近世代数之除环、域

例2
全体有理数作成的集合对于普通加法
和乘法来说显然是一个环。这个环的一个任意 元 显然有逆元 。
说明 (1)一个除环 R 包含：
1. R 至少包含一个不等于零的元；
2. R 有一个单位元；
3. R 的每一个不等于零的元有一个逆元.
(2)． 一个除环没有零因子。因为： (3) . 一个除环的 作成一个群。 不等于零的元对于乘法来说
下面说明一下域的计算规则. 如果 R,,,1R 是一个除环，那么 R* ,,1R 就是一个乘群. 由群的定义知， a, b R ，下列两个方程在 R 中有唯一解：
*
*
ax b ,
1 1
ya b.
1
显然， a b 是第一个方程的解，而 ba 是第二个方程的解. 我们称 a b 为“ a 左除 b ”,称 ba 为“ a 右除 b ”，因为除环未 必能交换即不一定有 a b ba . 但在域里讨论上述问题，就没有左除 与右除之分了 .我们有
R 于是有 , ，使
, （ ）= 1,0 = 1R . ,
由

, 的任意性，可知 R 中每个非零元都可逆，因此 R 是
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一个除环.另外,显然 i,0 , 0,1 R 而
a b S , ab S; 且 S {0},
，则称 S 是 R 的子除环. l s S (或者说 S , 是个乘群）
*
1
定义 5 设 R 是域， S R .若 S 既是 R 的子整环也是 R 的 子除环，则称 S 是 R 的子域.
例4 设 M 2 C 为复数域上的二阶矩阵环,显然 M 2 C 不 是整环,不是除环,更不是域。但我们发现:
,
2
a ib, c id C是所有的复数对（事
实上， R C ） ，在 R 中定义加法和乘法：
1 , 1 2 , 2 (1 2 , 1 2 )
1 , 1 2 , 2 1 2 1 2 ,1 2 2 1
i,0 0,1 0, i ,
0,1i,0 0,i
这说明
i,00,1 0,1i,0
即 R 不是域.所以 R 是一个非域的除环。 我们将上述除环称为哈米尔顿（Hamiltom）四元数除环，也简称 为四元数除环.这里的“四元数”的来历如下： 令
1R 1,0, i i,0, j 0,1, k 0, i
结论 2 R可换
由前面的知识我们知道：环中元素有下列“称谓” ： 零元 0，单位元 1R ，可逆元（逆元） ，零因子， （当然 还有教材中没有介绍的其他称谓） ，我们注意到:
前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)。如有理数域 Q ,实数 域 R ,复数域 C 等.当 p 为素数时, Z p 也是域.我们很容易发现:要找 一个非域的除环是不容易的.下面我们来“构造”一个四元数除环. 设R
性质 1
证明
除环 R 必是无零因子环.
设 0 a R .如果 a 是左零因子， 则
0 b R 使 ab 0 .
但非零元必可逆，故必 a R 使 a 1a 1R .
1
因此 a 1 ab a 1 0 0 ，从而 b 0 ，这与
0 b R 矛盾.
第 18 讲
第三章 环与域
§3 除环、域 （Division ring and field）
本讲的教学目的和要求：继整环之后，除环是另一个需 要我们密切关注的环类。与整环相比，除环少了“交换性”
为乘群”这个更好的 这个“好性质” ，但也同时增添了“ R
性质。仔细口味起来，整环与除环相比，有相同性，当然 也有不同处。相同处为：都有单位元，都是无零因子环； 不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而 后者不一定可换；前者不具备“ R 为乘群” ，但后者具备。 我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑 合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。
上命题的反面不成立，例如整数环是无零 因子环，但它不是除环.
性质 2
对除环 R 而言,一切非零元构成的集合 R*
是一个乘法群.
这是 3.2 中定理 3.2.4 已证明了的结论.利用性质 2, 可得到判断除环的一种方法.
定理 3.3.1 证明 略.
非零环 R 是除环 R* 是一个乘法群.
对于除环 R 而言,乘法群 R*习惯上叫做除环 R 的乘群.
所以数零是 (4) 任给
的加法零元. , ,
所以
的每个元都有负元, 且
. 无单位元.
从而由环的定义知,
构成交换环, 显然
事实上， 如果 且对任意的
有单位元 , 则 , 有
,
,
即
, 所以
,
, 矛盾.
所以它不是除环，因而它不是域。
例 2
,
,
都是域.
例 3 证明
为域. 证明 类似于例 1, 可证 个非零元都可逆. 设 且 . 故 , , 则 . 令 , 则 , 是有单位元的交换环. 下证, 的每
一、 除环 继整环之后，除环是另一个需要我们密切关 注的环类.
设 R 是一个幺环，在 3.2 中已知， R 的所有 可逆元做成一个乘法群 S .
我们总是希望 S 能尽量的 “大” ， 最好是 “大” 到 R 的一切非零元.如果真能办到，就成了下面 要研究的对象—除环.
定义 1
设 R 是一个环， 如果满足下列条件， 则称 R
由上可知， 除环 R 是由两个群——加群 R* , 和乘 群 R* , 凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥, 在 这两个群间建立起了联系.
定理 3.3.2
设 R 是一个有限的非零环,那么 R 是
除环 R 是无零因子环.
证明
若 R 是除环，由性质 1 知， R 是无零因子环.
多才多藝
任教授不久被任命為三一學院天文台台長。把觀察天體的任務交給他三個姐妹， 自己埋頭計算觀察得來的數據。他興趣廣泛，寫一手好詩，而他影響最大的是物理 學，只是在數學上成就很大，才同時稱他為數學家。
發明四元數
1843 年哈密爾頓突然驚叫起來。拿起筆記本寫下：
這些就是四元數的乘法法則。四元數的創立是帶數學上劃時代的事件。四元數是 數學家為了拓展複數而主觀設想出的。哈密爾頓一生幾乎獻身於四元數的研究。
其中
2 和 2 表示 2 和 2 的共轭复数.
可以证明: R 是一个环(略).
又易知 1,0 是 R 的单位元, 即 R 是一个幺环. 任取 R 的一个非零元
, a ib, c id .由于
, 不全
为零，从而 a 2 b 2 c 2 d 2 0 ，
bc ad . = a c bc ad ac
1 1
b d bd 1 1 1 1 a b c d a c bd ③ . a c ac



b ④ a
d a 1b 1 1 c d c c d


1
a b cd a b
1
1
1
1
= a d bc ad
由此知,

为域. 为无平方因子的整数, 则
类似地可证: 设
是域. 设 为域, 则对任意的 , , 有
从而可将 由此可定义域
记作
. , ,规定
的"除法": 设
称
为以 除
的商。
定理 3.3.3
设 R 是一个有限的非零环，那么
R 是域 是整环。
证明： 显然.

R 是整环 是无零因子环 R 是除环 R 是域.
密爾頓和他的四元數
在英國數學史上有兩個偉大的數學家，一個是牛頓， 另一個就是哈密爾頓 。
少年
1805 年 8 月 3 日生於爾藍嘟柏林。從小和叔叔杰姆哈密（語言學家）一起住，在叔 叔影響下對語言、文學特別愛好並有很強接受力。10 歲時杰姆叔叔寫信給哈密爾頓父 親說孩子語言能力驚人， 已掌握不少語言， 並開始學漢語； 13 歲那年對數學發生興趣， 。 大學生當教授 1823 年考進都柏林三一學院，之前他未進過學校。入大學前做過研究、有發明創 造並寫過論文，文章不成熟未發表；1824 年在老師鼓勵下將文章修改，在愛爾蘭皇家 科學院宣讀，老師們勸他進一步實驗；學院破天荒的決定讓哈密爾頓接任教授職位，授 予愛爾蘭皇家天文學家頭銜。
若 R 是无零因子环，则 R*是乘法半群,又因 R 中 满足消去律，所以 R*中也满足消去律.
又由于 R*有限，故 R* , 是一个群， R 是除环.
与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质” ， 但也同时增添了“ R*为乘群”这个更好的性质. 仔细品 味起来，整环与除环相比，有相同性，当然也有不同处. 相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不同处为： 前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定 可换；前者不具备“ R*为乘群” ，但后者具备. 我们把整 环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一 起，则成了另一个更“好”的代数体系---域.
以上就是本讲内容的背景。 学习本讲要求掌握：
（1） （2） （3） （4）
整环与除环的区别和联系。 整环的几种判定。 四元数除环的意义。 域的运算规则和域的判定法 则。
本讲的教学难点和重点： 本讲的重点有二个： ① 除环的几个判定法则。 ② 域的运算法则的证明。 由于本讲中只涉及到两个主要概念， 所需的知识面不广，故不存在什么难点。
不妨称它们为“数” ，显然 1, i, 可以验证: ,
j, k R .
a ib, c id R 都有 , a,01 b,0i c,0 j d ,0k.

也就是说, R 中每一个元素可以由上述四个“数”表达，并且可验 证,这种表达是唯一的.既然 R 是由这四个“数”控制着，所以称 R 为四 元数除环也就自然了.
③
b d bd . a c ac
b d bc ④ . a c ad
证明 ①
b d a 1b c 1d aca 1b acc 1d ad cb a c
②
b d a 1b c 1 d cc 1 a 1b c 1 daa1 a c
1 1 1
a b = ba
1
1
b b , 并称 为“ b 除以 a 所得之商” （或“ a 除 b 的商” ） a a
b 在域 F 中， a, b F 只要 a 0 那么 有意义且有下列性质： a
① 若 a 0, c 0, 则
b d ad bc a c
b d bc ad . ② a c ac
二、域 定义 2 若除环 R 是交换环,那么称 R 为域.
由定义知，域必是除环，从而域具有除环所具有 的一切性质. 域与环的关系还可用下面的简图表示
例 1 全体偶数
关于通常的数的加
法与乘法构成一个没有单位元的交换环.但不是 域。 证明 (1) 任给 , 则
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加 法满足分配律, 所以 (3) 因为 的加法与乘法也满足这些运算律. , 且对任意的 , 有
是一个除环 ( 也可以称为体) . ① R 必有非零元( R 至少含有两个元)； ② 1R R； ③ R*中每个元都有逆元.
将上除环的定义“浓缩”为：
R 是除环 R 是一个含有1R 的非零环且 R 的
每个非零元都可逆.
例1
只包括一个元 ，加法和乘法是：
这个环 R 的唯一的元 a 有一个逆元，就是 a 本身。
1 1
bc bc . ad
三、子整环、子除环和子域 定义 3 设 R 是整环， S R .若 S 满足
a, b S, 有a - b S, ab S且1s S ，同时
S, , 中没有零因子且是可交换的，则称 S 是 R 的子整环.
定义 4 设 R 是除环， S R .若 S 满足 a, b S , 有