(完整word版)高考数学常见难题大盘点:立体几何
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转化转化
2013高考数学常见难题大盘点:立体几何
1.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;(II)求证:AC 1//平面CDB1;
解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线
面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二
是通过面面平行得到线面平行.
答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,
∴ DE//AC1,∵ DE⊂平面C D B1,AC1⊄平面C D B1,
∴AC1//平面C D B1;
解法二:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,
BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C
为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1
(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(
2
3
,2,0)
(1)∵AC=(-3,0,0),
1
BC=(0,-4,0),
∴AC•
1
BC=0,∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).∵DE=(-
2
3
,0,2),
1
AC=(-3,0,
4),∴
1
2
1
AC
DE=,∴DE∥AC1.
点评:2.平行问题的转化:
面面平行线面平行线线平行;
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理.
2.如图所示,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M
为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;
A
B
C
A
B
C
E
x
y
z
(2)在侧面PAD 内找一点N ,使MN ⊥平面PBD ; (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直, 二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
答案:(1)ΘM 是PC 的中点,取PD 的中点E ,则
ME
CD 21
,又AB CD 2
1
∴四边形ABME 为平行四边形
∴BM ∥EA ,PAD BM 平面⊄
PAD EA 平面⊂ ∴BM ∥PAD 平面
(4分)
(2)以A 为原点,以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图,则())0,0,1B ,()0,2,2C ,()0,2,0D ,()2,0,0P ,()1,1,1M ,()1,1,0E
在平面PAD 内设()z y N ,,0,()1,1,1---=→
--z y MN ,()2,0,1-=→
--PB ,
()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→
--→--z PB MN ∴2
1=
z 由→
--→
--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→
--→
--y DB MN ∴2
1=
y ∴⎪⎭
⎫
⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点,此时BD MN P 平面⊥
(8分)
(3)设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ
()2,2,2-=→--PC ,⎪⎭⎫ ⎝
⎛
---=→
--21,21,1MN ,设→--→--MN PC ,为α
3
22
6322cos -
=⋅
-=
⋅=
→
--→--→
--→--MN
PC MN
PC α 32cos sin =-=αθ
故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为
3
2
(12分)
解法二:
(1)ΘM 是PC 的中点,取PD 的中点E ,则
ME
CD 21
,又AB CD 2
1
∴四边形ABME 为平行四边形
∴BM ∥EA ,PAD BM 平面⊄
PAD EA 平面⊂ ∴BM ∥PAD 平面
(4分)
(2)由(1)知ABME 为平行四边形
ABCD PA 底面⊥∴AB PA ⊥,又AD AB ⊥
∴PAD AB 平面⊥ 同理PAD CD 平面⊥,PAD 平面⊂AE
∴A E A B ⊥ ∴AB ME 为矩形 CD ∥ME ,PD CD ⊥,又A E PD ⊥ ∴PD ⊥ME ∴ABME 平面⊥PD PBD PD 平面⊂ ∴ABME PBD 平面平面⊥ 作EB ⊥MF 故PBD 平面⊥MF
MF 交AE 于N ,在矩形ABME 内,1==ME AB ,2=AE
∴3
2=
MF ,22=NE N 为AE 的中点
∴当点N 为AE 的中点时,BD MN P 平面⊥
(8分)
(3)由(2)知MF 为点M 到平面PBD 的距离,MPF ∠为直线PC 与平面PBD 所
成的角,设为θ,3
2
sin ==
MP MF θ ∴直线PC 与平面PBD 所成的角的正弦值为
3
2
点评:(1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可;(2)求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线,斜线和射影所成的角,即为所求角;(3)证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来
3.如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PDC 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
ABCD 是60ADC ∠=o 的菱形,M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面CDM ; (Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.
解析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法,比较好的方法是向量法 答案:(I)取DC 的中点O ,由ΔPDC 是正三角形,有PO ⊥DC .