为恒成立，在上是减函数，,恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得，故的取值范围为：.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）利用函数的图像得，，可求出得值，代入点可得函数的解析式；（2）当时，可得得取值范围，将化简列出不等式组可得实数的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：,,,由，，可得，所以(),代入点，可得，可得，故；(2) 当时,, ,由不等式有解，可得，，由，可得，可得，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23.已知函数，（1）当时，若且，证明：；（2）当时，若恒成立，求的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2)【解析】【分析】（1）将化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设，，由当时，若恒成立，列出关于的不等式组，可得的最大值.【详解】解：（1）由，可得，可得其对称轴，其对称轴为易得：设当时候，；当，由函数单调性可得不存在，且；当时，设关于的对称点为，则，易得与函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，可得，且此时，由，此时，综上可得：若且，（2）设，，由时，若恒成立，可得，可得，得①同理可得，可得，可得②得，可得的最大值为.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷附答案解析
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝．2．（3分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题．3．（3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c 的值为．4．（3分）设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）＝2，则f﹣1（﹣2）＝．5．（3分）已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x1f（x）1则不等式f（|x|）≤2的解集是．6．（3分）函数的值域是．7．（3分）已知当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，则函数y＝的单调增区间是．8．（3分）乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．9．（3分）已知a∈R且，则关于x的不等式的解集为．10．（3分）已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．11．（3分）若不等式x2＜5﹣|6﹣xt|对于恒成立，则实数t的取值范围是．12．（3分）设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为．二.选择题13．（3分）设M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（）A．M＝P B．M⫋PC．P⫋M D．M与P没有公共元素14．（3分）函数y＝﹣1（x≤0）的反函数是（）A．y＝（x≥﹣1）B．y＝﹣（x≥﹣1）C．y＝（x≥0）D．y＝﹣（x≥0）15．（3分）设函数f（x）的定义域为R，有下列四个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，且对称中心为（﹣1，1）；（3）若对任意x∈R，有f（x﹣1）﹣f（3﹣x）＝0，则f（x）图象是轴对称图形，且对称轴为x＝1；（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（x）+f（4﹣x）＝0；这些命题中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）三.解答题17．解下列方程：（1）22x＝2x﹣1；。
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设2*M {x |x a 1,a N }==+∈，2*P {y |y b 4b 5,b N }==-+∈，则下列关系正确的是( ) A ．M P = B ．M PC ．P MD ．M 与P 没有公共元素 【答案】B【解析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果． 【详解】2*M {x |x a 1,a N }{2,==+∈=5，10}⋯， 22**P {y |y b 4b 5(b 2)1,b N }N ==-+=-+∈=，所以M P ． 故选B ． 【点睛】本题考查集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考查计算能力.2．函数()10y x =≤的反函数是（ ）A ．)1y x =≥-B ．)1y x =≥-C ．)0y x =≥D ．)0y x =≥【答案】B【解析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求()10y x =≤的反函数；【详解】()10y x =≤，知：值域为[1,)-+∞且x =∴其反函数为)1y x =≥-；故选：B 【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；3．设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意x ∈R ，有()()220f x f x +-+=，则()f x 图象是中心对称图形，且对称中心为()1,1-；（3）若对任意x ∈R ，有()()130f x f x ---=，则()f x 图象是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知()2y f x =-是R 上的奇函数，则()()40f x f x +-=. 这些命题中，真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】（1）直接利用函数的最值的应用求出结果；（2）利用函数的对称性的应用求出结果；（3）根据函数的对称轴方程的应用求出结果；（4）根据函数的奇偶性的应用求出结果． 【详解】（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，必须满足()0f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值，故（1）错误；（2）若对任意x ∈R ，有()()220f x f x +-+=，则()f x 图象是中心对称图形，整理得()()22f x f x +-=-则函数关于()1,1-对称，故（2）错误；（3）若对任意x ∈R ，有()()130f x f x ---=，整理得()()2f x f x =-，则()f x 图象是轴对称图形，且对称轴为1x =；故（3）正确；（4）已知()2y f x =-是R 上的奇函数，则()()22f x f x --=--，整理得()()()()22040f x f x f x f x --+-=⇒+--=，所以整理得不到()()40f x f x +-=，故（4）错误．故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的性质，包括最值，奇偶性，对称性.属于中档题. 4．已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，()1122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，()11x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()()1,00,-+∞B ．()()2,00,-+∞C ．()1ln 2,10,2⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,00,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用()f x 为奇函数及已知区间解析式求出()f x 在x ∈R 上分段函数的表示形式，由()()f x m f x +>有解，即0x R ∃∈使()()00f x m f x +>即可，结合函数图象分析即可得m 的取值范围； 【详解】若[]1,0x ∈-，即[]0,1x -∈，则()11121222f x x x -=---=-+； ∵()f x 是奇函数， ∴()()1122f x x f x -=-+=-，则()1212f x x =+-，[]1,0x ∈-； 同理，若[)1,x ∈+∞，即(],1x -∈-∞-，则()()11xf x e f x -+-=-=-，有()11x f x e -+=-，[)1,x ∈+∞；综上，有111,112||1,102()112||,0121,1x xe x x xf x x x ex ---+⎧-≤-⎪⎪+--≤≤⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎪-≥⎩作出函数()f x 的图象如图：1、当0m >时，()f x m +是()f x 的图象向左平移m 个单位，即如下图此时()()f x m f x +>有解，满足条件.2、当0m <时，()f x m +是()f x 的图象向右平移m 个单位，即如下图当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，()1x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，得ln 21x =+，此时ln 21111y e+-=-=，即切点坐标为()1ln 2,1+；设切线方程为()2y x a =-，此时()121ln 2a =+-，得1ln 22a =+； ∴当10ln 22m <-<+时，满足题设条件，解之得：1ln 202m --<<； 综上，有1ln 202m --<<或0m >，即m 的取值范围是()1ln 2,00,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭；故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式，并利用函数不等式能成立，结合函数图象分析边界情况，利用导数求边界值，进而得到参数范围；二、填空题5．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B y y x x A ==∈，则B =_______， 【答案】{}2,4,6【解析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件，求出对应的元素即可 【详解】因为{}2,B y y x x A ==∈，当1x =时，2y =；当2x =时，4y =；当3x =时，6y = 故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6 【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键 6．写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题______． 【答案】若22am bm ≥，则a b ≥ 【解析】根据否命题的定义即可求出． 【详解】命题“若22am bm <，则a b <”的否命题为若22am bm ≥，则a b ≥， 故答案为若22am bm ≥，则a b ≥ 【点睛】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题. 7．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 【答案】72【解析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到b 和c 的值，得到答案. 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-，由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 【点睛】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.8．设函数()f x 的图象关于原点对称，且存在反函数1()f x -. 若已知(4)2f =，则1(2)f --= .【答案】-4【解析】由图象关于原点对称得此函数是奇函数，结合题意和奇函数的定义得到()42f -=-，从而可得()124f --=-.【详解】函数()f x 的图象关于原点对称，∴此函数在定义域上是奇函数，()()42,42f f =∴-=-，由于存在反函数()1f x -，则()124f --=-，故答案为4-.【点睛】本题考査了奇函数的对称性以及反函数的性质的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.9．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________． 【答案】[–4，4]【解析】由表中数据知2＝12a⎛⎫⎪⎝⎭，∴α＝12，∴f(x)＝12x ，∴|x|12≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4,故填{x|－4≤x≤4}.10．函数()f x =______. 【答案】(],ln 2-∞【解析】求出函数定义域，然后先求得232x x --的取值范围，利用二次根式的性质，对数函数性质得函数值域． 【详解】由2032x x -->得31x -<<，定义域为(3,1)-2232(1)4x x x --=-++，∴当31x -<<时，20324x x <--≤，02<≤，∴ln 2≤． 故答案为：(,ln 2]-∞． 【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，解题方法是先求出函数定义域，在定义域内求出内层函数的取值范围，再由对数函数性质得结论． 11．已知当0x >时，函数()()1210,2xf x a a a ⎛⎫=->≠⎪⎝⎭的值总大于1，则函数22x x y a -=的单调增区间是______.【答案】(],1-∞【解析】利用指数函数的性质求得1a >，再利用复合函数的单调性判断确定22x x y a -=的单调增区间即可 【详解】∵当0x >时，函数()()1210,2xf x a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭的值总大于1； ∴211a ->，即1a >；若令ty a =，22t x x =-，易知：函数ty a =单调递增，22t x x =-在(,1]x ∈-∞单调递增，[1,)x ∈+∞单调递减；∴在(,1]x ∈-∞上22x x y a -=单调递增； 故答案为：(,1]-∞【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，利用指数函数的性质及复合函数的单调性判断求单调区间12．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C .已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为______吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大.【答案】23【解析】根据图象写出函数解析式25200,020*******,2040x x W x x x <≤⎧=⎨-≤≤⎩，结合一次函数、二次函数的最值求法确定采购量为何值时利润W 最大即可； 【详解】由题意，可得y 与x 函数解析式为8000,02012000200,2040x y x x <≤⎧=⎨-≤≤⎩；又由(2800)W x y =-，知：25200,0209200200,2040x x W x x x <≤⎧=⎨-≤≤⎩； ∴在020x <≤时，20x有max 104000W =元；在2040x ≤≤时，23x =有max 105800W =元； ∴采购量为23吨时，所获的利润W 最大； 故答案为：23 【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据函数图象写出解析式，利用求函数最值的方法确定自变量取值即可； 13．已知a R ∈且11a>，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______. 【答案】()2,3 【解析】先由a R ∈且11a>，得到01a <<，利用对数函数的单调性，将不等式()2log 570a x x -+> ，转化为22570571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩求解.【详解】 因为a R ∈且11a>， 所以01a <<，log ay x =在 ()0,∞+上递减，因为不等式()2log 570log 1a a x x -+>= ，所以22570571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，即 22570560x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得 23x <<，所以不等式的解集是()2,3， 故答案为：()2,3 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3,4,5,6A =，值域为{}7,8,9B =，且对任意的x y <，恒有()()f x f y ≤，则满足条件的不同函数共有______个.【答案】10【解析】利用列举法把所有满足题意的情况全部列举出来即可得出结果. 【详解】 由题意得：当1,2,3,4对应7时，5对应8，6对应9共一种情况；当1,2,3对应7时，4对应8，5对应8或9，6对应9共两种情况； 当1,2对应7时，3,4对应8，5对应8或9，6对应9共两种情况； 当1,2对应7时，3对应8，4,5,6对应9共一种情况；当1对应7时，2,3,4对应8，5对应8或9，6对应9共两种情况； 当1对应7时，2,3对应8，4,5,6对应9共一种情况； 当1对应7时，2对应8，3,4,5,6对应9共一种情况； 综上：满足题意的函数共有10个；故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了利用函数的概念求解函数的个数.属于较易题.15．若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】57,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可. 【详解】由256x xt <--，得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-，则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()211f x x xt =+-，则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩；令()21g x x xt =-+，则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩；综上：5722t <<. 故答案为：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题. 16．设a ，b ，c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为______.【答案】3【解析】由2bc a b c a ++=得到22a abc b a+=-，代入393a b c +转化为39393132ab b cb a b a a=+++-，令bx a=，2x >，得到()()13332722x f x x x x x +=+=-++--，利用基本不等式求解. 【详解】 因为2bca b c a++=， 所以2,202a abc b a b a+=->-，所以23939393933132232aa b a b b a ab b cb b a b a a b ab a a===++++++--+-， 令2bx a=>，所以 ()()133********x f x x x x x +=+=-++≥=--， 当且仅当()3322x x -=-，即3x =时，取等号， 所以39393313a b c ≤=+ 所以393a b c+的最大值为3故答案为：3 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.三、解答题 17．解下列方程： （1）2122x x -=；（2）()()239log log 32x x +=.【答案】（1）1x =-；（2）9x =或3x =. 【解析】（1）根据指数性质化简方程，解得结果；（2）先转化为关于3log x 一元二次方程，解得3log x ，再根据对数方程得结果. 【详解】（1）∵2122x x -=，∴21x x =-，∴1x =-.（2）解：令3log t x =.∴原等式为211222t t ++=. ∴()()2232310t t t t +-=+-=∴32t =-或1t =.∴9x =或3x =. 【点睛】本题考查简单指数方程、对数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.18．设函数()()lg 23f x x =-的定义域为集合M ，函数()g x =的定义域为集合N .求： （1）集合M ，RN ；（2）集合M N ⋂，()RM N .【答案】（1）3,2M ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，[)1,3R N =；（2）[)3,M N =+∞，()31,2R MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）根据函数定义域应满足的不等式，通过解不等式求得M ，N ，利用补集的运算求RN 即可；（2）根据集合的交并集与补集运算的定义求解． 【详解】（1）集合M ：由230x ->，得32x > ， 所以32M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭；集合N ：由210110x x ⎧-≥⎪-⎨⎪-≠⎩，得3x ≥或1x <， 所以[)1,3RN =；（2）由（1），得[)3,MN =+∞，()3,1,2MN ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭，故()31,2R MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了求函数的定义域以及不等式的解法，考查了集合的交并集与补集运算，求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．属于较易题.19．已知函数()()1log 10,122m x f x m m ⎛⎫=++>≠⎪⎝⎭的图象恒经过与m 无关的定点A ，（1）求点A 的坐标；（2）若偶函数()2g x ax bx c =+-，[]12,x c c ∈-的图象过点A ，求a ，b ，c 的值.【答案】（1）()1,1；（2）2a =，0b =，1c =. 【解析】（1）利用对数函数过定点()1,0，令1122x +=求解. （2）根据()g x 为偶函数，由定义域关于原点对称和()()11g g =-求解. 【详解】（1）因为()()1log 10,122m x f x m m ⎛⎫=++>≠ ⎪⎝⎭， 令1122x +=，解得1x =， 此时1y =， 所以定点为()1,1A .（2）∵偶函数定义域应关于原点对称. ∴120c c -+=.∴1c =.∵()g x 为偶函数. ∴()()11g g =-. ∴0b =.∴()21g x ax =-.∵()g x 过()1,1A . ∴()111g a =-=. ∴2a =.综上所述，2a =，0b =，1c =. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质和奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 20．已知()()x x mf x e m R e=-∈是定义在[]1,1-上的奇函数. （1）求实数m 的值；（2）求证：()f x 在[]1,1-上是单调递减函数； （3）若()()2120f a f a-+≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）122a ≤≤【解析】（1）根据奇函数性质得()00=f ，代入求实数m 的值； （2）根据单调性定义证明；（3）根据单调性与奇偶性化简不等式，再解一元二次不等式得结果. 【详解】（1）因为()()xx m f x e m R e =-∈是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()001011mf m =∴-=∴=当1m =时()()111,(),x x xx x x f x e f x e e f x e e e--=-∴-=-=-=-所以1m =；（2）设12,x x 为[]1,1-上任意两数，且12x x < 所以()()1212121212111()(1)x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e -=-+-=-++ 因为12x x <，所以120x x e e <<∴()()12f x f x >即()f x 在[]1,1-上是单调递减函数；（3）因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是单调递减函数；()()()()()()2221202121f a f a f a f a f a f a -+≤∴≤--∴≤-所以21211a a ≥≥-≥-，211122a a a a a ⎧⎪≤⎪⎪∴≥≤-∴≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩或【点睛】本题考查奇偶性、单调性证明、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.21．设()f x 是定义在0,1上的函数，若存在()*0,1x ∈使得()f x 在*0,x ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在*,1x ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则称()f x 为0,1上的单峰函数，*x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.（1）判断下列函数是否为单峰函数： ①()241x f x x =+，[]0,1x ∈；②()212x x f x -+=，[]0,1x ∈；③()121log 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈； ④()414f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈. 对任意的0,1上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度l （区间长度l 等于区间的右端点与左端点之差）.（2）证明：对任意的1x ，()20,1x ∈，12x x <，若()()12f x f x ≥，则()20,x 为含峰区间；若()()12f x f x ≤，则()1,1x 含峰区间；（3）对给定的()00.5r r <<，证明：存在1x ，()20,1x ∈，满足212x x r -≥，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +.【答案】（1）()241xf x x =+、()121log 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是单峰函数，()212x x f x -+=、()414f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不是单峰函数；（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】（1）根据单峰函数的定义判断各函数是否符合条件即可；（2）利用单峰函数在*0,x ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在*,1x ⎡⎤⎣⎦上单调递减，应用反证方法即可证明结论；（3）当212x x r -≥，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +成立，证明存在1x ，()20,1x ∈即可；【详解】 （1）()241x f x x =+在1[0,]2上单调递增，在1[,1]2上单调递减，是单峰函数；()212xx f x -+=在1[0,]2上单调递减，在1[,1]2上单调递增，不是单峰函数；()121log 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1[0,]3上单调递增，在1[,1]3上单调递减，是单峰函数；()414f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在1[0,]4上单调递减，在1[,1]4上单调递增，不是单峰函数；（2）对任意的1x ，()20,1x ∈，12x x <： 若()()12f x f x ≥时，2121()()0f x f x x x -≤-，由单峰函数的定义知：若21,x x 都在*0,x ⎡⎤⎣⎦上不符合递增定义，所以必有*2x x >，即 ()20,x 为含峰区间； 若()()12f x f x ≤时，2121()()0f x f x x x -≥-，同理若21,x x 都在*,1x ⎡⎤⎣⎦上不符合递减定义，所以必有*1x x <，即 ()1,1x 为含峰区间；∴综上，对任意的1x ，()20,1x ∈，12x x <，若()()12f x f x ≥，则()20,x 为含峰区间；若()()12f x f x ≤，则()1,1x 含峰区间，得证（3）由（2）的结论可知：当()()12f x f x ≥时，含峰区间的长度为2l x =；当()()12f x f x ≤时，含峰区间的长度为11l x '=-.由题意得210.510.5x rx r ≤+⎧⎨-≤+⎩①，即可得212x x r -≤，而212x x r -≥，所以212x x r -=②；将②代入①得120.5,0.5x r x r ≤-≥+③，再由①和③得：12110.5(0,),0.5(,1)22x r x r =-∈=+∈；∴此时含峰区间的长度0.5l l r '==+，即存在1x ，()20,1x ∈使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +. 【点睛】本题考查了函数知识迁移应用，根据单峰函数的定义确定函数是否为单峰函数，利用反证法结合单峰函数的单调性证明是否为含峰区间，应用不等式关系证明存在性问题；。
2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，{3,4}B =，则()U A B =U ð( ) A ．{2,3,4,5} B ．{1,3,4,5}C ．{1,2,3,5}D ．{1,2,3,4}答案：C[解析]∵{1,2,3,4,5}U =，{3,4}B =，∴{1,2,5}U B =ð， ∴()U A B =U ð{1,2,3,5}. 故选：C.2．计算tan 210︒的值为( )A B ．C D ．答案：C[解析]∵tan 210tan (183)030tan 0︒=︒+︒=︒=. 故选：C.3．已知扇形的弧长是6，半径为3，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2C ．12或2 D ．12答案：B [解析]∵||l r α=，∴6||23l r α===. 故选：B.4．函数()ln(1)f x x =+的定义域为( ) A ．[1,1]- B ．(1,1)-C ．[1,1)-D ．(]1,1-答案：D[解析]∵10,(1,1]10,x x x -≥⎧⇒∈-⎨+>⎩. ∴函数的定义域为(]1,1-. 故选：D.5．若幂函数()af x kx =的图象过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则k α+值是( )A ．32B ．12C ．12-D ．2答案：A[解析]由幂函数()a f x kx =，∴1k =，∵函数过点12⎛ ⎝⎭11)2(2αα=⇒=， ∴32k α+=. 故选：A.6．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．答案：A[解析]试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.7．定义在R 上的函数cos ,0()(π),0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩则13π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12B C ． D ．12-答案：D[解析]∵0x >时，()()f x f x π=-，∴1314cos()cos 3333332ππ2π2ππππf f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.8．已知函数21()ln(||1)2f x x x =-++，不等式(2)(2)f x f +≤-的解集是( ) A ．[4,0]- B ．[0,)+∞C ．(,4]-∞-D ．[0,)(,4]+∞⋃-∞- 答案：D[解析]∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且21()ln(||1)()()2f x x f x x -=--+=-+，∴()f x 为偶函数，∴(2)(2)(|2|)(2)f x f f x f +≤-⇔+≤， ∵212x +在[0,)+∞递减，ln(||1)x -+在[0,)+∞递减， ∴()f x 在[0,)+∞递减，∴|2|2x +≥22x ⇒+≥或22x +≤-，即[0,)(,4]x ∈+∞⋃-∞-. 故选：D. 二、多选题9．已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是( ) A ．(3)9f = B ．(3)4f -=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+答案：BD[解析]令1212t t x x +=-⇒=，∴221()4()(1)2t f t t +==+. ∴2(3)16,(3)4,()(1)f f f x x =-==+.故选：BD.10．已知集合[2,5)A =，(,)B a =+∞.若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3- B ．1 C ．2 D ．5答案：AB[解析]∵A B ⊆，∴2a <， ∴a 可能取3,1-； 故选：AB.11．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=u u u r u u u r u u u r rB ．()()0OA AF EF DC -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u rC ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rD ．||||OF OD FA OD CB +=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r答案：BC[解析]对A ，2OA OC OB OB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，EF DC EF EO OF -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-ou u u r u u u r ，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=o u u u r u u u r ， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1122BC OA ⇔-=u u ur u u u r ，式子显然成立，故C 正确；对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==u u u r u u u r u u u r，||||||||FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故D 错误；故选：BC.12．已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<部分自变量､函数值如下表所示，下列结论正确的是( )A ．函数解析式为5π()3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =-C ．5π,212⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数 答案：BCD[解析]由表格的第1、2列可得：022,53A B B A B A ⨯+=⇒=+=⇒=，由表格的第4、5列可得：7πππ2ππ241234T ωω=-=⇒=⇒=， ∴π3π5π2326ϕϕ⋅+=⇒=，∴5π()3sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 错误； 令5π()3sin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵2π4π5π()3sin 3336g ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭， ∴2π3x =-是函数()g x 图象的一条对称轴，即为()f x 的一条对称轴，故B 正确； ∵5π56π5π()3sin 0126g ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，∴5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心， ∴5π,212⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，故C 正确； ∵函数()f x 的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位所得的函数为， ∴)12π5π3sin 2(223sin 26y x x ⎛⎫=+++-=- ⎪⎝⎭为奇函数，故D 正确； 故选：BCD. 三、填空题13．已知向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，且//a b r r，则实数x 的值是________. 答案：4-[解析]∵//a b r r，∴(1)224x x ⋅-=⋅⇒=-.故答案为：4-.14．计算10.532771lg 252lg12594-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是________. 答案：2[解析]原式1133225355lg100225933⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2. 15．若方程π3sin 265x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,π)上的解为12x x 、，且12x x >，则()12sin x x -=________. 答案：45[解析]作出函数πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，如图所示， ∵12π3π3sin 2,sin 26565x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12π23x x +=，则122π3x x =-， ∴()2222122ππsin sin sin cos 36ππ6222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===⎪ --+⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝-⎭⎭-∵23sin 25π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且22ππππ023662x x <<⇒-<-<， ∴2πcos 2645x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∴()124sin 5x x -=. 故答案为：45.16．已知函数232,1,()2(1), 1.x x f x a x a x ⎧--+≥⎪=⎨⎪--<⎩若函数1()()2g x f x =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案：1(,1]2-[解析]函数1()()2g x f x =-的零点等价于方程1()2f x =的根， 当31221122x x x --+=⇒-=⇒=或3x =， ∵函数1()()2g x f x =-恰有2个零点，∴21(1)2a x a --=在1x <无解，即21(1)02a x a ---=在1x <无解，当10a -=，即1a =时，方程无解； 当10a ->，即1a >时，13(1)1022a a -⋅--=-<，∴方程21(1)02a x a ---=在1x <有解，故1a >不成立；当10a -<，即1a <时，若方程无解，则11022a a --<⇒-<，∴112a -<<， 综上所述：1(,1]2a ∈-.故答案为：1(,1]2-. 四、解答题17．已知在平面直角坐标系xoy 中，锐角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求sin 2cos sin cos αααα+-的值;(2)若π,02β⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且1sin()3αβ+=-，求cos β的值.解：(1)由题意知，43sin ,cos 55αα==， 故432sin 2cos 551043sin cos 55αααα+⨯+==--. (2)由ππ(,)22αβ+∈-，1sin()3αβ+=-，得cos()3αβ+===所以，cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+⋅++⋅314()535=+-⨯=18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A -，(1,0)B ，(,2)C k . (1)当3k =时，求||AB AC +u u u r u u u r的值;(2)是否存在实数k ，使AB u u u r 与AC u u u r的夹角为45︒?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由解：∵(1,1),(2,3)AB AC k =-=-u u u v u u u v，(1)当3k =时，(1,3)AC =u u u v ，(0,4)AB AC +=u u u v u u u v所以4AB AC +==u u u v u u u v(2)假设存在实数k ，满足AB u u u r 与AC u u u r的夹角为45︒. 因为(1)(2)135AB AC k k ⋅=-⨯-+⨯=-u u u v u u u v，又AB AC ===u u u r u u u r ,所以，cos45AB AC AB AC ⋅=⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r2=，解得2k =.所以存在实数2k =，使AB u u u r 与AC u u u r的夹角为45︒.19．如图，某正方形公园ABCD ，在ABD 区域内准备修建三角形花园BMN ，满足MN 与AB 平行(点N 在BD 上)，且2AB AD BM ===(单位:百米).设ABM θ∠=，BMN ∆的面积为S (单位:百米平方).(1)求S 关于θ的函数解析式(2)求S 的最大值，并求出取到最大值时θ的值. 解：(1)依题意得，π,4ABD CBD ∠=∠=延长MN 交BC 于点H . 因为//MN AB ，且四边形ABCD 为正方形， 所以NMB ABM θ∠=∠=，π4HNB CBD ∠=∠=. 在Rt BMH V中，sin 2sin .BH BM θθ== cos 2cos .MH BM θθ==在Rt BNH V中，因为π4HNB CBD ∠=∠=，所以2sin NH BH θ==. 所以2(cos sin )MN MH NH θθ=-=- 所以1π()2sin (cos sin )((0,)24S MN BH θθθθθ=⋅=-∈(2)由(1)得，()2sin (cos sin )S θθθθ=-sin 2(1cos 2)θθ=--sin2cos21θθ=+-)14πθ=+-因为4πθ∈(0，)，所以ππ32+)444πθ∈(，，所以当2+2π=4πθ，即π=8θ时，max ()1S θ=，答:()S θ1百米平方，此时8θπ=.20．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ︒∠=，4AB =，2AD CD ==，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥.(1)求AM BD ⋅u u u u r u u u r的值;(2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN MN ⋅u u u r u u u u r的最小值.解：(1)在梯形ABCD 中，因为AB CD ∥，2AB CD =，所以2AO OC =，=()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 23AC BD =⋅u u ur u u u r222=()()=()33AD DC AD AB AD DC AB +⋅--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 28(424)33=-⨯=-; (2)令=AM AB λu u u u r u u u r ，()AM BD AB BD AB AD AB λλ⋅=⋅=⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 28163AB λλ=-=-=-u u u r则16λ=，即1=6AM AB u u u u r u u u r，22()cos45AN MN AN AN AM AN AN AM AN AN AM ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯︒u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r221cos456AN AN AB AN =-⨯︒⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r令AN t =u u u r ，则0t ≤≤221(18AN MN t t ⋅==-u u u r u u u u r ，所以当AN =u u u r AN MN ⋅u u u r u u u u r 有最小值118-.21．已知函数2()(2)1f x x a x a =--++，()||g x x a =-，其中a ∈R . (1)若函数()f x 在[2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的最小值.解：(1)由222a -≤得6a ≤，所以a 的取值范围(,6]-∞; (2)2()(2)1||h x x a x a x a =--++--22(1)21,(3)1,x a x a x a x a x x a ⎧--++≥=⎨--+<⎩ ①若32a a -≤即3a ≤-， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+递减，且min ()()31h x h a a ==+，当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++最小值为2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 此时有2131(5)74a a +>--+，所以21()(5)74a a ϕ=--+;②若3122a a a --<<即31a -<<-时， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++在12a x -=时取得最小值为 2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 若21a -<<-，则2211(5)7(3)144a a --+>--+，此时21()(3)14a a ϕ=--+，若32a -<≤-，则2211(5)7(3)144a a --+≤--+，此时21()(5)74a a ϕ=--+; ③若12a a -≥即1a ≥-， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时，2()(1)21h x x a x a =--++递增()()31h x h a a >=+，此时有2131(1)14a a +>--+，所以21()(3)14a a ϕ=--+;综上，()()()22131,24157,24a a a a a ϕ⎧--+>-⎪⎪=⎨⎪--+≤-⎪⎩ 22．已知函数()2()log 21()xf x kx k =++∈R .(1)当0k =时，用定义证明函数()f x 在定义域上的单调性; (2)若函数()f x 是偶函数，(i)求k 的值;(ii)设211()log 2()22xg x a a x a ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪⎝⎭R ，若方程()()f x g x =只有一个解，求a 的取值范围.解：(1)当0k =时，函数2()log (21)x f x =+定义域为R ，任取12x x <，121222()()log (21)log (21)x x f x f x -=+-+12221log 21x x +=+，因为12x x <，所以1212(21)(21)220x x x x+-+=-<，所以1202121x x <+<+，12210121+<<+x x ，所以12221log 021+<+x x ，所以12()()f x f x <，故函数()f x 在R 上单调递增;(2)(i)因为函数()f x 是偶函数，所以22log (21)log (21)x x kx kx -+-=++，即2221log log (21)2x x xkx kx +-=++， 即22log (21)(1)log (21)x xk x kx +-+=++，所以(1)k x kx -+=恒成立， 所以12k =-; (ii)由题意得22111log (21)log (2)222x x x a a x +-=⋅-+， 所以2221log (21)log (2)log 22x x x a a +=⋅-+，所以121422x x x a a +=⋅-⋅，即14(1)2102x x a a ⋅-+⋅-=，设2x t =，则t 与x 一一对应，原方程化为21(1)102a t a t ⋅-+-=，设21()(1)12h t a t a t =⋅-+-，因为112=(2)022x x a a a ⋅-->，所以a 与122x -符号相同，①当0a >时，122x t =>，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(,)2+∞上只有一个正根，因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向上，(0)10h =-<，13()022h =-<，136(+)02h a a=>， 当0a >时，所以方程在1(,)2+∞上只有一个正根;②当0a <时，1022x t <=<，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(0,)2上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向下，(0)10h =-<，13()022h =-<，则2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩10a =-- 故当0a >或10a =--.。
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2019年上海市建平中学高一数学期末试卷一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.已知集合{}1,2,3A =，{}|2B y y x x A ==∈，，则B =．【答案】{}2,4,62.写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题．【答案】若22am bm ≥，则a b≥3.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是1(,2)(,)2∞-+∞ --，则b c +的值为．【答案】724.设函数()f x 的图象关于原点对称，且存在反函数1()f x -．若已知()4=2f ，则1(2)f --=．【答案】4-5.已知幂函数()f x 的部分对应值如下表：x112()f x 122则不等式(||)2f x 的解集是．【答案】[]4,4-6.函数2()ln 32f x x x =--的值域是．【答案】(,ln 2]-∞7.已知当0x >时，函数1()(21)(0,)2xf x a a a =->≠的值总大于1，则函数22x x y a -=的单调增区间是．【答案】(,1]-∞8.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点)C ．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大．【答案】239.已知a R ∈且11a>，则关于x 的不等式2log (57)0a x x -+>的解集为．【答案】2,3（）10.已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3,4,5,6A =，值域为{}7,8,9B =，且对任意的x y <，恒有()()f x f y ，则满足条件的不同函数共有个．【答案】1011.若不等式25|6|x xt <--对于1[,2]2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围是．【答案】57,22（）12.设,,a b c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为．【答案】3二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）13.设{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P y y b b b N *==-+∈，*}b N ∈，则下列关系正确的是().A ．M P =B ．M PÜC ．P M ÜD ．M 与P 没有公共元素【答案】B 14.函数()3210y x x =-≤的反函数是().A ．()3(1)1y x x =+≥-B ．()3(1)1y x x =-+≥-C ．()3(1)0y x x =+≥D ．()3(1)0y x x =-+≥【答案】B15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意R ∈x ，有()(2)20f x f x +-+=，则()f x 图像是中心对称图形，且对称中心为()1,1-；（3）若对任意R ∈x ，有(1)(3)0f x f x ---=，则()f x 图像是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知(2)y f x =-是R 上的奇函数，则()(4)0f x f x +-=.这些命题中，真命题的个数是().A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A16.已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，1()122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为().A ．(1,0)(0,)-+∞ B ．(2,0)(0,)-+∞ C ．1(ln 2,1)(0,)2---+∞ D ．1(ln 2,0)(0,)2--+∞ 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若[1x ∈-，0]，则[0x -∈，1]，则11()12||12||22f x x x -=---=-+，()f x 是奇函数，1()12||()2f x x f x ∴-=-+=-，则1()2||12f x x =+-，[1x ∈-，0]，若[1x ∈，)+∞，则(x -∈-∞，1]-，则1()1()x f x e f x -+-=-=-，则1()1x f x e -+=-，[1x ∈，)+∞，作出函数()f x 的图象如图：当0m >时，()f x m +的图象向左平移，此时()()f x m f x +>有解，满足条件．当0m <时，()f x m +的图象向右平移，当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，1()x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，即12x ln -=，得21x ln =+．此时121111211x ln y e e -+-=-=-=-=，即切点坐标为(12,1)ln +，设直线方程为2()y x a =-此时12(12)ln a =+-，即1122ln a =+-，得122a ln =+，1022m ln <-<+，得1202ln m --<<，综上1202ln m --<<或0m >综上m 的取值范围是1(22ln --，0)(0⋃，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结三．解答题（共5小题，满分48分）17．（7分）解下列方程：（1）2122xx -=．【答案】1x =-【解析】2122.xx -= 2 1.x x ∴=- 1.x ∴=-（2）239(log )log (3)2x x +=．解：令3log .t x =∴原等式为2112.22t t ++=∴223(23)(1)0.t t t t +-=+-=32t ∴=-或 1.t =39x ∴=或 3.x =18．（8分）设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数2()11g x x =--的定义域为集合N .求：（1）集合M ，R C N ；（2）集合N M ，()R C M N 。
【答案】（1）3(,)2M =+∞，[1,3)R C N =（2）[3,)M N =+∞ ，3()=[1,]2R C M N 19．（9分）已知函数1()log ()1(0,1)22m x f x m m =++>≠的图象恒经过与m 无关的定点A ，（1）求点A 的坐标（2）若偶函数[]2(),12,g x ax bx c x c c =+-∈-的图象过点A ，求,,a b c 的值．【答案】（1）(1,1).A （2）2,0, 1.a b c ===【解析】解：（1）(1,1).A （2） 偶函数定义域应关于原点对称.120. 1.c c c ∴-+=∴=()g x 为偶函数.()()1g 1.0.g b ∴=-∴=()2 1.g x ax ∴=-()g x 过(1,1).A ()11 1. 2.g a a ∴=-=∴=综上所述：2,0, 1.a b c ===20．（本小题满分12分）已知()()x x mf x e m R e=-∈是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求证：()f x 在[]1,1-上是单调递减函数；（3）若2(1)(2)0f a f a -+ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1m =（2）略（3）12[,]22a ∈【解析】（1）解：(0)10. 1.f m m =-=∴= （2）证：任取121 1.x x -≤<≤()()21122121111212221111()()()()=()+x x x x x x x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e e e e e e e--=---=-+--⋅21121=()(1)x x x x e e e e-+⋅121 1.x x -≤<≤ 211210,10.x x x x e e e e ∴->+>⋅()()()()12120..f x f x f x f x ∴->∴>∴()f x 在[]1,1-上是单调递减函数.（3）解：22(1)(2)(2).f a f a f a -≤-=- 221(,1][,)12211.(,2].2122[,]22a a a a a a a ⎧∈-∞-+∞⎪⎧-≥-⎪⎪⎪∴-≤∴∈-∞⎨⎨⎪⎪-≥-⎩⎪∈-⎪⎩ 12[,].22a ∴∈21．（本小题共12分）设)(x f 是定义在[]0,1上的函数，若存在*(0,1)x ∈使得)(x f 在0,x *⎡⎤⎣⎦上单调递增，在,1x *⎡⎤⎣⎦上单调递减，则称)(x f 为[]0,1上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.（1）判断下列函数是否为单峰函数：①()[]2,0,141x f x x x =∈+；②()[]212,0,1x x f x x -+=∈；③()[]121log (1),0,13f x x x =-+∈；④()[]41(),0,1.4f x x x =-∈对任意的[]0,1上的单峰函数)(x f ，下面研究缩短其含峰区间长度l （区间长度l 等于区间的右端点与左端点之差）.（2）证明：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 含峰区间；（3）对给定的()00.5r r <<，证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于0.5.r +【答案】（1）①③是；②④不是.（2）略（3）略【解析】（1）解：①③是；②④不是.（2）证：设'x 为()f x 的峰点,则由单峰函数定义可知,()f x 在[0,']x 上单调递增,在[',1]x 上单调递减.当12()()f x f x ≥时,假设2'(0,)x x ∉,则12',x x x <≤从而21(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≥矛盾,所以2'(0,)x x ∈,即2(0,)x 是含峰区间.当12()()f x f x ≤时,假设1'(,1)x x ∉,则12'x x x ≤<,从而12(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≤矛盾,所以1'(,1)x x ∈,即1(,1)x 是含峰区间.（3）证：由（2）的结论可知：当12()()f x f x ≥时,含峰区间的长度为12;l x =当12()()f x f x ≤时,含峰区间的长度为211.l x =-对于上述两种情况,由题意得210.510.5x rx r≤+⎧⎨-≤+⎩ ①由①得21112x x r +-≤+,即212.x x r -≤又因为212x x r -≥,所以212x x r -= ②将②代入①得120.5,0.5x r x r ≤-≥+ ③由①和③解得120.5,0.5.x r x r =-=+所以这时含峰区间的长度120.5l l r ==+,即存在12,x x 使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5.r +。