《高等数学E》期末复习资料

《高等数学E 》期末复习提纲

试卷分数比例

第一二章(函数、极限、导数）： 约20% 第三章（导数的应用部分）：约20% 第四章 积分： 约35% 第五章 无穷级数：约25% 题型

填空、选择、计算、论述 复习重点：

前三章（函数；极限与连续；导数及其应用） 重要知识点

1、 无穷小与无穷大；用极限的四则运算法则求

型极限；用第二个重要极限公式求1∞

型极限；用洛必达法则求未定式极限；

2、 导数定义；微分定义；基本初等函数导数公式；求导的四则运算法则；二、三

阶导数；复合函数求导法则；隐函数求导法；

3、 函数单调性和曲线凹凸性的判定；极值的第一、第二充分条件及其用法；闭区

间上函数的最值；拐点的定义及其求法；

例题（计算部分）

1、 求极限3

22lim 21x x x x x →∞+-+，22468lim 54x x x x x →-+-+，1

30lim(1)x

x x →-，23lim(1)x x x →∞+， lim x 2

0lim ln x x x +→，201

lim ln(12)x x e x x →--+，30sin lim x x x x →-，011lim()sin x x x

→- 2、 求下列函数或隐函数的导数

（1）求5

2

y x =,y =cos x y e ,2ln (23)y x =+,2

arctan x

y x =

的导数 （2）求2

2x

x

y e +=，cos3x

y x e -=⋅的二阶导数

（3）求隐函数的导数2x xe y y +=，2

y

y x x e --=， 2

3

1x y xy +-=

3、 划分函数3226187y x x x =---的单调区间、凹凸区间，并求出极值点和拐点

● 第四章 积分 重要知识点

1、原函数、不定积分定义，积分与求导（求微）的逆运算关系；

2、用基本积分公式及两个运算法则（加减、数乘）求积分；

3、用第一类换元法求积分；

4、定积分的几何意义，及利用几何意义求积分；

5、定积分的基本性质；

6、变上限积分的求导；

7、第一类换元法、分部积分法求定积分；求在积分区间上分段的函数的积分； 8、曲线围成的平面图形的面积计算；由平面图形旋转所得的旋转体的体积的计算。

例题（计算部分） 1、求积分

(1)(34)d x

x +⎰

，

d 2x x x +⎰，2

sec 2d x x ⎰,515d x -⎰,

12431

(3sin )d x x x x -+⎰

(2)5cos sin d x x x ⋅⎰

，

22d (1)x

x x +⎰，

(3)

9

4

d x ⎰

，3121

0d x x e x +⎰，8

1(ln 2)d e x x x +⎰，312d x x --⎰,2231d x x --⎰ ， 2、求由曲线ln y x =与,0x e y ==围成的图形的面积。 3、求由曲线1

,1,2y x x x

=

==以及x 轴围成的图形的面积，以及由该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

4、求由曲线,y x y ==

x 轴旋转一周所得的

旋转体的体积。

● 第六章 无穷级数

1、级数收敛、发散的概念，级数收敛的性质，掌握等比级数和p-级数的收敛性；

2、用比较法、比值法判断正项级数的收敛性；

3、一般数项级数的判敛，莱布尼兹判别法、条件收敛与绝对收敛的概念

4、幂级数的收敛半径和收敛区间

5、1

,

,sin 1x

e x x

-等常见函数的麦克劳林级数展开式，以及用间接展开法求其他相应函数的麦克劳林展开式。 例题（计算部分）

1、 判断下列级数的敛散性

21

1

111,n n n n n ∞

∞

∞

===∑∑，11n n n ∞=+∑，132n

n ∞

=⎛⎫

⎪⎝⎭∑，0(1)89n n n

n ∞=-∑(若收敛并求和) 2、 判断正项级数的敛散性：

21

1

1

11

1

3,,(1)2!n

n n n n n n n n n ∞

∞

∞

∞

====++∑∑∑

3、 判断级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛

121(1)n n n -∞

=-∑，11(1)3n n

n -∞=-∑，1(1)n n n ∞=-∑

，n ∞

=，∑∞=⋅-1

2)1(n n n 4、

求幂级数

1

01

,2

n

n n

n n n n n x n ∞

∞

∞===∑的收敛半径和收敛区间 5、 求下列函数的麦克劳林级数：211,

,213x

xe x x

-+ 《高等数学E 》复习题答案

前三章（函数；极限与连续；导数及其应用）

4、 求极限32

2lim 21x x x x x →∞+=∞-+，224682

lim 543x x x x x →-+=-+，11

330

lim(1)x x x e -→-=， 263lim(1)x x e x →∞+=，

lim 0x =，2

0lim ln 0x x x +→=， 2011

lim ln(12)2

x x e x x →--=+，30sin 1lim 6x x x x →-=，011lim()0sin x x x →-=. 5、 求下列函数或隐函数的导数 （1）求5

2

y x =

,2y =

cos x y e ,2ln (23)y x =+,2

arctan x

y x =

的导数 答案

: 3cos 2251;;);2x y x y y e x x '''==+=