第九章回归的旋转设计
回归旋转试验设计dolly
• 结果显示，x2最不显著，所以考虑剔除此 变量，且x3比较好，变量变为x3，x1*x3， x3*x3。
• • • • • • • • • • • • • • •
data ex; input x1 x2 x3 y; X4=x3*x3;x5=x1*x3; cards; 1.0 13 1.5 0.330 1.4 19 3.0 0.366 1.8 25 1.0 0.294 2.2 10 2.5 0.476 2.6 16 0.5 0.209 3.0 22 2.0 0.451 3.4 28 3.5 0.482 ; proc glm ; model y=x3 x4 x5; run;
• Y=0.315x3-0.759x3*x3+0.026x1*x3
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data ex; input x1 x2 x3 y; X4=x3*x3;x5=x1*x3; cards; 1.0 13 1.5 0.330 1.4 19 3.0 0.366 1.8 25 1.0 0.294 2.2 10 2.5 0.476 2.6 16 0.5 0.209 3.0 22 2.0 0.451 3.4 28 3.5 0.482 ; proc glm ; model y=x3 x4 x5/noint; run;
一．回归旋转设计的步骤
1. 确定参与试验的因素，选定处理水平。 设某试验p个因素，以z1、z2、zp表 示，每个处理因素设上下两个水平， 第j个因素的上水平为z2j，下水平为 z1j，则各处里的零水平为 z0j＝（ z1j + z2j ）/2
2. 计算各因素的变化区间，并对处理水平 编码。 将第j因素的变化区间以Δ j表示， Δ j＝ （ z2j – z1j ）/2，然后对每个因素zj的 处理水平进行编码，即对每个因素的取 值进行线性变换，因素zj与规范变量xj 变换的对应关系是xj＝（zj-z0j）/ Δ j， 上、下、零水平的编码值分别为+1、-1、 0。
人教初三数学旋转模型含详细解析
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：旋转模型授课日期时 间主 题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；知识结构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型（一）正三角形类型在正ABC ∆中，P 为ABC ∆内一点，将ABP ∆绕A 点按逆时针方向旋转60o，使得AB 与AC 重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个'P CP ∆中，此时'P CP ∆也为正三角形。
【例题】如图：（1-1）：设P是等边ABC∆内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB∠的度数是________.οοο1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90o，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。
4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计引言：在现代科学与技术领域，研究人员经常需要对大量数据进行分析和处理。
其中，回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究变量之间的关系。
然而，传统的回归分析方法在处理高维数据时存在一些问题，例如维度灾难和多重共线性。
因此，三元二次正交回归旋转通用设计被提出，旨在解决这些问题，提高回归分析的准确性和可解释性。
一、维度灾难与多重共线性的问题在传统的回归分析中，当自变量维度较高时，会出现维度灾难的问题。
维度灾难指的是随着自变量维度的增加，样本空间的体积迅速膨胀，导致所需的样本数量呈指数增长。
这使得回归分析在高维数据中变得困难且不可靠。
多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，这会导致回归分析结果不稳定且难以解释。
在传统的回归模型中，多重共线性会导致回归系数的估计不准确，增加了模型的不确定性。
二、三元二次正交回归旋转通用设计的原理为了解决维度灾难和多重共线性的问题，三元二次正交回归旋转通用设计被提出。
该方法的核心思想是通过正交设计和回归旋转的方式来提高回归分析的效果。
通过正交设计的方法，可以使自变量之间的相关性尽可能小。
正交设计是一种特殊的实验设计方法，它通过合理安排实验因素的水平组合，降低了自变量之间的相关性。
这样一来，回归分析中的多重共线性问题就能够得到缓解，提高了模型的稳定性。
通过回归旋转的方式，可以将高维数据转化为低维数据，从而降低了维度灾难的影响。
回归旋转是一种将原始自变量进行线性或非线性变换的方法，使得新的自变量能够更好地解释因变量的变化。
通过回归旋转，可以使自变量的数量减少，同时保留了原始数据的信息。
三、三元二次正交回归旋转通用设计的应用三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用于多个领域的数据分析，如经济学、医学、环境科学等。
在经济学中，三元二次正交回归旋转通用设计可以用于预测和解释经济变量之间的关系。
通过分析各种经济指标的数据，可以帮助经济学家预测未来的经济发展趋势，为政策制定者提供决策依据。
第十讲(2) 旋转D最优设计
14
当p=2时的饱和D—最优计划。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8
6点设计
7点设计
8点设计
x1
x2
x1
x2
x1
x2
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -0.1315 -0.1315 1 1 1 0.3945 -0.092 0.092 0.3945 1 1 -0.067 0.067 -1
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 0.1925 0.1925 -1 0.1925 0.1925 -0.2912 1 1 -0.2912 1 1
p=3时的饱和设计称为310设计。
16
关于p4的饱和D—最优计划问题，至今尚未解决。 对于p=4，有人找到了一个较好的15点设计 。见188页 表9-3。 根据p=2,3的二次饱和D—最优计划的谱点结构，得 到一般的二次饱和设计的方案表9-4(188页)。
当p=4时，D—最优计划是：
12
当p=4时，D—最优计划是：
x1 1 1 -1 -1 1 x2 -1 1 -1 -1 1 x3 1 -1 1 -1 1 x4 -1 1 1 -1 -1
一般地，当p+1是2的整数次幂时，p个因子的一 次饱和D—最优计划可用2p型的全因子试验的部分 实施法给出。
13
二、二次饱和Ｄ—最优设计 对二次回归模型
定义在因子空间中若试验计划使a达到最大或使c达到最小即定义在因子空间中若试验计划使a达到最大或使c达到最小即则称为一个d最优计划设计
第八章
回归的旋转设计
回归正交设计的优点：(1)试验次数少；(2)计算简便； (3)消除了回归系数间的相关性。缺点：二次回归的预测 值y的方差依赖于试验点在因子空间的位置，不能根据 预测值直接寻找最优区域。为此提出回归的旋转设计 (旋转性)。它不仅克服了正交设计的缺点，还能基本保 留其优点。
第九章 回归的旋转设计
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式(13－ 30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的 元素中 2 xi x j xi x j 0 x j
m 的球面上； 的球面上； mγ个点分布在半 m0个点分布在半径 0 的球面上；
§1 旋转设计的基本原理
综上所述，为了获得 m 元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性 条件式 (13－29) ，又要满足非退化条件式 (13－30) 。满足条件式 (13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋 转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现。 实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
5（全实施） 5（1/2全实施） 6（1/2全实施） 6（1/4全实施） 7（1/2全实施） 7（1/4全实施） 8（1/2全实施） 8（1/4全实施） 8（1/8全实施）
16
32 16 32 16 64 32 128 64 32
8
10 10 12 12 14 14 16 16 16
12
17 10 15 8 22 13 33 20 11
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。 在3个变量情况下，二次回归模型为：
y x x x x x
3 3 2 j j 1 j j i j ij i j j 1 ij
x x x
13 23
x x x x
11 21
旋转回归试验设计概况
Ｖ０ Ｉ． Ｎ ０ ． Ｊ ８ ６
２１ ０ ０年 １ ２月
Ｄ ｅ － Ｏ１ ｃ２ ０
旋转回归试验设计概况
朱伟平
（ 中国神华煤 带】 ｌ 油化工有限 公司北京研究院， 北京 ，（ Ｏ １ １Ｏ ｌ ） ）
摘 要 ： 从旋 转 回归方 法 同正 交 回９ 方法 、 匀设计 区别 、 转 回９试 验 设计 和旋 转 回 归方 法应用 ３ － 均 旋 ３ － 等三个 方面 综述 了旋 转 回归试验设 计概 况 ， 并针 对如 何更好 应用旋 转 回 ９设计 提 出了一些建议 。 ３ － 关键 词 ： 旋 转 回９ 方法 正交 回ｙ 方 法 ３ － ３ － 中图分类 号 ： １ ０２ 文献 标识码 ： Ａ 均 匀设计 文 章编号 ： ６ ４ ８ ９ （ ０ ）６ ０ ６ ０ １７ — ４ ９ ２ １ ０ — ６ — ５ ０
关， 而且与回归系数的方差 和协方差都有关 ， 从而与 各试验点在试验 区域内的位置有关 。回归预测值 的 方 差体 现 了 回归方 程 的精 度 。 回归方 程精 度 对试 验
点 位置 的依 赖 ，使 得试 验 者不 能根 据 回归预 测值 直 接 寻求 最优 区域 ，因为预 测值 的误 差 随试 验 点在 试
１ 前 言
在 生 产 和科 研 开 发 过 程 中， 常 会 遇 到 一 些 既 经 相互联 系又相 互制 约 的变量 。为 了便 于深 人 了解 事
的变化 范 围 ； 明确进 一步 试验 的方 向。 ④ 正交 试验法 具有试 验 次数 少 、 验点 代表 性好 的特点 ， 试 既能用 直 观分析 法又能用 方差 分析 法对结 果进行 分析 。但 是 ， 正交 试 验 法 只 能定 性 地 分 析 相关 变 量 之 间的关 系 ， 要 建立 变量 相互 之 间 的定量 关 系 ，就 要应 用 回归 分 析 法 。 回归分 析法 是研 究 相关 关 系 的一种 有 力数 学 工 具 ，它是 建立 在 对客 观事 物 进行 大 量试 验 和观 察 的基础 上 ，用来 寻 找 隐藏在 那 些看 似 不确 定 的现 象 中的统 计规 律性 的 一种 数理 统计 方 法 。 回归试 验设 计法 是一 种 处理 配 方变 量 因子 与 因子 之 间关 系的数 学 方法 ， 过性 能 响应 方 程 式 （ 通 回归 方 程 式 ） 立 起 建
五年级数学下册《旋转》教学设计4篇
五年级数学下册《旋转》教学设计篇1一、教学内容。
教科书83页例1、84页例2、例3。
二、教学目标。
1、进一步认识图形旋转的意义和旋转三要素，感悟旋转的特征和性质。
2、会用数学语言描述旋转运动的过程。
3、能在方格纸上画出简单图形顺时针旋转90度后的图形。
4、感受旋转现象在生活中的应用，感知数学与生活的联系，体会数学的应用价值。
三、教学重难点。
1、教学重点：理解旋转的意义，感悟旋转的特征和性质。
2、教学难点：用数学语言规范的描述旋转运动的过程，在方格纸上画出简单图形旋转90度后的图形。
四、教学准备。
教具（多媒体课件、钟面），学具（尺子，铅笔等）。
五、教学过程。
（一）谈话引入。
1、教师：“请同学们回忆一下，二年级时，我们认识了物体的两种运动现象，谁能说说是哪两种现象？”学生：平移和旋转。
（若学生忘记了，教师可做适当提示：一种是沿直线运动，一种是曲线运动。
若学生能顺利说出两种运动，则让学生用手势比划比划是怎样运动的）（设计说明：通过复习，唤醒学生的已有知识经验，为后面新内容的学习找到连接点和起点。
）2、引入课题。
（课件出示生活中的旋转现象）教师：下面老师为大家准备了几种物体的运动，请同学认真观察，判断分别属于什幺现象？学生：旋转现象。
教师：你是怎幺判断出来的？学生交流。
3、小结揭题。
教师：物体围绕一个点（或轴）转动的现象，叫做旋转。
（板书）同学们能轻松得判断出生活中的旋转现象。
旋转现象里还有哪些知识，这节课我们接着来探究图形中的旋转。
（板书课题：旋转）（设计说明：通过生活实例进一步唤醒学生的已有知识经验，引导学生通过观察不同物体的旋转现象给“旋转”定义，为后面深入探究旋转现象作铺垫。
）（二）新课。
1、教学例1：感知旋转三要素，深入体会旋转的意义（1）感知旋转方向：（出示钟面）教师：旋转现象在我们的生活中很普遍，老师给大家带来一个钟面，谁能找找钟表里的旋转现象？学生交流。
（钟面指针的转动）教师小结：我们把和钟表指针转动方向相同的旋转方向叫顺时针方向，与钟表指针转动方向相反的旋转方向叫逆时针方向。
回归的旋转设计教育课件
在组合设计下，当 mc＝2m （全实施）时，则前式变为
2m2432m
解此方程，即可建立全实施时 γ 值的计算式，即
m
24
(13－31)
同理
m2 2 当
m 1（ 1实 施 ）
c
2
m 1 4
m2 2 当
m 2（ 1实 施 ）
c
4
m 2 4
m2 2 当
m 3（ 1实 施 ）
旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪
些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处
理的预测值ຫໍສະໝຸດ y的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心
的距离 ρ 有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道
最优点在什么方向的缺陷。
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。
x2 i
mc2
2
x4 i
mc2
4
均不等于零，完全符合式(13－29)的要求。
x x m 2 2
i j
c
§1 旋转设计的基本原理
为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定 γ 值，
x xx 事实上只要
4
j
3
2
i
2
j
求出 γ
值就行了。
(13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋
转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现
。实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验
点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。
本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。
而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。
在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。
二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。
通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。
在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。
三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。
通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。
同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。
四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。
其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。
最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。
三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。
通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说
明
一次回归正交设计是一种广泛应用于实验设计中的设计方式，该设计最基本的特点是每一个自变量只考虑一次。
这种设计方法可以通过排列组合的方式得到各种不同的设计方案，使得实验者可以通过设计来达到用最少的实验次数获取尽可能多的信息的目的。
一次回归正交设计在实验设计中被广泛使用，尤其在化学制药、工业生产等领域得到了广泛运用。
二次回归正交设计是一种基于一次回归正交设计的设计方式，这种设计方式可以进一步增加实验信息的获取。
在二次回归正交设计中，依然按照一次正交设计的方式来设计实验，但是在每个单独的自变量上，提高对其的测量次数，使得对这些自变量的测量更加准确。
同时，在某些需要深入探究的因素上，可以通过将这些因素的实验次数进一步提高，来获取相关信息。
二次回归旋转设计是一种在二次回归正交设计的基础上发展而来的设计方式。
在二次回归旋转设计中，实验者可以通过旋转矩阵来达到实验变量间的协方差为0的目的。
这样可以在保证基本信息获取的同时，增加获取高阶信息的可能性。
旋转设计特别适合于需要同时考虑多个变量的实验设计，可以使各个变量之间更加独立，减少不必要的干扰。
总的来说，在实验设计领域中，三种设计方法各自有着各自的优势。
对于需要更精准的信息获取的实验，应该选择更高阶的设计方法，在更基础的实验中则可以选择更为简单的设计方法。
另外，在选择设计方法的过程中，还应该根据实验具体情况灵活选择，使得实验设计更加科学合理。
旋转回归正交法
旋转回归正交法Rotation regression orthogonal method (RR-OM) is a technique commonly used in computer vision and pattern recognition tasks. It involves estimating the rotation angle of an object or feature based on orthogonal transformations. In RR-OM, a set of orthogonal basis vectors is first generated, typically using Principal Component Analysis (PCA), and then the rotation angle is estimated by finding the projection of the rotated vectors onto the basis. This approach effectively separates the rotation information from other factors, such as translation and scaling, making it robust and accurate for rotation estimation.旋转回归正交法（RR-OM）是计算机视觉和模式识别任务中常用的技术。
它基于正交变换来估计物体或特征的旋转角度。
在RR-OM中，首先通过主成分分析（PCA）生成一组正交基向量，然后通过将旋转后的向量投影到基向量上来估计旋转角度。
这种方法有效地将旋转信息与平移和缩放等其他因素分离开来，使得旋转估计具有鲁棒性和准确性。
7、高级实验设计—回归的最优设计(Optimized Design)
第一节 回归 D-最优设计原理
一、回归模型与试验方案
由于变量之间的关系不同，回归模型 与试验方案就有很多种。 在讨论最优设计原理时，对模型和方 案需要给出更一般的形式与定义。
（一）回归模型（数学模型）
不论因变量与自变量之间存在何种回归关系，
可设其回归模型为：
y 1 f1 ( x ) 2 f 2 ( x ) m f m ( x )
3 3
其行列式为：
A(W1 ) 2
2
3 0 0 2
24
相关矩阵为：
1 13 C (W1 ) 20
其行列式为：
0 1 2
பைடு நூலகம்
1 C (W1 ) 6 0
1 1 24 4
0
对于方案 W2同样可得出：
6 2 3 1 A(W2 ) 2 4 2 1 2 A(W2 ) 2
1 1 7 2 max d ( x,W2 ) max( 3x 2 x 2) 7 10 1 x 1 10 10 1 x 1
故 max d ( x,W1 ) max d ( x,W2 )
1 x 1 1 x 1
说明在 G-优良性意义下，方案W1也是比方案 W2 好。
1,2,, N
（7.1）
用矩阵表示为：
E ( y) F ( x)
（7.2）
式中的 x 是给定的因子区域 中一点，若因子空
间为 P 维欧氏空间，则 x 为 P 维向量： （ x 1 , x 2 ,, xP ）
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ) 都是连续函数；
由（7.3）与（7.4）可得到离散方案的信息矩阵为：
回归通用旋转设计的几个问题
Ｌ Ｏ
１ 应 用 通 用 回 归 旋 转 设 计 的几 个 问 题
１ １ 试验 次 数 和臂 ．
二 次 回归通 用旋 转设 计 与二 次 回归 正交 设 计和 二 次 回归 正交 旋 转设 计 一样 都 是组 合设 计 。设 计次
式 中 ，。ｂ －＇ 为 回归 系 数 ， ｚ 分 别 是 自变 量 ｂ ， ．ｂ ｚ ，
耋 Ｌ
１ ２
耋 Ｌ
３ ４
５
５
三 Ｌ
７ ８
５
５
６
Ｏ
中 ， 定 了 自变量 数 和试 验 是全 实 施还 是半 实 施等 ， 确
ｍ 和 ｍ 就 已经 确 定 。 当设 计 选 为二 次 回归正 交设 计 时 ， 可 以 自由选 定 ， ｍ。 当 。 定 后 就 确 定 了 ； 取
确 定 ： 一４ｍｃ ｒ ／ 。在 这 ２个 设 计 中 ， 都 是 事 先 确 定
的， 。 不可 以 自由 选定 ， 者 根 据 满 足 正 交 性 条 件 前 而定 ， 者 根据 满 足通 用 性条 件 而定 ， 里计 算公 式 后 这 较 繁 ， 再 给 出 ， 都有 现 成 的表 可查 ｎ 。 不 但 ］
ｚ ，ｚ
的规 范 变量 。
。
。
。
ｏ
。
Ｌ Ｌ
数 由 ３部 分 组 成 ： 即 —ｍ ＋ｍ 。 ＋ 。ｍ 析 因 是
试 验 次 数 ， 是 在 星 号臂 上 进 行 的试 验 次 数 ， 是 优， ｍ。 在 试验 区域 的 中心 点进 行 的试 验 次数 。在 回归 设计
［ 稿 日期 ］ ２ ０ — ４０ 收 ０ ２０ —５ ［ ｚ 简 介 ］ 卢 恩 双 （ ９ ２ ）男 ， 西 南 郑 人 ， 教 授 ， ８者 １５一 ， 陕 副 主要 从 事 应 用 数 学 的研 究 。
第九章回归旋转试验设计
9回归旋转试验设计本章要点：主要介绍了回归旋转设计的基本原理、实现条件、组合设计的步骤和统计分析方法，并给出二次回归正交旋转试验设计的计算案例。
重点：回归正交旋转设计的实现条件、组合设计的方法、方程的建立及显著性检验。
难点：回归正交旋转设计正交和旋转的实现条件及其统计分析。
9.1回归旋转试验设计的基本原理前面所介绍的“回归正交设计”，具有试验处理数比较少，计算简便、消除回归系数之间的相关性等优点。
但它也存在一定的缺点，即二次回归预测值的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。
由于误差的干扰，就不易根据预测值寻找最优区域。
为了克服这个缺点，人们通过进一步研究，提出了回归旋转设计（whirly design ）。
所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理组合的预测值的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称回归旋转设计。
这种设计的意 义在于可以直接比较各处理组合预测值的好坏，从而找出预测值相对优良的区域。
9.1.1回归设计旋转性条件旋转设计包括一次、二次和三次旋转设计，但研究中最常见的设计是二次回归旋转设计。
下面以三元二次回归方程来讨论回归正交的旋转性问题。
二次正交多项式方程的估计值为： 如果以三因素二次回归正交设计的数学模型为例：因此其信息矩阵A 为：T A=x x=ˆy ˆy332011ˆj j ij i j jj jj i jj y b b x b x x b x ===+++∑∑∑2220112233121213132323111222333ˆy b b x b x b x b x x b x x b x x b x b x b x =+++++++++1231213231231121312131231121322222232a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑223121232312223312313231322222322222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 对233121231231212123232222332a a a a a a a a a a a a a a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x∑∑∑∑∑∑∑∑∑称13123131231323123232322232322233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 1121342222a a a a a x x x x x ∑∑∑ 部223422a a a x x x ∑∑ 分34a x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭∑上述信息矩阵中的各个元素可用一般形式表达为： ，其中x 的指数1Q 、2Q 、3Q 分别可取0、1、2、3、4等非负整数。
回归通用旋转设计的几个问题_卢恩双
-
1 20 23- 3 B 0+ B 22+ ( B 11+ B 22 )。 10 160 160 除了回归系数计算不一样以外 , 回归方程及回
归系数的显著性检验也不同。 在回归正交设计和正 交旋转设计中都是直接先求回归平方和 , 然后求剩
剩 = SS T - U , S ST 为总平方和 ) , 而在通 余平方和 ( Q n p
- 1 2
112
2
西北农林科技大学学报 (自然科学版 )
第 30卷
播种 , 小区面积为 13. 34 m , 锄地 4 次 , 1991-10-10 收 获 , 单收 单 打 , 风 干称 重 , 大 豆 生 育 期降 雨 390. 3 mm , 前期降雨偏多 , 后期旱象严重 ,生育期积
温为 3 349 ℃ , 试验 安 排及 试 验结 果 见参 考 文 献 [ 3 ]。
第 5期 z0 1 1 1 1 1 X 2= 1 1 1 1 1 1 1 1
n
卢恩双等 : 回归通用旋转设计的几个问题 z1 1 1 - 1 - 1 1. 414 - 1. 414 0 0 0 0 0 0 0 z2 1 - 1 - 1 1 0 0 1. 414 - 1. 414 0 0 0 0 0 z 1z 2 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0
′
z2
′
1 2 3 4
0. 5 0. 5 0. 5 0. 5 1. 5 1. 5 - 0. 5 - 0. 5
0. 5 0. 5 0. 5 0. 5
- 0. 5 5 - 0. 5 6 1. 5 1. 5 7 8
- 0. 5 - 0. 5 9 - 0. 5 - 0. 5 10 - 0. 5 - 0. 5 11 - 0. 5 - 0. 5 12 - 0. 5 - 0. 5 13 - 0. 5 - 0. 5 14 - 0. 5 - 0. 5 15 - 0. 5 - 0. 5 16
三元二次回归旋转组合设计例题
三元二次回归旋转组合设计例题摘要：I.引言- 介绍三元二次回归旋转组合设计- 简述其在实际应用中的重要性II.三元二次回归旋转组合设计例题解析- 设计原理- 具体步骤- 结果分析III.总结- 回顾例题解析的重要知识点- 强调三元二次回归旋转组合设计的应用价值正文：I.引言三元二次回归旋转组合设计是研究多元二次回归模型中变量间相互关系的一种设计方法。
通过旋转组合设计，我们可以更好地理解各变量之间的交互作用，从而为实际问题提供更有针对性的解决方案。
在接下来的部分，我们将通过一个具体的例题，来解析三元二次回归旋转组合设计的原理及步骤。
II.三元二次回归旋转组合设计例题解析例题：假设有一个三元二次回归模型，如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε其中，Y 为因变量，X1、X2 和X3 为自变量，β0、β1、β2、β3 为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是找到一个合适的旋转组合设计，以便更好地分析这些变量之间的关系。
A.设计原理旋转组合设计的原理是将原始变量通过一定的旋转操作，得到新的变量组合，从而实现对原始变量的重新排列。
新变量组合的目的是减少原始变量之间的相关性，从而提高模型的解释能力。
B.具体步骤1.首先，根据原始变量的相关系数矩阵，计算出旋转矩阵R。
2.然后，将原始变量X1、X2 和X3 分别通过旋转矩阵R 进行旋转，得到新的变量组合。
3.旋转后的变量组合作为新的自变量，原回归模型中的其他参数保持不变，重新拟合回归模型。
C.结果分析通过旋转组合设计，我们可以得到一个新的回归模型。
与原始模型相比，新模型的残差更小，说明旋转组合设计有助于降低变量间的相关性，从而提高模型的预测精度。
III.总结本文通过一个具体的三元二次回归旋转组合设计例题，解析了旋转组合设计的原理及步骤。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计创作说明在工程领域，每个设计必须经过多次修正来优化其性能。
而三元二次正交回归旋转通用设计便是一种方法，可有效减少这些周期，提高工程效率。
本文将从三元二次正交、正交回归设计、正交设计旋转、通用设计四个方面详细地介绍该方法。
一、三元二次正交三元二次正交是指当设计需要涉及三个变量时，采用三元二次正交设计方法来减少试验次数。
首先将每个变量设为正交系列，进行阶段试验。
然后根据结果分析、确定关键的变量和因素组合，再进行二次设计试验。
二、正交回归设计正交回归设计是一种常用的试验设计方法。
首先将所研究的变量进行正交分组，然后设计正交表，并根据表中的结果确定主要的变量和因素组合。
接着利用回归方法，对组合进行分析和优化。
三、正交设计旋转正交设计旋转是正交试验设计的一种应用，可以对正交表的后续设计进行优化。
在这种方法中，先采用和正交表相同的原始设计方案，然后对因素进行旋转。
旋转后，可以得到一组新的因素组合，也就是新的试验设计方案。
如此重复，直到得出最好的设计方案为止。
四、通用设计在实际工程应用中，可能涉及到多个设计平台。
由于每个平台需要的设计方案都不相同，因此需要一种通用设计方法。
通用设计方法建立在正交设计和正交设计旋转的基础之上。
利用正交试验设计中的随机因素、响应曲面和偏差方案，可以创建一种通用的实验计划，以应用于不同的平台和工程项目。
综上所述，三元二次正交回归旋转通用设计方法是一种高效的工程设计方法，可大幅缩短设计周期、提高工程效率。
对于需要应用多个平台的工程项目来说，这种设计方法更是一种不可少的工具。