《高等数学E》期末复习资料

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《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念（1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量）（2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =，为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算（1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线（1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1）柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2）旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。

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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高数e总复习

(1) 直接法: 先利用最大最小值定理，再利用介值定理; (2) 辅助函数法: 先作辅助函数 F ( x ), 再利用零点定理.
第二章 1. 导数概念
导数与微分
第一节导数的概念
f ( x0 x ) f ( x0 ) dy y lim . f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x dx x x0
x x0
0, 0,
使当 | x x0 | 时，恒有 | f ( x ) f ( x0 ) | .
(2) 左右连续：
f ( x 0) f ( x0 ), f ( x0 0) f ( x0 ). (3) 闭区间 I 上的连续函数：指该函数在 I 的每一
第三章中值定理和导数的应用
第一节中值定理
名称罗尔定理拉格朗日定理条件 (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (3) f (a ) f (b) (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (1) f ( x )、F ( x ) 在 [a , b]上连续 (2) f ( x )、F ( x ) 在 (a , b )内可导 ( 3) F ( x ) 0
lim f ( x ) g ( x ) A B
2. 复合函数的极限 0 设 lim ( x ) a 且 u ( x ) a( x U ( x0 )), x x0 又 lim f ( u) A，则 lim f [ ( x )] lim f ( u) A. ua 3. 极限求法小结
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期末高数考点总结

期末高数考点总结1. 函数与极限函数与极限是高等数学的基础。

在这部分内容中，主要包括函数的概念、性质和常见类型，以及极限的概念、性质和计算方法。

其中，重点考查函数的性质和极限的计算方法。

需要掌握函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质；理解函数的极限定义，并能够应用极限的四则运算法则和夹逼定理等进行计算。

2. 一元函数微分学微分学是高等数学的重要内容之一。

在这部分内容中，主要包括导数的概念、计算方法和应用。

需要掌握函数的导数定义，了解导数的几何意义和物理意义；掌握导数的四则运算法则和链式法则，熟练掌握常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；掌握导数的应用，如求函数的单调性、极值点、凹凸区间等。

3. 一元函数积分学积分学是高等数学的另一个重要内容。

在这部分内容中，主要包括不定积分和定积分。

需要掌握不定积分和定积分的定义；掌握常见函数的基本积分公式和换元积分法；掌握定积分的计算方法，如定积分的几何意义、定积分的性质、定积分的换元法和分部积分法等。

4. 无穷级数无穷级数是高等数学的重难点内容之一。

在这部分内容中，主要包括数项级数、幂级数和函数项级数等。

需要掌握数项级数的概念、判断级数是否收敛的常用方法，以及幂级数和函数项级数的收敛域判断方法。

5. 常微分方程常微分方程是高等数学的另一个重要内容。

在这部分内容中，主要包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和变量可分离的方程等。

需要掌握一阶常微分方程和二阶常微分方程的基本概念，以及一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法，包括变量可分离的方程、齐次线性方程、非齐次线性方程等。

6. 多元函数微分学多元函数微分学是高等数学的另一个重点和难点内容。

在这部分内容中，主要包括偏导数、全微分、梯度、方向导数和极值等。

需要掌握多元函数的偏导数定义和计算方法，了解全微分的概念和性质，掌握多元函数的梯度、方向导数的定义和计算方法，以及多元函数的极值点的判定方法。

高数复习重点梳理

高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。

导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。

在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。

在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。

在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。

在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

高数期末知识总结

高数期末知识总结一、微积分部分：1. 函数的概念和性质：包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。

2. 极限与连续：掌握函数趋于无穷时的极限和函数在某点处的极限计算方法。

了解连续函数的定义和性质。

3. 导数与微分：熟悉导数的定义、性质和计算方法，掌握基本的导数法则。

了解微分的概念和微分形式的变化。

4. 微分中值定理和泰勒公式：熟练掌握拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和应用。

了解泰勒公式及其在函数逼近中的应用。

5. 一元函数的极值和最值：熟练掌握函数的极值和最值的判定方法，了解约束条件下的极值和最值问题。

6. 定积分和不定积分：掌握定积分的定义和计算方法，了解不定积分的概念和性质。

7. 微分方程：了解微分方程的基本概念和分类，熟悉一阶常微分方程的求解方法。

二、线性代数部分：1. 向量的概念和运算：熟练掌握向量的定义和运算法则，了解向量的数量积和向量积的定义和性质。

2. 矩阵的概念和运算：了解矩阵的定义和基本性质，熟练掌握矩阵的加法、数乘和乘法运算。

3. 行列式和矩阵的初等变换：熟练掌握行列式的定义、性质和计算方法，了解矩阵的初等行变换和初等列变换的基本法则。

4. 线性方程组：熟悉线性方程组的定义和基本性质，了解线性方程组的求解方法。

5. 特征值和特征向量：了解特征值和特征向量的定义和计算方法，掌握矩阵的对角化与相似对角化。

6. 线性空间和线性映射：了解线性空间和线性映射的基本概念，掌握线性映射的定义和性质。

以上是高等数学期末知识的基本总结。

在考试前，我们应该提前整理好复习资料，了解每个知识点的要点和考点，合理安排时间进行复习，并多做一些练习题来巩固所学知识。

希望以上总结对大家的期末考试有所帮助，祝大家取得好成绩！。

高数复习知识点及公式

高数复习知识点及公式一、知识点1、求直线方程和平面方程2、求条件极值3、二重积分4、曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、曲面积分6、格林公式7、高斯公式→空间闭曲面 ※8、幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性） 9、傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

高等数学期末总复习PPT课件

函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等，这些性质反映了函数图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，每种函数都有其独特的图像和性质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于某个确定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等于零的点），然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导数矩阵正定，则该点为极小值点；若负定，则为极大值点；若不定，则需要进一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。

关于高等数学期末复习资料归纳大全

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim)(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->-362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a x t b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim xx x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业）1.3cos11lim-=---->-xxxe xx（洛必达）2.)1sin1(lim0xxctgxx->-（洛必达或Taylor）3.11lim22=--->-⎰xx tx edtex（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan)(2tetyytxxyy由决定，求dxdy2.xyxyxxyy sin)ln()(32+=+=由决定，求1|==xdxdy解：两边微分得x=0时yxyy==cos'，将x=0代入等式得y=13.yxxyy xy+==2)(由决定，则dxdyx)12(ln|-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθee（），在（==处切线的直角坐标方程。

高数e总复习讲解共32页

高数e总复习讲解
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯

《高数期末复习》课件

《高数期末复习》PPT课件
在这份《高数期末复习》PPT课件中，我们将深入探讨数学中的重要概念和技巧，通过生动的图片和实例帮助您更好地理解和记忆，让数学变得简单有趣。
数列与数学归纳法
1
数列的定义
了解数列的基本概念和性质，以及数列的分类和表示方法。
2
数学归纳法
掌握数学归纳法的原理和应用，能够证明各类数学命题。
重积分及其应用
二重积分的定义
重积分的应用
掌握二重积分的定义和计算方法，能够求解二维平面区域的面积。
应用重积分解决物理、工程和经济等实际问题，探索积分的深层次应用。
生物与科学研究
了解生物学、科学研究领域中重积分的应用，深入探索积分在研究中的重要地位。
3 微积分的应用
通过实际问题，应用积分解决运动问题、几何问题等多种应用题。
多元函数微分学基础
多元函数的极限
掌握多元函数的极限概念和性质，能够求多元函数在某点的极限。
多元函数的偏导数
学习多元函数的偏导数的定义和计算方法，能够求多元函数的偏导数。
多元函数的最值
了解多元函数的最值问题，能够应用极值性质求多元函数的最值。
3
数列的运算
学习数列的加法、减法、乘法和除法，掌握数列的运算规律。
函数的极限
函数极限的概念
理解函数极限的定义和性质，能够准确计算和判断函数在某点的极限。
极限的计算方法
掌握基本的极限计算方法，例如代入法、夹逼准则和洛必达法则。
无穷大与无穷小
学习无穷大与无穷小的概念，熟练运用无穷小的性质来求极限。
一元函数的导数与微分
结合实际问题，通过数学函数的运用，解决工程和经济方面的实际应用。
医学与科学研究

高等数学复习资料

寄语：亲爱的学弟，学妹们。

期末将至，班主任助理小组为大家准备了一些关于高数的复习资料。

请大家做好考前准备，预祝大家取得优异的成绩。

亲~ 一定要看哦！考试内容、重点问题与方法（按照考试提纲总结的）第一部分：函数极限的计算（1）函数值的计算（2）连续性的判断（3）未定式极限的求法（4）洛比达法则的应用常用的极限公式non x x n n k x kn x x q q x n o=<===→-∞→∞→∞→lim )1|(|0lim 01lim 01lim1 )()(lim 1lim )0(1lim o n n x n n n n n x p x p n a a o==>=→∞→∞→)(0co lim sin lim )"1("1sin lim0为无穷小无穷小乘以有界函数仍极限===∞→∞→→x sx x x x x x x x e x e xen x x n =+=+=+→∞→∞→1x x n )1(lim )11(lim )11(lim 111sinlim 1sinlim 01sin lim 0===∞→∞→→xx x x x x x x x ∞=⋅==⋅=∞→∞→∞→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x lim 1sin lim 1sin lim 0lim 1sin lim 1sinlim 2020常见的等价无穷小xx xe x x x x x x x αα~1)1(~121~cos 1~tan ~sin 2-+-- x nx x x x x xx x x n1~1)1(~)1l n (21~1c o s~a r c t a n ~a r c s i n 12-++--第二部分：导数的计算（1）包括初等函数，隐函数及参数方程及抽象函数的一阶，二阶或高阶导数概念与求法；（2）包括导数概念，几何意义以及连续、导数与微分的关系。

高数复习资料

高等数学期末复习资料第 1 页（共9 页）高等数学第一章函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节函数○函数基础（高中部分相关知识）（★）○邻域（去心邻域）（★）....,|Uaxxa.........,|0Uaxxa......第二节数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列..nx，证明..limnxxa...【证明示例】N..语言1．由nxa...化简得...gn.，∴..Ng......2．即对0...，..Ng.......，当Nn.时，始终有不等式nxa...成立，∴..axnx (i)第三节函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限○0xx.时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数..xf，证明..Axfxx..0lim【证明示例】...语言1．由..fxA...化简得..00xxg....，∴....g.2．即对.. . 0 ，....g..，当00xx....时，始终有不等式..fxA...成立，∴ f .x. Ax x.. 0lim○..x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f .x. ，证明..Axfx (i)【证明示例】X..语言1．由..fxA...化简得..xg..，∴ (X)2．即对.. . 0 ，...gX..，当Xx.时，始终有不等式..fxA...成立，∴..Axfx (i)第四节无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大○无穷小与大的本质（★）函数..xf无穷小...0lim.xf函数..xf无穷大.....xflim○无穷小与大的相关定理推论（★）（定理三）假设 f .x. 为有界函数，..xg为无穷小，则....lim0fxgx......（定理四）在自变量的某个化过程中，若在自变量的某个化过程中，若..xf为无穷大，则无穷大，则无穷大，则..1fx.为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若..xf为无穷小，且..0fx.，则..xf1.为无穷大【题型示例】计算：....0limxxfxgx......（或..x）1．∵..fx≤M∴函数..fx在0xx.的任一去心邻域...,0xU.内是有界的；（∵..fx≤M ，∴函数..fx在Dx.上有界；）2．..0lim0..xgxx即函数..xg是0xx.时的无穷小；（..0lim...xgx即函数g.x. 是x . . 时的无穷小；）3．由定理可知....0lim0xxfxgx.......（....lim0xfxgx........）第五节极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则○极限的四则运算法（★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式..px、..xq商式的极限运算设：.....................nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有...............0lim00baxqxpxmnmnmn...........000lim00xxfxgxfxgx......................0000000,00gxgxfxgxfx.....（特别地，当....00lim0xxfxgx..（不定型）时，通常分子分母约去公因式约去公因式约去公因式即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便可求解出极可求解出极可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx...高等数学期末复习资料第 2 页（共9 页）【求解示例】解：因为3.x，从而可得3.x，所以原式....23333311limlimlim93336xxxxxxxxx.............其中3x.为函数..239xfxx...的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章二节）：解：....00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx.............○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★）（定理五）若函数..xf是定义域上的连续函数，那么，....00limlimxxxxfxfx...............【题型示例】求值：93lim23 (xxx)【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx.........第六节极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要○夹迫准则（P53P53）（★）第一个重要极限：1sinlim0..xxx∵........2,0.x，xxxtansin..∴ 1sinlim.. xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx.............（特别地，000sin()lim1xxxxxx....）○单调有界收敛准则（P57P57）（★）第二个重要极限：exxx..........11lim（一般地，（一般地，（一般地，（一般地，........limlimlimgxgxfxfx.........，其中..0lim.xf）【题型示例】求值：11232lim (xxxx)【求解示例】....211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...................................................................................................解：....12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee.......................................第七节无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较）○等价无穷小（★）1．..~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe..2．UUcos1~212.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：....xxxxxx31ln1lnlim20.....【求解示例】..............3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020........................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性○函数连续的定义（★）......000limlimxxxxfxfxfx......○间断点的分类（P67P67）（★）.........）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数.......xaexfx2，00..xx应该怎样选择数a，使得..xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵......2010000feeefaafa...................2．由连续函数定义......efxfxfxx.......0limlim00∴ea.高等数学期末复习资料第 3 页（共9 页）第九节闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程】证明：方程】证明：方程】证明：方程....fxgxC..至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）......xfxgxC....在闭区间..,ab上连续；2．∵....0ab....（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间..ba,内至少有一点.，使得..0...，即....0fgC.....（10...）4．这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程....fxgxC..在开区间在开区间.a,b.内至少有一个根.第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节导数概念○高等数学中导的定义及几何意（P83P83）（★）【题型示例】已知函数】已知函数】已知函数........baxexfx1，00..xx在0.x处可导，求a，b【求解示例】1．∵....0010fefa............，......00001120012feefbfe...................2．由函数可导定义..........0010002ffafffb..................∴1,2ab..【题型示例】求..xfy.在ax.处的切线与法方程（或：过（或：过（或：过..xfy.图像上点..,afa....处的切线与法处的切线与法处的切线与法处的切线与法方程）【求解示例】1．..xfy...，..afyax....|2．切线方程：......yfafaxa....法线方程：......1yfaxafa.....第二节函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则★）1．线性组合（定理一）：线性组合（定理一）：()uvuv..........特别地，当1....时，有()uvuv......2．函数积的求导法则（定理二）：函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv.....3．函数商的求导法则（定理三）：函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv...........第三节反函数和复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数..xf1.的导数【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得..xf为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且..0..xf；∴....11fxfx........○复合函数的求导法则（★）【题型示例】设..2arcsin122lnxyexa....，求y.【求解示例】................2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12 211121*********xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaeaeexa.......................................................... .......解：2n1222212xxxxxxa.............第四节高阶导数○........1nnfxfx.......（或....11nnnndydydxdx..........）（★）【题型示例】求函数..xy..1ln的n阶导数【求解示例】..1111yxx......，......12111yxx...............，..........2311121yxx....................……..1(1)(1)(1)nnnynx........！第五节隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★）【题型示例】试求：方程】试求：方程】试求：方程】试求：方程yexy..所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线C：..xyy.在点..1,1e.的切线方程与法【求解示例】由y y . x . e 两边对x 求导即..yyxe.....化简得1yyey.....∴eey (11111)高等数学期末复习资料第 4 页（共9 页）∴切线方程：..exey (1111)法线方程：....exey (111)○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程.........tytx..，求22dxyd【求解示例】1.....ttdxdy.....2...22dydydxdxt..........第六节变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变（不作要求）第七节函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分○基本初等函数微分公式与运算法则（★★★）..dxxfdy...第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马）（○引理（费马）（★）○罗尔定理（★）【题型示例】现假设函数..fx在..0,.上连续，在上连续，在上连续，在..0,.上可导，试证明：..0,....，使得....cossin0ff.......成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....sinxfxx..显然函数..x.在闭区间.0,. .上连续，在开区间开区间.0,. . 上可导；2．又∵....00sin00f.......sin0f......即....00.....3．∴由罗尔定理知....0,..，使得，使得. .c . . ossin0 f. f ... . . . 成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x.时，xeex..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令函数..xfxe.，则对1x..，显然函数..fx在闭区间..1,x上连续，在开区间..1,x上可导，并且..xfxe..；2．由拉格朗日中值定理可得，..1,x...使得等式..11xeexe....成立，又∵1ee..，∴..111xeexeexe......，化简得xeex..，即证得：当x .1时，x e ex . .【题型示例】证明不等式：当0x.时，..ln1xx..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....ln1fxx..，则对0x..，函数，函数 f .x. 在闭区间..0,x上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间.0,. . 上可导，并且..11fxx...；2．由拉格朗日中值定理可得，由拉格朗日中值定理可得，..0,x...使得等式......1ln1ln1001xx.......成立，化简得..1ln11xx....，又∵..0,x..，∴..111f......，∴..ln11xxx....，即证得：当x .1时，x e ex . .第二节罗比达法则罗比达法则罗比达法则罗比达法则○运用罗比达法则进行极限算的基本步骤（★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0..）且满足条件，则进行运算：........limlimxaxafxfxgxgx.....（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本定型（转化为基本不定型）⑴0..型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx...【求解示例】..10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxLxxxxxxxxxxxxxa.................................解：（一般地，..0limln0xxx.....，其中,R...）⑵...型（通分构造式，观察母）【题型示例】求值：011limsinxxx........【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx...........................解：........000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx..................高等数学期末复习资料第 5 页（共9 页）⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx.【求解示例】....0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxx xyxxxxyeeex...................................解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1.型（对数求极限法）【题型示例】求值：..10limcossinxxxx..【求解示例】..........01000000limlnln100lncossincossin,ln,lncossinln0limlnlimlncossincossin10limlim1,cossin1 0lim=limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee.................................解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0.型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx.......【求解示例】....tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxx xLxxxLxyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx...................................................................解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee.........从而可得○运用罗比达法则进行极限算的基本思路（★）0000001.......................(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指提前）第三节泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四节函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸○连续函数单调性（单调区间）（★）【题型示例】试确定函数】试确定函数】试确定函数】试确定函数..3229123fxxxx....的单调区间【求解示例】1．∵函数..fx在其定义域R上连续，且可导∴..261812fxxx....2．令......6120fxxx.....，解得：，解得：，解得：121,2xx..3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x..,1..1..1,22..2,....fx......fx极大值极小值4．∴函数 f .x. 的单调递增区间为....,1,2,....；单调递减区间为..1,2【题型示例】证明：当0x.时，1xex..【证明示例】1．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）设..1xxex....，（0x.）2．..10xxe.....，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，1 x e .x.【题型示例】证明：当x . 0 时，..ln1xx..【证明示例】1．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设....ln1xxx....，（x . 0 ）2．..1101xx......，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，l . . n1 .x .x○连续函数凹凸性（★）【题型示例】试讨论函数2313yxx...的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料第 6 页（共9 页）1．....236326661yxxxxyxx........................320610yxxyx................120,21xxx......3．（四行表）x(,0)..(0,1)1(1,2)2(2,)..y.....y......y1(1,3)4．⑴函数 2 3 y 1 3xx . ..单调递增区间为(0,1), (1,2) 单调递增区间为( ,0) .. , (2,) .. ；⑵函数 2 3 y 1 3xx . ..的极小值在0x.时取到，为..01f.，极大值在2x.时取到，为..25f.；⑶函数 2 3 y 1 3xx . ..在区间( ,0) .. , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,) .. 上凸；⑷函数 2 3 y 1 3xx . ..的拐点坐标为..1,3第五节函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小○函数的极值与最关系（★）⑴设函数..fx的定义域为的定义域为的定义域为D，如果Mx.的某个邻域..MUxD.，使得对..MxUx..，都适合不等式....Mfxfx.，我们则称函数 f .x. 在点..,MMxfx....处有极大值..Mfx；令..123,,,...,MMMMMnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间..,ab上的最大值M满足：......123max,,,,...,,MMMMnMfaxxxxfb.⑵设函数 f .x. 的定义域为D，如果，如果mx.的某个邻域..mUxD.，使得对，使得对，使得对..mxUx..，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等式....mfxfx.，我们则称函数我们则称函数我们则称函数我们则称函数 f .x. 在点..,mmxfx....处有极小值..mfx；令..123,,,...,mmmmmnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间.a,b. 上的最小值m满足：......123min,,,,...,,mmmmnmfaxxxxfb.；【题型示例】求函数..33fxxx..在..1,3.上的最值【求解示例】1．∵函数 f .x. 在其定义域. 1 . ,3 . 上连续，且可导∴..233fxx....2．令......3110fxxx......，解得：121,1xx...3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x1...1,1.1..1,3f. .x...f .x.极小值极大值4．又∵......12,12,318fff......∴........maxmin12,318fxffxf.....第六节函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘（不作要求）（不作要求）（不作要求）第七节曲率（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第八节方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数上，可导函数上，可导函数..Fx的导函数为..Fx.，即当自变量，即当自变量，即当自变量，即当自变量xI.时，有时，有....Fxfx..或....dFxfxdx..成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称F.x. 为..fx的一个原函数⑵原函数存在定理：（★）如果函数..fx在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数..Fx使得 F . . . . xfx . . ，也就是说：连续函数一定存在原（可导必）⑶不定积分的概念（★）在定义区间I 上，函数上，函数f .x. 的带有任意常数项C的原函数称为 f .x. 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：....fxdxFxC...（.称为积分号， f .x. 称为被积函数，..fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量）○基本积分表（★）○不定积分的线性性质（分项积公式）（★）........1212kfxkgxdxkfxdxkgxdx..........第二节换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法○第一类换元法（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（★）（dy . f ..x.. dx 的逆向应用）........fxxdxfxdx......................高等数学期末复习资料第7 页（共9 页）【题型示例】求221dxax..【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa............................解：【题型示例】求121dxx..【求解示例】....111121************dxdxdxxxxxC.............解：○第二类换元法（去根式）（★）（dy . f ..x.. dx的正向应用）⑴对于一次根式（0,abR..）：axb.：令taxb..，于是2tbxa..，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a.）：22ax.：令tanxat.（22t.....），于是arctanxta.，则原式可化为secat；⑶对于根号下平方差的形式（ a . 0 ）：a．22ax.：令sinxat.（2 2t. .. ..），于是arcsinxta.，则原式可化为cosat；b．22xa.：令secxat.（02t...），于是arccosatx.，则原式可化为tanat；【题型示例】求12 1dxx . . （一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdxtdtdxtdtdttCxCtx.....................解：【题型示例】求22axdx..（三角换元）【求解示例】....2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sincos222xattxtadxataaxdxatdttdtaattCtttC.................... .............解：第三节分部积法分部积法分部积法分部积法○分部积法（★）⑴设函数..ufx.，..vgx.具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其分部积公式可表示为：udvuvvdu....⑵分部积法函数排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”○运用分部积法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积法函数排序次对被；⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（vdxdv...）⑶使用分部积公式：udvuvvdu . . ..⑷展开尾项vduvudx.....，判断a．若vudx...是容易求解的不定积分，则直接计，则直接计，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分、换元法算出答案（容易表示使用基本积分、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v udx . . . 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xexdx..【求解示例】....222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxexdxxedxxdexeedxxexedxxexdexexeedxxexeeC................ .........解：【题型示例】求sinxexdx..【求解示例】........sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxedxexxdeexexdxexedxexe xxdeexexexdx...........................解：..sincossinsinxxxxexdxexexxde.......即：∴..1sinsincos2xxexdxexxC.....第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分○有理函数（★）设：........101101mmmnnnPxpxaxaxaQxqxbxbxb.............对于有理函数....PxQx，当..Px的次数小于..Qx的次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函. .. .P xQ x是真分式；当是真分式；当是真分式；当是真分式；当P.x. 的次数高等数学期末复习资料第8 页（共9 页）大于. . Q x 的次数时，有理函. .. .P xQ x是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数将有理函数将有理函数将有理函数. .. .P xQ x的分母Q.x. 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示为一次因式..kxa.；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为二次质因式..2lxpxq..，（240pq..）；即：......12QxQxQx..一般地：nmxnmxm.........，则参数nam..22bcaxbxcaxxaa...........则参数,bcpqaa..⑵则设有理函数. .. .P xQ x的分拆和式为：............122klPxPxPxQxxaxpxq.....其中........1122...kkkPxAAAxaxaxaxa................2112222222...llllPxMxNMxNxpxqxpxqxpxqMxNxpxq...............参数121212,,...,,,,...,lklMMMAAANNN.........由待定系数法（比较）求出⑶得到分拆式后项积即可求解【题型示例】求21xdxx..（构造法）【求解示例】......221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx................................第五节积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第五章定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质○定积分的义（★）....01limnbiiaifxdxfxI.........（ f .x. 称为被积函数，f . . xdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，..,ab称为积分区间）○定积分的性质（★）⑴....bbaafxdxfudu...⑵..0aafxdx..⑶....bbaakfxdxkfxdx.......⑷（线性质）........1212bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx..........⑸（积分区间的可加性）......bcbaacfxdxfxdxfxdx.....⑹若函数..fx在积分区间.a,b. 上满足..0fx.，则..0bafxdx..；（推论一）若函数 f .x. 、函数、函数..gx在积分区间在积分区间在积分区间.a,b. 上满足....fxgx.，则....bbaafxdxgxdx...；（推论二）....bbaafxdxfxdx...○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★）（定理三）若果函数..Fx是连续函数..fx在区间..,ab上的一个原函数，则......bafxdxFbFa...○变限积分的导数公式（★）（上导―下）..............xxdftdtfxxfxxdx...................【题型示例】求21cos20limtxxedtx...【求解示例】..221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx.........高等数学期末复习资料第9 页（共9 页）........2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2 sincos21122xxxxxLxxxxxxeexxexxdxedxxxexexxexxxee.......................................第三节定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部○定积分的换元法（★）⑴（第一换元法）........bbaafxxdxfxdx......................【题型示例】求20121dxx..【求解示例】....222000111121ln212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx...............⑵（第二换元法）设函数....,fxCab.，函数..xt..满足：a．,...，使得....,ab......；b．在区间．在区间．在区间..,..或..,..上，....,ftt.......连续则：......bafxdxfttdt............【题型示例】求40221xdxx...【求解示例】..221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxttdttdttxt........................................⑶（分部积法）........................bbaabbbaaauxvxdxuxvxvxuxdxuxdvxuxvxvxdux..............○偶倍奇零（★）设....,fxCaa..，则有以下结论成立：⑴若....fxfx..，则....02aaafxdxfxdx....⑵若....fxfx...，则..0aafxdx...第四节定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（不作要求）第五节定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用（不作要求）第六节反常积分（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式21arctan1dxxCx....的证明。

大一上学期高数期末知识点

大一上学期高数期末知识点高等数学是大学数学的重要组成部分，也是理工科学生必修的一门基础课程。

下面将对大一上学期高等数学的期末考试中可能涉及的重要知识点进行总结和梳理，供同学们参考复习。

1. 函数与极限- 函数的定义及性质- 极限的概念和性质- 极限的运算法则- 无穷小与无穷大- 函数连续性及其判定2. 导数与微分- 导数的定义及性质- 常见函数求导法则- 高阶导数和隐函数求导- 微分的定义及性质- 泰勒展开与近似计算3. 微分中值定理与应用- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 应用题中的最值和最优化问题4. 不定积分与定积分- 不定积分的基本概念- 常见函数的不定积分- 定积分的定义及性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分的应用5. 微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 常系数线性齐次微分方程- 高阶线性齐次微分方程及特征方程6. 多元函数及偏导数- 多元函数的定义及性质- 偏导数的概念和计算方法- 隐函数求导- 多元函数的极值及条件极值7. 重积分- 重积分的定义及性质- 二重积分的计算方法- 三重积分的计算方法- 坐标变换与重积分的应用8. 曲线与曲面积分- 第一类曲线积分的计算- 第二类曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式及其应用9. 空间解析几何- 点、直线、平面的坐标表示 - 空间曲线和空间曲面的方程 - 空间曲线的切向量和法平面 - 直线与平面的位置关系10. 数列和级数- 数列的定义和性质- 数列极限的概念和性质- 常见数列极限的计算方法 - 级数的概念和性质- 收敛级数和发散级数的判定以上是大一上学期高等数学的重要知识点总结，同学们可以根据自己的学习进度和实际情况进行有针对性的复习。

希望大家在期末考试中取得好成绩！。

高数期末复习总结

高数期末复习总结一、函数与极限1. 函数函数是一种特殊的关系，它将集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数一般用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

2. 极限极限是研究函数收敛性与连续性的重要概念。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，因变量f(x)的值趋向于一个确定的值L，即lim(x->a)f(x)=L。

3. 极限的性质- 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。

- 有界性：有界数列必有收敛子数列。

- 保号性：如果数列收敛于非零数L，则数列的绝对值保持与L同号。

4. 极限的运算法则- 四则运算：函数的和、差、积、商的极限等于各个函数极限的和、差、积、商的极限。

- 复合函数：复合函数的极限等于函数的极限的复合。

- 函数与常数的乘积：函数与常数的乘积的极限等于函数的极限与常数的乘积的极限。

5. 无穷大与无穷小无穷大是指极限趋向于无穷大的函数，无穷小是指极限趋向于零的函数。

6. 连续性函数在某一点连续是指函数在该点的极限等于函数在该点的值。

如果函数在一个区间内的每个点都连续，则称函数在该区间上连续。

7. 中值定理中值定理是微积分中重要的定理，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这些定理揭示了函数在一定条件下存在某一点满足特殊性质。

二、导数与微分1. 导数导数描述了函数在某一点附近的变化率。

函数f(x)在点x=a处的导数用f'(a)表示，它等于函数在该点处的切线的斜率。

2. 导数的计算法则- 基本公式：导数的基本公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。

- 四则运算：两个函数的和、差、积、商的导数等于各个函数导数的和、差、积、商的导数。

- 复合函数：复合函数的导数等于外函数的导数乘上内函数的导数。

3. 高阶导数高阶导数是指导数的导数。

如果函数f(x)的导数存在，我们可以继续对导数求导，得到2阶导数、3阶导数等。

高等数学e

高等数学e
高等数学e是一门被广泛应用于工程，物理，金融和经济等领域的数学课程。

主要内容包括微积分，级数，变分方程，多变量微积分学，几何，概率论和统计学等等。

其中，微积分是高等数学课程的核心部分，涵盖了曲线微分，解析函数，微分方程，积分学等。

多变量微积分学是以多个变量进行研究的数学分支，主要涉及多变量函数的极限和不定积分，方向微分，曲率，流形等概念。

在多变量微积分学中，还会涉及变分法，泛函理论等方面的概念，同时也是工程，物理和应用数学研究领域应用最广泛的数学工具和技术。

几何学是高等数学课程的重要组成部分，是以空间尺度来探索几何形状的研究。

几何学的主要主题包括平面的几何，立体的几何，曲面的几何以及空间几何等，还有一些其他形式的几何，如微分几何，代数几何，区域论等。

概率论是研究随机现象的数学分支，在多个领域都有着重要的应用。

概率论主要涉及概率空间，概率分布，期望和方差，随机变量和随机扰动统计，随机过程等主题。

统计学是一门用来研究非定性现象的数学分支，旨在从大量实证资料中获取统计学结果，并用来描述和预测总体信息。

统计学主要涉及总体的描述，因果回归，卡方检验，置信区间，多重共线性分析等。

同济大学高数E复习题附答案

2011级高数E 复习题------答案一、填空题 1．已知cos 20()sin x F x t t dt =⎰，则()F x '= .2()cos sin(cos )(sin )F x x x x '=-2． 3sin 0lim(12)xx x →-= .31236s i n2s i nlim(12)lim(12)x x x x x x x x e -⋅--→→-=-=3. 已知 sin x y x =，则y '= .s i n l ns i ns i n s i n c o s l n c o s l nx x x x x y e x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知(),+,x f e x x '=-∞<<∞且其中x -∞<<+∞,又知(1)0f =,则()f x = （）()ln ()ln x x f e x u e x u f u u ''=⇒=⇒=⇒=()()ln ln f u f u du u du u u u C '∴===-+⎰⎰(1)1ln1101()ln 1f C C f x x x x ⇒=-+=⇒=∴=-+5．曲线2ln(1)y x =+的凹区间是 .凸区间是。

2222222222(1)222(1)ln(1)1(1)(1)x x x x x y x y y x x x +-⋅-'''=+⇒=⇒==+++二. 求解微分方程 1． 0ln =+'y y y xln 0ln(ln )ln ln ln ln ln y y d y d x C Cy y x C y x y y x x x'⇒+=⇒=-⇒=-+=⇒=⎰⎰C xy e ⇒=2.()()21d 1d 0y x yx x y +-+=22111ln(1)ln ln 1(1)121yd y d x x d x y C y x x x x x⎛⎫⇒==-⇒+=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ 2211x y C x ⎛⎫∴+= ⎪+⎝⎭3． ()21,11x y y xy-'==2221111ln 22x yd y d x x d x y x x C x x -⎛⎫⇒==-⇒=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211110ln 122x y x y x x C C ==⇒>⇒=-+⇒= 2211ln 122y x x ∴=-+ 三、已知sin ,0(),01sin 1,0xx x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在 0x =处连续，求k 的值 00sin lim ()lim 1x x xf x x --→→== 001lim ()lim sin 11x x f x x x ++→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 1k ∴=四、求极限运算1．113343x x x '→→-=-- 2． 111111111ln(2)12lim lim lim 11ln(2)(1)ln(2)ln(2)2111lim lim 2(2)ln(2)12ln(2)12L x xx L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '→-→-→-'→-→--⎛⎫+--+-== ⎪+++++⎝⎭++---===-++++++++++3．0012L x x '→→=4． 000011111lim lim lim lim e 1(1)12x x x L L x x x x x x x x x x x e x e e x x e e xe e e xe ''→→→→---⎛⎫-====⎪---+++⎝⎭ 5．求极限2222111sin 11ln cos cos sin 1lim lim lim 011arccot cos 1L x x x x x x x x x x x x x '→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪+==-= ⎪⎪-+⎝⎭ 五、求下列函数的导数或微分：1．21ln x y x +=24331(1l n )2122l n 12l nx x x x x x y x x x -+--+'===- 2．cos x y x =()cos ln cos ln cos cos cos sin ln sin ln x x x x x x x y e e x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫''==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 1e yy x =+，求y ' 1yy yye y e xe y y xe '''=+⇒=-4．4252sin 2x y x x π=+--，求d y3345ln54cos2(45ln54cos2)x x y x x d y x x d x '=-++⇒=- 5．()cos sin y x x x =+，求d yc o s s i n (s i n c o s )(c o s s i ns i n y x x x x x d y x x x x x x d x'=++-+⇒=+-+ 6．设函数()y y x =由方程33ln()cos x y x y x +=+确定，求d yd x332231ln()cos (3)3sin cos x y x y x x y x y x y x x y''+=+⇒+=-++ 3523221()cos 33sin sin 3d y x x y x y x x y xy x x y d x +---'∴==-+ 六、计算下列积分：1．0000111sin 3cos3cos3cos3333111sin 3393x x d x xd x x x xd x x πππππππ=-=-+=+=⎰⎰⎰2．()d ln ln(12ln )12ln 12l 12n x d x x C x x x ==++++⎰⎰ 3．2222ed 222xx x x x x x x x x de x e e xd x x e xe e C -------=-=-+=---+⎰⎰⎰4．23d 65x x x x +-+⎰23(5)(1)3126515x A BA xB x x A B x x x x +=+⇒-+-=+⇒=-=-+-- 22312(5)d ln65151x x x d x C x x x x x +--⎛⎫∴=+=+ ⎪-+---⎝⎭⎰⎰ 5．()222222222121111d arctan (1)11x x x x d x d x x C x x x x x x x +++⎛⎫==-=-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 6.211111ln 2(2)2222d x x d x d x C x x x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ 7．1ln e 1211001ln 13d (1ln )ln (1)22x u e x x x d x u du u u x =+⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰8．11111e d 11xxx x x x x xde xee d x e e e e ==-=-=-+=⎰⎰⎰9．221111222221110101sin d sin 0211112(arctan )21242x x x x x x xd x d x d x x x x x x ππ---⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰10．222222223442222sin sin 11601133x x x x x d x d x x d x x x x ----⎛⎫+=+=+= ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰七. 求下列各曲线所围成的平面图形的面积： 1．曲线xy 1=与直线2,==x x y21,11y y x x x x ==⇒=⇒=22211113ln ln 222A x d x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2．曲线2x y =与两直线x y x y 2,==221201y x x x x x y x⎧=⇒=⇒==⎨=⎩ 22122022y x x x x x y x ⎧=⇒=⇒==⎨=⎩ 21122223010111177(2)(2)323236A x x d x x x d x x x x ⎛⎫=-+-=+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰3．曲线23,x y x y ==与直线2=x23212301y x x x x x y x ⎧=⎪⇒=⇒==⎨=⎪⎩ 22324311111117()(161)(81)434312A x x d x x x ⎛⎫=-=-=---=⎪⎝⎭⎰4．求由曲线243y x x =-+- 及其在点(0,3)-与(3,0)的切线所围成的图形的面积。